La Teoría de la Ruina del Jugador (Gambler’s Ruin)
abril 26, 2014 · Imprimir este artículo
La teoría de la ruina del jugador (gambler’s ruin)
En todos aquellos juegos de azar cuya marcha se basa en que los participantes deben apostar alguna cantidad de dinero para poder seguir jugando, es previsible que tarde o temprano alguno de los participantes terminará quedándose con el dinero de todos sus oponentes, o que a éstos se les irá agotando el dinero y ya no podrán seguir participando en el juego, casos en los cuales el juego puede considerarse terminado tanto para los unos como para los otros.
En el campo de las matemáticas siempre ha existido interés por calcular cuáles son las probabilidades que un jugador enfrentado a otro tiene de terminar a largo plazo en una situación en la cual ya no dispone de más dinero para seguir participando en el juego, situación que se conoce como el estado de «Ruina del Jugador» (Gambler’s Ruin).
Para poder realizar estos cálculos es necesario tener en cuenta la cantidad total de dinero que al inicio tiene disponible el jugador para apostar (conocido como el Capital Inicial o el «Bankroll»), y además se debe tener en cuenta si el juego en cuestión en que participan los apostadores se basa en el «Equilibrio Equitativo» para todos ellos o si se trata de un juego en el que se establece alguna Ventaja Matemática a favor de alguno de los participantes.
En juegos de azar con Equilibrio Equitativo se Arruina Primero el jugador con menos Bankroll:
En efecto, supongamos que existe un juego con «Equilibrio Equitativo» entre dos jugadores, basado en el lanzamiento al aire de una moneda normal (cara o cruz), de tal forma que ambos jugadores tienen por igual el 50% de probabilidades de acertarle a la cara o la cruz. El juego se basa en que ambos jugadores al inicio apuestan un billete de $1 dólar, luego el jugador A elige cara o cruz y lanza la moneda al aire, de tal forma que si le acierta al lado de la moneda que eligió, entonces conserva el dólar que apostó y gana como premio el dólar que fue apostado por el jugador B, y si no acierta entonces es el jugador B quien conserva su dólar y gana como premio el dólar apostado por el jugador A. Después le corresponde el turno al jugador B para lanzar la moneda, y se aplica el mismo procedimiento de apuesta y se define el resultado del juego mediante el lanzamiento al aire de la moneda realizado por el jugador B. Es evidente que en este juego las condiciones son equitativas para ambos jugadores y por tanto no hay Ventaja Matemática a favor de ninguno de ellos porque el Valor Esperado (Expected Value) sobre el dinero apostado es iguala cero (0).
Ahora bien, respecto de este juego se pueden presentar dos situaciones distintas: que los dos jugadores tengan la misma cantidad de dinero para apostar, o que alguno de los dos tenga más dinero para apostar que el otro. En ambos casos para calcular la probabilidad de ruina que a largo plazo tienen los dos jugadores se emplean las siguientes fórmulas básicas:
P1 =
|
n2
|
n1 + n2
|
P2 =
|
n1
|
n2 + n1
|
En estas fórmulas matemáticas se debe tener en cuenta que P1 y P2 corresponden a las probabilidades de ruina del jugador A y del jugador B respectivamente, y la expresión n1 es el dinero que tiene para apostar el jugador A, y la expresión n2 es el dinero que tiene para apostar el jugador B. Supongamos que cada jugador tiene $6 dólares para apostar en el juego del lanzamiento de la moneda que antes hemos mencionado, es decir, tienen el mismo capital inicial (Bankroll) para competir en el juego, en tal caso la probabilidad de ruina para ambos jugadores es la siguiente al sustituir las expresiones de las fórmulas matemáticas por los valores respectivos:
P1 =
|
6
|
=
|
6
|
=
|
0,5
|
6 + 6
|
12
|
P2 =
|
6
|
=
|
6
|
=
|
0,5
|
6 + 6
|
12
|
En este caso las probabilidades para que el jugador A y el jugador B se arruinen son equivalentes, son exactamente las mismas (del 50%), porque ambos tienen los mismos recursos económicos para soportar las fluctuaciones aleatorias del juego.
Supongamos ahora que respecto del mismo juego del lanzamiento de la moneda el jugador A tiene $8 dólares para apostar y el jugador B sólo tiene $5 dólares para apostar, en tal caso la probabilidad de ruina para ambos jugadores es la siguiente:
P1 =
|
5
|
=
|
5
|
=
|
0,3846
|
8 + 5
|
13
|
P2 =
|
8
|
=
|
8
|
=
|
0,6153
|
5 + 8
|
13
|
Estos resultados indican que el jugador A, que tiene un capital inicial de $8 dólares, sólo tiene una probabilidad del 38,4% de caer en ruina, mientras que el jugador B, que tiene un capital inicial de $5 dólares, tiene una más alta probabilidad de caer en la ruina, equivalente al 61,5%. En otras palabras, en un juego donde para todos los participantes son equitativas las condiciones para ganar el premio o para perder la apuesta, se observa que aquel jugador que inicia su participación en el juego con un capital inicial más bajo en comparación al dinero de su contrincante, tiene más altas probabilidades de terminar rápidamente en situación de ruina:
Esta conclusión que aparentemente es muy obvia, convertida en un teorema más general indica que en cualquier juego de azar equilibrado para ambas partes (es decir, con un Expected Value de 0), a la larga terminará sobreviviendo el jugador que posee un mayor Bankroll, pues es evidente que al disponer de más dinero o capital inicial tiene mayores probabilidades de resistir por más tiempo las rachas de resultados adversos que eventualmente ocurrirán durante el transcurso del juego.
En los casinos se Arruina el jugador que con Poco Bankroll pretende las Ganancias más Elevadas:
Ahora bien, si en un juego de azar en el que imperan condiciones equitativas para ambos jugadores se observa que a la larga tiene menos probabilidades de arruinarse aquel jugador que posee una mayor cantidad de dinero o capital inicial para apostar, entonces es evidente que tratándose de los juegos de azar de los casinos en los que imperan «condiciones inequitativas» siempre la Banca tendrá muy bajísimas probabilidades de arruinarse, no sólo porque se supone que la Banca siempre tiene una mayor cantidad de dinero que la colectividad de todos los jugadores que concurren a sus salones de juego contra los que ella se enfrenta a diario, sino además porque la Banca siempre mantiene en todos sus juegos la imbatible Ventaja Matemática a su favor que de entrada devora una porción del dinero que es apostado por los jugadores. El jugador está predestinado a arruinarse a la larga cuando trata de competir contra la Banca en su propio terreno.
Existen muchas vías matemáticas para probar lo anterior. La vía más común es la aplicación de ecuaciones diferenciales como la siguiente:
P(x) =
|
1
|
P
|
(n+1)
|
+
|
1
|
P
|
(n–1)
|
p
|
p
|
Para la aplicación de esta ecuación diferencial vamos a suponer que un jugador llega a jugar en una mesa de ruleta americana y decide apostar $1 dólar a cualquiera de los colores (Rojo o Negro), y sólo se mantiene todo el tiempo en ese juego realizando este tipo de apuesta, sin aumentar ni disminuir el monto de su apuesta y sin cambiar de color elegido independientemente de los resultados que aparezcan en la ruleta. Este jugador llega a apostar con determinada cantidad n de dinero en su bolsillo que conforma su Bankroll inicial para afrontar los numerosos resultados aleatorios que puede arrojar el juego. Hay que suponer que el jugador aspira a ganar una determinada cantidad N de dinero ($100, $500, $1.000, $10.000 dólares, etc.), cifra la cual lógicamente siempre es mayor a la cantidad n de dinero que conforma su Bankroll inicial para apostar, es decir, hay que presuponer que el jugador en cuanto al dinero n que posee siempre empieza su participación en el juego en algún punto intermedio localizado entre tener 0 dólares (que es la Situación de Ruina) y tener N dólares (que es ganar la suma fijada como objetivo), o lo que es lo mismo expresado en términos matemáticos: 0<n<N. En consecuencia, el juego para este jugador puede concluir o bien cuando logra ganar la cantidad N de dinero fijada como objetivo y se retira como un triunfador, o puede concluir cuando pierde todo su Bankroll inicial (n) y debe retirarse del juego por falta de dinero (al quedar con un saldo de 0 que es equivalente a la Situación de Ruina).
Teniendo en cuenta lo anterior, es claro que en la ecuación diferencial la expresión P(x) puede asumir dos valores distintos dependiendo de los dos posibles finales que puede tener el juego, pues si se pretende calcular cuál es la probabilidad de que el jugador pierda todo su bankroll inicial y quede en un saldo de 0, entonces en tal caso la probabilidad de quedar en 0 tiene un valor de 1 (es «Muy Probable»), mientras que simultáneamente la probabilidad de alcanzar el objetivo N adquiere un valor cercano a 0 (es «Improbable»), es decir, en la Situación de Ruina para el jugador se observa que los valores posibles de P(x) son: P(0) = 1 y P(N) = 0. Las probabilidades que ofrece el juego de la ruleta son representadas en la ecuación mediante la letra p, y tratándose de la ruleta americana hay que recordar que la probabilidad de acertarle al color Rojo o al color Negro equivale a 18/38, mientras que la probabilidad de no acertarle al color Rojo o al color Negro equivale a 20/38. Finalmente, esta ecuación diferencial también prevé que cuando el jugador acierta en la apuesta según la probabilidad ofrecida por el juego obtiene como premio $1 dólar adicional sobre su bankroll inicial [representado por la expresión (n+1)], mientras que cuando no acierta en la apuesta pierde $1 dólar de su bankroll inicial [representado por la expresión (n−1)].
Existen varios métodos para resolver este tipo de complejas ecuaciones diferenciales: el método de Euler, el método de Cauchy, el cálculo de las iteraciones como un sistema dinámico discreto, etc. No es mi intención atiborrar al lector con la explicación de toda una serie de pesados conceptos matemáticos necesarios para aplicar cualquiera de esos métodos de resolución a la anterior ecuación diferencial, y por lo tanto me limitaré a resumir en la siguiente tabla los resultados de la ecuación para los diferentes escenarios de ruina que puede afrontar nuestro jugador de la ruleta que en cada jugada sólo apuesta $1 dólar ya sea al color Rojo o al color Negro sin cambiar de color, iniciando el juego con diferentes bankroll (n) en su bolsillo, y que tiene como meta alcanzar una suma N equivalente a ganar $200 dólares para retirarse del casino como un triunfador:
PROBABILIDAD DE RUINA AL PRETENDER ACUMULAR $200 EN LA RULETA AMERICANA:
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BANKROLL INICIAL
(En Dólares):
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$50
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$90
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$110
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$140
|
$160
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$180
|
$190
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PROBABILIDAD DE RUINA (En porcentajes):
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79%
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39%
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25%
|
15%
|
8%
|
4%
|
1%
|
Como se observa en la anterior tabla, nuestro jugador tiene una probabilidad equivalente al 79% de arruinarse ante la Banca si sólo cuenta con $50 dólares para apostar $1 dólar por jugada al color Rojo o al color Negro, con la pretensión de retirarse cuando haya logrado acumular un total de $200 dólares. Se observa que si el jugador comienza su participación en el juego con un mayor bankroll o capital inicial, entonces se reduce progresivamente la probabilidad de arruinarse en su intento de alcanzar la meta de acumular los $200 dólares, lo cual resulta obvio porque al disponer de mayor capital evidentemente se encuentra más próximo de lograr la meta establecida (acumular los $200 dólares), e igualmente al disponer de un mayor bankroll puede soportar por más tiempo una prolongada mala racha de resultados adversos en el juego. Así, si el jugador ingresa en el juego con $190 dólares, suma muy cercana a la meta de los $200 dólares, entonces la probabilidad de arruinarse primero antes que alcanzar la meta de acumular los $200 dólares se reduce al 1%. Si se hacen otros ejercicios de cálculo partiendo de sistemas diferentes de apuestas colocadas sobre el tapete de la ruleta, o estableciendo como meta alcanzar una suma distinta, entonces siempre al aplicar la anterior ecuación diferencial se observará que el jugador tiene menos probabilidades de arruinarse entre más cerca esté su bankroll inicial a la suma N fijada como meta.
La misma conclusión se observa si el anterior procedimiento de cálculo es aplicado a las modalidades de apuestas de otros juegos como el craps, el sic−bo, el baccarat, el blackjack, el stud poker, la ruleta francesa, las máquinas tragamonedas, etc., porque en todos estos juegos de casino a la larga termina imponiéndose la ventaja matemática establecida a favor de la Banca que devora rápidamente el dinero que es apostado por los jugadores bajo unas condiciones que siempre arrojan un Expected Value negativo sobre las opciones de apuestas. Si un jugador en cualquier juego de azar establece una meta muy alta que desea alcanzar, y sólo tiene un bankroll muy modesto para intentar alcanzarla, entonces de entrada tiene mayores probabilidades de arruinarse primero antes que alcanzar la meta fijada. Y si un jugador en cualquier juego de azar establece alcanzar una meta que es muy cercana al bankroll que ya posee (como cuando se fija como meta alcanzar la acumulación de $200 dólares teniendo un bankroll inicial de $190), entonces la probabilidad de arruinarse se reduce drásticamente, pero en tal caso no parece tener mucho sentido racional ni económico arriesgar un bankroll ante las fluctuaciones del azar con la pretensión de alcanzar una suma que es muy cercana a la que ya se posee en el bolsillo: ¿Qué sentido tiene arriesgar $190 dólares contra la implacable Ventaja Matemática a favor de la Banca bajo la pretensión de ganar sólo $10 dólares adicionales para alcanzar la meta de acumular los $200?
Obviamente, no hay que perder de vista que los anteriores cálculos son sólo eso, unos cálculos de probabilidad y nada más, ocurridos en el abstracto mundo de las matemáticas. Por consiguiente, no hay que concluir que es una ley universal, absoluta e inmutable que en los casinos sólo aquellos jugadores que tienen más dinero para apostar son los que siempre necesariamente ganarán. Todos los jugadores, sin importar su capital inicial, a largo plazo están predestinados a arruinarse ante la Ventaja Matemática a favor de la Banca que tiende a imponerse sobre el dinero que es apostado en todos los juegos de azar siempre que el comportamiento en la aparición de sus resultados se aproxime al estado de Regularidad Estadística.
Si un jugador fija como meta una suma muy cercana al bankroll que ya posee, lo único que hace es que «en el fabuloso mundo de los números» reduce la probabilidad de arruinarse, pero nada, absolutamente nada en este mundo, garantiza que en el juego real eventualmente ese jugador no terminará arruinándose aún contra todas las probabilidades matemáticas existentes a su favor. Del mismo modo, es verdad que a la luz de las matemáticas en los casinos tiene mayores probabilidades de arruinarse aquel jugador que posee un bankroll diminuto y que aspira alcanzar una meta muy elevada sobre el mismo, pero nada garantiza que necesariamente en el mundo real todos los jugadores con bajísimo capital inicial deberán arruinarse siempre según lo dictaminan las probabilidades matemáticas, pues de ser así entonces no ocurrirían de vez en cuando esos sorprendentes casos de personas que con sólo $50 dólares logran ganar $5.000 dólares en la ruleta, o personas que inician en una mesa de baccarat con $50 dólares y a la media hora de juego ya tienen acumulados $100 dólares, o personas que apostando $10 dólares en una tragamonedas logran ganar el gran jackpot acumulado de $10 millones de dólares, etc.
Las probabilidades matemáticas siempre ocasionalmente se pueden desviar en el mundo real, y por eso es posible observar en los casinos que aproximadamente un 5% de todos los jugadores que concurren logran alcanzar sus metas económicas sin arruinarse, para luego marcharse muy felices a sus casas como triunfadores llevándose un buen botín en sus bolsillos, mientras que el restante 95% de los jugadores o se arruinan irremediablemente o salen del casino en situación de «tablas» (conservando una suma que por encima o por debajo es muy cercana al bankroll inicial con el que empezaron a jugar). Como dicen por ahí, el truco consiste en descubrir cómo pertenecer la mayor parte del tiempo a ese selecto grupo del 5% de los jugadores de los casinos que comienzan su juego con un n bankroll y logran alcanzar su meta N preestablecida para retirarse del casino como triunfadores.
El Suplicio del Bankroll: atraído hacia la Ruina y atosigado por la Ventaja Matemática de la Banca.
Por supuesto, a la Banca le resultan indiferentes todas las anteriores penurias matemáticas que sólo atormentan principalmente a los jugadores que viven angustiados por el deseo de incrementar enormemente el tamaño de sus respectivos bankroll, ya que según las matemáticas es evidente que en los juegos de azar siempre tienen mayores probabilidades de arruinarse todos los jugadores que inician con un bankroll inicial muy bajo, y por tanto es indudable que de todos los jugadores que concurren a un casino el que tiene menos probabilidades de arruinarse es la Banca debido a que siempre cuenta con un mayor bankroll inicial sobre la totalidad del dinero que posee la colectividad de los jugadores, además de que la Banca también cuenta con la consabida ventaja matemática a su favor establecida en todos los juegos de azar, lo que a la larga le permite tener mayores probabilidades de quedarse con el modesto bankroll inicial de todos los jugadores.
Visto desde esta óptica meramente matemática, se puede concluir que participar en los modernos juegos de azar de los casinos, con la intención de ganar un dinero adicional (N) sobre el bankroll inicial que ya se posee (n), al tiempo que se pretende evitar caer en la Situación de Ruina al perder ese preciado bankroll bajo la influencia de la Ventaja Matemática de la Banca y bajo la aleatoriedad impredecible del juego, llega a parecerse demasiado a aquellos antiguos suplicios mitológicos que inventaban los dioses del Olimpo para vengarse cruelmente de sus enemigos.
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Según la mitología griega, Tántalo era hijo de Zeus, y por eso fue muy respetado por todos los demás dioses del Olimpo, hasta que un día Tántalo decidió robarles el néctar divino y las ambrosías de sus banquetes y además reveló a los mortales los secretos de todos los dioses poniendo en duda su divinidad y su carácter justo. Incluso, para burlarse de la divinidad de los dioses, Tántalo sacrificó a uno de sus hijos y en un gran banquete les dio a comer de su carne sin que ellos siquiera pudieran adivinarlo. Como castigo impartido por el poderoso Zeus, Tántalo fue condenado a vivir eternamente en el reino de Hades (el infierno), pero padeciendo siempre de hambre y de sed, y para hacer más cruel el castigo, fue encadenado en un pozo de aguas cristalinas que le llegaban hasta la barbilla, rodeado también de provocadores árboles frutales sobre su cabeza, pero cada vez que Tántalo deseaba saciar su sed, entonces las aguas cristalinas descendían alejándose de su boca, y cuando deseaba comer y alargaba los brazos para tomar las ricas frutas de las ramas más cercanas, también éstas huían burlonamente elevándose hacia lo alto. El «Suplicio de Tántalo» es ver tan cerca el objeto codiciado que puede saciar los deseos materiales, pero sabiendo que a la vez es un objeto ajeno y muy difícil de alcanzar.
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Según los relatos griegos, Sísifo fue un mortal que nació de las aventuras amorosas del dios Eolo en la Tierra, y llegó a ser el padre de Ulises, el famoso «Odiseo». Sísifo, antes de que ocurrieran las grandes aventuras de su hijo Ulises, fue el hombre más astuto e ingenioso que vivió sobre la faz de la tierra, además de ser promotor de la navegación y del comercio entre los pueblos, hábil embaucador, avaro y tramposo, hasta el punto de que llegó a asaltar y asesinar viajeros y navegantes para incrementar así fácilmente su riqueza (fue el primer pirata de la historia). Cuando Tánatos, la muerte, vino a buscarlo para llevarse su alma, Sísifo astutamente la engañó y la apresó con unos grilletes durante varios años, por lo cual nadie volvió a morir en la tierra, hasta que el poderoso dios Ares (el dios romano de la guerra conocido como Marte) liberó a Tánatos, quien furiosamente se llevó a Sísifo al infierno. Pero el astuto Sísifo le había advertido a su esposa que si algún día él perecía, ella nunca debía realizar el respectivo sacrificio ritual en honor de los muertos, y por ese motivo Sísifo en el infierno comenzó a quejarse constantemente ante Hades (el dios de los muertos), hasta que lo convenció de permitirle volver a la tierra con el pretexto de reprender a su esposa para que cumpliera con los sagrados rituales mencionados, mas una vez en la tierra Sísifo decidió no regresar al inframundo, sabiendo que Tánatos no podía hacerlo morir por segunda vez y que además Hades no tenía poder alguno sobre los seres que habitaban fuera del inframundo, situación que perduró hasta que varios años después el dios Hermes, cumpliendo órdenes de Zeus, llevó a la fuerza a Sísifo hasta el infierno. Allí Hades castigó cruelmente el atrevimiento de Sísifo, condenándolo eternamente a subir una pesada roca hasta lo alto de una montaña, pero siempre cuando iba a llegar a la cima la piedra se venía sobre él y le hacia retroceder bastante hasta que la piedra rodaba a lo profundo de la llanura, y nuevamente Sísifo se veía obligado a recomenzar su pesado trabajo que nunca tenía fin. El «Suplicio de Sísifo» consiste en realizar un monumental trabajo inacabable que al final siempre resulta inútil, no obstante el gran empeño puesto en su ejecución.
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Prometeo en la mitología griega es un titán que no le tenía ningún miedo a los orgullosos dioses del Olimpo, y además siempre estaba protegiendo a la naciente raza humana suministrándole subrepticiamente todo el conocimiento necesario para que aprendiera a sobrevivir y evolucionar por sí misma. Como los primitivos humanos llegaron a profesarle mayor culto de adhesión a Prometeo que a los demás dioses del Olimpo, entonces éstos decidieron castigar a los humanos quitándoles el fuego y conservándolo dentro de los límites del Olimpo. Entonces Prometeo audazmente decidió robar el fuego que ardía en la fragua de Hefestos (Vulcano) y se lo dio nuevamente a los humanos, además de comunicarles todos los secretos del arte de la fundición y la forja de metales, con lo cual los humanos resurgieron como una civilización iluminada por el fuego y el conocimiento científico que les transmitió Prometeo. Los dioses del Olimpo muy furiosos decidieron castigar este gran atrevimiento. Así que primero Hefestos en su taller fabricó una bella mujer de arcilla, a la que Zeus luego le dio vida, bautizándola como Pandora, y ella fue enviada a la tierra para que conquistara el corazón de Epimeteo, hermano de Prometeo, de tal forma que Epimeteo se casó con ella e intrigado de curiosidad terminó por abrir una pequeña caja de plata que siempre portaba celosamente su prometida, de la cual repentinamente salieron todas las desgracias enviadas por los dioses para atormentar por siempre a la humanidad: el crimen, las enfermedades, las hambrunas, el dolor, las guerras, las plagas, los desastres naturales, etc. Después de castigada la humanidad por la apertura de la «Caja de Pandora», entonces Hefestos con la ayuda de Bía y Cratos capturaron a Prometeo y lo encadenaron en lo más alto de las montañas del Cáucaso, y Zeus todos los días le enviaba un águila gigante que le devoraba el hígado, órgano que al día siguiente sanaba y volvía a crecer debido a que Prometeo era inmortal. El castigo estaba diseñado para durar eternamente, pero después de 1.000 años de cautiverio pasó por ese lugar el poderoso Hércules que iba en busca del jardín de las Hespérides y se compadeció de la triste situación de Prometeo, por lo cual con su fuerza descomunal rompió las cadenas y mató de un flechazo a la enorme águila del tormento. Agradecido, Prometeo le reveló a Hércules el secreto para obtener sin riesgos las manzanas de las Hespérides. Zeus decidió olvidar el castigo contra Prometeo debido a que esta hazaña llenaba de gloria y de fama a su hijo Hércules. El «Suplicio de Prometeo» es el que viven todos los alquimistas y los científicos desde los albores de la humanidad, y consiste en la búsqueda permanente de la iluminación derivada de nuevos conocimientos, los cuales sólo conducen a más interrogantes aún por resolver, los cuales a su vez requieren la búsqueda de nuevos conocimientos que conducen a más interrogantes, en una cadena esclavizante que se prolonga sin fin.
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Guardando las debidas proporciones en cuanto a la crueldad de los suplicios aplicados a los héroes mitológicos de la Antigüedad, es evidente que desde la óptica matemática se puede afirmar que en los modernos juegos de azar de los casinos el jugador también es sometido a una situación de padecimiento muy semejante. El jugador inicia su participación en el juego de azar con cierto Bankroll (n) en su bolsillo, y establece como meta incrementar ese bankroll inicial hasta obtener una determinada cantidad (N) de su gusto que para él es equivalente a obtener la Riqueza. Sin embargo, para que el carrito del jugador en el que se acumulan las ganancias y los lingotes de oro pueda avanzar sobre este camino aparentemente plano que va desde la Ruina hasta la Riqueza, se requiere que el jugador en ese trayecto también arrastre a sus espaldas un pesado Expected Value de signo negativo (EV) que se manifiesta como un porcentaje específico de pérdida a favor de la Banca sobre cada dólar que se apuesta en las mesas de juego, odiado cargamento al cual inevitablemente se encuentra encadenado el jugador desde el mismo momento en que decide apostar sometiéndose a las inequitativas reglas del juego, pesado cargamento que además, cual si fuera un nefasto imán, permanentemente intenta tirar del jugador para atraerlo hacia la Situación de Ruina (hacia la situación de quedar con un saldo de 0). No resulta extraño que bajo estas condiciones tan difíciles sólo 5 de cada 100 jugadores que concurren a un casino logran superar la prueba conservando su bankroll sin caer en la Situación de Ruina y obteniendo la cantidad N de riqueza deseada a pesar del Expected Value negativo que afecta a cada dólar apostado.
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Por supuesto, los padecimientos de cada jugador son un problema minúsculo. En todos los casinos el jugador que mayor dinero siempre tiene es la Banca, y por tanto es la que tiene menores probabilidades de arruinarse aún enfrentándose a una colectividad de jugadores pudientes y ansiosos de obtener más dinero fácil. Más allá de la «pequeña N» que como meta se fija cada jugador, existe la «Gran N», conformada por todo el capital que la Banca permanentemente apuesta en todas las mesas de juego y en las máquinas tragamonedas en contra de todos los jugadores, así estas apuestas de la Banca no sean notorias a simple vista para la mayoría de los jugadores. En efecto, cada vez que un jugador apuesta $1 dólar pleno en la ruleta, la Banca simultáneamente está apostando $35 dólares a que el jugador no tendrá éxito, y si esto ocurre, entonces la Banca conserva sus $35 dólares y se lleva como ganancia el dólar del jugador perdedor. Si en una mesa de blackjack un jugador apuesta $100 dólares, la Banca simultáneamente apuesta $150 dólares a que él perderá y no obtendrá un Blackjack (dentro de un sistema de premios en la proporción 3 a 2). En las máquinas tragamonedas cada vez que un jugador acciona la palanca apostando una simple moneda de 25 centavos, simultáneamente la Banca está apostando hasta un jackpot de $5.000 dólares a que ese jugador perderá. Así no lo veamos, es evidente que en todos los juegos de azar de los casinos la Banca siempre está apostando simultáneamente en contra de los jugadores una cantidad de dinero mucho mayor que la que ellos colocan, pero hay que tener en cuenta que el dinero colocado por la Banca no tiene un Expected Value negativo para ella, como si lo tiene cada centavo puesto por los jugadores.
Debido a que la Banca tiene un Bankroll superior en todos los juegos de azar que ofrece, tiene mayores probabilidades de quedarse con las modestas sumas que arriesgan todos los jugadores. Un jugador que posee un modesto bankroll n, con un Expected Value negativo a cuestas, improbablemente podrá sobrevivir a las fluctuaciones aleatorias del juego para quedarse con la «Gran N» que posee la Banca. En cambio, la Banca tiene mayores probabilidades de adicionar su ya abultado bankroll con las pequeñas sumas que son apostadas por los jugadores en todas las mesas, pues ganar esas pequeñas sumas no representa una meta muy lejana al monto del gran bankroll que la Banca ya posee.
Esta es otra de las razones matemáticas por las cuales es momento de dejar de creer ilusamente en el viejo mito de «Quebrar a la Banca» o en las fabulosas hazañas de los supuestos «Salta−Bancas» predicadas desde siempre por toda una legión de farsantes.
FUENTES DE CONSULTA:
BARBOIANU, Catalin. Probability Guide to Gambling: The mathematics of dice, slots, roulette, baccarat, blackjack, poker, lottery and sport bets. 2006.
GROEBNER, D.; SHANNON, P.; FRY, P.; SMITH, K. Business statistics: a decision making approach. Prentice Hall, 6a edición.
HAEUSSLER, E.; PAUL, R.; WORD, R. J. Introductory mathematical analysis for business, economics and the life and social sciences. Prentice Hall.
KILBY, J. y FOX, J. Casino operations management. John Wiley & Sons, New York, 2005.
MARSHALL, Lincoln, y RUDD, Denis. Introduction to casino and gaming operations. 1996
THORP, Edward. Elementary probability. Wiley & Sons, New York, 1976.
TIJMS, Henk. Understanding probability: Chance rules in everyday life. Cambridge University Press, 2004.
WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Bankroll, Expected Value; Gambler’s Ruin; Gaming Mathematics; House Edge; Probability Theory; Wagering Business.
Fuente del artículo: Eye in the sky.
[…] La Teoría de la Ruina del Jugador (no solo aplicable al dinero) […]