¿Qué dice la Ley de Benford?

marzo 8, 2021

La ley de Benford: ¿Por qué hay más números que comienzan por uno que por otro dígito?

Las Matemáticas nos enseñan que en muestras de números de datos arbitrarios unos números aparecen más que otros

Por Víctor M. Manero.

Si tomamos una fuente de datos basada en números que aparecen en la vida cotidiana, como pueden ser, el importe de las facturas de la luz, los números de las calles de una ciudad o los valores de las acciones en bolsa, parece lógico pensar que los dígitos del 1 al 9 aparecen en estas cifras de forma totalmente aleatoria. Por esto, si nos fijamos en el primer dígito de todos estos datos cabe esperar que las cifras del 1 al 9 aparezcan en la primera posición un número similar de veces, es decir el 1 aparece en primer lugar aproximadamente el 11,1% de las veces, el 2 aparece en primer lugar el 11,1% de la veces y así sucesivamente.

Nada más lejos de la realidad, ya que las muestras tomadas del mundo real parece que sienten cierta predilección por poner en primer lugar algunos dígitos en concreto.

Corría el año 1881 cuando el astrónomo y matemático Simon Newcomb publicó su artículo «Note on the frequency of use of the diferent digits in natural numbers» en el número 4 del «American Journal of Mathematics». Según se cree, observando libros de logaritmos –herramienta muy usada por los astrónomos de la época- se dio cuenta de que las primeras páginas de dichos libros estaban más desgastadas. Éstas páginas eran aquellas en las que aparecían los números que empezaban por 1.

Este hecho observado por Newcomb fue el que le llevó a formular el siguiente principio:

«En una lista de números tomada de un conjunto arbitrario de datos hay más números que comienzan por 1 que con cualquier otro dígito»

Algunos años más tarde el físico Frank Benford publicó el artículo «The law of anomalous numbers» en el número de abril de 1938 de los «Proceedings of the American Philosophical Society». En dicho trabajo enuncia la que ha venido a ser llamada ley Benford, o ley del primer dígito y que describe la frecuencia con la que aparecen, en primer lugar, los dígitos del 1 al 9, en datos de la vida cotidiana. Benford determinó que esta frecuencia viene dada por la función:

donde es x el valor de la cifra en cuestión y P (x) es la probabilidad de que dicha cifra aparezca en primer lugar. Gráficamente esta función se puede representar como sigue:

Figura 1: Función descrita por Benford
Figura 1: Función descrita por Benford

Por lo tanto, según la función dada por Benford la frecuencia de aparición de las cifras del 1 al 9 como primer dígito (en una serie de datos tomados de la vida real) es la siguiente:

Tabla 1: Frecuencia del primer dígito
Tabla 1: Frecuencia del primer dígito

Así, si tomamos una lista grande de datos, estas cifras empezarán por 1 el 30,1% de las veces, por 2 un 17,6% de las veces y así sucesivamente.

Desde un punto de vista teórico todo esto esta muy bien, pero si tomamos datos reales ¿será cierto que se ajustan a la curva descrita por Benford?

Para comprobar que este fenómeno es real (y no sólo teórico) me he tomado la libertad de mirar los datos del censo de 2019 del Instituto Nacional de Estadística (INE). Estos datos son públicos y se pueden buscar como «Cifras de población resultantes de la Revisión del Padrón Municipal a 1 de enero de 2019. Datos por municipios». Observando los datos de las poblaciones de los 8131 municipios españoles, (lo cual, dicho sea de paso, lleva un rato pero) se tiene que la aparición de las cifras del 1 al 9 como primer dígito es la siguiente:

Tabla 2: Primer dígito en la población de los municipios de España
Tabla 2: Primer dígito en la población de los municipios de España

Podemos representar gráficamente estos datos como sigue:

Figura 2: Primer dígito en la población de los municipios de España.
Figura 2: Primer dígito en la población de los municipios de España.

A primera vista, parece que los datos reales y los predichos por Benford se parecen mucho, basta comparar la última fila de las tablas 1 y 2. Pero puesto que una imagen vale más que mil palabras, en la siguiente figura se presentan en una misma gráfica ambos datos (los reales y los predichos por la Ley Benford).

Figura 3: Comparación de datos reales con la Ley Benford
Figura 3: Comparación de datos reales con la Ley Benford

Según parece los datos reales se ajustan muy, muy bien al comportamiento esperable según la ley Benford.

Desde un punto de vista más actual, en el año 2012 Mark Nigrini publicó su trabajo «Benford’s Law: Applications for forensic Accounting, Auditing and Fraud Detection» donde mostraba cómo este comportamiento de los números obtenidos del mundo real permite identificar si un conjunto de datos proviene de una fuente real o si por el contrario se trata de datos falsos. Puesto que «poderoso caballero es don dinero» una de las mayores aplicaciones que se ha encontrado a la ley Benford es que es capaz de determinar, entre otras cosas, la veracidad o falsedad de las facturas presentadas en las declaraciones de la renta. Así que, cuidadito con defraudar al fisco, porque ya sabes, «Hacienda somos todos».

Víctor M. Manero es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española.

Fuente: abc.es

Más información:

Cómo detectar fraudes con la ley de Benford


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Matemáticas racistas: Cuando la estupidez contamina la ciencia

marzo 6, 2021

«Matemáticas racistas»: la nueva idiotez que apoya la fundación Gates

The Bill & Melinda Gates Foundation financió un programa titulado «Un camino hacia la instrucción matemática equitativa. Desmantelando el racismo en la instrucción matemática».

Por Emmanuel Alejandro Rondón.

[Read in English]

«La cultura de la supremacía blanca se infiltra en las aulas de matemáticas en las acciones cotidianas de los profesores. Junto con las creencias que subyacen a estas acciones, perpetúan el daño educativo a los estudiantes negros, latinos y multilingües, negándoles el pleno acceso al mundo de las matemáticas», esta cita pertenece al programa: «Un camino hacia la instrucción matemática equitativa. Desmantelando el racismo en la instrucción matemática»; un paper de 82 páginas que explica cómo combatir el racismo sistémico en las aulas de clases, en la actitud de los profesores y, sobre todo, en las matemáticas.

No es ninguna broma, de hecho, el documento fue financiado por The Bill & Melinda Gates Foundation; la famosa fundación Gates, según artículo publicado en la plataforma Substack en la sección de la escritora Bari Weiss llamada «Common Sense with Bari Weiss».

En el artículo Bari Weiss le da la palabra al profesor matemático Sergiu Klainerman.

Klainerman, de acuerdo con el perfil reseñado en el artículo, es un «profesor de matemáticas en Princeton especializado en la teoría matemática de los agujeros negros. Ha sido becario MacArthur, becario Guggenheim y es miembro de la Academia Nacional de Ciencias».

Una crítica durísima contra la ideología woke por la cruzada contra las matemáticas

El profesor escribió una crítica durísima contra la nueva ocurrencia del movimiento woke americano apoyado por Bill Gates y su fundación: llamar a las matemáticas racistas.

Al parecer, para la Woke America, los profesores que imparten la catedra derrochan supremacía blanca oprimiendo a los estudiantes pertenecientes a minorías étnicas con sus malvados ejercicios matemáticos. Por ende, hay que convertir y renovar a las matemáticas haciéndolas más antirracistas. Esa parece ser la lógica.

«Las matemáticas, con sus herramientas aparentemente imparciales —2 + 2 siempre es igual a 4— han presentado un problema para un movimiento ideológico que ve cualquier desigualdad de resultados como prueba de un sesgo sistémico. El problema no puede ser que algunos niños sean mejores en matemáticas, o que algunos profesores sean mejores en su enseñanza. Como muchas otras cosas, el argumento básico del movimiento Woke contra las matemáticas es que son intrínsecamente racistas y que hay que hacerlas antirracistas. Esto se logra socavando la noción de respuestas correctas e incorrectas, eliminando la expectativa de que los estudiantes muestren su trabajo, refiriéndose a las herramientas de pruebas matemáticas como racistas, y eliminando las clases de matemáticas aceleradas».

Parte del texto de la escritora Bari Weiss en su introducción antes de darle la pluma al profesor Klainerman.

Esa es la opinión de la escritora, parece dura, pero la del profesor Klainerman lo es aún más.

«En mi posición como profesor de matemáticas en Princeton, he sido testigo del declive de las universidades e instituciones culturales, ya que han abrazado la ideología política a expensas de la erudición rigurosa. Hasta hace poco —este verano pasado, en realidad— había pensado ingenuamente que las disciplinas STEM se salvarían de esta toma de posesión ideológica. Me equivoqué», inició su exposición el señor Klainerman en «Common Sense with Bari Weiss».

«Los intentos de “deconstruir” las matemáticas, negar su objetividad, acusarlas de prejuicios raciales e infundirlas con ideología política se han vuelto cada vez más comunes, tal vez incluso en la escuela primaria de su hijo».

Continuó el profesor Klainerman.
El valioso testimonio de un sobreviviente del comunismo

Kainerman gracias a las matemáticas pudo cumplir su versión del sueño americano. Siendo un inmigrante proveniente de Rumania vivió sin decoro —como muchos— el infierno totalitario comunista en su tierra natal, pero llegó a Estados Unidos y abrazó la libertad.

El profesor explica que, a diferencia de los regímenes comunistas que él mismo sufrió, esta America Woke es mucho «más blanda» en términos de violencia física, pero desgarradora en términos morales.

«A diferencia del totalitarismo tradicional practicado por los antiguos países comunistas, como la Rumanía en la que crecí, esta versión es blanda. No impone su ideología encarcelando a los disidentes o eliminándolos físicamente, sino mediante la vergüenza social, el castigo de la multitud, la culpabilidad por asociación y la coacción de la palabra», esbozó Kainerman lanzando, a posteriori, un dardo durísimo: «En lo que respecta a la educación, creo que la ideología woke es incluso más dañina que el comunismo antiguo».

El profesor, también critico de los regímenes comunistas, fue claro en explicar que, al menos, en dichos totalitarismos se respetaba la ciencia y las matemáticas, en especial la segunda, porque era inmune a la presión ideológica. Pero esto no lo respeta la ideología woke, argumenta.

«Al igual que los niños de todo el mundo, me atraían las matemáticas por su belleza formal, la elegancia y la precisión de sus argumentos, y la sensación única de logro que podía obtener al encontrar la respuesta correcta a un problema difícil. Las matemáticas también me permitieron escapar del embriagador tambor diario de la propaganda del partido, un refugio contra la aplastante atmósfera del conformismo político e ideológico».

Explicó el profesor Kainerman.

Añadiendo: «La ideología woke, por otro lado, trata tanto la ciencia como las matemáticas como construcciones sociales y condena la forma en que se practican, en la investigación y la enseñanza, como manifestaciones de supremacía blanca, eurocentrismo y poscolonialismo».

El profesor puso un ejemplo claro, que es el reciente programa, citado anteriormente, que está apoyado financieramente por la Fundación Gates; y que, según relata, cuenta con socios como: Lawrence Hall of Science de la Universidad de Berkeley, la Asociación de Administradores Escolares de California y la Oficina de Educación del Condado de Los Ángeles.

El programa, explica el profesor, esboza que «la cultura de la supremacía blanca se manifiesta en el aula cuando se centra en obtener la respuesta ‘correcta’», o en su defecto, «cuando se exige a los alumnos que muestren su trabajo, al tiempo que estipula que el propio “concepto de que las matemáticas son puramente objetivas es inequívocamente falso”».

El plan de estudio apoyado por Bill Gates tiene como objetivo principal «desmantelar el racismo en la enseñanza de las matemáticas» y, lo que puede ser más preocupante, involucrar «el giro sociopolítico en todos los aspectos de la educación, incluidas las matemáticas».

Kainerman, notoriamente preocupado, explicó lo absurdo que es tomar a las matemáticas como una ciencia que va cambiando según la raza, etnia o gentilicio de las personas. Las matemáticas son una.

«Por razones históricas, a menudo hablamos de las contribuciones al campo de las matemáticas de los egipcios, babilonios, griegos, chinos, indios y árabes y nos referimos a ellos como entidades distintas. Todos ellos han contribuido, a través de un diálogo cultural único, a la creación de un edificio verdaderamente magnífico y accesible hoy en día a todos los hombres y mujeres del planeta», explicó el profesor Kainerman. «Aunque rindamos homenaje a las grandes figuras históricas que informan la práctica de las matemáticas, la asignatura puede enseñarse —y a menudo se hace— sin hacer referencia a los individuos que han contribuido a ella. En ese sentido, es singularmente universal».

Para culminar su contundente crítica, el profesor añadió que, simplemente, las matemáticas racistas, blancas o supremacistas no existen:

«No hay ninguna razón para asumir, como hacen los activistas, que los niños de las minorías no son capaces de hacer matemáticas o de encontrar las “respuestas correctas”. Y no puede haber ninguna justificación para, en nombre de la “equidad” o de cualquier otra cosa, privar a los estudiantes de la educación rigurosa que necesitan para tener éxito. Los verdaderos antirracistas se levantarán y se opondrán a este sinsentido».

Fuente: elamerican.com


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El pionero de los antivirus, John McAfee, acusado de Fraude y Lavado de Dinero

marzo 5, 2021

John McAfee, está en graves problemas

Por Felipe Sasso.

John McAfee, el pionero de los antivirus, ha sido acusado junto a su asesor Jimmy Gale Watson de fraude y blanqueo de dinero por fiscales de Nueva York.

Los dos son imputados de haber utilizado cuentas de McAfee en redes sociales para publicitar varias criptomonedas con el fin de impulsar su valor.

John McAfee

Ambos compraron grandes cantidades de criptodivisas cotizadas en bolsa a bajos precios para venderlas en las redes sociales, mediante un método conocido como “scalping”.

Scalping, cuando se usa en referencia a la negociación de valores, materias primas y divisas, puede referirse a un método legítimo de arbitraje de pequeñas brechas de precios creadas por el diferencial de oferta y demanda, o una forma fraudulenta de manipulación del mercado.

“Como se alega, McAfee y Watson explotaron una plataforma de medios sociales ampliamente utilizada y el entusiasmo entre los inversores en el mercado emergente de criptodivisas para ganar millones a través de mentiras y engaños”, escribió la fiscal federal de Manhattan Audrey Strauss en un comunicado.

“Los acusados supuestamente utilizaron la cuenta de Twitter de McAfee para publicar mensajes a cientos de miles de sus seguidores de Twitter promocionando varias criptodivisas a través de declaraciones falsas y engañosas para ocultar sus verdaderos e interesados motivos”.

Así, McAfee, Watson y otros miembros del equipo de criptomonedas supuestamente obtuvieron más de 13 millones de dólares de los inversores a quienes habrían engañado a través de sus esquemas fraudulentos.

En tanto, otro integrante del equipo de McAfee se habría encargado del lavado de dinero mediante una serie de transacciones bancarias.

De esta forma, el panorama no es alentador para el programador informático que está a la espera de ser extraditado desde España por cargos de evasión fiscal.

Sólo con los nuevos cargos que se le imputan, el empresario de 75 años arriesga una pena de 60 años en la cárcel.

Fuente: es.digitaltrends.com, 05/03/21

Más información:

Antivirus Software Trailblazer John McAfee Accused of $13 Million ‘Scalping’ Fraud and Money Laundering Scheme

What is a Scalper?


Scalping como fraude

Hoy en día, está bastante bien establecido que un asesor de inversiones no debería comprar posiciones en su propio nombre poco antes de recomendar esa posición a sus clientes. Hace cincuenta años, surgió la duda de si la SEC Securities and Exchange Commission (Comisión de Bolsa y Valores) podría tomar medidas para evitar esto o exigir la divulgación.

El caso de prueba llegó contra la Capital Gains Research Bureau (Oficina de Investigación de Ganancias de Capital). La empresa produjo un boletín de noticias mensual recomendando valores. En 1960, la empresa compró valores antes de recomendarlos en su informe para inversiones a largo plazo. En cada ocasión, hubo un aumento en el precio de mercado y el volumen de negociación del valor recomendado a los pocos días de la distribución del Informe. Inmediatamente después, la empresa vendió su posición con una ganancia.

La SEC solicitó una orden judicial para detener esa práctica a menos que la empresa revele que puede estar negociando con los valores mencionados en el informe. La firma impugnó la orden judicial diciendo que la SEC tiene que demostrar la intención de dañar a los clientes o una pérdida real de dinero. El tribunal de primera instancia y el tribunal de apelaciones estuvieron de acuerdo con la firma. La SEC continuó la lucha y el caso terminó en manos de la Corte Suprema.

Los magistrados del tribunal superior acudieron al rescate de la SEC.

Los altos estándares de moralidad empresarial exigidos por nuestras leyes que regulan la industria de valores no permiten que un asesor de inversiones negocie sobre el efecto de mercado de sus propias recomendaciones sin revelar plena y justamente sus intereses personales en estas recomendaciones a sus clientes.

La experiencia ha demostrado que la divulgación en tales situaciones, si bien no es onerosa para el asesor, es necesaria para preservar el clima de trato justo que es tan esencial para mantener la confianza pública en la industria de valores y preservar la salud económica del país.

Y así, la SEC ganó la capacidad de expandir los tipos de actividad que podrían considerarse fraudulentas, engañosas o manipuladoras. Y hacerlo sin tener que mostrar la intención de dañar a los clientes o una pérdida real de dinero.

Fuentes:


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Tendencias Económicas en Argentina 2021

marzo 3, 2021

Expositor: Gustavo Ibáñez Padilla

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