Los números en la naturaleza

septiembre 30, 2018

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f_{10}

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377<br /><br /> \ldots \,

La sucesión comienza con los números 1 y 1,1 y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias del brécol romanescu y en el arreglo de un cono.

fibonacci 01

 

Historia

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir».2

Número de Mes Explicación de la genealogía Parejas de conejos totales
Comienzo del mes 1 Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.
Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3 La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. 2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4 Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. 3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. 5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6 A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. 8+5=13 parejas en total.

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos f_{n+1}/f_n se acerca a la relación áurea fi (\phi) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la sucesión de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

(3)f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

f_0 = 0\,
f_1 = 1\,

se obtienen los siguientes números:

  • f_2 = 1\,
  • f_3 = 2\,
  • f_4 = 3\,
  • f_5 = 5\,
  • f_6 = 8\,
  • f_7 = 13\,

para n = 2,3,4,5,\ldots

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.

Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera a_0,a_1,a_2,\dots es la función f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)f\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}

Cuando esta función se expande en potencias de x\,, los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

\frac{x}{1-x-x^2}=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots

Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

f_{n+2}-f_{n+1}-f_n=0\,

con las condiciones iniciales

f_0=0\, y f_1=1\,

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t^2-t-1=0, y sus raíces son

t=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

f_n=b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n.4

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl}b+d & = & 0 \\ b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)&=&1\end{array}\right\}

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

b=\frac1{\sqrt5},d=-\frac1{\sqrt5}

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5)f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

\varphi=\frac{1+\sqrt5}2

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)f_n=\frac{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^{n}}{\sqrt5}

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional \varphi\,. De hecho, la relación con este número es estrecha.

Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

\left . \begin{array}{rcl}<br /><br /> f_{n} &=& f_{n} \\<br /><br /> f_{n-1} + f_{n} &=& f_{n+1}<br /><br /> \end{array} \right \}

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}

Conociendo a f_0=0 y f_1=1, al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene

(7)\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8)\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_n\\f_n&f_{n+1}\end{bmatrix}

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly5 dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

  • La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,…, lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense «The Field» del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
  • Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17=13+3+1, 65=55+8+2.
  • Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.
  • La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si \textstyle\alpha = \frac{1+\sqrt 5}{2} y \textstyle\beta = \frac{1-\sqrt 5}{2}, entonces
f_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} y f_n\approx\frac{\alpha^n}{\sqrt 5}\,
  • Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
f_n=\frac{f_{n-2}+f_{n+1}}2
  • Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.
f_{n+1}= f_{n} * 2 - f_{n-2}
  • La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n+2 menos uno. Es decir
f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1
  • Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
f_0-f_1+f_2-\cdots+(-1)^nf_n=(-1)^nf_{n-1}-1
f_1+f_3+f_5+\cdots+f_{2n-1}=f_{2n}
f_0+f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1
f_0^2+f_1^2+f_2^2+\cdots+f_n^2=f_nf_{n+1}
f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^2
f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^2-1
Si k\geq1, entonces f_{n+k}=f_kf_{n+1}+f_{k-1}f_n\, para cualquier n\geq0
f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n (Identidad de Cassini)
f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}
f_{n+2}^2-f_{n+1}^2=f_nf_{n+3}

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2}
f_{n+2}^3+f_{n+1}^3-f_n^3=f_{3n+3}
f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi (con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:
f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi)f_{n}
  • El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente
\mathrm{mcd}\left(f_n,f_m\right)=f_{\mathrm{mcd}\left(n,m\right)}
Esto significa que f_n\, y f_{n+1}\, son primos relativos y que f_k\, divide exactamente a f_{nk}\,
  • Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier n\geq0,
f_{n+1}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}
y más aún
f_{3n}=\sum_{j=0}^n\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}2^jf_j
  • Si f_p = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción, f_4=3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
  • La suma infinita de los términos de la sucesión \textstyle\frac{f_n}{10^n} es exactamente \textstyle\frac{10}{89}.
  • La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
  • El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada 15\times10^{n-1} números.

Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como \ldots,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja f_{n-2}\, de la ecuación (3) de donde se obtiene

f_{n-2}=f_n-f_{n-1}\,

De esta manera, f_{-n}=f_n\, si n es impar y f_{-n}=-f_n\, si n es par.

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando n es cualquier número real. La función resultante

f(x)=\frac{\varphi^x-\cos(\pi x)\varphi^{-x}}{\sqrt 5}

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

  • f(0)=0~
  • f(1)=1~
  • f(x)=f(x-1)+f(x-2)~ para cualquier número real x

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión g_0,g_1,g_2,\ldots donde

(9)g_n=g_{n-1}+g_{n-2}\, para n=2,3,4,5,\ldots

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

 \varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}.

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

 \varphi^x=\varphi^{x-1}+\varphi^{x-2}.

…y al de los complejos.

 \varphi^z=\varphi^{z-1}+\varphi^{z-2}.

Una característica notable es que, si g_0,g_1,g_2,\ldots es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

g_n=f_{n-1}g_0+f_ng_1~

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}g_0\\g_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

  • l_0=2~
  • l_1=1~
  • l_n=l_{n-1}+l_{n-2}~ para n=2,3,4,5,\ldots

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

  • La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
\lim_{n\to\infty}\frac{l_{n+1}}{l_n}=\varphi
  • La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
l_n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}
  • La suma de los primeros n números de Lucas es el número que se encuentra en la posición n+2 menos uno. Es decir
l_0+l_1+l_2+\cdots+l_n=l_{n+2}-1
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
l_n=f_{n-1}+f_{n+1}~
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
f_n=\frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}

Algoritmos de cálculo

Cálculo de f_7 usando el algoritmo 1.

Para calcular el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad O(\varphi^n)\,)
función {\it fib}(n)\,

si n<2\, entonces

devuelve n\,
en otro caso

devuelve {\it fib}(n-1) + {\it fib}(n-2)\,

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar f_{n+1}-1 sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión f_n crece tan rápido como \varphi^n, entonces el algoritmo está en el orden de \varphi^n. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular f_{50} este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que \varphi es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de \varphi y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado f_{50}=1.258626903\times10^{10} aún cuando el resultado correcto es f_{50}=12586269025. Este error se hace cada vez más grande conforme crece n.

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par (i,j)\, de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es (j,i+j)\,, de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad O(n)\,)
función {\it fib}(n)\,

i\gets 1
j\gets 0
para k\, desde 0\, hasta n-1\, hacer

t\gets i+j
i\gets j
j\gets t
devuelve j\,

Esta versión requiere efectuar sólo n sumas para calcular f_n, lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular f_{50}.

Calculando f_{100} usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular x^n como

x^n=\begin{cases} x & \mbox{si }n=1 \\ \left(x^{\frac n 2}\right)^2 & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ x\times x^{n-1} & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, \log_2(n) multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores a y b, y su cuadrado se puede calcular como

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}^2 =<br /><br /> \begin{bmatrix}a^2+b^2 & b(2a+b)\\<br /><br /> b(2a+b) & (a+b)^2+b^2\end{bmatrix}

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad O(\log(n))\,)
función {\it fib}(n)\,

si n\leq0 entonces

devuelve 0\,
i\gets n-1
(a,b) \gets (1,0)
(c,d) \gets (0,1)
mientras i > 0\, hacer

si i\, es impar entonces

(a,b) \gets (db + ca, d(b + a) + cb)
(c,d) \gets (c^2 + d^2, d(2c + d))
i\gets i\div 2
devuelve a+b\,

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular f_{100}, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.

Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad de Bejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual se deriva el nombre en francés de esta ciudad, «Bougie», que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.6

Dígitos en la sucesión de Fibonacci

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:

  • Empezando en 1 dígito y «terminando» en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.
  • En los elementos de posición n, n10, n100,…, el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

Divisibilidad

  • Sean n y m enteros positivos. Si el número n es divisible por m entonces el térmimo n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la cita sucesión7
  • Cualquiera que sea el entero m, entre los m^2 - 1 primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 48
  • Si k es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.9 Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.
  • Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí10

Véase también

Referencias

  1. La leyenda que motivó esta sucesión «empezó con una pareja de conejos». Vorobiov: Números de Fibonacci
  2. Laurence Sigler, Fibonacci’s Liber Abaci, página 404
  3. Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
  4. Pareciera que surge de modo natural la raíz cuadrada de cinco, número irracional pura creación humana
  5. Fibonacci Quarterly
  6. (en inglés)T.C.Scott; P. Marketos (2014). «On the Origin of the Fibonacci Sequence». MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  7. Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscú. Esta sección exige que la sucesión empiece con 1 y con 0 (1974)
  8. Vorobiov: Ibídem
  9. Vorobiov: Op. cit
  10. Al ojo se puede comprobar esta proposición, chequeando la lista respectiva

Bibliografía

  • N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas.
  • A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
  • Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.

Fuente: Wikipedia.


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septiembre 30, 2018

Sigue al conejo blanco

Por Clara Grima.

 

–Claramente es un guiño a Alicia en el País de las Maravillas, Ven.

–Vale, profeta, el propio Morfeo le ha dicho a Neo que si toma la píldora roja entrará en la madriguera del conejo blanco y llegará al País de las Maravillas, o sea, a Matrix.

Mati_Naukas_6_

Nuestros amigos Sal y Ven, que han crecido mucho desde la última vez que estuvimos con ellos, han estado viendo, como ya habrás imaginado, la película Matrix. Cuando el mayor, Sal, habla del guiño al libro de Lewis CarrollAlicia en el País de las Maravillas, se refiere a una de las primeras escenas de la película en la que el protagonista, Neo, recibe un mensaje en su ordenador:“Follow the white rabbit” (“Sigue al conejo blanco”). Y ya, no contamos más que no queremos hacer spoiler para aquellos que aún no la hayáis visto.

–No te pongas así, Ven, solo era un comentario por si no te habías dado cuenta.

–Ya, porque tú eres más listo, ¿no?

–Anda ya, no seas susceptible y dramático. ¿Tú que harías en el lugar de Neo? ¿Elegirías la píldora azul y seguirías viviendo en el mundo que conoces sabiendo que no es real? ¿O te tomarías la píldora roja para seguir al conejo blanco?

–Huy, píldoras y conejos blancos… –Mati entraba en ese momento en la sala –. No sé si me va a gustar esta conversación.

–Ay, hola Mati, no te escuchamos entrar. –dijo Ven y se acercó a saludar con un beso a su amiga.

–Hablábamos de Matrix y de las píldoras que Morpheus le ofrece a Neo –añadió su hermano mientras se acercaba a saludar también. Gauss no dijo nada porque estaba dormido, se quedó frito en cuanto empezó la película. Sí, es un perro sin sensibilidad para estas cosas pero le queremos igual, ¿eh?

–Vaya, eso me tranquiliza –dijo la pelirroja guiñando un ojo y añadió–. No quiero que bailéis con ningún conejo blanco.

Los dos hermanos se miraron extrañados uno al otro primero y luego se quedaron mirando con esa misma expresión a Mati.

–Bah, no me hagáis caso, simplemente me acordé de una cosa que no viene al caso.

–Pues ya nos la tienes que contar, ya sabes –apostilló Ven también con un guiño.

–Vaaaale, os la cuento. Tiene que ver con Michael Jackson.

Sal y Ven se miraron mitad sorprendidos mitad expectantes, con las narices arrugadas. Es una pena que Gauss siguiera dormido porque él adora las canciones del rey del pop y siempre movía la cola cuando pronunciaban su nombre. Mati continuó:

–Como sabéis, Michael murió en el verano de 2009 a causa de una sobredosis de medicamentos que le administró su médico personal para que pudiese dormir. Pues bien, parece ser que el detonante para la muerte pudo ser un medicamento, el propofol, que se usa principalmente como anestésico en los hospitales y, por lo tanto, muy potente.

–Muy bien, ¿y qué tiene que ver con el conejo, Mati? –preguntó Ven.

–Ah, eso, claro. Alguna gente le llama ‘bailar con el conejo blanco’ a la sensación que experimentan cuando les inyectan proponol. Supongo,yo no lo he probado ni ganas, que porque sienten que caen por una madriguera hasta que se quedan dormidos. Y, de hecho, cuando juzgaron a Conrad Murray por la muerte de Michael Jackson, en la sala del tribunal alguien, no sabemos quién, dejó un conejo blanco de peluche cerca de donde se sentaba él.

–Vaya historia, Mati –dijo Sal –, ¿todo eso se te viene a la cabeza cuando oyes hablar de un conejo blanco? ¿No es más fácil que te acuerdes solo de Alicia? Los matemáticos sois raros…

Mati estalló en una carcajada y trató de defenderse:

–No, hombre –dijo entre risas –. A los matemáticos si nos hablas de conejos pensamos, ipso facto, en Fibonacci, ¡claro!

–¡Claro! –exclamó Ven –, la sucesión de Fibonacci. Ya me acuerdo. Nos la explicaste con conejos hace tiempo.

–Oh, sí, hace mucho tiempo, eráis muy pequeños… –Mati dejó escapar un suspiro.

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Foto del día en que Mati explicó la sucesión de Fibonacic a Sal y Ven, el 31 de diciembre de 2011.

–Bueno, pero lo que necesito que recordéis hoy es cómo se calculaban los términos de la sucesión, ¿os acordáis?

–Sí, claro –se apresuró a contestar Sal –, se empieza con el 0 y el 1 y a partir de ahí cada término es la suma de los dos términos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.

–No, Mati nos enseñó empezando con 1 y 1 –interrumpió Ven –, porque empezamos con una pareja de conejos. Pero, bueno, da lo mismo, salvo el primer 0 la sucesión es la misma.

pizarra_1

–Ajá, perfecto. Ahora necesito un tablero de ajedrez y una moneda –continuó Mati –. Bueno, algo más simple, una hoja de papel cuadriculado y una moneda.

Ven fue a su cuarto a buscar lo que había pedido Mati, Sal aprovechó para acariciar a Gauss que se acababa de despertar y, bueno, para escaquearse de subir a buscar el papel cuadriculado. Cuando el pequeño bajó con el papel, Mati sacó una moneda y les propuso:

–Os voy a proponer un juego, se llama el juego de Wythoff. Sobre este papel cuadriculado vamos a poner, al azar, nuestra moneda en una de los cuadrados. Por turnos, vais a mover la moneda de alguna de las 3 formas que os propongo: (1) hacia abajo todas las casillas (cuadrados) que queráis, (2) hacia la izquierda todas las casillas que queráis o (3) en diagonal, hacia la izquierda y hacia abajo, todo lo que queráis. Gana el que consiga llegar con la moneda a la meta que está en la casilla más a la izquierda y más abajo, la que he coloreado de rojo.

Wythoff 1
El objetivo es alcanzar la casilla de la esquina inferior izquierda, la que aparece sombreada en rojo.

–Parece fácil… –dijo Ven haciéndose el interesante.

–Aún no he terminado de proponeros el juego –continuó ella –. Os digo que en este juego están escondidos los conejos de Fibonacci, ¿os atrevéis a buscarlos?

–¿Cómo que se han escondido los conejos, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Eso es precisamente lo que tenéis que averiguar, ¿dónde y cómo se han escondido?

–Supongo que te refieres a la sucesión de Fibonacci –apuntó Ven –, pero tampoco se me ocurre cómo. Porque en principio, el número de casillas que elijamos para cada movimiento Sal y yo no tienen por qué seguir ninguna regla, ¿no?

Mati asintió victoriosa, los chicos se quedaron mirando el papel y Gauss ladró solo para reclamar un poco de atención, se había despertado mimoso y nadie le hacía caso. Al cabo de unos minutos, la pelirroja les dijo:

–Os lo voy a contar, no es fácil. De hecho, un pelín rebuscado pero es maravilloso. Lo primero que haremos es preguntarnos si este juego siempre tiene ganador, es decir, ¿la partida puede quedar en tablas? ¿Puede haber empate?

–No, uno de los dos jugadores seguro que gana –dijo Sal –, el juego tiene que terminar, porque solo se puede ir hacia abajo y hacia la izquierda, no se puede volver atrás..

–Eso es –confirmó ella –, por lo tanto tenemos que el juego es finito (no podemos jugar indefinidamente) y no puede acabar en empate. Con estas dos condiciones (finito y sin empate), y gracias a nuestro John Nash, sabemos que para este juego uno de los jugadores tiene siempre una estrategia ganadora: uno de los dos tiene movimientos que le garantizan ganar.

–¿Y cuál es la estrategia ganadora, Mati? –preguntó Ven.

–Eso no nos lo dice Nash pero vamos a construirla nosotros. Paso a paso.

–Vamos –añadió Sal impaciente. Gauss ladró con ganas para insuflar energía a sus dueños.

–Lo primero que haremos –comenzó a decirles Mati –será ponerle nombre a las casillas del tablero para poder referirnos a ella. A la casilla de la meta la nombramos (0,0) y a partir de ella nombramos a las demás con un par ordenado (a, b) en el que a indicará la fila en la que está (comenzando en 0 para la fila de abajo) y b nos dirá en qué columna está (comenzando en 0 para la columna más a la izquierda). Nos quedaría algo así:

Wythoff 2

–Lo que parece claro es que si un jugador deja la moneda sobre la misma fila, sobre la misma columna o sobre la misma diagonal que ocupa la meta, el siguiente gana en un solo movimiento –continuó la pelirroja –. Marcamos esas posiciones en amarillo en nuestra cuadrícula, ninguna de ellas sería una posición deseable para poner la moneda en nuestro turno, porque le daríamos el triunfo a nuestro contrincante. Todas las casillas amarillas serán casillas perdedoras.

Wythoff 3

–Las amarillas son casillas losers –interrumpió Ven haciéndose el chulito.

–Calla, Ven –le cortó su hermano, impaciente por conocer la estrategia ganadora.

–No, me gusta –dijo Mati –: las llamaremos casillas losers porque si dejamos la moneda en alguna de ellas le daremos el triunfo a nuestro adversario.

Ven sonrió de medio lado con aire de triunfador, Gauss se puso al lado de Sal. Él es así, nunca le gustaron demasiado los anglicismos.

–Si os fijáis –siguió ella –, hemos descubierto dos casillas ganadoras: la (1,2) y la (2,1).

–¡Las llamaremos casillas pobediteli! –gritó Sal.

Mati, Ven y Gauss le miraron con los ojos de par en par esperando que explicara por qué ese nombre. El gafotas les dijo:

–Es como se dice ganadoras en ruso, a mí me gusta más en ruso que en inglés.

–¡Pero esa palabra es muy complicada, gafotas! –se quejó el pequeño.

–No, de hecho, he elegido esa que, en realidad, significa ganadores porque ganadoras sería vyigrysh que sí que es más difícil de pronunciar.

–¿Has aprendido ruso, Sal? –le preguntó Mati.

–No, lo he buscado en el traductor de Google mientras coloreabais de amarillos las losers –respondió él y añadió –. Acepto que las llamemos casillas pobes que es más cortito pero inspirado en el ruso, ¿vale, Mati?

–Por mí, está bien, Mati –dijo Ven al que, en el fondo, le molaba la idea de su hermano. Gauss se puso junto a Mati, no tenía una opinión formada sobre adoptar palabras rusas en el vocabulario pero suele ser así, equidistante cuando nota tensión en el ambiente.

–Muy bien –dijo ella –, como os decía hemos encontrado dos casillas ganadoras, digo dos casillas pobes: la (1,2) y la (2,1). Las pintamos en verde.

Wythoff 4

–¿Cómo sabes que son pobes, Mati –preguntó el pequeño que es bastante novelero y había aceptado con gusto la palabra inspirada en el ruso.

–Si consigues llegar con tu moneda a una de ellas ya has ganado, Ven. Tu adversario solo puede alcanzar desde ellas las casillas: (0,2), (0,1), (1,1), (1,0) y (2,0). Las 5 son casillas losers(están coloreadas de amarillo) y en el siguiente movimiento tú llegas a la meta.

–Aaaaah, es verdad… –asintió.

–Por lo tanto –siguió Mati –, caiga donde caiga la moneda, el jugador que llegue a una de las casillas pobes habrá ganado la partida. Las podemos tratar como metas del juego también.

–Eso es… –dijo Sal que se estaba emocionando con el análisis del juego.

–Por la misma razón que antes, si dejamos nuestra moneda en la misma fila, en la misma columna o en la misma diagonal que una pobe, habríamos perdido. Porque eso le daría la opción a nuestro rival a moverse hasta la pobe y ganar. Vamos, entonces, a pintar de amarillo todas las casillas que nos permiten llegar a la casillas (1,2) y (2,1); esto es, las de sus filas, ,sus columnas y sus diagonales hacia arriba y a la derecha.

Wythoff 5

–Todas esas amarillas son losers, ¿verdad, Mati? –preguntó Ven.

–Efectivamente, desde cualquiera de ellas se pueden alcanzar o la meta o las pobes marcadas en verde que dan la victoria. Y, de paso, descubrimos dos nuevas pobes: la (3,5) y la (5,3); las primeras que no conducen ni a la meta, ni a las otras pobes.

Wythoff 6

–Ah, claro –afirmó Ven –, lo veo claro. Si me coloco en la (3, 5) o en la (5,3) mi rival está obligado a moverse a una amarilla que o me lleva a la meta o a otra pobe

–Es lo que acaba de decir Mati, Ven…

–Bueno, vale, gafotas, me lo repetía para afianzar las ideas, ¿vale?

–¿Qué tenemos que hacer ahora, chicos?

–Pintar de amarillo las casillas que pueden llegar a las nuevas pobes –dijo Ven –, esas serían losers porque desde ella llegamos a las pobes y fin, ganamos.

–Eso es –afirmó ella –. Las pintamos.

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–Ya sé cuál son las siguientes pobes, Mati –se apresuró a decir Ven –: la (4,7) y la (7,4).

–Eso es, Ven –dijo Mati –, muy bien.

Wythoff 8

–Y ahora hay que pintar de amarillo, de losers, las casillas de sus filas, sus columnas y su diagonal, ¿no? –preguntó Sal.

–Sí, camarada –respondió Mati con un guiño.

Wythoff 9

–Ajá –dijo Ven –, ahí están las nuevas pobes (6,10) y (10,6). Y fin.

Wythoff 10

–Bueno, fin en este tablero — corrigió Mati –, si el tablero es más grande tendríamos que seguir buscando losers y pobes. Pero pensemos en este tablero, por ahora: la estrategia ganadora consiste en moverte de pobe a pobe.

–Pero esta estrategia ganadora ¿es para el primer jugador o para el segundo? –quiso saber Sal.

–Depende –dijo Mati –. Como os dije al principio, al comienzo del juego la moneda se coloca al azar. Si partimos de una casilla amarilla la estrategia ganadora es para el primer jugador que se moverá a una pobe y ya habrá ganado; si partimos de una casilla verde el primer jugador tiene que moverse a una amarilla con lo cual la estrategia ganadora es para el segundo jugador.

–Sí, claro –continuó Sal –. La gracia está en que de una casilla verde no puedes moverte a una verde pero desde cualquier amarilla siempre puedes llegar a una verde. Por eso, si conoces las casillas pobes y consigues colocarte en una el otro jugador jamás podrá llegar a una casilla verde…

–Eso es –dijo ella –, si pintamos el grafo que modela el juego, las casillas verdes y la meta serían los vértices de lo que se conoce como el núcleo del grafo

–Ya me extrañaba a mí que no hubiese grafo escondido… –se burló Ven.

–¿Ves? No podía defraudarte, Ven, sé que te encantan los grafos –respondió Mati con un guiño –. Vamos a pintar el grafo que representa a este juego pero para un tablero 3 x 3 porque en otro caso no se verían bien las flechas. Tendríamos que poner un punto (vértice) por cada casilla e indicamos con flechas (aristas dirgidas) los posibles movimientos entre casillas para el juego de Wythoff. Nos quedaría algo así:

Digrafo Wythoff 1

–Sí, es verdad, que lío de flechas, Mati –dijo Ven.

–Ya, por eso solo hemos dibujado el grafo para el tablero 3 x 3. En realidad, a este tipo de grafos con flechas, los llamamos grafos dirigidos o digrafos. Por eso, porque las aristas que unen los puntos tienen dirección, son flechas. Pues bien, vamos a colorear de rojo, además de la meta, las dos únicas pobes (casillas ganadoras) que aparecen en este digrafo, que serían las (1,2) y la (2,1):

Digrafo Wythoff 2

–Como os decía esos 3 vértices rojos forman lo que en Teoría de Grafos llamamos el núcleo del grafo porque esos 3 vértices forman un conjunto independiente (no existen flechas entre dos de ellos) y absorbente (desde cualquier punto azul existe una flecha que lo conecta con uno de los rojos) –les dijo Mati.

–Es verdad… –se asombró Ven –, qué guapo.

–Es muy guapo, sí –dijo ella –, sobre todo, porque esta estrategia ganadora, la de moverse en el núcleo del digrafo que modela el juego sirve para cualquier juego que se pueda representar con un digrafo: bastaría con calcular un conjunto núcleo de vértices (de puntos) que contengan al vértice meta u objetivo. Una vez que un jugador accede a un vértice o casilla del núcleo, ya no lo pueden sacar de él.

–¿Seguro? –preguntó Sal-

–Segurísimo –respondió tajante Mati –. Si yo me coloco en un vértice o casilla del núcleo, en el siguiente movimiento tú no puedes llegar a otro vértice del núcleo también, porque forman un conjunto independiente, no están conectados.. Fíjate en el dibujo de nuestro digrafo, de un vértice rojo no se puede llegar a otro vértice rojo.

–Cierto, cierto… –susurró Ven.

–Pero además –continuó ella –, elijas el vértice azul que elijas para moverte yo siempre podré volver, en el siguiente movimiento, al núcleo, a un vértice rojo, porque estos vértices (los rojos, los del núcleo) forman un conjunto absorbente, es decir, desde cualquier punto fuera del núcleo (desde cualquier punto azul) existe una flecha que lo lleva a un punto rojo.

–Qué chulo –dijo Ven ensimismado.

–Lo es, sin duda –confirmó Mati –. Se trata, por lo tanto, de caminar sobre las casillas del núcleo hasta llegar a la meta.

–¿Y no puede ocurrir que entres en un bucle de movimientos entre casillas rojas y no llegues nunca a la meta? –preguntó Sal.

–No, en este juego no, siempre avanzamos hacia la izquierda y hacia abajo.

–¿Y hay más juegos con núcleos de estos, Mati? –preguntó Sal.

–Sí, muchos. De hecho os conté uno de ellos, sin deciros nada del núcleo porque eráis pequeños, pero era eso lo que calculábamos aquí. Las baldosas amarillas eran el núcleo:

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Imagen del capítulo “El primero que diga 51, gana” de este mismo blog . Pincha sobre la imagen si quieres leerlo.

–Ay, qué tramposilla… –dijo Ven a Mati.

–Bueno, te lo estoy contando ahora que eres mayor, ¿no? –respondió la gafotas — La estrategia ganadora del juego de Wythoff también se puede explicar sin hablar de digrafos y núcleos, depende de a quien se la estés contando.

–La verdad es que es todo muy sorprendente, Mati –dijo Sal sonriendo.

–Hey, pero queda mucho más –les advirtió la pelirroja –. Aún no hemos encontrado los conejos.

–¡Es cierto! –gritó Ven — ¿Dónde están?

–Volvamos al juego de Wythoff y a las casillas, ¿cómo se llamaban las ganadoras?, pobes,¿verdad?

–Sí, sí, pobes –dijo el gafotas.

–Vamos a fijarnos en los nombres de las casillas pobes y a analizar algunos aspectos. Lo primero de los que uno se da cuenta es de que si está la casilla (a, b) entre las pobes también estará la casilla (b, a). Es decir, si está (1, 2) está la (2,1), si está la (3, 5) está la (5, 3), etc… Eso es fácil de deducir por la simetría del juego, ¿no? Los movimientos horizontales y verticales son intercambiables.

Los chicos escuchaban con atención, Gauss ladró simplemente porque hacía muchas líneas que no hablábamos de él en este capítulo.

–De hecho, si aparece una casilla pobe en la fila 1, por ejemplo la (1,2), ya sabemos que no habrá otra casilla pobe cuya primera coordenada sea 1, puesto que al aparecer la (1,2)eliminamos (pintando de amarillo) todas su fila. Y también su columna, con lo que sabemos que no habrá ninguna otra pobe con la segunda coordenada igual a 2. También sabemos que no habrá ninguna casilla ganadora o pobe con las dos coordenadas iguales, por ejemplo (20, 20), porque estarían sobre la diagonal de la meta que hemos eliminado (pintando de amarillo) en el primer paso de nuestro análisis de la estrategia ganadora.

Gauss volvió a ladrar. Es un perro egocéntrico.

–Pues bien, para tratar de adivinar qué casillas pobes habría en un tablero más grande que el nuestro vamos a quedarnos con el conjunto de casillas pobes que están por debajo de la diagonal que va desde la meta hacia arriba y a la derecha. Vamos a tratar de construir la sucesión de casillas pobes (ganadoras) para cualquier tablero de cualquier dimensión y para ello construiremos la sucesión de casillas ganadoras bajo la diagonal. Luego solo tendremos que completarla añadiendo las casillas simétricas. Es decir, nos saldrá, por ejemplo, la (1,2)por debajo de la diagonal y sabremos que también estará la simétrica, la (2,1) por encima.

–¡Venga! –animó Ven.

–Para ello vamos a escribir en una tablita las coordenadas de las casillas pobes (por debajo de la diagonal) que ya hemos detectado, ordenándolas según han ido apareciendo en nuestro análisis:

Wythoff 11

–Fijaos bien –les animó Mati –, ¿notáis alguna regla que se repita?

Los chicos estuvieron un rato mirando la tabla hasta que, finalmente, Ven exclamó:

–¡Qué curioso! ¡La segunda coordenada de las casillas pobes es la suma del número de orden de la casilla más la primera coordenada de la casilla!

–Es verdad –confirmó Sal sonriendo –, ¿esto va a ocurrir siempre, Mati?

–Así es, chicos –dijo ella –. Y así saldría si siguiésemos nuestro análisis en un tablero más grande. También podéis observar que no se repite ningún número en las coordenadas por lo que hemos dicho antes: si aparece el 1 como primera coordenada de una casilla ganadora ya no puede aparecer nunca más en la primera coordenada de otra casilla ganadora, porque cada casilla ganadora o pobe es única en su fila. Pero, como el juego es simétrico, si el 1 aparece en la primera coordenada de una casilla ganadora también estará en la segunda coordenada de otra casilla ganadora, su simétrica. Bueno, en nuestro juego salían a la vez la (1, 2) y su simétrica la (2,1).

Gauss gimió de un modo raro. Esta ves no podemos explicar por qué.

–Eso significa –continuó Mati –que en los cuadraditos rojos de nuestra tabla no se va a repetir nunca ningún número, ¿me explico?

–Te explicas –dijeron Sal y Ven al unísono.

–Ahora viene lo más chulo –les anunció –: la primera coordenada de la siguiente casilla pobe,la número 5 por debajo de la diagonal, será el número natural más pequeño que aún no hayamos puesto en la tabla…

–¿El 8? –preguntó el gafotas.

–Sep –dijo Mati.

–Entonces, la siguiente casilla pobe es la (8, 13), ¿no? La segunda coordenada será 8 (la primera) más el número de orden, el 5 –dijo Ven.

–Exacto –confirmó Mati.

Wythoff 12

–Siguiendo esta regla –continuó nuestra amiga matemática –, podemos construir la sucesión de casillas ganadoras o pobes para cualquier tablero:

Wythoff 13

–Qué chulo, Mati… –exclamó Sal.

–Pero, ¿dónde están los conejos de Fibonacci, Mati? –Ven se empezaba a impacientar.

–Espera, tranquilo… –dijo ella –. Vamos a fijarnos ahora en la sucesión de números que aparecen en la primera coordenada por una parte, la llamamos Xn, y en la sucesión de números que aparecen en la segunda coordenada por otra, que llamaremos Yn. ¿Qué observáis?

Wythoff 14

–Que ninguna de ellas es la sucesión de Fibonacci –dijo Ven torciendo el morro decepcionado.

–Efectivamente, ninguna de ellas es la de Fibonacci, Ven –siguió ella –, pero son lo que se llaman en Matemáticas dos sucesiones complementarias. Es decir, si las unimos tenemos todos los números naturales (los que sirven para contar) y no se repite ningún número al unirlas.

–Maravilloso… –bromeó Ven.

–Sí, lo es, Ven –continuó ella –. Y sabemos que son complementarias por las propiedades del juego de Wythoff, por las propiedades de las casillas ganadores o pobes como las llama el camarada Sal.

–¿Y los conejos? –insistió el pequeño.

–Deja terminar a Mati, Ven, por favor –intervino Sal.

–Veréis, resulta que existen unas sucesiones complementarias muy especiales que reciben el nombre de sucesiones de Beatty, en honor a Samuel Beatty, que escribió acerca de ellas en 1926. Las sucesiones de Beatty se construyen a partir de un número irracional (un número que no se puede expresar como fracción de 2 números enteros) mayor que 1, llamémosle r, de la siguiente manera:

–¿Qué son esas rayitas, Mati, que pones en las letras? –preguntó Sal.

–¿⌊r⌋? Ah, es cierto, no lo he explicado. ⌊r⌋ es la parte entera de un número por defecto, o sea, lo que nos queda al borrar sus decimales. Por ejemplo, ⌊π⌋ sería 3, lo que nos queda de πcuando le quitamos sus decimales.

–Podemos calcular las sucesiones de Beatty con π, ¿no? –preguntó Sal —π es un número irracional y es mayor que 1.

–Claro, π nos vale –dijo Mati –, y si hacemos las sucesiones de Beatty asociadas al número π,es decir r = π=3.14159265359… s= π/( π-1) = 1.46694220692…, nos queda:

Wythoff 16

–¿Veis? Los números naturales que faltan en la sucesión Br están, como por arte de magia, en la sucesión Bs –dijo Mati –, ¿no os parece maravilloso?

–Sin duda –respondió Sal con una enorme sonrisa.

–¿Y si lo hacemos con √2? –preguntó Ven –Es otro irracional mayor que 1.

–Vamos a hacerlo –dijo Mati –: r = √2= 1.41421356237 y s= √2 / (√2-1)= 3.41421356237, nos queda:

Wythoff 17

–Huy, cómo se parece la Brde √2 a la Bs de π, ¿no? –exclamó el pequeño.

–Bueno, pero son diferentes –puntualizó su hermano.

–Sí, sí –apostilló Mati –, cada irracional tiene sus propias sucesiones de Beatty. Eso es seguro.

En ese momento Gauss… no sabemos qué estaba haciendo el can porque, honestamente, estábamos todos esperando a que Mati sacara, por fin, los conejos de Fibonacci de su chistera matemática.

–Bueno, chicos –les dijo –, recapitulemos un poco. Comenzamos buscando una estrategia ganadora para el juego de Wythoff y hemos construido la sucesión de casillas ganadoras para el juego; descubrimos entonces que la sucesión de las primeras coordenadas de las casillas y la sucesión de las segundas coordenadas de las casillas eran sucesiones complementarias, ¿no? –Los niños y Gauss asintieron con vehemencia –. Por otra parte, hemos visto que las sucesiones de Beatty son también complementarias y que cada número irracional tiene las suyas propias. La pregunta que se nos viene inmediatamente a la cabeza es: ¿existe algún número irracional de forma que sus sucesiones de Beatty sean, precisamente, las sucesiones del juego de Wythoff? Y la respuesta es… –pausa dramática de la pelirroja.

–¡¡Suéltalo, Mati!! –gritaron los chicos.

–La respuesta es sí, existe un irracional cuyas sucesiones de Beatty son las del juego de Wythoff –dijo Mati triunfante –. Y lo más maravilloso de todo es que ese irracional es, nada más y nada menos, que ¡¡φ, la razón aúrea!!

–¡¡WOW!! –exclamó Sal

–¡¡Toma, toma, toma!! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Oye, Ven –dijo su hermano –, hacía mucho tiempo que no te escuchaba decir eso de “toma, toma, toma”.

–Bueno, es que hace mucho que no venía por este blog, tú sabes… –respondió Ven.

–¿Os acordáis de la razón aúrea, verdad, chicos? –les interrumpió Mati.

–Claro, Mati –dijo Ven –, nos lo contaste hace tiempo.

Esta es la razón aúrea, un número irracional muy especial al que le dedicamos uno de nuestros primeros capítulos. Pincha sobre la imagen si quieres leerlo.

Esta es la razón aúrea, un número irracional muy especial.
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–Bueno, entonces, ya tenéis los conejos –dijo ella.

–No entiendo –dijo Ven un poco mosqueado –. ¿Dónde están los conejos?

–Dentro de la chistera aúrea –respondió ella guiñando un ojo.

Los niños se quedaron un rato pensando con los ojos arrugados, Gauss también arrugó los ojos pero por puro postureo. Al cabo de un par de minutos Sal exclamó:

–¡¡Claro!! ¡¡Lo tengo!! φ se obtiene dividiendo cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior, bueno, quiero decir, que cada vez el resultado de esas divisiones se irá pareciendo más a φ . También nos lo contaste hace tiempo.

razon aurea 2

–¡¡TOMA, TOMA, TOMA!! –gritó Ven levantando en brazos a Gauss que lo miraba de soslayo porque estaba indignado con que no le hicieran caso hace rato.

–¿Veis? –preguntó Mati con aire de triunfadora — Os dije que este juego nos llevaría a la madriguera del conejo blanco.

–Del conejo no, Mati –la corrigió Sal –, de los conejos blancos de Fibonacci, ¡infinitos conejos blancos!

–Tienes razón –dijo ella y concluyó –. Pero de lo que no hay duda es de que las matemáticas siempre nos llevan al País de las Maravillas.

FIN

Referencia: Wythoff, W. A. “A Modification of the Game of Nim.” Nieuw Arch. Wisk. 8, 199-202, 1907/190

Fuente: mati.naukas.com

conejo blanco de alicia


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Matemáticas, ¿para qué?

septiembre 29, 2018

Para qué sirven las matemáticas

Por Francisco R. Villatoro.

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Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos en “The unplanned impact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British Society for the History of Mathematics.”

Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias cumplen 2 = 2 = 2 = ijk= –1.

Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter Guthrie Tait (1831–1901), profesor de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) pasó más de 38 años discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo vectorial, que a finales del siglo XIX eclipsó a los cuaterniones y los matemáticos del siglo XX, en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones. Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales. En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además de en gráficos por ordenador. Al final del s. XX, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine (más de 100 mil millones de dólares en 2010).

Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”

En 1907, Albert Einstein formuló el principio de equivalencia, un paso clave para el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Su idea es simple en extremo, que los efectos de una aceleración son indistinguibles de los efectos de un campo gravitatorio uniforme, o dicho de otro modo, que la masa como “carga” gravitatoria y la masa inercial son equivalentes. Esta idea llevó a Einstein a concebir la gravedad como una curvatura del espaciotiempo. En 1915 publicó las ecuaciones de su teoría general que indican cómo la materia curva el espaciotiempo circundante. Las matemáticas que utilizó tienen su origen a mediados del siglo anterior. Bernhard Riemann introdujo los fundamentos de la geometría diferencial en 1854, en la defensa de su tesis de habilitación (una especie de tesis doctoral que era requisito para impartir clases en la universidad). Introdujo la geometría diferencial de espacios (hipersuperficies) de n dimensiones, llamadas variedades, y las nociones de métrica y curvatura. En los 1870, Bruno Christoffel extendió las ideas de Riemann e introdujo las conexiones afines y el concepto de transporte paralelo. El cálculo diferencial en variedades (o cálculo tensorial) alcanzó altas cotas de abstracción con los trabajos de Gregorio Ricci-Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita (entre 1880 y los inicios del s. XX). Pero estas ideas tan abstractas no tenían ninguna aplicación práctica hasta que Albert Einstein en 1912, con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossman decidió utilizar este cálculo tensorial para articular su profunda visión física sobre el espaciotiempo. Gracias a las variedades de Riemann en cuatro dimensiones (tres para el espacio y una para el tiempo), Einstein revolucionó nuestras ideas sobre la gravedad y sobre la evolución del universo. Las ecuaciones de Einstein no tenían ninguna solución estática, por lo que Einstein introdujo en 1917 una término adicional, la constante cosmológica con objeto de compensar la expansión natural del universo. Tras los trabajos teóricos de otros físicos, como Alexander Friedmann en 1922, y los resultados experimentales de Edwin Hubble, Einstein decidió en 1931 eliminar la constante cosmológica y calificar su inclusión como “el mayor error de su vida.” Hoy en día, tras la gran sorpresa de 1998, el concepto de energía oscura ha reintroducido la constante cosmológica.

Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”

En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.

Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que se besan, planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial? En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que esperar al trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953. Oleg Musin demostró en 2003 que el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como demostró Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560. Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres dimensiones y utilizan empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos, la red E8 en 8 dimensiones y la red de Leech en 24 dimensiones.

Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem utilizando estos empaquetamientos de esferas multidimensionales. El problema de la comunicación analógica en una línea telefónica es el ruido. En una conversación entre dos personas el lenguaje natural es tan redundante que el ruido importa poco, pero para enviar datos es necesario introducir ciertas redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce el ancho de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por segundo). Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar al máximo el ancho de banda. Para ello utilizó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (más tarde también se utilizó el de Leech). En la década de los 1970, el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo temprano de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en su trabajo, dijo que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran sido manchadas de esta manera por las aplicaciones.”

Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”

En 1992, dos físicos propusieron un dispositivo simple para convertir las fluctuaciones térmicas a nivel molecular en un movimiento dirigido: un motor browniano (Brownian ratchet) basado en alternar el encendido y el apagado de cierto campo. En 1996, la esencia matemática de este fenómeno fue capturada en el lenguaje de la teoría de juegos por la paradoja de Parrondo. Un jugador alterna dos juegos, en ambos juegos por separado la esperanza a largo plazo implica perder, sin embargo, alternar ambos juegos permite lograr a largo plazo una victoria. En general, se utiliza el término “efecto de Parrondo” para describir el resultado dos pruebas que combinadas logran un resultado diferente al de dichas pruebas individuales. El “efecto Parrondo” tiene muchas aplicaciones, como en el control de sistemas caóticos ya que permite que la combinación de dos sistemas caóticos conduzca a un comportamiento no caótico. También puede ser utilizado para modelar en dinámica de poblaciones la aparición de brotes de enfermedades víricas o en economía para predecir los riesgos de ciertas inversiones en bolsa.

Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”

En el siglo XVI, Girolamo Cardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna, “Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).

En el siglo XVII, Jakob Bernoulli reconoció que la teoría de la probabilidad podría aplicarse mucho más allá de los juegos de azar. Escribió “Ars Conjectandi” (publicado después de su muerte en 1713), que consolidó y amplió el trabajo en probabilidad de Cardano, Fermat, Huygens y Pascal. Bernoulli probó la ley de grandes números, que dice que cuanto mayor sea la muestra, más se parecerá el resultado muestral al de la población original. Las compañías de seguros deben limitar el número de pólizas que venden. Cada póliza vendida implica un riesgo adicional y el efecto acumulado podría arruinar la empresa. A partir del siglo XVIII, las empresas de seguros comenzaron a utilizar la teoría de probabilidades para sus políticas de ventas y para decidir los precios de los seguros con objeto de garantizar beneficios a largo plazo. La ley de Bernoulli de los grandes números es clave para seleccionar el tamaño de las muestras que permiten realizar predicciones fiables.

Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”

Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.

Pero en la década de 1990, las aplicaciones prácticas de la topología comenzaron a aparecer. Lentamente al principio, pero ganando impulso hasta que ahora parece que hay pocas áreas de la ciencia en las que la topología no se utilice. Los biólogos utilizan la teoría de nudos para comprender la estructura del ADN. Los ingenieros en robótica utilizan la teoría para planificar las trayectores de los robots móviles. Las bandas de Möbius se utilizan para obtener cintas transportadoras más eficientes. Los médicos utilizan la teoría de la homología para hacer escaneos cerebrales y los cosmólogos las usan para comprender cómo se forman las galaxias. Las empresas de telefonía móvil utilizan la topología para identificar los lugares donde no hay cobertura de la red. E incluso en computación cuántica se están utilizando hilos trenzados para construir ordenadores cuánticos robustos. La topología permite usar los mismos teoremas para resolver problemas muy diversos, desde el ADN a los sistemas de GPS (Sistemas de Posicionamiento Global). ¿Hay alguna aplicación práctica donde no se utilice la topología?

Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”

Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y otros en el siglo XVIII para estudiar la dinámica de las vibraciones de cuerdas y para estudiar los movimientos de los cuerpos en mecánica celeste. Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, reconoció la gran utilidad práctica de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a desarrollar una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de Fourier se utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica, hasta los circuitos eléctricos. En la actualidad, los métodos de Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la ingeniería modernas, en especial de las técnicas computacionales.

Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo XIX eran inadecuadas para el desarrollo riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número de problemas de carácter técnico que desafiaron a muchas de las grandes mentes de la época. Costó mucho desarrollar nuevas técnicas matemáticas para poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función. Bernhard Riemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900 obtuvieron nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia de series infinitas resultó muy resbaladiza al principio, pero se logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, que trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la década de 1870, los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los conjuntos se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son iguales pero cuyas series de Fourier son idénticas.

En la primera década del siglo XX, el concepto de espacio de Hilbert fue clave para entender las propiedades de las series de Fourier. El matemático alemán David Hilbert y sus colegas definieron estos espacios de forma axiomática, algo que parecía muy alejado de las aplicaciones prácticas. Sin embargo, en la década de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac y John von Neumann reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica, ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta clase de espacios de Hilbert. La mecánica cuántica es la teoría científica más exitosa de todos los tiempos. Sin ella, gran parte de nuestra tecnología moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de pantalla plana, la energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las series de Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo XX, y acabarían conduciendo a la energía nuclear.

Fuente: francis.naukas.com

matemáticas


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Felicidad y salud van de la mano

septiembre 28, 2018

Estar sano tiene mucho que ver con ser feliz

El impacto de una vida feliz sobre la salud de las personas.

felicidad

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Felicidad y salud van de la mano

Investigaciones recientes han mostrado que felicidad y salud son dos aspectos en la vida que van de la mano. Aquellos que son más felices tienden a ser más sanos, o podríamos decir que las personas más sanas tienden a sentirse más felices.

No sabemos qué es primero, si la salud o la felicidad, pero lo que sí sabemos es que ambas se asocian fuertemente y que podrían constituir un círculo virtuoso.

Los estilos de vida tienen mucho que ver en todo esto. Se les define como patrones de comportamiento grupales que se ven fuertemente influido por la sociedad. Pues bien, los estilos de vida interactúan entre ellos e incluso puede reforzarse entre sí. Hablamos por ejemplo de situaciones en las que uno deja de fumar y hace más actividad física; o en las que se alimenta mejor y, además, mejora su estado de ánimo. Se trata pues de círculos virtuosos porque benefician a la salud.

Sin embargo, podríamos también caer en la situación contraria. Dejar de alimentarse bien, engordar y deprimirse. En este caso estamos ante un círculo vicioso porque ponen en riesgo la salud.

Los cambios que las sociedades han experimentado en el último siglo como consecuencia de la innovación tecnológica y de los nuevos modelos de organización de nuestra vida han afectado de lleno a nuestras formas de relacionarnos y comportarnos.

El canadiense Marc Lalonde indicó hace casi cuatro décadas que nuestra salud está condicionada por cuatro determinantes:

  • la herencia biológica,
  • el sistema sanitario,
  • el medio ambiente y
  • los estilos de vida.

Uno de los aportes más interesantes de su planteamiento es que mientras el sistema sanitario requiere de un alto presupuesto para influir en el estado de salud, y lo hace especialmente en la recuperación de la salud ante una enfermedad.

Sin embargo, los cambios en los estilos de vida pueden tener una influencia mucho más profunda en el bienestar y la calidad de vida de las personas. Y más que grandes presupuestos, para fomentar estilos de vida saludables las herramientas principales son la promoción de la salud y la educación para la salud.

Las razones de estas asociaciones son aun fruto de investigación. Todavía no están claros los mecanismos mediante los cuales la felicidad o la satisfacción con la vida podrían influir en la salud física de las personas pero es posible que los más felices lleven estilos de vida más saludables, lo que los protege de padecer enfermedades crónicas. A la vez es posible que un buen estado de salud actúe como propulsor de felicidad.

Aún queda mucho por saber, pero lo que sí es claro es que salud y felicidad van de la mano, y que aprendiendo a cultivar con pequeños detalles cotidianos la alegría, el optimismo y la gratitud, podría ser posible alcanzar mayores niveles de felicidad y de satisfacción vital, favoreciendo de esta manera no sólo la salud emocional sino también la salud física de las personas. A fin de cuentas estamos hablando del respeto por el propio cuerpo, por la vida y por la sociedad misma.

Fuente: dolartoday.com


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Los peligros de la Homeopatía

septiembre 28, 2018

Homeopatía, el error fatal de Rosa

Con 41 años, la economista decidió tratarse un cáncer con homeopatía. A los tres años murió. No es el único caso.

Rosa, en una foto del archivo familiar. 
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“Todos aprendemos de nuestros errores”, le dijo Rosa a su oncóloga pocas semanas antes de morir. Desde que se notó un bulto en el pecho, decidió poner su salud en manos de médicos que practican pseudoterapias. Al cabo de un tiempo, el bulto había multiplicado por cuatro su tamaño. En un año padecía dolorosas metástasis en los huesos. Dos años después, moría sufriendo nuevos tumores en su deteriorado cuerpo, un declive físico que estremece cuando lo describe su hermana: «Si le hubieran contado y mostrado gráficamente cómo iba a ser el final, tal como se hace en las cajetillas de tabaco, quizás todo habría sido diferente».

«Difundimos su historia con la esperanza de que sirva para evitar otras muertes innecesarias», explica la hermana de Rosa

También Mario Rodríguez, que renunció a la quimioterapia, lamentó poco antes de morir: «Papá, me he equivocado». Rosa no tuvo una segunda oportunidad, Mario tampoco. Pero quizá la sociedad española esté a tiempo de aprender de sus errores. Y no solo del de Rosa y Mario. Desgraciadamente, conocemos casos de más pacientes que han muerto en circunstancias parecidas, según cuentan familiares y médicos que se encontraron con tumores desbocados por falta de tratamiento médico. Son casos que afectan a familias de distinta capacidad económica, con circunstancias vitales muy diversas y que se han dado por toda España. Nadie es inmune a caer en el engaño y sus historias lo demuestran, pero se pueden identificar las pautas que les llevaron a ese equívoco que cuesta la vida. Y en algunos de estos casos se repite un denominador común: la homeopatía. «Difundimos su historia con la esperanza de que sirva para evitar otras muertes innecesarias», explica la hermana de Rosa, que no quiere dar su nombre. Y reclama: «Si la homeopatía no cura el cáncer, los médicos que ejercen como homeópatas deberían estar más vigilados por las autoridades».

La tragedia de Rosa Morillo comenzó en febrero de 2014, cuando tenía 41 años, tras palparse un bulto de un centímetro en el pecho. En la exploración médica se le recomienda estudiarlo, pero ella opta por buscar una segunda opinión. Economista con brillante expediente y políglota de cuatro idiomas, Rosa llevaba «toda la vida» interesada en pseudoterapias como la homeopatía, e incluso se había formado para practicarlas. Las facturas reflejan que ese mismo mes de febrero visitó a una ginecóloga, médica colegiada, que recomendó que no se hiciera nada más, solo tratarse con homeopatía. El tumor creció de forma natural en ese periodo en el que solo se le combatió con bolitas de azúcar y agua, que es lo que constituyen estos falsos remedios. Rosa fue consciente del error cometido en este momento clave y quiso actuar contra la doctora, porque se sentía víctima de una negligencia: «Haberle hecho caso me va a costar un pecho», reconoció a su familia. En lugar de atacar el bulto al detectarlo, pasó meses sin hacer nada útil para combatirlo.

Un año después, el cáncer se había extendido a la piel, los huesos y la médula, porque Rosa sí se extirpó el bulto del pecho, pero no se había dado quimioterapia. Sus argumentos contra la quimio surgen de esas publicaciones que ha leído y por eso sigue manifestando preferencia por los tratamientos alternativos («naturales») a las recomendaciones de sus médicos del Hospital de La Paz, en Madrid. «La enfermedad había hecho mella en su capacidad para razonar», señala su hermana. Los médicos del hospital que siguen su evolución anotan también su relación con la pseudomedicina: «Inicia seguimiento por oncólogo-homeopático (Dr. Martí Bosch)». Rosa ha sabido de la existencia de este médico a través de Discovery DSalud, una revista de conspiraciones sanitarias que actúa como altavoz y páginas amarillas de todo tipo de curanderos y pseudoterapias peligrosas; ella había comprado hasta los libros que editan. En concreto, había visto allí a Alberto Martí Bosch explicar cómo debe tratarse el cáncer con dieta, suplementos vitamínicos y baños de sal marina. Se le presenta como oncólogo infantil, aunque no está colegiado con esa especialidad. Al contactar con su consulta, aseguran que tiene una gran lista de espera, pero que hará una excepción con ella, una treta habitual que se repite en otros casos. Las fechas de las recetas que este doctor le prepara a Rosa coinciden con lo que ella comunica en el hospital.

Tras encontrarse un bulto de un centímetro en el pecho, visitó a una ginecóloga, médica colegiada, que recomendó que no se hiciera nada más, solo tratarse con homeopatía

Entre agosto y noviembre de 2016, este naturópata le receta siete preparados homeopáticos (para «mama», «ganglios», «piel», «huesos» y «estimulante inmunológico»), seis preparados fitoterapéuticos y cinco ortomoleculares (vitaminas), más «hidroterapia» (bañarse en agua caliente salada) y «tratamiento con oligoelementos». Entonces llegaron «unos análisis de sangre milagrosos en los que el número de glóbulos rojos había aumentado supuestamente», según relata su hermana. Le dijeron estar sorprendidos con semejante mejora y que pocas veces habían visto una recuperación así: “La vie en rouge, escribió mi hermana en su WhatsApp junto con una foto de unas células color bermellón». Un mes después, los médicos de La Paz certifican que en realidad el cáncer se ha extendido más y recomiendan quimioterapia, que Rosa vuelve a rechazar.

En primavera de 2017, la extensión del cáncer y el deterioro físico es tal que acepta tratarse puntualmente con radioterapia. La situación es tan desgarradora que la familia prefiere que no se publiquen los detalles. Rosa fallece en mayo de 2017, tras encadenar pseudomedicinas y tratamientos sin aval científico, aconsejados por dos médicos colegiados que recetan homeopatía a pacientes con tumores. En ese momento, su familia decide denunciar su caso ante la Organización Médica Colegial. Precisamente este órgano de representación de los médicos ha lanzado un Observatorio contra las Pseudociencias donde reciben un goteo diario de denuncias de casos similares.

Lo que le ocurrió a Rosa es muy similar a lo relatado por un médico de familia de la Osakidetza vitoriana, Iñaki Aguirrezabal, que recibió a una paciente de 56 años con un tumor que había consumido por completo el pecho. «Todo era tumor, la mama izquierda había desaparecido. Hasta ella me recordaba tiempo después la cara que puse al verlo», cuenta Aguirrezabal. La paciente llevaba dos años tratándoselo únicamente con las recomendaciones de su homeópata en Francia, al que ya acudía antes del cáncer. Como Mario y Rosa, se arrepintió de su decisión: «Se echaba la culpa de no haber hecho algo antes y haber usado solo homeopatía», explica el médico. «Reconoció que se había equivocado, pero no culpaba a su homeópata», lamenta. Como en los otros casos, el arrepentimiento llegó tarde: el tumor del pecho respondió bien a la quimio, pero tenía metástasis y falleció pasados unos meses.

Recientemente, un oncólogo de un hospital de Girona relataba una tragedia muy similar: una mujer con el pecho «totalmente putrefacto» por haberse desatendido por completo un tumor (solo consumía pseudoterapias) y que moría poco después de acudir a los médicos. Un caso que está siendo investigado por la Generalitat y el Colegio de Médicos. El mes pasado, una joven de Hondarribia denunciaba a un curandero al que responsabiliza de la muerte de su madre, que no se trató un cáncer de ano por seguir las recomendaciones de este falso terapeuta. En muchos de los casos, el entorno de las víctimas habla de un momento de especial debilidad, tras el diagnóstico, en el que el miedo puede arrastrar a estas personas a tomar una mala decisión.

Un médico sin formación en oncología le recetó numerosos preparados homeopáticos y aseguró que gracias a ello se había mejorado enormemente. Un mes después, se comprobó que en realidad el cáncer se había extendido

La madre del joven Mario Rodríguez, que murió en 2013 tras abandonar la quimioterapia, también llegó hasta su curandero por la misma revista de bulos médicos, Discovery DSalud. Y su curandero, que en este caso no cuenta con ninguna titulación sanitaria, también le obligaba a seguir un estricto, amplio y detallado tratamiento de vitaminas y otros preparados completamente ineficaces contra la leucemia y que incluso estaban contraindicados con el tratamiento médico. Mario estudiaba para físico, nada ajeno al método científico, del mismo modo que Rosa era una persona de gran formación intelectual. Caer en el engaño no tiene nada que ver con conocimientos o inteligencia del sujeto.

Al jurista José María Illán, la prescripción de homeopatía estuvo a punto de costarle la vida. Aconsejado por una médica colegiada en Murcia, cercana a su familia, Illán cambió los medicamentos para vigilar su salud cardiovascular que le había recomendado el médico por homeopatía. «A mí me hacía una receta una doctora y yo iba a la farmacia a comprarlo. Cómo iba a saber que me podía costar la vida», explica. En 2011, Illán sufrió un infarto y, tras recuperarse, se le recetaron unas pastillas que ayudaran a su organismo a mantener la circulación en las arterias. Pero al cabo de un mes, comenzó a sentirse mal y, tras una revisión de los cardiólogos, le acusaron de no estar tomando la medicación porque no era normal un deterioro arterial de esa magnitud en tan poco tiempo. Él les respondió que sí se estaba medicando, pero no exactamente con la que me recetaron, sino con una alternativa de homeopatía que le recomendó esta doctora. «Usted se está suicidando», le dijeron. Ahora sufre numerosas secuelas, ha tenido que ser intervenido recientemente y abandonó su profesión por incapacidad total.

Cuéntanos tu caso: [email protected]


UNA CONFUSIÓN PELIGROSA

La mitad de los españoles cree que la homeopatía funciona, al menos, «algo», según la última encuesta la de Fundación para la Ciencia y la Tecnología (Fecyt). Como señala José María Illán en el reportaje, si lo recetan médicos y lo despachan en farmacias, es natural que los pacientes se confundan sobre su verdadera utilidad. Sobre todo si además las autoridades le otorgan la consideración de «medicamento» y no se hace nada por explicar la falta de evidencia de estas pseudomedicinas.

Pero esta confusión puede ser muy peligrosa, a juzgar por una serie de estudios realizados por investigadores de la Universidad de Yale. Tras analizar la evolución de pacientes de cáncer que usan pseudoterapias, las conclusiones no pueden ser más pesimistas: como es natural, optar por pseudociencias en lugar de los tratamientos médicos multiplica enormemente las posibilidades de morir. Pero no solo eso, también aumentan su riesgo de morir los pacientes que optan por ambos tratamientos: el real y el pseudoterapéutico. ¿Por qué? Porque algunos de quienes complementan su cuidado médico con las llamadas ‘terapias alternativas’, como la homeopatía, terminan abandonando el tratamiento o renunciando a algún procedimiento, ya sea una operación, una serie de quimioterapia, etc. Así, el 34% de quienes las usan renuncian a la quimio frente al 3,2% de quienes no las usan; el 53% no se somete a radioterapia, frente al 2,3%; y el 33,7% no se trata con terapia hormonal, frente al 2,8% de la población normal. Es decir, que es el uso de estas terapias se asocia de una manera importante con la idea de no cumplir con todas las recomendaciones de los médicos que tratan de salvar su vida. Por ello, son los propios investigadores de Yale los que concluyen que el uso de pseudoterapias pone en riesgo la vida de los pacientes de cáncer.

ADVERTENCIA IMPORTANTE: El contenido de esta página web es únicamente de carácter informativo general. No brinda consejos ni indicaciones médicas. Recuerde siempre, en caso de necesitar mayor información de carácter médico, como ser consejos, indicaciones sobre tratamientos o detalles sobre el diagnóstico, dirigirse a un profesional de la salud.


Fuente: elpais.com, 2018.


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Michael Atiyah presentó su solución a la Hipótesis de Riemann

septiembre 24, 2018

Un prestigioso matemático asegura que resolvió uno de los problemas más famosos de la historia

El británico Michael Atiyah presentó su solución a la hipótesis de Riemann. Si se demuestra que es correcta, podría ganar un millón de dólares.  

Michael Atiyah, el matemático británico que asegura haber resuelto uno de los problemas más antiguos de la historia.
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El matemático británico Michael Atiyah presentó este lunes, durante una conferencia dictada en un congreso en Heidelberg (Alemania) una posible solución a uno de los problemas más famosos de la disciplina, la demostración de la célebre hipótesis de Riemann, planteada en 1859.

Bernhard RiemannLa hipótesis, que debe su nombre al matemático alemán Bernd Riemann y con un planteamiento cuya comprensión exige cierta formación matemática, tiene implicaciones para la comprensión de la distribución de los números primos, lo que, a su vez, puede tener repercusiones para las técnicas de seguridad informática.

La demostración de la conjetura de Riemann está entre los llamados problemas del milenio, definidos en 2000 por el Clay Matematic Institut que ofrece un premio de un millón de dólares por la solución de cada uno de ellos.

Desde entonces, el único que se había resuelto -hasta ahora- era la demostración de la hipótesis de Poincaré lograda por el ruso Grigori Perelman que, tras lograr la hazaña, no quiso aceptar ni el millón de dólares ni la medalla Fields, algo así como el Nobel de las matemáticas, y en cambio abandonó la vida científica.

El caso Perelman es un ejemplo de la cercanía entre la genialidad y la locura que se ve en algunos matemáticos

Atiyah (segundo dsede la derecha) con los reyes de Noruega en 2004, cuando le dieron el premio Abel (EFE)

Atiyah (segundo desde la derecha) con los reyes de Noruega en 2004, cuando le dieron el premio Abel.
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El problema también formaba parte la llamada lista de Hilbert, elaborada por David Hilbert en 1900, y que muchos matemáticos tienen permanentemente en la cabeza.

Para determinar si la demostración ofrecida por Atiyah es correcta o no habrá que esperar las reacciones de la comunidad matemática y la publicación de la misma, previa revisión de expertos en busca de posibles inconsistencias, en una revista especializada. En 2015, un matemático nigeriano también había anunciado la resolución del problema, pero fue luego desestimado. Y lo mismo ocurrió 13 años antes con un paquistaní. 

En todo caso, la charla ofrecida este lunes por Atiyah provocó gran expectativa porque en el programa del congreso se advertía que presentaría una «demostración simple» de la hipótesis de Riemann a través de una nueva aproximación radical.

El anunció despertó en medio mundo una lluvia de tuits y de preguntas, y la conferencia de Atiyah se siguió por diversos canales, muchos de los cuales no dieron abasto. Investigador en la Universidad de Edimburgo, Atiyah tiene 89 años y recibió varios reconocimientos, entre ellos la Medalla Fields y el premio Abel, y la orden del mérito del Gobierno británico. 

En la charla, Atiyah hizo primero un repaso de la historia de la confrontación de las matemáticas con los números primos, desde Euclides hasta Robert Langland y señalando que la hipótesis de Riemann era lo que ofrecía una mejor posibilidad de solución para encontrar una estructura en la distribución de los mismos.

El matemático y otros científicos en 2009 con la reina Isabel II. El investigador fue reconocido con la Orden del Merito (AP)

El matemático y otros científicos en 2009 con la reina Isabel II. El investigador fue reconocido con la Orden del Merito.
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Su aproximación al problema -el manuscrito ha empezado a circular en las redes- es como una especie de asalto al mismo desde otro ámbito de las matemáticas.

El problema, a través del cual Atiyah llegó a su propuesta de demostración de la hipótesis de Riemann, tenía que ver con la física, concretamente con la función de Todd.

Atiyah, en apenas media página, muestra que si hubiera un contraejemplo que refutase la hipótesis de Riemann, entonces habría una contradicción en la función de Todd y a partir de ello concluye que Riemann tenía razón.

Las primeras reacciones han oscilado entre el entusiasmo y el desconcierto. Muchos, durante la conferencia en la que se demoró en antecedentes históricos, se preguntaban cuando iba a empezar con la demostración. Algunos incluso la pasaron por alto y otros no estaban muy seguros de que aquello a lo que habían asistido era la solución de uno problema matemático centenario.

Al final, alguien del público, le preguntó a Atiyah si creía que estaba seguro de ganarse el millón de dólares. Sí, estaba seguro. Ahora habrá que esperar la voz de los expertos.

Sin embargo, en muchas redes sociales se percibe cierto grado de escepticismo por parte de matemáticos, para muchos la demostración resulta demasiado simple para ser correcta.

Sin embargo, también se alegran de que Atiyah, con la expectativa que despertó, les de una oportunidad de hablar de matemáticas y en algunos institutos se han organizado incluso «seminarios express» sobre la hipótesis de Riemann.

—Fuente original: EFE

Fuente: Clarín, 24/09/18.

Riemann


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Cómo promocionar tu negocio de Network Marketing

septiembre 21, 2018

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¿Cuál es la causa del crecimiento económico de Chile?

septiembre 21, 2018

Detener el progreso ¿beneficia a los postergados?

El crecimiento económico y no las políticas de distribución han mejorado las condiciones de vida de los más pobres en Chile.

Por Hernán Büchi.

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El Gobierno actual llevó al país a un estancamiento de su progreso económico. Lo hemos expresado con anterioridad y aun suponiendo un mayor dinamismo hacia fin de año, ningún antecedente surgido en el último tiempo augura un cambio dramático que modifique ese diagnóstico. Por el contrario, todos lo ratifican.

Reconociendo en parte esta realidad -pero sin aceptar la gravedad que reviste- los defensores de la actual gestión la justifican indicando que se han sentado las bases para una nueva dinámica que beneficiará a los postergados. Debemos descartar el implícito de una superioridad moral en las políticas actuales y sus promotores -que supuestamente estarían preocupándose por los más débiles y poniéndolos como prioridad- lo que no se habría hecho antes, o al menos no con la profundidad requerida.

El período de progreso innegable que vivió Chile, y que hoy parece despreciarse en gran parte de los planteamientos de los líderes políticos, tuvo como sustento propuestas realistas, basadas en un sentido común compartido y en una preocupación honesta por beneficiar a las grandes mayorías. Ya en la década del 70 se iniciaron los esfuerzos para identificar quiénes eran los más vulnerables, conocer sus realidades y poder diseñar opciones eficaces para que pudieran surgir.

Nace así el Mapa de la Extrema Pobreza, que evoluciona hasta la actual encuesta CASEN, aún vigente. De hecho, el análisis reciente sobre la desigualdad en Chile del PNUD, utiliza abundantemente los datos de su versión 2015. No es posible, entonces prejuzgar en base a una hipotética superioridad moral de unos sobre otros. Hay que valorar la eficacia en el logro de los objetivos perseguido suponiendo intenciones equivalentes. En ese aspecto, la trayectoria de Chile en las últimas décadas tiene la ventaja de mostrar resultados que superan a cualquier otra época y que lo comparan en buena forma con lo logrado en otras latitudes.

El elemento clave del consenso en el período de prosperidad, fue la relevancia dada a lograr un progreso económico acelerado con el fin de favorecer a los postergados, como sea que los definamos, pobres extremos, pobres relativos o grupos perjudicados en un país desigual. Con dolor, el país aprendió lo que parece estar olvidando: que sobreponer al objetivo de progreso otros fines más ideológicos, como cambios sociales estructurales, perjudican al país entero y con mayor fuerza a los más débiles.

Un análisis del período 1990-2013 de Libertad y Desarrollo, muestra que la gran reducción de la extrema pobreza se debió en más de un 70% al crecimiento económico y solo el resto a políticas redistributivas. Esto no considera que con un menor crecimiento la redistribución lograda probablemente habría sido imposible o ineficaz, por las tensiones políticas que el estancamiento produce.

En contraste con el legado de estancamiento y las promesas del efecto futuro de los cambios que este Gobierno ha realizado, están los notables avances en materia social y de bienestar obtenidos en los períodos anteriores.

La mortalidad infantil, superior a 28 por mil nacidos en 1980 se reduce a 7 el 2015. La esperanza de vida,antes menor a 70 años supera hoy los 80 según el Índice de Desarrollo Humano del PNUD. Con ello, Chile queda a la par de los cuatro líderes en dicho índice. El mismo índice estima que los años de educación en Chile superan hoy los 16, no lejos de Suiza o Alemania. En el caso de los adultos, herencia de nuestro pasado más pobre, los años promedio de educación bordean los 10. Más del 40% de los jóvenes de 25 a 40 tienen una formación complementaria a la educación media, mientras que en los adultos mayores solo un 10% lo consiguió. La cobertura de agua potable, alcantarillado y vivienda tienen también avances notables, como muestran la serie temporal de la encuesta CASEN y otros antecedentes.

Es cierto que existen diferencias sobre lo que queda por avanzar, especialmente cuando dejamos de intentar resolver el tema de los postergados y nos enfocamos en las desigualdades. Pero al adentrarnos en ese territorio, no debemos perder de vista que todos los avances antes descritos representan mejoras innegables en cualquier medición de la desigualdad. Los niños desnutridos y que fallecían a corta edad, los jóvenes que no se educaban, los adultos que morían antes de tiempo, las familias sin condiciones sanitarias mínimas eran todos parte de los grupos más postergados. Si los promedios del país mejoraron es porque ellos mejoraron. En los aspectos más básicos y humanos los chilenos son hoy mucho más iguales gracias al progreso económico.

Incluso cuando nos restringimos a la desigualdad medida a través de los ingresos, el mismo informe del PNUD constata importantes avances. Entre el 2000 y el 2015 los ingresos reales del decil más pobre aumentaron en un 145% y los del más pudiente un 30%.

Cabe recordar que la desigualdad medida por ingresos tiene muchas consideraciones técnicas y es una lástima que se use con liviandad para posturas políticas grandilocuentes. Si incluimos como ingreso las transferencias en educación, salud, vivienda, etc., el llamado coeficiente de Gini mejora en 11 puntos. Si analizamos por subgrupos, los jóvenes, con un nivel de educación más homogénea en el Chile de hoy, son más iguales que la población mayor. Ello augura una mejora paulatina a futuro.

Cuando comparamos países, además de los problemas de equivalencia en los datos, aquellos con pirámides poblacionales más jóvenes serán más desiguales que la de países maduros. El ingreso que imputamos al 1% más rico se confunde pues es un ingreso devengado y no percibido. No representa lo que pueden gastar, sino lo que pueden decidir mientras lo mantengan invertido y generen productos competitivos. La alternativa es que esas decisiones se tomen con mucho menos responsabilidad por los aparatos políticos. El fracaso de esa opción ha sido reiterado, pero se sigue intentando como lo muestra el patético caso venezolano.

Pero es peligroso usar definiciones imprecisas sobre cuáles son los postergados que deben apoyarse. El informe del PNUD muestra que las percepciones de desigualdad son más negativas que la realidad. No solo en Chile. Países como Italia o Eslovenia con mejores coeficientes de Gini que Chile, tienen percepciones incluso peores. Es fácil que el proceso político exacerbe las percepciones y adopte decisiones que terminen entorpeciendo el progreso. El estancamiento y la postergación de los postergados será la consecuencia inexorable e inevitable.

Los grandes cambios que promueve el Gobierno tienen desgraciadamente ese sello. En lo laboral se favorece a los monopolios. La educación se burocratiza, se cercenan las posibilidades de elección de los padres y se dificulta de paso la excelencia. Los cambios tributarios perjudican el ahorro, la inversión y la innovación. Todos ellos, directamente o vía expectativas, han ayudado a que el progreso de detenga. Los postergados, como quiera que los definamos, como siempre, pagarán la cuenta.

—Este artículo fue originalmente publicado en El Mercurio (Chile) el 2 de julio de 2017.

Fuente: elcato.org


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Escribano, ¿una profesión del siglo pasado?

septiembre 20, 2018

“Contratar un escribano es del siglo pasado”

El presidente del Banco Nación impulsa un catastro digital para acelerar las escrituraciones.

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“Contratar un escribano es del siglo pasado”, sostuvo Javier González Fraga. El presidente del Banco Nación apuntó a las demoras en la escrituración de propiedades y se las achacó a escribanos y tasadores. Con ese obstáculo en la cabeza, el banco estatal busca impulsar un Catastro Digital que agilice y abarate las operaciones.

escritura pública actuación notarial“Las propiedades deberían estar en un Catastro digital, en un registro, donde se pueda ver todo y se agilicen los trámites, y se cobren honorarios sensatos”, dijo el funcionario luego de un evento de real state, en el que aseguró que “de los 100 a 120 días que demora el otorgamiento de un crédito hipotecario, 55 se los llevan los tasadores, las escribanías”.

Si bien llaman la atención la contundencia de las declaraciones de González Fraga, el tema de costos y tiempos de la burocracia vinculada a los créditos hipotecarios está en danza desde hace tiempo. Varios empresarios del sector apuntaron a ON24, el descalce que existe entre demanda de créditos y la capacidad de respuesta de las instituciones.

Según un estudio reciente llamado Índice Provincial de Desempeño Empresarial (IPDE), en Rosario, hacer el registro de una propiedad demanda 8 trámites, 68 días, y tiene un costo del 7,5% del valor del inmueble.

Fuente: on24.com.ar, 18/09/18.

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Siete claves sobre la ideología de género

septiembre 15, 2018

Ideología de género: Experto explica 7 claves esenciales

Redacción ACI Prensa.

Ignacio Arsuaga / Foto: Flickr de Hazteoir

Ignacio Arsuaga.
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ideología de generoLa ideología de género se está implantando de manera progresiva y constante en todo el mundo. Ante esta imposición, Ignacio Arsuaga, presidente de HazteOír (HO) ha explicado la situación global de la aplicación de esta corriente y sus preocupantes consecuencias.

ACI Prensa conversó con Arsuaga, quien propuso algunas claves para comprender esta corriente ampliamente difundida en todo el orbe.

1.- ¿Qué es y qué pretende la ideología de género?

El Presidente de HO explica que “la ideología de género pretende diferenciar entre ‘género’ y ‘sexo’. Defiende que el ‘género’ de las personas es diferente del sexo biológico y que además, el ‘género’ se elige. De ahí que los seguidores de esta ideología distingan entre ‘identidad’ sexual’ y ‘orientación sexual’”.

Este pensamiento tiene graves consecuencias ya que “una persona de cualquier edad, supuestamente, puede cambiar su identidad o su orientación sexual a lo largo de la vida. Bien por elección, bien por educación o influencia de otros”. Con el adoctrinamiento que impulsan sus promotores, se explica que “cambiar de género” es una opción más como cualquier otra.

Arsuaga precisa que esta ideología «carece de base científica” al tiempo que niega el hecho de que “la identidad sexual de las personas está definida desde el nacimiento” cuando en realidad “las diferencias entre hombre y mujer son muy claras y se reflejan en la experiencia cotidiana”.

2.- Manipulación del lenguaje

Por eso Arsuaga alerta ante expresiones como “igualdad de género” ya que “es confusa por la utilización del término ‘género’. Emplear este término conlleva aceptar, consciente o inconscientemente, la ideología de género”.

“Es más correcto hablar de igualdad entre hombres y mujeres porque esta expresión la entiende todo el mundo y no implica planteamientos ideológicos”, alerta.

“Debemos ser claros y rotundos en afirmar la igualdad entre hombres y mujeres sin necesidad de hacer concesiones a los ideólogos de género. Estos, a menudo, nos hacen caer en la trampa introduciendo una terminología que no es neutral en absoluto”, insiste.

La manipulación del lenguaje, denuncia, también puede verse en el caso de la llamada “violencia de género” ya que los ideólogos de esta corriente “han conseguido que se imponga esa expresión en lugar de hablar de ‘violencia del hombre hacia la mujer’, que sería lo correcto”.

Es absolutamente necesario, explica a ACI Prensa, “conocer su existencia y reconocer sus objetivos, herramientas y consecuencias, en definitiva, desenmascararla, con un lenguaje que todo el mundo entienda”.

3.- Adoctrinamiento en las escuelas

Arsuaga explica que la implantación en las escuelas es “una estrategia que han utilizado todas las ideologías” porque “introducirse en la escuela significa formar a las nuevas generaciones en esta visión de la persona y la sociedad” y, en definitiva, “una garantía de futuro para los ideólogos de género”.

Se busca que el niño, desde edad muy temprana, aprenda -con dibujos, con ejemplos, con cuentos o con juegos- que no hay niños o niñas sino múltiples “orientaciones sexuales”.

“Es un adoctrinamiento programado que se introduce en el desarrollo afectivo, sexual y emocional de los menores”, advierte.

Detrás de esta ideología existe también “un negocio” con materiales educativos, cursos, talleres, programas formativos y otras actividades, “con frecuencia financiado por los Estados o por instituciones supranacionales”, refiere el experto.

Ante esta situación Arsuaga anima a los padres “a conocer qué les están enseñando a sus hijos” tanto en las asignaturas como “los enfoques de los libros de texto, los talleres, actividades y programas de formación que se introducen en las horas destinadas a tutorías” y especialmente “comunicar al colegio, incluso por escrito, que no está de acuerdo con esa ideología y que no quiere que se la transmitan a sus hijos”.

Por eso recuerda que en la Declaración de Derechos Humanos se reconoce el derecho de los padres a educar a sus hijos según sus convicciones.

“Este es un derecho fundamental que debe ejercerse y defenderse. Los padres deben recordarlo y reivindicarlo. Y si en el colegio ya se está impartiendo ideología de género, lo mejor es informar a otros padres y exponerlo a la dirección”.

Si es necesario, sugiere, se debe “acudir a las administraciones educativas y los gobiernos para reclamarles que respeten la libertad de educación. Si los padres no damos esa batalla, la ideología de género se apoderará de nuestros hijos”.

4.- Presión global del lobby LGTB

“Los datos demuestran que existe una implantación a nivel internacional promovida por lobbies LGTB y aplicada por algunos gobiernos e instituciones privadas”, indica Arsuaga y pone como ejemplo la creación en Estados Unidos de “lavabos transgénero” en las escuelas y “en la inserción de asignaturas o programas educativos de ideología de género que se han introducido en Italia y en Francia, entre otros países”.

En ese sentido recuerda que en 2015, el Parlamento Europeo aprobó el Informe Rodrigues que incluía “luchar contra la discriminación por motivos de orientación sexual e identidad de género en los entornos educativos y apoyar la inclusión de información objetiva sobre cuestiones LGTB en los currículos escolares”.

“Con el pretexto de la no discriminación se introduce una ideología en las aulas. Es una estrategia bien diseñada pero perversa”, afirma.

5.- Colonización ideológica

“El propio Papa Francisco –recuerda Arsuaga– denunció el pasado mes de octubre ‘la colonización ideológica” que suponía este adoctrinamiento educativo. Y contó el caso, conocido a través de un padre francés, de un niño que quiso ser niña tras leer un libro de texto que le explicaba esa posibilidad”.

Algo que, al igual que en España también está sucediendo “en Hispanoamérica, donde se ha introducido el adoctrinamiento de género. Ahí están los casos de Colombia, Brasil, Chile, Panamá”, entre otros.

6.- La ideología de género es totalitaria y no admite discrepancias

También precisa que esta ideología “pretende abarcar toda la realidad del individuo y de la sociedad”, por eso “tiene pretensiones totalitarias y no admite discrepancias”.

“De ahí que se produzca una reacción cuando alguien se atreve a denunciar la estrategia y explicarle a los ciudadanos en qué consiste, quiénes son sus agentes y qué pretenden”.

7.- Combatir la ideología de género

Por eso insiste en que quienes no aceptan esta ideología lo hacen porque están “a favor de la libertad y los derechos fundamentales de las personas, a favor de la educación de los niños en la verdad del ser humano. También porque defendemos el derecho de los padres a transmitir a sus hijos los valores en los que creen sin imposiciones ideológicas”.

“La mejor forma de educar a los hijos es con el ejemplo, el testimonio de sus padres, familiares y personas próximas. Hacerles ver que lo natural es la diferencia y complementariedad entre hombre y mujer, fundamento de la familia y de la sociedad”.

“Como ciudadanos, no callarnos y denunciar las imposiciones de género que se introducen en la escuela, en los medios de comunicación y en los programas políticos”.

“Porque si nosotros no alzamos la voz y luchamos por lo que queremos, por el bien de la sociedad y el desarrollo integral de nuestros hijos, el totalitarismo de género se impondrá como un rodillo”, destaca.

A pesar de que “hay personas que creen que oponerse a la ideología de género es estar contra las personas homosexuales o a favor de la discriminación de determinados colectivos” no es así, porque “oponerse al adoctrinamiento educativo no es rechazar ni discriminar a las personas”.

“Estas últimas -concluye- siempre merecen respeto, independientemente de sus circunstancias, condición y características”.

Fuente: aciprensa.com

Más información:

Nuevo estudio científico desmiente la ideología de género

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