El Teorema de Imposibilidad de Arrow: La complejidad de la Democracia Representativa

octubre 4, 2023 · Imprimir este artículo

Por Gustavo Ibáñez Padilla.

En el corazón de cualquier sistema democrático se encuentra el desafío de representar fielmente las preferencias de un grupo diverso de individuos. Sin embargo, Kenneth Arrow, distinguido economista y matemático, enunció en 1951 un teorema que arrojó una sombra sobre esta noble empresa. El Teorema de Imposibilidad de Arrow, también conocido como Paradoja de Arrow, revela las limitaciones fundamentales que enfrentan los sistemas de votación al intentar reflejar de manera justa las voluntades de los ciudadanos.

El Teorema establece que cuando los votantes tienen tres o más alternativas, no es posible diseñar un sistema de votación que permita reflejar las preferencias de los individuos en una preferencia global de la comunidad de modo que al mismo tiempo se cumplan ciertos criterios racionales. A continuación, analizaremos en detalle este teorema, así como sus tres condiciones esenciales: la ausencia de un dictador, la eficiencia de Pareto y la independencia de alternativas irrelevantes.

1. Ausencia de un «dictador»

Uno de los pilares del Teorema de Imposibilidad de Arrow es la ausencia de un ‘dictador’. En este contexto, el término no se refiere a un líder autoritario, sino a un individuo que posea el poder de imponer sus preferencias sobre el grupo, sin importar las de los demás. Arrow demostró que en un sistema de votación donde existe un dictador, las preferencias de los demás miembros del grupo quedan subyugadas, lo cual contradice el principio democrático de igualdad de voz y voto.

2. Eficiencia de Pareto

La eficiencia de Pareto es una condición que establece que si todos los miembros de un grupo prefieren una opción A sobre una opción B, entonces la elección del grupo también debería reflejar esta preferencia. Es decir, si una opción es considerada por todos como preferible a otra, no debería haber obstáculos que impidan su elección. El Teorema de Imposibilidad de Arrow muestra que esta condición es extremadamente difícil de satisfacer en sistemas de votación con tres o más opciones.

3. Independencia de Alternativas irrelevantes

Esta condición postula que el resultado de una votación no debe cambiar si se eliminan opciones que no tienen posibilidad de ser elegidas. En otras palabras, el cambio en las preferencias entre las opciones restantes no debería afectar el resultado. Arrow demostró que esta condición es particularmente complicada de mantener en sistemas de votación con múltiples opciones.

Kenneth J. Arrow recibiendo el Premio Nobel de Ciencias Económicas en Estocolmo en 1972.

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Ejemplos y Aplicaciones

Para ilustrar la influencia del Teorema de Imposibilidad de Arrow en situaciones de votación electoral, podemos analizar las elecciones presidenciales del año 2000 en Estados Unidos. El conflicto entre George W. Bush y Al Gore, junto con la presencia de un tercer candidato, Ralph Nader, demostró los desafíos que enfrenta un sistema de votación al intentar reflejar las preferencias de los ciudadanos de manera precisa.

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En el sistema estadounidense de las elecciones presidenciales, el voto en el colegio electoral determina el ganador, y Bush ganó esta cuenta, aunque Gore recibió el mayor número de votos (la llamada votación popular).

  • G. W. Bush: votos 50.456.002; electores 271.
  • A. Gore: votos 50.999.897; electores 266.
  • R. Nader: votos 2.882.955; electores 0.

En el contexto histórico, este teorema ha influido en la evolución de sistemas de votación alrededor del mundo. La introducción de métodos como la votación por rangos y la representación proporcional son respuestas directas a las limitaciones identificadas por Arrow. Estos sistemas buscan abordar los problemas de dictadores potenciales, eficiencia de Pareto e independencia de alternativas irrelevantes de manera más efectiva que los métodos de votación tradicionales.

George W. Bush y Al Gore.

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Soluciones Innovadoras

Diversos sistemas de elección han sido propuestos para suavizar las restricciones impuestas por el Teorema de Imposibilidad de Arrow. Uno de los más destacados es la votación por rangos, utilizado en elecciones de múltiples candidatos. En este sistema, los votantes clasifican a los candidatos según sus preferencias, permitiendo una elección más precisa y reflejando mejor la voluntad del electorado.

Otro enfoque es la representación proporcional (por ejemplo el sistema D’Hondt), implementada en varios países para asegurar que los partidos políticos obtengan escaños en proporción a su apoyo popular. Este sistema busca evitar la distorsión de la representación que puede ocurrir en sistemas de mayoría simple.

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Conclusión

El Teorema de Imposibilidad de Arrow ha marcado un hito crucial en el campo de la teoría de la elección y la democracia representativa. Nos recuerda que no existe un sistema de votación perfecto y que siempre habrá desafíos inherentes a la representación fiel de las preferencias de un grupo diverso de individuos. Sin embargo, a pesar de sus limitaciones, este teorema ha estimulado la búsqueda de métodos de votación más justos y equitativos.

En última instancia, el Teorema de Imposibilidad de Arrow nos insta a no conformarnos con soluciones simplistas, sino a seguir buscando maneras innovadoras de fortalecer nuestras democracias. Su importancia radica en su capacidad para estimular el pensamiento crítico y la innovación en el diseño de sistemas electorales, lo que en última instancia contribuye a la construcción de sociedades más justas y equitativas.

Fuente: Ediciones EP, 04/10/23.


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