La vida del extravagante matemático Alexander Grothendieck

febrero 10, 2020 · Imprimir este artículo

La obra de Alexander Grothendieck (1928-2014)

Por Francisco R. Villatoro.

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck

El matemático francés Alexander Grothendieck falleció el 13 de noviembre de 2014 en Saint-Girons, Francia. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus trabajos en Álgebra Homológica y Geometría Algebraica. Fue un matemático que destaca por su visión (su particular punto de vista) a la hora de atacar los problemas matemáticos más difíciles. Sus ideas han generado puentes entre muchas disciplinas alejadas entre sí y ha abierto campos insospechados. Muchas de sus ideas se encuentran en manuscritos inéditos, lo que ha elevado su figura a la talla de mito.

En este breve homenaje a su figura me basaré en el muy recomendable artículo de Leovigildo Alonso Tarrío y Ana Jeremías López, “La obra de Alexander Grothendieck,” Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 4: 623-638, 2001 [PDF gratis]. También recomiendo leer a Winfried Scharlau, “Who Is Alexander Grothendieck?,” Notices of the AMS 55: 930-941, 2008 [free PDF] (gracias José L. Pérez aka ‏@Jos192).

Más información biográfica en “Décès d’Alexandre Grothendieck,” Institut des Hautes Études Scientifiques, 14 Nov 2014; Bruce Weber, Julie Rehmeyernov, “Alexander Grothendieck, Math Enigma, Dies at 86,” New York Times, 14 Nov 2014; Pierre Cartier, “Alexander Grothendieck. A Country Known Only by Name,” Inference Review, 14 Nov 2014; y otros.

Grothendieck es el paradigma en el siglo XX del matemático guiado por una intuición casi milagrosa. Estudiante brillante, durante su carrera en la Universidad de Montpellier, Francia, redescubrió por sus propios medios la teoría de la medida de Lebesgue. Desarrolló su tesis doctoral en París, bajo la dirección de Dieudonné (pura escuela Bourbaki). Allí asistió a seminarios de H. Cartan, Delsarte, Godement y Schwartz. Tras sus estancias postdoctorales en Kansas y Sao Paulo fue contratado por el recién fundado I.H.E.S. (Institut des Hautes Études Scientifiques), la réplica francesa al I.A.S. (Institute for Advanced Study) de Princeton. Allí demostró ser uno de los matemáticos vivos más geniales y más revolucionarios de su tiempo. Sus trabajos culminaron con la Medalla Fields en 1966, que se negó a recoger porque se concedió en el ICM  (Congreso Internacional de Matemáticos) celebrado en Moscú, 16-26 Agosto. Su acto fue una protesta contra la represión soviética en Hungría en 1956.

En 1970 abandona el I.H.E.S., pasa al C.N.R.S. (Centre National de la Recherche Scientifique) y, finalmente, en 1973, retorna a la Universidad de Montpellier como profesor (abandonando la investigación activa). En 1984 volvió al C.N.R.S. para retirarse en 1988, ya con 60 años, año que recibió el Premio Crafoord de la Academia Sueca (el premio que dicha academia concede a los matemáticos para quitarse el sanbenito de que no haya un Nobel para los matemáticos). Grothendieck rechazó dicho premio (que también fue concedido a Deligne) y aprovechó para arremeter contra la falta de ética de la ciencia actual. Decidió retirarse a los Pirineos franceses.

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck - recent photograph

Los primeros trabajos de Grothendieck fueron en Análisis Matemático. Extendió la teoría de espacios vectoriales topológicos de Dieudonné, su director de tesis, a productos tensoriales de espacios localmente convexos (los llamados espacios nucleares). Hay varias posibilidades para dotar de una topología a un producto tensorial E⊗F, de dos espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita. Grothendieck estudia dos posibilidades concretas que le permiten generalizar el teorema del núcleo de Schwartz e introducir los llamados espacios nucleares (p.ej. el espacio de las funciones holomorfas sobre una variedad analítica compleja).

A finales de los 1950 Grothendieck se centra en la dualidad en cohomología (la extensión del concepto de dualidad de Poincaré a las variedades algebraicas). Generaliza varios resultados, e imparte una charla plenaria en el ICM de 1958 en Edimburgo sobre Álgebra Homológica. Sus resultados muestran el espíritu funtorial que le guió durante toda su carrera: el objeto de estudio no son las variedades algebraicas sino los morfismos entre ellas. Gracias a ello una definición y una construcción naturales hacen que la demostración de un resultado (muy complicado) se convierta en algo trivial (es decir, si escribes algo de la forma correcta sus propiedades serán obvias y no será necesario que las demuestres de forma explícita). Para muchos matemáticos la genial intuición de Grothendieck era una guía, casi extraterrestre o sobrenatural, hacia el rigor más bourbakiano.

Lectura recomendada:  El Legado de Pitágoras, parte II - Pitágoras y otros

En Geometría Algebraica la gran contribución de Grothendieck fue un cambio de lenguaje, seguido por la gran mayoría de trabajos relevantes posteriores en este campo. El lenguaje de esquemas simplifica la intuición de los resultados, permitiendo generalizarlos, y además ofrece grandes ventajas técnicas. Esta gran contribución nació con su generalización de la fórmula de Riemann-Roch para determinar la característica de Euler-Poincaré de curvas complejas en variedades algebraicas, que se basó en el llamado grupo de Grothendieck, también conocido como funtor K, que le llevó a una nueva teoría de cohomología denominada Teoría K. Estos trabajos sentaron las bases de la Geometría Algebraica del resto del siglo.

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck - another photograph

El carácter peculiar de Grothendieck le llevó a escribir de su propia mano pocos artículos matemáticos. Le gustaba impartír seminarios en el I.H.E.S. con sus descubrimientos, dejando que sus colegas se encargaran de tomar notas y redactar los correspondientes artículos técnicos. Por ejemplo, la teoría de esquemas fue expuesta en un tratado redactado por Dieudonné, titulado Eléments de Géométrie Algébrique. Una obra monumental de la que sólo aparecieron los cuatro primeros capítulos (de los doce proyectados inicialmente). La cohomología étale que aprendió de Grothendieck en un seminario, junto a la teoría de formas modulares, permitió a Deligne demostrar en 1974 las conjeturas de Weil sobre el número de puntos de una variedad algebraica sobre un cuerpo finito (un análogo a la hipótesis de Riemann para la función Zeta de una curva sobre un cuerpo finito). La cohomología cristalina de Grothendieck (que fuerza la validez del lema de Poincaré y permite integrar formalmente en la variedad) también ha conducido a importantes avances.

Grothendieck también nos dejó muchas conjeturas, como las famosas conjeturas estándar (también enunciadas por Bombieri) de la teoría de motivos. Estas conjeturas están abiertas en general y su resolución permitirá garantizar la existencia de una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas. Sobre estos temas Grothendieck nunca publicó una línea, sin embargo, hoy son el centro de la Geometría Algebraica. Su yoga motívico ha llevado a una auténtica galaxia de conjeturas enunciadas por otros autores, pero inspiradas en sus ideas.

He de confesar que mis conocimientos de Geometría Algebraica son insuficientes para poder entender los resultados de Grothendieck. Como todo visionario, durante su retiro en Montpellier, soñó con varias teorías matemáticas que conocemos por las cartas que envió a algunos colegas: Álgebra Topológica (teoría de las ∞-categorías laxas), Topología Moderada (una generalización de la teoría de esquemas), Geometría Algebraica Anabeliana (cómo construir variedades algebraicas a partir de su grupo fundamental cuando no es conmutativo), la teoría de Galois-Teichmüller y, en general, el punto de vista esquemático o aritmético para los poliedros regulares (los llamados dibujos de niños). Hay varias iniciativas que pretenden hacer públicos los manuscritos inéditos de Grothendieck sobre estos temas que se encuentran depositados en la Universidad de Montpellier, pero él mismo ha dicho que se opone a que sean publicados. Ahora con su fallecimiento es posible que la tarea se lleve a cabo y quizás las nuevas ramas matemáticas soñadas por Grothendieck puedan aportarnos luz en el panorama matemático del siglo XXI.

Descanse en paz, Alexander Grothendieck.

Fuente: francis.naukas.com

el artista y el matemático

Más información:

El misterio de Alexandre Grothendieck

.

.

Comentarios

Una Respuesta para “La vida del extravagante matemático Alexander Grothendieck”

  1. El misterio de Alexandre Grothendieck | Economía Personal on febrero 10th, 2020 11:20

    […] La vida del extravagante matemático Alexander Grothendieck […]

Algo para decir?

Usted debe estar logueado para escribir un comentario.