14 de marzo Día internacional de las Matemáticas

noviembre 29, 2019

La UNESCO declara el 14 de marzo como Día Internacional de las Matemáticas

Por Nova Ciencia.

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Lenguaje de las matemáticas

Las Matemáticas ya tienen su día internacional en el calendario. La Unión Matemática Internacional (IMU) ha comunicado a sus organizaciones adheridas, entre las que se encuentra el Comité Español de Matemáticas (CEMat), la proclamación por parte de la UNESCO del 14 de marzo como el Día de Internacional de las Matemáticas. Esta resolución ha sido adoptada en la 40 Conferencia General de la UNESCO, celebrada en París del 12 al 27 de noviembre de 2019. Con el apoyo de numerosas organizaciones internacionales y gobiernos, entre ellos el de España, la IMU había liderado en los últimos años este proyecto, en el que anualmente se invitará a los países a celebrar este día con diversas actividades dirigidas a los centros educativos y al público general.

La elección del 14 de marzo responde a la coincidencia del 3-14 con el número Pi, fecha en la que, de hecho, muchos países celebraban el “Día de Pi”. El lanzamiento oficial de esta celebración tendrá lugar el viernes 13 de marzo de 2020 en dos eventos paralelos, el primero de ellos en la sede de la UNESCO en París y el segundo en África, durante un evento paralelo en el Next Einstein Forum que se celebra en Nairobi (Kenia).

La IMU ha creado la página web www.idm314.org, en la que países y organizaciones están invitados a anunciar sus celebraciones. Además, pondrá a disposición de los interesados materiales en abierto y en diferentes lenguas, entre ellos, proyectos, ideas, actividades o “software” para usar en las aulas. El tema elegido para el próximo año será “Mathematics is everywhere” (Las Matemáticas están en todas partes), con el que los participantes están invitados a encontrar las conexiones de las matemáticas con la ciencia y la tecnología; en la organización de las ciudades, la sociedad y los gobiernos; los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) o las actividades diarias de las personas.

Fuente: novaciencia.es, 27/11/19.

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03.14 Pi Day . 14 de marzo

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International Mathematical Union

The International Day of Mathematics is a project led by the International Mathematical Union.

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La amante cartesiana, una historia matemática

noviembre 20, 2019

La amante cartesiana

MATEMOCIÓN

No es la primera vez que escribo en la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica sobre matemáticas y cómics. He dedicado una serie de entradas a las matemáticas de la novela gráfica Habibi (Astiberri, 2011), de Craig Thompson (véase Habibi y los cuadrados mágicosparte 1parte 2 y parte 3), y otra a las matemáticas del cómic Ken Games (Diábolo, 2009-10), de José Robledo (guionista) y Marcial Toledano (dibujante) (véase la entrada Las matemáticas en el cómic Ken Games).

En la entrada de hoy vamos a centrar nuestra atención en la novela gráfica La amante cartesiana (Egales, 2016), escrita por Paloma Ruiz Román y dibujada por Juan Alarcón.

Portada de la novela gráfica La amante cartesiana, de Paloma Ruiz Román (guión) y Juan Alarcón (dibujo), publicada en 2016 por la editorial Egales

La historia de esta novela gráfica está inspirada en un artículo del matemático José Manuel Rey, de la Universidad Complutense de Madrid, titulado A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution (algo así como Un modelo matemático sobre la dinámica sentimental para explicar los divorcios), publicado en 2010, en la revista científica PLOS ONE (esta revista está publicada por la Public Library of Science, que es una organización editorial estadounidense sin ánimo de lucro que tiene como objetivo la publicación de una serie de revistas científicas de contenido abierto).

Este artículo, por su temática, tuvo cierta repercusión en los medios de comunicación. Por ejemplo, en ABC Ciencia se publicó un artículo con el título “El amor para siempre está destinado al fracaso, según una fórmula matemática”. O en el periódico Público apareció otro artículo con un título más destinado a llamar la atención que a describir la realidad de la investigación matemática explicada en el mismo, “El amor no existe, según las matemáticas”, con la volanta más descriptiva, aunque aún un poco exagerada “Un científico español elabora un modelo teórico que sugiere que las relaciones sentimentales duraderas y satisfactorias son prácticamente imposibles”. Y este artículo, con toda probabilidad, fue leído por la autora de La amante cartesiana.

La novela gráfica empieza presentando, en las primeras páginas, la relación sentimental entre la protagonista, una profesora de matemáticas de un instituto de enseñanza secundaria, a la cual se va a ver dando clase en varias páginas de la novela gráfica, y su pareja, una fotógrafa, que más adelante en la historia viajará a Islandia para realizar un reportaje fotográfico durante seis meses.

Página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se ve a la protagonista, una profesora de matemáticas de enseñanza secundaria, dando clase de matemáticas. En concreto, explicando algunas propiedades del número dos

Presentada la relación sentimental de esta pareja, se muestra un dibujo, de página completa, que ofrece a la persona que lee el cómic la primera pista sobre cuál va a ser el tema de la novela gráfica. En la misma se ve al matemático ruso Lev Poltryagin escribiendo fórmulas matemáticas en una pizarra, además del texto “El matemático ruso Lev Poltryagin elaboró en la década de los cincuenta la teoría de control óptimo, alumbrada para solucionar un contratiempo con un avión de combate soviético. Pero nunca imaginó que unos años más tarde se emplearía para explicar por qué hay un divorcio aproximadamente cada 80 segundos”. Por lo tanto, uno de los puntos de partida de la novela gráfica es el fracaso de las relaciones de pareja.

Página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se ve al matemático ruso Lev Poltryagin frente a una pizarra

La historia continúa hasta que la fotógrafa debe emprender su viaje a Reikiavik, dejando a la matemática sola, sumida en una cierta tristeza. Y entonces llega la segunda información relevante, relacionada con el artículo del matemático madrileño José Manuel Rey, sobre la historia que nos están contando. Un dibujo a página completa de la protagonista, acompañada de imágenes de su pareja, de un avión, de una ciudad y de fórmulas matemáticas. Todo ello acompañado de dos textos explicativos.

El primero: “En 2010, fue el matemático José Manuel Rey quien, combinando la segunda ley de la termodinámica con las ecuaciones de control óptimo, sacó a la luz una fórmula de conclusiones poco esperanzadoras: el amor no perdura”.

Y el segundo “Las matemáticas, disciplina capaz de explicar cualquier suceso que se repita, toman como punto de partida en la fórmula lo que se puede considerar un hecho común: las relaciones por sí solas, es decir, la sustancia que las mantiene vivas, tienden a extinguirse”.

Página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se hace hincapié en el artículo del matemático José Manuel Rey, en el que se modeliza las relaciones de pareja

El tema para la novela gráfica está servido, la fragilidad de las relaciones de pareja, y su fuente de inspiración es el artículo A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution en el que se obtiene un modelo matemático para describir la dinámica de las relaciones sentimentales.

Como se cita en la introducción del artículo publicado por PLOS ONE, la mayoría de las personas mencionan el amor y las relaciones de pareja cuando se les pregunta por los elementos importantes para tener una vida feliz. Además, cuando las personas inician una relación amorosa a largo plazo, lo hacen bajo la premisa de vivir juntas y felices para siempre. Sin embargo, las altas tasas de divorcios, por ejemplo, en Estados Unidos y Europa, donde prácticamente una de cada dos parejas acaba en divorcio, ponen de manifiesto cierto fracaso de las relaciones sentimentales. Es lo que el matemático de la Universidad Complutense de Madrid llama la “paradoja del fracaso”, es decir, aunque en la base de las relaciones sentimentales está el que duren para siempre, muy probablemente fracasarán.

El sicólogo estadounidense John Gottman, que se ha hecho famoso por su trabajo sobre la predicción del divorcio y la estabilidad en las relaciones sentimentales, fue uno de los primeros en utilizar las matemáticas para estudiar las relaciones de pareja, en concreto, utilizó una ecuación diferencial basada en lo que llama la “segunda ley de la termodinámica para las relaciones sentimentales”, es decir, al igual que un recipiente caliente se enfriará si no se le suministra calor, las relaciones sentimentales se deteriorarán si no reciben un aporte de “energía” que compense esa tendencia al enfriamiento. Aunque, como pone de manifiesto el sociólogo estadounidense, sería interesante poder contar con un modelo matemático que describa la dinámica de las relaciones de pareja y esto es lo que hizo el matemático de la Universidad Complutense de Madrid.

Parte de una página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se aparece la protagonista dando clase de matemáticas, en concreto, hablando del número uno

Todo modelo matemático intenta describir el “objeto de interés”, en este caso la dinámica de las relaciones sentimentales, simplificando el problema, intentando quedarse con las partes esenciales del mismo. Uno de los ejemplos más ilustrativos de esta situación es el grafo del problema de los puentes de Königsberg, que está en el origen de la teoría de grafos (véase el libro Del ajedrez a los grafos (RBA, 2015) o la entrada El problema de los tres caballeros y los tres criados). Cuanto más se simplifique, más manejable será el modelo, más claras y útiles serán las conclusiones, aunque también puede ocurrir que perdamos parte de la información en el proceso de abstracción; pero si no se simplifica lo suficiente el problema, el modelo puede ser demasiado complejo para tratarlo y las conclusiones serán menos útiles. Algo así como ocurre con los mapas. En los mapas siempre se pierde parte de la información, pero son muy útiles. Por ejemplo, entre los mapas más importantes para su uso en la navegación están los que preservan los rumbos, los ángulos, sin embargo, estos no preservan las áreas, los caminos más cortos, ni las distancias; o los que son buenos para la divulgación o la comunicación de información porque preservan las áreas, fallan con los rumbos, los caminos más cortos o las distancias; y lo mismo ocurre con otros mapas (véase El sueño del mapa perfecto (RBA, 2011) o las entradas Imago Mundi, 7 retratos del mundoImago Mundi, otros 6 retratos del mundoImago Mundi, finalmente 9 retratos más del mundo). Por otra parte, el mapa de escala 1:1 que es (o sobre) la Tierra misma, como en el texto de Borges Del rigor de la ciencia, es el más exacto de todos, pero inútil e inservible.

Del rigor de la ciencia

…En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas.

SUÁREZ MIRANDA: Viajes de varones prudentes, libro cuarto, cap. XLV, Lérida, 1658.

La historia elabora un concepto encontrado en Silvia y Bruno de Lewis Carroll: un mapa ficticio que tenía una escala de «una milla por milla». Uno de los personajes en la historia de Carroll hace notar varias de las dificultades prácticas con el mapa y asegura que «ahora usamos el país mismo como su propio mapa, y [le] aseguro que funciona casi igual de bien».

El matemático José Manuel Rey, para realizar su modelo matemático de la dinámica de las relaciones sentimentales, asume que las parejas estarán formadas por individuos más o menos similares, que se da la “segunda ley de la termodinámica para las relaciones sentimentales” y que dos elementos fundamentales en las relaciones de pareja son el sentimiento de bienestar que se siente dentro de la pareja y el esfuerzo que se va realizando desde que empieza la relación. Entonces, utilizando teoría de control óptimo (que es la que desarrolló el matemático ruso Lev Pontryagin), obtuvo la fórmula que describe la dinámica de las relaciones de pareja, que se incluye también en la novela gráfica.

La fórmula matemática obtenida por el matemático José Manuel Rey para describir la dinámica de las relaciones sentimentales. La imagen pertenece al artículo del periódico Público

Esta fórmula está incluida en el cómic, cuando se está produciendo la separación emocional de la pareja protagonista. De nuevo, en un dibujo de página completa, donde se muestra a la fotógrafa trabajando en Islandia, se incluye y se explica la fórmula, que en el texto se denomina “la fórmula matemática del desamor”.

Parte de una página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se aparece la protagonista dando clase de matemáticas, en concreto, hablando del número uno

La información que proporciona la fórmula, la variable W, es la “felicidad del matrimonio” (entendiendo matrimonio en un sentido amplio). La fórmula consta de una integral, que como dice el texto “la integral suma las sensaciones cotidianas”. Y dentro de la integral hay dos partes, una positiva, que como dice en el comic “este grupo de variables es el bienestar que se siente dentro de la pareja”, y otra negativa, descrita como “este otro conjunto mide el coste del esfuerzo desde el inicio de la relación”.

Más adelante, cuando la relación entre la protagonista y su pareja ya se ha roto, se incluye otro dibujo con una metáfora sobre el significado del estudio, que seguramente fue fruto de las conversaciones entre la escritora y el matemático. En concreto se añade el texto “Tal y como explica Rey, la manera más sencilla de entender por qué se repite el hecho de que las relaciones no funcionen es a través de la metáfora del jardín”. Y nos la explica: “Para que las plantas se mantengan frondosas durante toda la vida, hay que aportar abono, agua y cuidados. Todo en su justa medida”. Y concluye: “Pero este esfuerzo continuo no es gratuito. Tiene un coste que suele ser excesivo, apocando antes o después a las plantas a un estado marchito”.

Parte de una página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que la protagonista reflexiona sobre las conclusiones del modelo matemático de la dinámica de las relaciones sentimentales

En otra página, que vemos en la anterior imagen, la protagonista reflexiona sobre las conclusiones que nos ofrece el modelo matemático de la dinámica de las relaciones de pareja. Recogiendo las palabras del autor del estudio: “el esfuerzo que es necesario para que una relación funcione siempre será mayor que el esfuerzo que esperamos tener que realizar para ello”.

Y se continúa afirmando en La amante cartesiana “o lo que es lo mismo, hagamos lo que hagamos para que una relación salga bien, siempre será insuficiente, ya que la tendencia natural conduce a la dejadez y, con ella, al fracaso”.

Como reacción a este pensamiento negativo que domina a la protagonista, fruto de su ruptura sentimental, la última parte de la novela es un alegato a favor del amor y las relaciones sentimentales.

Aunque el estudio matemático sobre la dinámica de las relaciones de pareja es la parte matemática central de esa novela gráfica de Paloma Ruiz Román y Juan Alarcón, lo cierto es que la ciencia de Pitágoras impregna toda la historia. Veamos algún ejemplo.

La protagonista de La amante cartesiana, que como hemos comentado es profesora de matemáticas en un instituto de enseñanza secundaria, explicará a sus estudiantes propiedades de ciertos números particulares en paralelo a su historia sentimental. Así, explica en clase algunas propiedades del número 2, cuando se presenta a la pareja en las primeras páginas, como que el 2 es el único número primo par y que es el único número tal que la suma consigo mismo es igual al producto consigo mismo, es decir, 2 + 2 = 2 x 2. Por otra parte, cuando la protagonista se queda sola, por el viaje de su pareja, habla a la clase del número 1, mientras que cuando su relación se rompe lo hace sobre el 0.

Por otra parte, cuando una tercera persona entra en escena, la profesora hablará del número pi, que no es 3, pero está muy cerca (3,14159…), y lo hace en relación con la poesía. En concreto, la bailarina a la que conoce la protagonista le lee una poesía con sabor matemático, el poema Escrito con tiza del poeta chileno Oscar Hahn, que incluimos a continuación.

ESCRITO CON TIZA

Uno le dice a Cero que la nada existe
Cero replica que Uno tampoco existe
porque el amor nos da la misma naturaleza

Cero más Uno somos Dos le dice
y se van por el pizarrón tomados de la mano

Dos se besan debajo de los pupitres
Dos son Uno cerca del borrador agazapado
y Uno es Cero mi vida.

Detrás de todo gran amor la nada acecha.

La protagonista tras escuchar el poema, le contesta que “tiene la estructura de una ecuación, de un problema matemático” y realiza un análisis matemático de la misma. Este es el estudio que realizó el chileno Camilo Herrera y que podéis leer aquí.

Parte de la página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que la protagonista explica a su clase el poema irracional relacionado con el número pi del ajedrecista Manuel Golmayo

Tras esa relación entre matemáticas y poesía, en la siguiente escena de la novela gráfica, se ve a la protagonista hablando a sus estudiantes de un poema del ajedrecista español Manuel Golmayo (1883-1973) relacionado con el número pi. En concreto, uno de esos poemas, que en ocasiones son denominados irracionales, en los que cada palabra del poema tiene tantas letras como indican los dígitos del número pi (o también podría ser otro número irracional, como la razón aurea phi o el número e). El poema es el siguiente.

Soy y seré a todos definible, [3,14159]

mi nombre tengo que daros, [26535]

cociente diametral siempre inmedible [8979]

soy de los redondos aros [32384]

Pero en la novela gráfica hay más matemáticas. Descartes, Kepler, la música de las esferas, el azar o la probabilidad son algunas de las cuestiones matemáticas que también encontraréis en esta historia, pero eso lo descubriréis cuando disfrutéis de su lectura. Para terminar, os dejo con el problema de ingenio (relacionado con el problema amoroso de la protagonista) planteado por la profesora de matemáticas en el cómic.

Problema: Supóngase que los dos enunciados siguientes son verdaderos:

(1) Quiero a Elena o quiero a Adriana.

(2) Si quiero a Elena entonces quiero a Adriana.

¿Se sigue necesariamente que quiero a Elena? ¿Se sigue necesariamente que quiero a Adriana?

Bibliografía

1.- Paloma Ruiz Román, Juan Alarcón, La amante cartesiana, Egales, 2016.

2.- José Manuel Rey, A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution, PLOS ONE, vol. 5, 2010.

3.- Periódico ABC: El amor para siempre está destinado al fracaso, según una fórmula matemática, Judith de Jorge, 13 de mayo de 2010.

4.- Periódico Público: El amor no existe según las matemáticas, Manuel Ansede, 25 de abril de 2010.

5.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos, El mundo es matemático, RBA, 2015.

6.- Raúl Ibáñez, El sueño del mapa perfecto, cartografía y matemáticas, El mundo es matemático, RBA, 2010.

7.- Camilo Herrera, La solución de la ecuación poética

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Fuente: culturacientifica.com, 20/11/19.

Paloma Ruiz Román

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Aumenta la demanda de Matemáticos

mayo 30, 2019

La carrera de Matemáticas se dispara en plena era del ‘big data’

La titulación exige la mayor nota de corte cuando se cursa con Físicas y tiene una empleabilidad del 100% en la sociedad de Internet y la inteligencia artificial. Cada curso ingresan 3.000 estudiantes

Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense.
Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense.

MADRID — La carrera de Matemáticas vive un auge sin precedentes debido al empuje del big data, la inteligencia artificial y la promesa de una empleabilidad del 100%. Hace 10 años sobraban plazas así que para acceder a la facultad bastaba un cinco pelado de nota media. El curso pasado, los aspirantes a matemáticos entraron en el grado al menos con un 12,68 sobre 14 y con un 13,77 si se estudia con Físicas. En medio de la cuarta revolución industrial, la de Internet y las tecnologías de la información, en el sector se rifan a estos titulados y ellos lo saben. “No han entregado el trabajo de fin de grado y ya les están llamando para trabajar”, explica Antonio Brú, decano de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

Entre 2000 y 2005 se redujeron en un 43% las matrículas en Matemáticas pero esas cifras son agua pasada. Victoria Otero, de la Universidad de Santiago de Compostela, era presidenta de los decanos de Matemáticas cuando en 2009 empezaron a cubrirse todas las plazas. Los campus vieron el filón y diseñaron nuevos títulos relacionados. Ahora ingresan 2.500 estudiantes en Matemáticas y otros 500 en los dobles grados que cruzan esta disciplina con la Física, la Estadística, la Informática o la Economía.

El documento Impacto socio-económico de la investigación matemática en España, elaborado por Analistas Financieros Internacionales (AFI) para la Red Estratégica de Matemáticas (REM), contabiliza la huella en el empleo que alcanzaron en 2016 estos estudios: un millón de ocupadosdirectos —un 6% del total de puestos de trabajo— y otros 2,3 millones indirectos, lo que supone que el 10% del producto interior bruto (PIB) de España estuvo ligado a la actividad matemática de forma intensiva y un 26,9% indirectamente. En el Reino Unido, los Países Bajos o Francia el empleo asociado es entre cuatro y cinco puntos mayor.

“Antes, los graduados en Matemáticas solo podían aspirar a ser profesores de secundaria o quedarse en la Universidad”, explica Carmen Palomino, directora de Talento en la Fundación Universidad Empresa. En los últimos cinco años han aumentado de 7 a 115 las ofertas de empleo para matemáticos de sus compañías asociadas. Un estudio de la Real Sociedad Española de Matemáticas sobre salidas laborales avalaba en 2005 esa opinión y argumentaba, además, las razones de la desafección entre los estudiantes: la carrera tenía fama de difícil y larga por la media de años empleados para finalizarla.

Ahora, las matemáticas tienen un sinfín de salidas profesionales. “Todo en el mundo de las empresas se mueve con datos y se contratan muchos matemáticos, físicos y estadísticos en el big data y la inteligencia artificial”, explica Palomino. Porque hay matemáticas detrás del diseño, modelaje, simulación, organización y el análisis de datos de cualquier producto. “Se necesita, además, gente que extraiga, analice y exponga datos para anticiparse a las tendencias del mercado”, explica Sara Álvarez, mánager en la empresa de búsqueda de empleo Adecco.

El papel de los matemáticos es justificar toda la teoría y después, un ingeniero lo utiliza de forma aplicada. Cada uno tiene que descubrir su talento y explotarlo. Para mí, sin embargo, sería más complicado estudiar Derecho que hay que memorizar mucho”, explica Carmen Recio, de 25 años, que estudió el grado de Matemáticas en Zaragoza y trabaja en inteligencia artificial en IBM. Su puesto no existía hace tres años. “Dudaba entre Físicas y Matemáticas y mi tutor me dijo que Matemáticas, por ser más abstracta, me iba a abrir un abanico mayor de opciones. Me informé y vi que había un 95% de empleabilidad en los tres primeros meses”.

SUBEN LAS CIENCIAS Y BAJAN LAS INGENIERÍAS

Los estudios de ciencias —incluyen Matemáticas, Biología, Químicas y Físicas— han experimentado un aumento en los campus públicos, pasando de representar el 8,7% en el 2012 al 9,5% un lustro después. Un incremento que coincide con la crisis económica que llevó al paro a muchos arquitectos e ingenieros de caminos.

Un estudio de Analistas Financieros Internacionales (AFI) concluye que tener una buena formación matemática desde la escuela “genera rentabilidad: mejores ocupaciones y mayores salarios en el futuro, entre un 7% y un 10%” superiores.

35 de las 48 universidades públicas impartieron en 2016-2017 el grado y, de media, los estudiantes aprobaron el 70% de los créditos en los que se matricularon, un porcentaje a mitad de la tabla entre las carreras de ciencias.

Las matemáticas son vitales en el sector informático, financiero, de telecomunicaciones, sanitario y energético. “La empleabilidad es del 100%. Hace años, las empresas tecnológicas pedían un ingeniero informático o industrial y ahora han abierto el campo a los físicos y los matemáticos”, explica Álvarez, que elige mandos medios y directivos en Adecco. “A veces llamas a alguien de este perfil que te dice que ha tenido ya otra oferta esa misma mañana y no puedes tardar en tomar la decisión porque te quedas sin él”.

Helena García Escudero, estudiante de Matemáticas y Físicas en la Complutense.
Helena García Escudero, estudiante de Matemáticas y Físicas en la Complutense.

La universitaria vallisolotena Helena García Escudero, que termina Matemáticas y Físicas en la Complutense, llegó desorientada a la carrera. “Matemáticas te enseña los fundamentos de todo y curiosamente no usas la calculadora, mientras que Físicas es más aplicada y la utilizas. Tienes que aprender un nuevo lenguaje y te rompe los esquemas”, cuenta la futura astrofísica encantada de su decisión. En unos días, Helena empezará unas prácticas en la sede madrileña de la Agencia Espacial Europea y el pasado curso estuvo con una beca en la Universidad de Irving (California), donde comprobó que allí muchos alumnos redondean los estudios con conocimientos de Filosofía o Historia. Helena, que toca el piano y participa en pruebas de atletismo universitario —lo cuenta para dejar claro que no son unos cerebritos aislados del mundo—, quiere hacer un máster en la Universidad de Chicago. Helena, que toca el piano y participa en pruebas de atletismo universitario —lo cuenta para dejar claro que no son unos cerebritos aislados del mundo—, quiere hacer un máster en Astrofísica en la Universidad de Chicago.

“Las facultades de Matemáticas están formando bien en las técnicas y la contextualización abstracta de la resolución de problemas”, se felicita la matemática Elisa Martín Garijo, directora de Innovación de IBM España. “Y luego hay másteres que te permiten ahondar en los datos o la producción industrial. Pero lo importante es que las bases estén bien marcadas y luego el resto del conocimiento es bastante fácil”. En esta compañía muchos altos cargos son matemáticos, empezando por su presidenta, Marta Martínez.

Por ponerle un pero, la directiva de IBI afirma: “Podría mejorar la colaboración entre la universidad y la empresa para que los estudios tengan una visión más práctica”. Otero, vicerrectora de Titulaciones de la Universidad de Santiago, cree que ya están en ello. “En casi todos los grados se están implantando las prácticas externas que antes no se incluían. Se interesan por ellos institutos biomédicos que necesitan matemáticos en equipos multidisciplinares para, por ejemplo, traducir el tratamiento de una enfermedad a un lenguaje que entienda una máquina”.

El tirón matemático parece imparable y tiene un reverso para la ciencia. “Las empresas les ofrecen a los recién egresados 1.500 o 1.800 euros y así es difícil que se queden en la universidad haciendo investigación básica, que tampoco puede descuidarse”, alerta el rector Brú.

UNA TITULACIÓN SIN TANTA BRECHA DE GÉNERO

Las Administraciones organizan actividades para atraer vocaciones a las STEM (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas), muy necesitadas de nuevas incorporaciones y especialmente femeninas. Sin embargo, en el grado de Matemáticas la brecha no es tan acusada. Victoria Otero, presidenta de la Comisión Profesional de la Real Sociedad Matemática Española, explica que en el grado el 44% son alumnas. Una cifra estable en el tiempo. “Matemáticas se relacionaba antes con la docencia y eso es un trabajo muy asociado a las mujeres”, explica. Aunque la presencia femenina disminuye en los dobles grados que incluyen Matemáticas: son el 33%. Los decanos no tienen clara la causa, quizás se debe a la extrema competitividad para acceder a ellos. “No es cuestión de expediente”, precisa Otero. “Faltan referentes femeninos para las niñas, porque casi todos los científicos más importantes de la historia son hombres”, razona la joven Carmen Recio que hace una labor de divulgación.

Fuente: elpais.com, 30/05/19.

Más información:

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La utilidad de la Historia

febrero 6, 2019

¿La Historia es una ciencia?

Por Alberto Vázquez Bragado.1

Reloj astronómico de Praga
Reloj astronómico de Praga.

Se sabe que, en Historia, es prácticamente imposible obtener teorías o leyes generales de forma deductiva y más tarde soportar un experimento como sucede en las ciencias sociales, pues lo histórico viene ya de experiencias vividas, de observaciones a lo largo del tiempo. ¿Qué experimentación habrían de precisar?

Desde luego que ninguna. La Historia, como tal, es una ciencia social en la que intervienen infinidad de variables y donde las constantes pueden cambiar con facilidad; por lo tanto, bajo esa perspectiva, es difícil elaborar leyes generales tal como lo entiende la comunidad científica y muchos pensadores.

Las proporciones científicas

Pero, ¿qué entendemos por teorías o leyes generales? Podría valernos el considerarlas como un conjunto de supuestos a partir de los cuales, mediante razonamientos lógicos, sería posible deducir hechos, sucesos o acontecimientos del tipo de:

“identificada científicamente una cosa, situación o proporción, mediante cálculos aritméticos o razonamientos lógicos, deducimos o predecimos otra, o sea: (A) mediante (r), se convierte en (B)”.

Por ejemplo, en la ciencia natural por antonomasia, que es la física newtoniana, el espacio recorrido por un cuerpo es igual a la velocidad que lleva ese cuerpo, multiplicado por el tiempo que tarda en recorrerlo (E = V x T); o, en la ley de la palanca, donde Potencia por su brazo es igual a la Resistencia por el suyo (P x b1 = R x b2).

Escultura que representa la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d'Or, Lyon, Francia
Escultura sobre la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d’Or, Lyon, Francia

Todo ello ¿Qué nos está diciendo? Bajo mi punto de vista lo que nos están diciendo todas estas fórmulas o ecuaciones es que existen unas proporciones, unas equivalencias entre las partes y el todo; por ejemplo, entre velocidad y tiempo con el espacio, y también entre las partes, o sea, entre velocidad y tiempo entre sí.

En el segundo ejemplo, se podría decir que existe una proporción o correspondencia máxima -que llega a la igualdad- entre dos elementos, aparentemente distintos, que son los dos miembros de la ecuación, (P x b1) por un lado y (R x b2) por el otro; de tal forma que si al primer miembro lo llamamos (A) y al segundo miembro lo llamamos (B), A : B =  1, o lo que es lo mismo, la proporcionalidad mínima o máxima, según se mire, es la igualdad, y a partir de ese punto diremos que un elemento es poco o muy proporcional a otro.

Puede ser directamente proporcional, en razón de sus magnitudes, de forma que cualquier cambio del primer elemento produce un cambio cuantitativo o cualitativo del segundo en el mismo sentido; e inversamente proporcional, de forma que cualquier cambio del primer elemento origina un cambio del segundo, pero en sentido inverso.

Las proporciones de los hechos históricos

El análisis anterior nos sirve para despejar dudas y tener un punto de partida no “contaminado” de la gran cantidad de fórmulas, modelos y opiniones que existen sobre el particular, y que nos llevan a afirmar que, en cualquier teoría o ley general, existen proporcionalidades entre los diferentes elementos, sucesos, hechos, fenómenos…

Y en la Historia y las ciencias sociales se pueden encontrar proporcionalidades, relaciones y análisis entre muchos de sus elementos, sucesos, hechos y fenómenos, como sucede en las ciencias naturales. La cuestión es que las matemáticas y la física necesitan proporciones máximas y no se conforman con proporciones menores, es decir, las matemáticas y la física no pueden permitirse el más mínimo error en la mayoría de los casos, y por ello buscan teorías que se puedan plasmar en igualdades y ecuaciones, pero las ciencias sociales, y en especial la Historia, no precisan tanto, se conforman con encontrar regularidades y analogías.

Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997
Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997 (The Philosophy of Science Association)

Carl G. Hempel afirma en su obra La explicación científica, que sería más correcto hablar de “hipótesis universales” en lugar de hacerlo de “leyes generales”, y que buscar una “hipótesis universal” en la Historia debería hacerse bajo el presupuesto de hallar una hipótesis que afirme una regularidad del siguiente tipo:

“en todos los casos en donde un hecho de una clase específica C ocurre en un cierto lugar y tiempo, otro hecho de una clase específica E ocurrirá en un lugar y tiempo relacionados de un modo específico con el lugar y el tiempo de ocurrencia del primer suceso.”

Simetrías y semejanzas

El modelo de hipótesis de Hempel hace que me sienta cómodo, sobre todo, porque es el modelo más común que aparecerá casi siempre en cualquier hipótesis histórica que se quiera formular, al incorporar dos factores fundamentales de la historia: espacio y tiempo, sin los cuales la historia no tendría sentido.

Sin embargo, lo que la Historia no puede establecer es “en todos los casos”, y, en ese sentido, la Historia no puede ni debe pretender ser una ciencia que pueda crear modelos matemáticos de ecuaciones e igualdades, ni tampoco establecer una “ley general” que pueda ser refutada por motivo de una sola predicción que no se cumpla, como afirman los racionalistas con Karl Popper a la cabeza.

Mi opinión es que, a la Historia le basta con establecer proporcionalidades y analogías entre hechos, elementos, sucesos o acontecimientos del pasado con respecto al presente, y que, gracias al modelo inductivo –el mejor por ser histórico–, se puedan predecir tendencias futuras e incluso, utilizando la estadística, analogías y semejanzas.

Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas
Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas.

Resumiendo, las ciencias exactas precisarán ecuaciones algebraicas para establecer la “ley general”, y las ciencias naturales precisarán experimentaciones científicas rigurosas o demostraciones algebraicas para ser aceptadas; en cambio, las ciencias sociales se conforman con “esbozos de ley general” o proporcionalidades.

En palabras más sencillas, las ciencias exactas se identifican con igualdades; las ciencias naturales se identifican con igualdades fiables, es decir, sometidas a refutación experimental; y las ciencias sociales establecen proporcionalidades y analogías a través de series de hechos similares comprobados, que darían origen a un sistema de probabilidades que pudiera establecer una “ley general”.

En ese sentido, la Historia sería la ciencia más adecuada y fiable para poder establecer hipótesis del tipo inductivo, ya que los (n) elementos, hechos, sucesos o acontecimientos que puede presentar como prototipos, son de una gran seguridad y solvencia al tratarse de elementos, hechos, sucesos o acontecimientos históricos, teniendo, además, como elemento catalizador al tiempo, que es consustancial con la Historia y fundamental a la hora de valorar si un determinado suceso está sometido o no a una ley general; es decir, se puede someter a una ley general válida, y se puede estudiar y analizar bajo el punto de vista de las ciencias naturales o, por el contrario, es un suceso singular que se deberá estudiar y analizar bajo el prisma de las ciencias humanas o del espíritu; o sea, nosotros opinamos con convicción que muchos sucesos históricos podrían estar sometidos a leyes generales para pequeños periodos de tiempo, y, por otro lado, también estamos convencidos de que muchas leyes generales establecidas desde las ciencias naturales en un tiempo ilimitado, podrían no tener validez.

Leyes naturales y leyes sociológicas

Consideremos un ejemplo. Históricamente, está constatado que, en una amplia sociedad, cuanto más se incrementa la clase media menos posibilidades hay de que haya grandes revoluciones. Llamando a la sociedad A y a la clase media B, se producirá que, a medida que la clase media aumenta, el riesgo de revolución R disminuye convirtiéndose en R’, siendo B y R cuantificable en número, cantidad o dimensión. Contrariamente, a medida que la clase media disminuye, el riesgo de revolución aumenta; por lo tanto, creemos que existe una proporcionalidad que se puede constatar históricamente, pero que no podemos asegurar que se cumplirá siempre y en cualquier lugar.

Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos
Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos (US Census)

Sin embargo, sí se producirá una cuasi igualdad en forma de ecuación que diga: en una sociedad de ciertas dimensiones A, y en tiempo (t) suficientemente pequeño:  B’ / B = R / R’, de tal forma que, cuando en la sociedad A, con una clase media B, y en un tiempo muy corto, a medida que aumenta la clase media disminuirán las revoluciones, ya sea en cantidad o intensidad.

Cierto es que no podemos estar seguros de que esa igualdad se seguirá produciendo en el futuro, puesto que la ecuación nace de una inducción histórica y, bajo el punto de vista de las ciencias naturales, nadie puede asegurar que esa ley se siga produciendo en un tiempo futuro ilimitado, pero existen una serie de elementos psicológicos y sociológicos de la sociedad que aseveran que es más fácil que una sociedad se revele violentamente contra el orden establecido y las instituciones cuando esa sociedad está formada por una mayoría de clase baja, que si está formada por una mayoría de clase media.

Resumiendo, podemos afirmar que, en un tiempo corto, muchas leyes inductivas serían tan válidas como las leyes deductivas y, por consiguiente, podemos afirmar que, en el corto plazo, existen muchas generalidades de carácter histórico que se podrían emplear discretamente para conocer mejor el pasado, y prevenir cuidadosamente el futuro, o lo que es lo mismo: las aproximaciones y tendencias, en el corto plazo, pueden tener validez para la historia.

El continuo e infinito tiempo

Nuestro punto de vista sobre el tiempo es el siguiente:

El tiempo podría ser relativo para cada Sistema, partiendo de una unidad global que es el mundo, como el conjunto de galaxias; nuestro mundo correspondería a la constelación de la Vía Láctea y la Tierra, donde vive la humanidad, gira alrededor de una estrella incandescente llamada Sol, que es de donde recibe el calor para producir y mantener a los seres vivientes del planeta Tierra, y, por ende, la vida del ser humano.

Representación gráfica del sistema solar
Representación gráfica del sistema solar.

Pues bien, dejando de lado el tiempo de esa unidad global del Mundo, nuestro tiempo será la magnitud que mide los procesos de rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol, pero si hacemos un esfuerzo de abstracción mental o, como dirían Horkheimer y Adorno, “logramos separar el sujeto del objeto mediante un esfuerzo mental” al mismo tiempo que nos olvidamos del día, de la noche, de los relojes…, ¿qué sería el tiempo para nosotros?  ¿No sería algo vacío, solo medible por el envejecimiento de nuestro cuerpo, el crecimiento de plantas, el nacimiento de criaturas, su crecimiento o el deterioro de las cosas que nos rodean?

Por lo tanto, nosotros creemos que el tiempo siempre está ligado a “acción” y movimiento, y lo que el ser humano identifica como tiempo en realidad es duración, cosa que ya Bergson lo afirmaba en su obra La Evolución Creadora, donde asevera que nuestra inteligencia tiende a considerar el tiempo de una forma rectilínea y distingue de modo artificial el pasado, presente y futuro, mientras que, para la auténtica realidad de la conciencia, el tiempo es duración (durée), o sea, algo no susceptible de reducirse a un instante, porque es un flujo continuo “cuyos momentos sucesivos no pueden separarse”. Por consiguiente, la duración solo puede ser captada, según la concepción bergsoniana, mediante la intuición, y nuestra interpretación del tiempo sería t = p1 + p2 + p3 + … pn, es decir, el tiempo sería el conjunto infinito de procesos o cambios que se producen en un Sistema, lo que nos lleva a afirmar que el tiempo histórico es un conjunto de cambios continuos y progresivos producidos en las sociedades hasta nuestros días, en el bien entendido de que esos cambios han de ser “hechos” o “acontecimientos” de relevancia histórica.

Alberto Vázquez Bragado

–Alberto Vázquez Bragado es Licenciado en Historia por la universidad de Barcelona. Máster en Historia de la Ciencia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Formación en Ciencias Económicas, Dirección de Empresas y Literatura. Autor de artículos de investigación en la revista científica Llull y de varios libros de divulgación científica.

Fuente: cinconoticias.com, 22/12/18.

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El número cordobés

diciembre 31, 2018

EL NÚMERO CORDOBÉS

El otro día, mientras estábamos en clase apareció en uno de los ejercicios un número bastante singular conocido como número cordobés. La curiosidad me picó a investigar a cerca de este número y ahora me dispongo a exponeros los resultados de mi investigación.
Lo primero es ver de donde viene este número. Su construcción es muy sencilla, lo obtenemos de dividir el radio de un octógono por su lado quedando algo así y siendo su valor 1.30656…

Como también habréis podido imaginar, esta proporción es muy común en la Mezquita cordobesa, aquí tenéis algunos ejemplos:

No solo eso, lo más curioso es que en 1951, la diputación cordobesa decidió realizar un test a estudiantes de arquitectura, pidiéndoles que dibujarán su rectángulo ideal. Pensando que el mayoritario sería el famoso rectángulo áureo su sorpresa fue descomunal cuando descubrieron que la proporción ideal era la de rectángulo que divido el largo por el ancho se obtenía aproximadamente 1.3 frente al 1.6 del áureo, una diferencia más que considerable. Atónitos decidieron repetir el test pero ahora sobre la población cordobesa en general obteniendo de nuevo el mismo resultado. Y resulta, que por alguna extraña razón el ideal de belleza en Córdoba no es el rectángulo áureo. Además este número no solo está presente en la ciudad de la Mezquita, lugar en el que abunda, sino que es muy fácil encontrarlo, ya que el octógono siempre ha sido una figura geométrica muy ligada a la construcción, por ejemplo en torres, que para sostener sus cúpulas pasan de un cuadrado a un octógono mediante un corte sagrado en la mayoría de los casos.  

Fuente: matematicosoriano.blogspot.com

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Georg Cantor y los infinitos

diciembre 31, 2018

Georg Cantor, el matemático que descubrió que hay muchos infinitos y no todos son del mismo tamaño

Por Marcus du Sautoy.
Serie de la BBC «Breve historia de Matemáticas»

Infinitos
Asombrosamente, no hay uno sino infinitos infinitos, de muchos tamaños.

En un chiste de matemáticos, un profesor le pregunta a la clase cuál es el número más grande. «Un trillón de billones», responde Jorge. «Y si es un trillón de billones y uno?», replica el profesor. «Bueno, estaba cerca», dice Jorge.

Los números no tienen fin. Dame un número y te daré uno más grande.

Durante miles de años, los matemáticos pensaron que el infinito estaba más allá de su comprensión.

Pero a comienzos del siglo XX, el matemático alemán Georg Cantor abordó el problema del infinito y nos mostró cómo seguir contando cuando los números se agotan.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 1918)
Image captionGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 1918) fue la primera persona que pudo formalizar la noción de infinito.

Es uno de los momentos más emocionantes en la historia de las matemáticas. Se parece al momento en que contamos por primera vez. Pero en lugar de 1, 2, 3, contamos infinitos.

Cantor reveló que el infinito en sí mismo es un número. De hecho, infinitamente muchos números. Una revelación que desafió profundamente el establecimiento matemático.

«El verdadero logro de Cantor fue mostrar que hay infinitos más grandes que otros, algo sencillamente asombroso», señala Roger Penrose, profesor emérito de Matemáticas de la Universidad de Oxford, en conversación con la BBC.

«Entonces no se trata sólo de lo finito y lo infinito. Hay infinidades grandes, otras enormes, otras estupendamente enormes…».

Una separación

Por un tiempo, la ciencia y las matemáticas mantuvieron una relación muy íntima. Pero a mediados del siglo XIX, comenzaron a separarse.

El movimiento neohumanista de Wilhelm von Humboldt, que valoraba la educación por sí misma, en lugar de centrarse en objetivos utilitarios, alentó a los matemáticos en Alemania a pensar de forma más creativa, más imaginativa y de una manera más abstracta.

Gotinga siglo XIX
Gotinga era la meca de las matemáticas en ese tiempo, pero Cantor estaba en Halle.

Y en ninguna parte esto se puso en práctica más que en Gotinga.

Fue allá donde Carl Gauss comenzó a remodelar las matemáticas, desarrollando nuevas teorías de los números, y donde Bernhard Riemann empujó a la gente al hiperespacio, explorando mundos que nunca podrían verse.

Y fue ahí donde el siguiente gigante de las matemáticas alemanas, Georg Cantor, aspiraba hacer su investigación.

Una pregunta

A Georg Cantor le gustaba hacer preguntas difíciles.

En su tesis doctoral, escribió: «En matemáticas, el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas«.

Infinito ilustrado con el efecto droste
Antes de Cantor, se pensaba que el infinito estaba más allá de nuestra capacidad de comprensión.

Y para él, «la esencia de las matemáticas descansa por completo en la libertad«

Fue esa libertad la que provocó que Cantor se dirigiera en una dirección que potencialmente no tenía fin. Le atrajo la idea de tratar de capturar el infinito, algo que la mayoría de los matemáticos de la época creían imposible.

Pero, en opinión de Cantor, «el miedo al infinito es una forma de miopía que destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar de que en su forma más elevada nos ha creado y sostenido«.

Él iba a llevar las matemáticas a mundos cada vez más abstractos, que incluso los matemáticos de Gotinga encontraron desagradables.

¿Un infinito?

Hasta entonces, todos los infinitos habían sido agrupados bajo un encabezado. Pero Cantor quería saber si algunos infinitos eran más grandes que otros.

Fue la pregunta con la que batalló toda su vida. Cuando finalmente resolvió lo aparentemente imposible, estaba absolutamente convencido de su validez.

Infinito ilustrado con el efecto droste
No había un único infinito sino muchos, supo Cantor. Y luego se preguntó si todos los infinitos eran iguales.

El infinito podía ser domesticado y comprendido.

Para quienes tienen los conocimientos suficientes para poderlos apreciar, los teoremas que Cantor son hermosos.

No obstante, en su época, hasta el eminente matemático Leopold Kronecker, quien lo había entrenado en la Universidad de Berlín y debería haber sido su más importante defensor, los consideró como un carbunclo matemático.

Una pelea

Aún así, Cantor no dio cabida a las dudas.

«Mi teoría se mantiene tan firme como una roca; cada flecha dirigida contra ella regresará rápidamente a su arquero«, afirmó.

Leopold Kronecker
Image captionLeopold Kronecker había sido su profesor, pero se convirtió en su tormento.

Kroneker insistió, implacable.

«No sé qué predomina en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero estoy seguro de que lo que no hay ahí es matemáticas«.

En cierto sentido, Kronecker tenía razón, las ideas de Cantor rozaban la filosofía y llegarían a cuestionar los fundamentos mismos de las matemáticas.

Cantor se defendió escribiéndole directamente al Ministro de Educación sobre el comportamiento de Kronecker.

«Yo sabía exactamente el efecto inmediato que esto tendría: que Kronecker se irritaría como si lo hubiera picado un escorpión, y con sus tropas de reserva provocaría tal aullido que Berlín pensaría que había sido transportado a los arenosos desiertos de África, con sus leones, tigres y hienas. ¡Parece que realmente logré ese objetivo!«, escribió Cantor.

Pero sus comentarios no le ganaron simpatías en la comunidad matemática y comenzó a tener dificultades hasta para publicar sus ideas.

Un golpe de gracia

Poco después, recibió otro golpe, esta vez del influyente matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, quien además era editor de la importante revista matemática Acta Mathematica.

«Estoy convencido de que la publicación de su nuevo trabajo perjudicará enormemente su reputación entre los matemáticos. Sé muy bien que, básicamente, a usted eso le da lo mismo. Pero si su teoría es desacreditada, pasará mucho tiempo antes de que vuelva a conseguir la atención del mundo matemático«, le advirtió.

Gotinga
La comunidad matemática en Gotinga se unió en su contra.

A Cantor le afectó profundamente el rechazo de un matemático al que respetaba mucho:

«De repente recibí una carta de MittagLeffler en la que escribió (para mi gran asombro) que, después de una seria consideración, consideró esta publicación como aproximadamente 100 años antes de tiempoDe ser así, tendría que esperar hasta el año 1984, y eso me parece demasiado pedir«, se lamentó.

Una lástima

La oposición de Mittag-leffler y Kronecker aseguró que Cantor nunca llegara a Gotinga: pasó el resto de sus días en los remansos de Halle, donde comenzó a sentirse cada vez más aislado.

«La visión [del infinito] que considero la única correcta es compartida por pocos. Aunque posiblemente yo sea el primero en la historia en tomar esta posición tan explícitamente, ¡estoy seguro de que no seré el último!«.

Infinito en el suelo
Por brillantes que fueran, los infinitos de Cantor iban a tener que esperar… demasiado tiempo para él.

Sufría episodios de depresión maníaca y la controversia sobre sus matemáticas solo empeoró las cosas.

Y a su batalla con el establecimiento se le sumó la muerte de su madre, hermano e hijo menor.

Eventualmente, Cantor fue admitido en el hospital psiquiátrico en Halle donde pasó gran parte de las últimas décadas de su vida.

Cómo contar el infinito

Cantor, al que le gustaban las preguntas, pensaba en los números como la respuesta a la pregunta: ¿cuántos?

Su gran idea surgió de imaginar que solo teníamos 4 números: 1,2,3 y muchos.

Mercado
Para que entendiéramos, nos llevó al mercado.

Imagínate que estás en un mercado. Tú tienes muchas monedas, el tendero tiene muchas naranjas.

Cantor se dio cuenta de que incluso si no podemos contar (porque el único número que tenemos más allá de 3 es «mucho»), aún podemos saber quién tiene más naranjas o monedas.

Lo que haríamos es emparejar la primera naranja con tu primera moneda, la siguiente naranja con tu segunda moneda, y así sucesivamente, hasta que…

  • Tú te quedas sin monedas (el tendero tenía más naranjas)
  • Él se queda sin naranjas (tú tenías más monedas)
  • o ambos se quedan sin naranjas y monedas (tenían la misma cantidad).
1, 2, 3 en frutas
1, 2, 3 y muchas monedas o naranjas.

Cantor aplicó la misma idea al concepto de infinito.

Descubrió, por ejemplo, que la infinidad de números enteros (1, 2, 3…) tiene el mismo tamaño que el infinito que consiste en números pares (2, 4, 6…).

Pero la sorpresa llegó cuando intentó emparejar números enteros con números decimales.

Esta vez encontró que siempre hay más números decimales que números enteros.

O dicho de manera más formal: la infinidad de todas las expansiones decimales infinitas de números es un tipo de infinito genuinamente más grande que la infinidad de números enteros.

Y no se detuvo.

Prueba de emparejamiento infinito de Cantor
Diagrama que muestra la prueba de emparejamiento de Cantor, que demostró que el conjunto infinito de números racionales es contable y tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que los números naturales ( 1, 2, 3 …). Los números racionales incluyen las fracciones formadas a partir de los números naturales, pero se pueden contar utilizando el mismo método que el utilizado para contar los números naturales. Aquí, las fracciones racionales se cuentan a lo largo de las diagonales (flechas rojas) donde los números que forman la fracción suman 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente. Las fracciones racionales repetidas se muestran en azul. Por el contrario, los números reales (decimales infinitos) forman un conjunto infinito incontable.

Hay más de un infinito.

De hecho, hay infinitos infinitos.

Si todo esto de desconcierta un poco, ahora entiendes lo que le pasó a los contemporáneos de Cantor, entre ellos algunas de las mejores mentes matemáticas del siglo XIX.

Una pregunta, dos respuestas

Cantor nos mostró cómo seguir contando cuando llegamos al final de nuestros números.

Mostró que puede haber infinitos conjuntos de diferentes tamaños.

Y siguió encontrando más resultados extraños, como que no existe un conjunto que sea el más grande: dado un conjunto infinito, siempre se puede hacer uno más grande.

Pero la pregunta que realmente irritó a Cantor se refería a la naturaleza del conjunto infinito de números decimales.

Signo de interrogación
Una pregunta que no tenía una respuesta.

Sí, es más grande que el conjunto de números enteros, pero ¿podría haber un conjunto intermedio?

Un día, probaba que sí, al día siguiente, demostraba lo contrario.

¿La razón? Ambas respuestas son correctas, como se demostró algunas décadas después, una revelación por la que varias áreas de las matemáticas entraron en crisis.

El infinito mostró el límite

Las ideas de Cantor sobre los infinitos llevaron al descubrimiento de que las matemáticas mismas tienen limitaciones.

El gran lógico austríaco Kurt Godel, inspirado por el problema de Cantor, demostró en la década de 1930 que hay afirmaciones sobre números que son ciertas pero que no se pueden probar.

Mente con colores
¿Mente humana vs computadoras? Sólo necesitas recordar a Cantor para saber que el conocimiento humano no es computable.

Roger Penrose, famoso por su comprensión de las matemáticas de los agujeros negros, recientemente ha centrado su atención en el cerebro humano.

Y cree que las matemáticas de Cantor fueron el catalizador de nuevas ideassobre lo que hace que nuestros cerebros sean especiales (y crucialmente diferentes de las computadoras).

«El argumento que Cantor usó para mostrar que algunos infinitos son más grandes que otros infinitos muestra que el conocimiento humano no es computable», destaca Penrose.

«Es extraño, pero lo que hacemos los humanos es algo que involucra consciencia, pues el conocimiento mismo implica nuestra percepción consciente», explica.

«No tiene mucho sentido decir que entiendes algo si no estás siquiera consciente de ello», le dijo a la BBC.

El paraíso

En los albores del siglo XX, los matemáticos comenzaron a reconocer el valor las asombrosas creaciones de Cantor.

David Hilbert, que estaba emergiendo como el principal matemático de su generación en el mundo, declaró que la obra de Cantor era «el producto más asombroso del pensamiento matemático, una de las realizaciones más bellas de la actividad humana en el dominio de lo puramente inteligible«.

Chica con cuadro que la muestra a ella
Tocar el infinito.

«Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros«, destacó Hilbert.

Como dijo Mittag-Leffler, Cantor estaba adelantado 100 años a su tiempo.

Para mediados del siglo XX, lejos de ser criticado, el genio rechazado fue acogido por las matemáticas convencionales.

Y es que las ideas de Cantor son unas de las extraordinarias de la historia.

Le han permitido a los matemáticos tocar el infinito, jugar con él y finalmente reconocer que el infinito es un número. No sólo un número sino infinitamente muchos números.

Fuente: bbc.com, 2018.

matemáticas

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Cómo detectar fraudes con la ley de Benford

noviembre 22, 2018

La ley de Benford: ¿aprender a defraudar o a detectar fraudes?

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Cambiar demasiados números en documentos financieros puede resultar arriesgado si uno no conoce ciertas matemáticas. Muy a menudo, los números que aparecen en este tipo de documentos siguen cierta regla matemática, llamada ley de Benford o ley del primer dígito significativo. Si uno se olvida de seguir la regla, entonces los números no pasarán ciertos tests estadísticos y es probable que sean examinados con detenimiento por un hipotético agente fiscal. La ley de Benford afirma que si se toman números aleatoriamente y se calculan las frecuencias de sus primeros dígitos significativos, los números con primer dígito significante 1 representarían el 30%, mientras que los números con primer dígito significante 9 representarían el 4.5%. Esta regla se observa en otros muchos conjuntos de números, como las potencias de 2 o los números de Fibonacci.

¿Por qué?

A día de hoy se tienen explicaciones satisfactorias para este hecho y vamos a compartirlas con el lector.

La ley de Benford tiene que ver con la distribución de los primeros dígitos significativos de los números. El primer dígito significativo de un número positivo es el dígito no nulo que aparece más a la izquierda en su expresión decimal. Por ejemplo, el primer dígito significativo de \pi es 3, el de 2371.5 es 2 y el de 0.00563 es 5. Otra manera de definirlo que será útil en nuestra discusión matemática es escribir un número real positivo x como un número m \in [ 1 , 9 ) multiplicado por una potencia de 10:

\[x = m 10^n ~ , ~~ n \in \mathbb{Z}.\]

Entonces el primer dígito significativo de x es la parte entera de m, que se denota por \lfloor m \rfloor. El número m se llama mantisa de x. Afirmamos que si tomamos una colección de números aleatorios y calculamos la frecuencia B(i) del primer dígito significativo i, entonces B(i) es aproximadamente \log_{10} (1 + \frac{1}{i}). Esta fórmula proporciona la siguiente tabla de frecuencias:

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Tabla 1: Frecuencias en la ley de Benford.

Figura 1: Frecuencias B(i) en la ley de Benford.

Demos ahora una breve reseña histórica. El fenómeno fue descubierto por primera vez por el astrónomo Simon Newcombe (1835-1909), quien se dio cuenta de que las primeras páginas de las tablas logarítmicas (correspondientes a dígitos significativos pequeños) aparecían mucho más desgastadas que las últimas páginas. Su descubrimiento fue olvidado y esta ley fue redescubierta por Frank Benford (1883-1948) hacia 1938. Frank Benford reunió decenas de miles de números de distintos orígenes que seguían su ley. La moderna base de datos de Simon Plouffe, que contiene 215 millones de constantes matemáticas también sigue la ley de Benford.

Muchos conjuntos de números que no son aleatorios también siguen la ley de Benford. Este es el caso de la población o la superficie de los países, la longitud de los ríos, etc. Quizá el lector quiera interrumpir la enumeración y empezar a ser escéptico… ¿En qué unidades se miden estas longitudes y estas áreas? ¿Las longitues vienen dadas en millas o en kilómetros? Esto no importa… Si las longitudes de los ríos en kilómetros siguen la ley de Benford entonces ¡las longitudes en millas también siguen la ley de Benford! Un cambio de unidades se corresponde con un cambio de escala. Veremos que la ley de Benford es invariante frente a cambios de escala. Más aún, es la única ley de probabilidad invariante frente a cambios de escala.

Figura 2: Algunos datos que siguen aproximadamente la ley de Benford: superficies de países en kilómetros cuadrados, áreas de países en millas cuadradas y poblaciones de países.

En la introdución se ha mencionado que los números de Fibonacci también siguen la ley de Benford. En cierto sentido, la ley de Benford es subjetiva, ya que depende de la base 10en la que expresamos los números. En una base b con b \neq 10 los dígitos no nulos son los elementos del conjunto \{ 1; ... ; b-1\} y la ley de Benford en base b dice que la frecuencia del primer dígito significativo i es B_b (i) = \log_b (1+\frac{1}{i}). Pues bien: ¡los números de Fibonacci siguen la ley de Benford en cualquier base b! La ley de Benford es invariante frente a cambios de base.

Ya es tiempo de comenzar a dar explicaciones. Para ello se requiere al lector que recuerde sus cursos de probabilidad. O a lo mejor prefiere experimentar por sí mismo antes de leer matemáticas más serias.

1. Invarianza frente a cambios de escala

Consideremos un cambio de escala simple obtenido multiplicando todos los números por 2. Si consideramos los números con dígito significativo 1, todos ellos pasarán a tener como dígito significativo 2 o 3. Es fácil ver que B(1) = B(2) + B(3). De hecho,

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De manera similar se puede comprobar que B(2) = B(4)+B(5), etc. Pero, ¿cómo arreglárselas al cambiar de kilómetros a millas, es decir, multiplicar números por 1,6? Como se ha dicho anteriomente, la ley de Benford es demasiado restrictiva y necesitamos generalizarla. ¿Qué significa que el primer dígito significativo sea i? Significa que su mantisa m pertenece al intervalo [i, i + 1). Por tanto, la ley de Benford es una distribución de probabilidad parcial sobre la mantisa. La ley de Benford generalizada (que llamaremos ley de Benford haciendo abuso del lenguaje) en la mantisa viene dada por una función de densidad en el intervalo [1, 10). Cuando elegimos un número al azar y calculamos su mantisa, obtenemos una variable aleatoria M que toma valores en [1, 10). Podemos decir que sigue la ley de Benford si la función de densidad viene dada por

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}  \frac{1}{x \log 10}, & x \in [1 , 10 ), \\ 0, & \mbox{en otro caso.} \end{array}\right.\]

Si P(a \leqslant M < b) es la probabilidad de que a \leqslant M < b entonces se tiene que tener que

\[P( a \leqslant M < b ) = \int_a^b  f(x) d x.\]

Esto es una generalización de la ley de Benford, ya que

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¿Qué significa que una variable aleatoria X en [1, 10) es invariante frente a cambios de escala? Significa que si c es un número real positivo y tomamos la variable aleatoria Y = cX entonces la mantisa M de la variable aleatoria Y tiene la misma función de densidad que la de X. Esto no es difícil de probar en el caso en que X proviene de la ley de Benford, pero hay que distinguir casos en función del tamaño de c. Lo haremos para uno de los casos y dejaremos el resto al lector. Podemos escribir c = m 10^r, donde m \in [1, 10)es la mantisa de c. Como la mantisa de cX es la misma que la de mX, basta considerar el caso c \in [1, 10). ¿Cuál es la herramienta necesaria para probar esto? Puede que el lector recuerde de sus cursos de probabilidad que la función de distribución (acumulada) es muchas veces más útil que la función de densidad para variables aleatorias continuas. La función de distribución de una variable aleatoria M se define como

\[F(x) = P(M \leqslant x).\]

Si X sigue la ley de Benford entonces su función de distribución viene dada por

(1)\begin{eqnarray*} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}  0, & x < 1, \\ \log_{10} x, & x \in [1 , 10), \\  1, & x \geqslant 10. \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Por tanto, debemos probar que si X sigue la ley de Benford y M es la matisa de cX, para c \in [1, 10), entonces la función de distribución de M viene dada por (1).

Para ello necesitamos calcular P(M \leqslant z) para z \in [1, 10]M es la mantisa de cX, que toma valores en [c, 10c). Por tanto M = cX, si cX < 10 y cX / 10 si cX \geqslant 10. El primer caso se da cuando z < c. La única posibilidad de que la mantisa de cX esté en [1, c) es que cX \in [10, 10c].Entonces la mantisa de cX es igual a cX / 10. Por tanto,

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como se buscaba. Los otros casos se resuelven de la misma manera.

El recíproco es más interesante…

2. La ley de Benford es la única ley de probabilidad sobre la mantisa invariante frente a cambios de escala

Esta es una afirmación impresionante. Sin embargo, veremos que la demostración no es mucho más complicada que el argumento anterior. Sea X la variable aleatoria que representa la mantisa y toma valores en [1, 10). Busquemos su función de distribución F(x) bajo la hipótesis de que X es invariante frente a cambios de escala; necesitamos calcular

\[F(x) = P(X \leqslant x) = P(1 \leqslant X \leqslant x).\]

Por tanto, tenemos que F(0) = 0 y F(10) = 1. La mayor dificultad de la demostración radica en interpretar qué significa que X es invariante frente a cambios de escala. Como 1 \leqslant X \leqslant x y c \leqslant cX \leqslant cx son el mismo suceso, se tiene que

(2)\begin{eqnarray*} P(1 \leqslant X \leqslant x) = P(c \leqslant cX \leqslant cx) = F(x). \end{eqnarray*}

Como antes, consideramos el caso c \in [1, 10), por lo que cx < 10 (c depende de x). Así, para c \leqslant cX \leqslant cxcX es igual a su mantisa. Como X es invariante frente a cambios de escala, la mantisa de cX tiene la misma función de distribución que X. Por tanto,

\[P(c \leqslant cX \leqslant cx) = F(cx) - F(c).\]

Combinando con (2) se tiene que F(x) verifica

(3)\begin{eqnarray*} F(x) = F(cx) - F(c),~~~ F(1) = 0,~~ F(10) = 1. \end{eqnarray*}

siempre que c \in [1, 10) no sea demasaido grande. Debemos hallar F en la ecuación funtional (3). Veamos cómo hacer esto. Si c = 1 + \varepsilon, entonces

\[F(x) = F(x(1 + \varepsilon)) - F(1 + \varepsilon),\]

que puede ser expresado como

\[\frac{F(x(1 + \varepsilon)) - F(x)}{x \varepsilon} = \frac{F(1 + \varepsilon) - F(1)}{x \varepsilon},\]

ya que F(1) = 0. Si tomamos el límite cuando \varepsilon \longrightarrow 0, reconocemos en cada lado de la ecuación un cociente cuyo límite es una derivada. En el lado izquierdo es \frac{F(x + x \varepsilon) - F(x)}{x \varepsilon}, cuo límite es F'(x), y en el lado derecho \frac{F(1 + \varepsilon) - F(1)}{\varepsilon}, que tiende a F'(1). Por tanto, se tiene la siguiente ecuación diferencial en variables separables:

\[F'(x) = \frac{F'(1)}{x},\]

cuya solución es F(x) = F'(1) \ln x + C. Como F(1) = 0, tenemos que C = 0, y como F(10) = 1, entonces F'(1) = \frac{1}{\ln 10} . Así, F(x) = \frac{\ln x}{\ln 10} = \log_{10} x y con ello hemos terminado.

3. ¿Por qué números de todo tipo de procedencia siguen la ley de Benford?

Theodore Hill dio una respuesta en 1995. Discutamos brevemente su idea. Por supuesto, no todos los conjuntos de números siguen la ley de Benford. Por ejemplo, si se considera la altura en metros de las personas entonces los únicos dígitos significativos que aparecen son, salvo unos pocos casos, 1 y 2. Si se convierten estas medidas a pies (un pie equivale aproximadamente a 30 cm) entonces la ley de distribución de los dígitos significativos varía. Por tanto, este conjunto no es invariante frente a cambios de escala. Supongamos que tenemos un conjunto de números de diversa procedencia y le cambiamos la escala. En este conjunto existen subconjuntos de números con diferente escala. Como este conjunto es grande y los números tienen diferentes orígenes, lo más probable es que diferentes escalas estén presentes. Multiplicar todos los números del conjunto por una constante positiva induce una permutación de las escalas en el nuevo conjunto. Por tanto, podemos esperar que el conjunto se comporte como si no tuviera ninguna escala en particular, luego seguirá la ley de Benford.

Esta explicación es buena para conjuntos de números provenientes de orígenes diversos, pero no explica por qué las superficies de los países o sus poblaciones o las longitudes de los ríos siguen la ley de Benford. Comentaremos explicaciones recientes (2008) para estos casos dadas por Gauvrit, Delahaye y Fewster. Su razonamiento es válido también para conjuntos grendes de números de toda procedencia.

4. Es probable que los conjuntos de números que abarcan diferentes órdenes de magnitud sigan la ley de Benford

Trabajando en base 10 hemos visto que los números positivos pueden ser escritos como
x = m 10^n, donde m \in [1, 10) y n \in \mathbb{Z}. Podemos considerar n como el orden de magnitud de x. Decimos que hay diferentes órdenes de magnitud en un conjunto si aparecen diferentes valores de n para sus elementos. Notar que esta propiedad es invariante frente a cambios de escala. Para simplificar la explicación, supongamos que los números están en el intervalo [1, 10^6). En este caso, los números con dígito significativo 1 son los pertenecientes al conjunto

\[S_1 = [1, 2) \cup [10,20) \cup [100,200) \cup [1000, 2000) \cup [10^4 , 2 \times 10^4 ) \cup [10^5 , 2 \times 10^5).\]

De manera similar definimos los conjuntos S_i para los otros dígitos. Es mejor trabajar con el logaritmo en base 10 de estos números: y = \log_{10} x; así, y = \log_{10} m + n. Probemos ahora que si una variable aleatoria M en [1, 10) sigue la ley de Benford entonces la variable aleatoria Z = \log_{10} M es uniforme en [0, 1). Para ello, basta ver que la funcion de distribución de Z es la de una variable aleatoria uniforme en [0, 1), es decir,

\[F(z) = \left\{ \begin{array}{ll}  0, & z < 0, \\ z, & z \in [0 , 1), \\  1, & z \geqslant 1. \end{array}\right.\]

De hecho, si z \in [0, 1),

\[P(Z \leqslant z) = P(0 \leqslant \log_{10} M \leqslant z) = P(1 \leqslant M \leqslant 10^z) = \log_{10} 10^z = z.\]

Si X pertenece al conjunto S_1, entonces Y está en T_1 = \log_{10} S_1:

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y de manera similar para los demás dígitos. Supongamos que tomar un número aleatorio de nuestro conjunto es una variable aleatoria X que toma valores en [1, 10^6). Entonces Y = \log_{10} X toma valores en [0 , 6). Notar que la probabilidad de que una variable aleatoria pertenezca a determinado conjunto es igual al área bajo la gráfica de la función de densidad sobre el conjunto.Si la función de densidad f de Y sobre [0 , 6) fuera uniforme, como en la Figura 3 (a), obtendríamos lo que queríamos probar. Sin embargo, en la mayoría de los casos no es así, como en la Figura 3 (b). Por eso es tan importante que el conjunto original de números abarque diferentes órdenes de magnitud. Las diferentes partes correspondientes a un dígito significativo dado i se extienden horizontalmente a lo largo de varios segmentos, cuya suma de longitudes es del orden de \log_{10} (1 + \frac{1}{i}) de la anchura total. Por tanto, incluso si la altura de f(x) no es la misma de un segemento a otro, se puede esperar que la altura media sea del mismo orden de magnitud para diferentes dígitos. Cuando esto sucede, los datos siguen la ley de Benford.

(a) función de densidad f uniforme
(b) función de densidad f no uniforme
Figura 3: Las áreas correspodientes a las frecuencias de los primeros dígitos significativos 1, 2, 3 y 4 para diferentes funciones de densidad de Y. Los valores de las correspondientes áreas están reflejadas en la Figura 4.

(a) función de densidad de f
(b) Áreas bajo la curva para los dígitos significativos de f y para la función uniforme
Figura 4: Las áreas correspondientes a las frecuencias de los primeros dígitos significativos 1, 2, 3 y 4 para la función de densidad de la Figura 3(b). A la derecha se puede ver que estos valores están muy cercanos a los obtenidos mediante la ley de Benford en el caso en que Y tenga una función de densidad uniforme.

5. ¿Cómo comprobar si un conjunto de números sigue la ley de Benford?

Si el lector ha tomado cursos de estadística, probablemente haya estudiado el test de bondad de ajuste chi cuadrado. Este test permite comprobar si ciertos datos siguen cierta distribución de probabilidad. Supongamos que que se quiere hacer este test a un conjunto de n números. Necesitaremos construir una tabla, en la que n_i representa el número de números qdel conjunto que tienen como primer dígito significativo i. Por supuesto, n = n_1 + ... + n_9N_i representa el número de números del conjunto que tendrían primer dígito significativo i si el conjunto siguiera la ley de Benford, es decir, N_i = nB(i).

Rendered by QuickLaTeX.com

Tabla 2: La tabla para el test de bondad de ajuste \chi^2.

Se calcula

\[\chi^2 = \sum \limits_{i=1}^9 {\frac{(n_i - N_i)^2}{N_i}},\]

y se busca en la tabla de la \chi^2 la línea que corresponde a 8 grados de libertad. Si se va a hacer un test con un error del 5%, entonces se acepta que los datos se ajustan a la ley de Benford si \chi^2 < 15.51 y se rechaza en otro caso. Este es un método sencillo, pero si se van a hacer tests con estudiantes es conveniente que se familiaricen con los detalles del test y su significado.

6. Invarianza de la ley de Banford frente a cambios de base

Este caso se modela de manera similar a la invarianza frente a cambios de escala, aunque es un poco más complicado, ya que no podemos limitar el trabajo únicamente a la mantisa. De hecho, si x = m 10^n entonces la parte 10^n también debe se convertida a la nueva base. La mayor dificultad radica en expresar en términos matemáticos qué significa que una variable aleatoria sea independiente frente a cambios de base. Omitimos los detalles de este caso.

7. Conclusión

La ley de Benford es fascinante: desafía la intuición, se puede comprobar por uno mismo y también adaptar para una actividad de aula. Lo que solía ser una mera curiosidad es ahora una herramienta estándar para detectar fraudes. Por supuesto, cada vez más evasores de impuestos saben de ella. Pero hay que prestar atención: el primer dígito significativo no es lo único a tener en cuenta. La ley de Benford generalizada nos permite derivar leyes para el segundo dígito significativo, el tercero, etc. El lector uede tratar de encontrarlas por sí mismo: basta pensar en qué uniones de intervalos debe encontrarse la mantisa de un número para que su segundo (tercer, etc.) dígito significativo sea i.

Fuente: blog.kleinproject.org


Cuatro cosas que no sabes sobre la asombrosa Ley de Benford en Auditoría

Por Nahun Frett.

Durante el desarrollo de la Asignatura de Auditoría Interna en el Programa Internacional de Maestría en Auditoría y Gestión de Control realizado entre la Universidad de Valencia de España y UNAPEC de República Dominicana, un estudiante me solicito que hablara sobre la Ley de Benford. Este se ha convertido en un tema común abordado por los expertos de la profesión, debido a que Departamentos de Auditoría Interna innovadores están usando cada vez más la Ley de Benford en la realización de sus pruebas, la cual parte de un criterio poco convencional. Cómo respondería usted a la siguiente interrogante:

¿Es más probable que un número empiece por 1 o por 9?

En principio parecería lógico pensar que cualquier dígito tiene la misma probabilidad de ser el primero de un número, sin embargo esto no es cierto. La Ley de Benford, también es conocida como la Ley del primer dígito o Ley de los números anómalos, asegura que, en los números que existen en la vida real, la primera cifra que se espera que aparezca con más frecuencia que el resto de los números es el 1. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que se encuentre en la primera posición.

A continuación presentamos la distribución establecida por la Ley de Benford:

¿No es asombroso?

En mi opinión esta es una de las leyes más “anti-intuitivas” que conozco, debido a que: ¿No es increíble que haya más de un 30 por ciento de posibilidades de que el dígito con el que empieze una cifra sea el número 1?

Muchos auditores internos excepticos, preguntarían:

¿No parece mucho más razonable que para todos los dígitos la
posibilidad sea de 11.11 por ciento (que se obtiene de hacer 1/9)?

No sólo eso, es algo impresionante la escala descendente en que aparecen el resto de los dígitos; ahora bien existen otros puntos importantes que los auditores internos desconocen sobre esta desconcertante Ley:

Uno – La Ley de Benford no fue creada por Frank Benford

Al percatarse de que las páginas de los primeros dígitos en las tablas de logaritmos estaban más desgastadas que las páginas de los últimos dígitos, el astrónomo y matemático Simon Newcomb descubrió, en 1881, que los dígitos iniciales significativos de los números (i.e. excluyendo el cero) no se distribuían de manera uniforme. Dado que estas tablas eran utilizadas por científicos de diferentes disciplinas, Newcomb conjeturó que este fenómeno debía estar presente en bases de datos provenientes de distintos ámbitos de la vida.

Pero fue en 1938, cuando el físico Frank Benford redescubrió el fenómeno en 20 muestras de diferentes fuentes, que se aportó evidencia rigurosa sobre la presencia recurrente de la distribución logarítmica de los dígitos. Entre las bases de datos que mostraban esta frecuencia relativa se encontraban las siguientes: cuentas de electricidad, área de los ríos, peso atómico de los elementos químicos, números de los inmuebles en las calles, número de habitantes en las poblaciones, estadísticas de la liga americana de béisbol, número de defunciones en desastres, etc.

Nota al margen: Este sin lugar a dudas, es un fantástico cumplimiento de la Ley de Stigler, también conocida como la Ley Eponimia de Stigler, la cual es un axioma formulado por Stephen Stigler en 1980, el cual establece que “Ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo descubrió en primer lugar”, puede considerarse una manifestación inversa del llamado «Efecto Mateo», con el que la Ley de Stigler está emparentada.

Dos – La Ley de Benford tiene limitaciones

Esta Ley no se aplica a fenómenos que son aleatorios, no se puede usar en la lotería, ni ningún juego de azar cumple Benford. Lamentablemente, no nos sirve para hacernos ricos, debido a que no podría ser útil para predecir los números de la lotería, el resultado de la lotería es totalmente aleatorio, de forma que cada número tiene la misma probabilidad de aparecer.

Lo que necesita es que no sean números al azar. La Ley de Benford se aplica para conjuntos grandes de números que no sean aleatorios. Se usa esta ley cuando uno trabaja con conjuntos de muchos números, que obedezcan a la recolección de datos que provengan de la naturaleza (incluyendo factores sociales). Donde sí la puedes usar:

  • Facturas por servicio de energía eléctrica de una empresa distribuidora de electricidad.
  • Facturas de una compañía telefónica.
  • Pagos por reclamaciones de una compañía de seguros.
  • Facturación diaria por clientes en un hipermercado o una gran tienda por departamentos.

Tres – Su primer uso práctico fue para detectar fraudes fiscales

El profesor de contabilidad y matemático Mark Nigrini en la década del noventa, empleó la Ley de Benford para encontrar fraudes en declaraciones impositivas, basado en el principio de que las desviaciones que presenten los dígitos iniciales en una población de datos, con respecto a un patrón logarítmico esperado, podría sugerir la existencia de irregularidades.

La idea es simple pero poderosa, si a partir del conjunto de datos contables, registrados en los asientos de entradas y salidas, las primeras cifras significativas siguen la Ley de Benford, la declaración no ha sido, probablemente, manipulada. De forma general, se considera que quien maquilla datos de una contabilidad u otro tipo de fraude con datos socioeconómicos tiende a distribuir por inadvertencia los dígitos significativos de forma relativamente uniforme.

La Ley de Benford no brinda una respuesta final con respecto a si han ocurrido irregularidades, pero es útil para guiar al auditor a investigar más las discrepancias.
Lo que hace que la Ley de Benford sea particularmente útil para este tipo de evaluación es que permite realizar análisis sistemáticos y profundos, en forma simultánea, de un gran número de transacciones.

Cuatro – No necesitas adquirir un programa sofisticado de análisis de datos para aplicarla

Solo necesitas tener la información que se va a estudiar en un archivo plano, el cual puedes exportar a una hoja electrónica y luego aplicar la fórmula de la Ley de Benford.
Veamos un ejemplo. En el siguiente link puedes descargar la tabla de la población de todos los municipios españoles en 2006 (obtenida de la página del Instituto Nacional de Estadística):

Haz click aquí para descargar el archivo de Excel.

Usando la función de Excel EXTRAE se aísla el primer dígito del dato de la población en cada municipio. Aplicando las herramientas de análisis de Excel podemos calcular la frecuencia de aparición de cada valor, y vemos en esta población el fiel cumplimiento de la Ley de Benford.

Información importante: La tabla y el cálculo fue tomado del sitio web de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

 Nahun Frett

Es un reconocido conferencista especializado en temas sobre auditoría interna, gestión de riesgo, gobierno corporativo, cambio organizacional, liderazgo y auto-evaluación de control. Motivador nato de equipos multidisciplinarios de auditoría interna, ampliamente solicitado para dictar conferencias y proveer capacitación en cursos, talleres y seminarios. Colaborador de Auditool

Santo Domingo, República Dominicana

Fuente: auditool.org


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Borges y las Matemáticas

noviembre 9, 2018

Las Matemáticas y los enigmas secretos en la obra de Jorge Luis Borges

marcus du sautoy _ matemático

Que uno sea ‘’de letras’’ y otro ‘’de números’’ puede considerarse como dos mundos totalmente distintos. Sin embargo, para el matemático británico Marcus du Sautoy, la diferencia no es tan inmensa desde que ha relacionado la obra del famoso escritor argentino Jorge Luis Borges y las matemáticas estrechando el vínculo de los números y las letras.

marcus du sautoy _ matematicoMarcus du Santoy es escritor, periodista y profesor de matemáticas en la prestigiosa Universidad de Oxford. En el año 2001 fue premiado con el Premio Berwick de la Sociedad Matemática de Londres por la mejor investigación al matemático menor de 40 años de edad y es, sin ninguna duda, uno de los profesionales más involucrados en su ámbito.

Además, y aunque su pasión sean las matemáticas, du Santoy es también un gran periodista y escribe en famosos diarios como The Times y The Guardian.

Jorge Luis BorgesRecientemente du Sautoy desvelaba su gran pasión por la obra literaria del escritor argentino Jorge Luis Borges. El matemático no se había imaginado nunca este vínculo entre las matemáticas y el famoso escritor, hasta que un día, según cuenta él mismo, trataba de explicarle su trabajo de clasificar fórmulas geométricas a una amiga, hasta que ella le dijo que era igual que el cuento de Borges que hablaba sobre la enciclopedia. Enseguida, du Sautoy prestó total atención y se interesó por tratar el tema leyendo obras y cuentos del argentino escritor.

“Me dije a mi mismo, aquí hay un autor que realmente aprecia ideas como finito, infinito, formas, espacio, el poder de la paradoja” – afirmaba du Sautoy.

Desde entonces, el matemático se sintió apasionado por la forma en que Borges hablaba en forma narrativa sobre las matemáticas y, claramente, era un indicio de los propios intereses del autor, cuya biblioteca original albergaba libros del matemático francés Henri Poincaré. du Sautoy trató de investigar y conocer a biógrafos de Borges para comprobar de dónde provenían todas estas ideas en su literatura.

El AlephTras leer varios cuentos, pudo encontrar conceptos matemáticos como ‘El Aleph’ donde se trata lo finito y lo infinito al igual que en las matemáticas.

Pero la obra favorita del matemático es, sin duda, ‘La Biblioteca de Babel’, donde el propio Borges relaciona otra figura matemática: ‘toroo toroide’, que se refiere a la forma de objetos como un donut o una rosquilla. La teoría que saca Borges respecto a este concepto se encuentra en el ámbito literario, en ‘la Biblioteca’ como forma de rosquilla. Con esta premisa, el hecho de caminar dentro de ella sería un concepto ‘finito’ pero a la vez ‘ilimitado’ porque el caminante no se sale de la figura y puede dar la vuelta un número infinito de veces.

“Al igual que el bibliotecario, los científicos estamos dentro de nuestra biblioteca que llamamos Universo y usamos por ejemplo telescopios o herramientas de nuestra mente para investigar la forma de ese Universo” afirmaba Marcus du Sautoy.

Sin embargo, el enigma de la rosquilla es tan solo una parte del mundo de Borges puesto que ‘la biblioteca’ tiene varios pisos y el enigma de la rosquilla se encuentra en el primero.

Mientras Borges explicaba que al mirar hacia arriba vemos pisos que ascienden y al mirar hacia abajo pisos que descienden“, según du Sautoy sólo podemos imaginar estas formas en un espacio de cuatro dimensiones“.

Tras conocer estos enigmas, y unos cuantos más, en la obra Jorge Luis Borges, el matemático británico ha calificado al escritor como un ‘matemático secreto’ y no deja de recomendar su obra a todos los amantes de la literatura y de las matemáticas.

Fuente: enpositivo.com

Más información:

El Mapa de las Matemáticas

El gran misterio de las Matemáticas

Tiempo y matemáticas

Veinte matemáticos célebres

Los números en la naturaleza

Donald en el mundo de las Matemágicas

La importancia de las Matemáticas

Aquiles y la Tortuga

Matemáticas y juegos de azar

El arte matemático de Escher

La hipótesis de Riemann, ¿resuelta?

Euclides, Piet Mondrian y la matemática victoriana

El legado de Pitágoras, parte I – Los Triángulos de Samos

El Legado de Pitágoras, parte II – Pitágoras y otros

El Legado de Pitágoras, parte III – Retar a Pitágoras


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La ecuación matemática más hermosa del mundo

octubre 26, 2018

¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del mundo?

Las ecuaciones matemáticas representan algunas de las leyes más complejas que gobiernan el Universo y todo lo que hay en ello.

Se necesita años de experiencia para entender las ecuaciones más profundas y muchas de ellas son tan complejas que son difíciles de traducir a un lenguaje normal.

Sin embargo, esto no significa que no podamos apreciar su belleza.

BBC Earth les preguntó a matemáticos y físicos por las ecuaciones que ellos piensan son las más bonitas.

Aquí te presentamos las doce que los expertos prefieren.

La ecuación de Dirac

«Estéticamente es elegante y simple», comenta Jim Al-Khalili de la universidad de Surrey en el Reino Unido.

Ecuación de Dirac
Ecuación de Dirac

«Es una ecuación muy poderosa por lo que significa y su papel en la historia de la física del siglo XX».

La ecuación fue descubierta a finales de los años 20 por el físico Paul Dirac, y juntó dos de las ideas más importantes de la ciencia: la mecánica cuántica, que describe el comportamiento de objetos muy pequeños; y la teoría especial de Einstein de la relatividad, que describe el comportamiento de objetos en movimiento rápido.

Por lo tanto, la ecuación de Dirac describe cómo las partículas como electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz.

La fórmula de Riemann

El matemático Bernhard Riemann publicó esta ecuación en 1859.

Fórmula de RiemannFórmula de Riemann

Permite calcular los números primos por debajo de un número dado.

Por ejemplo, la ecuación de Riemann revela que hay 24 números primos entre 1 y 100.

«Los números primos son los átomos de la aritmética», explica Marcus du Sautoy de la universidad de Oxford.

«Son los números más básicos e importantes en el corazón del mundo de la matemática. Pero sorprendentemente, a pesar de más de 2000 años de investigación, todavía no los entendemos».

Pi

«Siempre le digo a mis estudiantes que si esta fórmula no los sorprende completamente es que sencillamente no tienen alma», señala Chris Budd de la universidad de Bath.

PiPi es la ecuación de la circunferencia

Muchos lectores sabrán de esta famosa ecuación.

Sencillamente describe cómo la circunferencia de un círculo varía con su diámetro.

La relación de los dos es un número llamado pi, que aproximadamente es 3,14, pero no exactamente.

Pi es un número irracional, lo que significa que los dígitos pueden continuar indefinidamente sin que se repitan.

Euler-Lagrange

Esta ecuación se utiliza para analizar todo, desde la forma de una burbuja de jabón a la trayectoria de un cohete alrededor de un agujero negro.

Euler LagrangeCon esta ecuación se puede analizar prácticamente todo.

«Más que una ecuación, es una receta para generar una infinita variedad de posibles leyes de física», comenta Andrew Pontzen de la University College London.

A pesar de sus múltiples aplicaciones, la ecuación es «engañosamente corta y simple», agrega Pontzen.

La ecuación de Yang-Baxter

«La ecuación de Yang-Baxter es una ecuación simple que puede ser representada en un dibujo de un niño de dos años», señala Robert Weston de la universidad Heriot-Watt en Edimburgo.

Yang-BaxterEsta fórmula es tan simple que la puede dibujar un niño.

Como la ecuación de Euler-Lagrange, se ve simple pero tiene implicaciones profundas en muchas áreas de la matemática y la física.

Esto incluye cómo se comportan las olas en aguas poco profundas, la interacción de partículas subatómicas, la teoría matemática de nudos y la teoría de las cuerdas.

«Te lo puedes imaginar como estar en el centro de una telaraña», explica Weston. «En las cuerdas de esa red puedes encontrar muchos temas en lo que juega un papel fundamental».

Identidad de Euler

«La mayoría de las matemáticas modernas y físicas derivan del trabajo de Leonhard Euler», aclara Robin Wilson de la Open University del Reino Unido.

Identidad de EulerEuler es considerado el Mozart de las matemáticas.

Él fue «el matemático más prolífico de todos los tiempos» y el «Mozart de las matemáticas».

Pero a pesar de todos sus logros, «mucha de la autocalificada ‘gente educada’ nunca ha oído hablar de él».

Su ecuación más famosa es la identidad de Euler, y en ella se pueden vincular las constantes de la matemática.

Identidad de EulerLa ecuación más famosa de Euler vincula todos los números más importantes

La ecuación combina cinco de los números más importantes de la matemática. Los cuales son:

  • 1 – la base de todos los números
  • 0 – el concepto de la nada
  • pi – el número que define al círculo
  • e – el número que subraya el crecimiento exponencial
  • i – la raíz cuadrada «imaginaria» de -1

Todos los números tienen aplicaciones prácticas, incluida para la comunicación, navegación, energía, fabricación, finanzas, meteorología y medicina.

Pero eso no es todo: la identidad de Euler también tiene tres de las operaciones matemáticas más básicas: suma, resta y exponenciación.

La ecuación de la onda

«La belleza de la ecuación de la onda se manifiesta de muchas formas», explica Ian Stewart de la universidad de Warwick del Reino Unido.

Ecuación de onda.

«Es matemáticamente simple y elegante y tiene una interesante variedad de soluciones con agradables características matemáticas».

La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas.

Se aplica a todo tipo de ondas, desde las de agua a las de sonido y vibraciones. Incluso a las ondas de luz y radio.

Teorema de Bayes

Esta ecuación fue desarrollada por primera vez por el reverendo Thomas Bayes en el 1700.

Teorema de Bayes
Este teorema tiene más usos de los que uno se imagina

Calcula la probabilidad que un evento (A) sea real, dado que otro evento (B) también lo es.

Tiene muchos usos, como para detectar fallas de vigilancia, defensa militar, operaciones de búsqueda y rescate, en escáneres médicos en incluso para filtros de correos electrónicos no deseados.

«Su belleza destaca porque subyace en el pensamiento racional y la toma de decisiones, más que por cualquier aspecto estético intrínseco», comenta David Percy, de la universidad de Salford, quien no pudo decidirse entre Bayes y la identidad de Euler.

Ecuación del campo de Einstein

La primera vez que Albert Einstein habló de su teoría general de la relatividad fue en 1915, y al año siguiente se publicó.

Campo de EinsteinEl campo de Einstein es la favorita de muchos matemáticos

Él la resumía en una ecuación, que de hecho es el sumario de diez ecuaciones.

Katie Mack, de la universidad de Melbourne en Australia, explica que estas fórmulas cambiaron completamente cómo entendemos la naturaleza y evolución del Universo.

«Lo fundamental de este nuevo punto de vista es que la idea de espacio-tiempo, el tejido básico de la realidad, es maleable», agrega.

La relatividad general ofreció una nueva visión de cómo funciona la gravedad.

En vez de objetos masivos ejerciendo una atracción en otros objetos, estos distorsionan el espacio y tiempo alrededor de ellos.

La ecuación de Einstein nos puede decir cómo nuestro universo ha cambiado con el tiempo, y ofrece un vistazo de los primeros momentos de la creación.

No extraña que sea la ecuación favorita de muchos matemáticos.

Aplicación logística

La aplicación logística es uno de los ejemplos clásicos de la teoría del caos.

Mapa ligísticoLa ecuación del caos

«Puede ser resumida de la siguiente forma: la gran complejidad puede surgir de reglas muy sencillas», comenta Olalla Castro Alvaredo de la City University de Londres.

La ecuación puede ser usada para modelar muchos procesos naturales, como el crecimiento o la disminución de una población de animales con el tiempo.

La forma en la que se comporta una población termina siendo enormemente sensible al valor de r, de manera contraintuitiva.

Si r está entre 0 y 1, la población siempre morirá. Pero si está entre 1 y 3, la población llegará a un valor fijo –y si está por encima de 3.56995, la población se convierte ampliamente impredecible.

Estos comportamientos son descritos como «caóticos» por los matemáticos, y no son los que instintivamente deberíamos esperar.

Pero todas emergen de una fórmula que matemáticamente es bastante simple.

Una simple progresión aritmética

Una progresión aritmética es simplemente una secuencia de números separados por la misma cantidad.

Progresión artiméticaQuizás la belleza está en la simpleza

Por ejemplo, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 es una progresión aritmética cuya diferencia es 2.

«Muchas de las cosas que consideramos hermosas de deben a la misma simétrica, reduciendo el trabajo que necesitamos para entenderlas», dice Benjamin Doyon del King’s College de Londres en el Reino Unido.

«Quizás nuestro cerebro es feliz al hacer menos trabajo, creando una sensación positiva de belleza».

Fórmula cuaternión

Famosamente tallada en un puente de piedra por el matemático irlandés William Rowan Hamilton, esta ecuación describe cómo trabajar con números complejos que incluyen raíces cuadradas de números negativos.

Fórmula cuaterniónCuenta la historia que el matemático Hamilton talló la ecuación debajo de un puente de Dublín.

Esta ecuación, establecida por William Rowan Hamilton, es fundamental para una rama oscura de la matemática llamada álgebra cuaternión.

«La historia es que Hamilton dio con esta ecuación mientras caminaba en Dublín y la talló en un puente en un acto de triunfo», cuenta Chris Budd de la universidad de Bath.

En la actualidad, el álgebra cuaternión es básica en la industria de la computación gráfica.

Se utiliza para describir la orientación de los objetos en la pantalla.

Fuente: bbc.com

formula de Euler


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Sherlock Holmes y la criptogafía

octubre 25, 2018

Holmes, un perspicaz decodificador

Por César Tomé.

los bailarines

Sherlock Holmes, el famoso detective creado por Arthur Conan Doyle, era conocido por sus grandes capacidades deductivas. Entre sus aventuras, me permito destacar El ritual de los Musgrave –ver la entrada Thales– en la que utilizaba el teorema de proporcionalidad de triángulos de Thales para encontrar el lugar en el que se escondía un secreto transmitido –mediante un extraño ritual– durante generaciones por la familia Musgrave.

Sherlock Holmes 02 los bailarinesEn esta anotación quiero comentar otro de los relatos cortos del famoso detective, Los bailarines –incluido en la colección El regreso de Sherlock Holmes–. Esta vez, Holmes descubre el misterio que se le plantea, usando sus dotes de criptógrafo.

En esta aventura, Hilton Cubitt pide ayuda a Holmes para aclarar un enigma relacionado con su esposa: se encuentra muy angustiada, al estar recibiendo unos curiosos mensajes en clave. El marido no desea incomodarla –ella no quiere contarle lo que sucede–, y envía a Holmes la primera de las notas que consigue interceptar:

Holmes 1

Ante la vista de este criptograma, Holmes asegura:

Estos jeroglíficos tienen sin duda un sentido. Si se trata de una cosa puramente arbitraria, quizá nos sea imposible descifrarlo; pero si estamos ante una cosa sistemática, llegaremos sin duda al fondo del asunto. Ahora bien: esta muestra que tenemos aquí es tan breve, y los hechos que usted me ha relatado resultan de tal manera indefinidos, que carecemos de base para una investigación.”

Hilton Cubitt sigue recopilando mensajes para dar más pistas a Holmes sobre el problema que preocupa a su esposa. Van apareciendo en puertas, paredes y ventanas más mensajes en clave:

Holmes 2

Los monigotes –los bailarines– que componen los mensajes aparecen en diferentes posturas, a veces llevan banderines, en algunas ocasiones están colocados boca abajo:

Holmes 3

Cada nueva información proporcionada por Cubitt ayuda a Holmes en su intento de resolver el misterio:

Estoy bastante familiarizado con toda clase de formas secretas de escritura y soy autor de una insignificante monografía acerca del tema, en la que analizo ciento sesenta claves distintas; pero confieso que ésta me resultó completamente nueva. Los inventores del procedimiento se propusieron, por lo visto, ocultar el hecho de que estos dibujos encierran un mensaje, produciendo la impresión de que se trata de simples dibujos infantiles caprichosos.”

Holmes –exactamente de la misma manera en la que procede el protagonista de El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe, ver [2]– comienza estudiando la frecuencia de aparición cada símbolo, y la compara con la frecuencia de las letras en inglés.

Sin embargo, una vez convencido de que cada símbolo de esos equivale a una letra, y aplicando al caso las reglas por las que nos guiamos para descifrar toda clase de escrituras secretas, la solución resulta bastante fácil. El primer mensaje que me fue presentado era tan breve, que resulta imposible para mí sentar otra afirmación con alguna seguridad fuera de la de que la figura

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representa la letra e. Ustedes saben que la ‘e’ es la más corriente de las letras del alfabeto inglés y que predomina en este idioma hasta el punto de que, incluso en las frases más breves, se puede tener la seguridad de que se repite con más frecuencia que ninguna otra letra.”

Tras fijar la letra E, el detective continúa descubriendo algunos de los símbolos de este cifrado por sustitución directamente, o deduciendo palabras guiándose por el contexto o el sentido común: los bailarines a los que alude el título del relato de Conan Doyle son las letras –minúsculas y mayúsculas– y los signos de puntuación de un nuevo abecedario.

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El alfabeto completo era una invención de Patrick, el padre de Elsie –la esposa de Cubitt–, jefe de una banda de delincuentes: el nuevo alfabeto le ayudaba a enviar mensajes a su ‘cuadrilla’, que pasaban desapercibidos –pareciendo un simple juego de niños– para cualquier persona desconociendo la clave.

Lamentablemente, a pesar de conseguir averiguar la clave, Holmes no logra evitar el asesinato de su cliente, Hilton Cubitt. Pero al menos, logra desenmascarar al asesino, y lo hace –conocedor como ya era del código escondido– enviándole un mensaje en el anterior alfabeto en nombre de Elsie.

Nota 1: Los criptogramas mostrados arriba dicen:

1) aM herE abE slaney (estoy aquí Abe Slaney)

2) aT elriges (en Elrige)

3) elsiE preparE tO meeT thY god (Elsie, prepárate para comparecer ante Dios)

Nota 2: En Strange Little Dancing Men Explained at Last, Martin Bergman permite descargar las fuentes de este alfabeto ‘bailarín’: se puede instalar y utilizar; yo lo he hecho en mi ordenador, y puede que me dedique a mandar mensajes misteriosos…

Holmes 6

Este no es un mensaje cifrado.

Referencias:

[1] Arthur Conan Doyle, Los bailarines [pdf]

[2] Marta Macho Stadler, Edgar Allan Poe, el científico, Matematicalia vol 4, no. 4, 2008

[3] La imagen del alfabeto en clave está extraído de la página de la matemática Jill Britton

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua enZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios

Fuente: culturacientifica.com


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