La utilidad de la Historia

febrero 6, 2019

¿La Historia es una ciencia?

Por Alberto Vázquez Bragado.1

Reloj astronómico de Praga
Reloj astronómico de Praga.

Se sabe que, en Historia, es prácticamente imposible obtener teorías o leyes generales de forma deductiva y más tarde soportar un experimento como sucede en las ciencias sociales, pues lo histórico viene ya de experiencias vividas, de observaciones a lo largo del tiempo. ¿Qué experimentación habrían de precisar?

Desde luego que ninguna. La Historia, como tal, es una ciencia social en la que intervienen infinidad de variables y donde las constantes pueden cambiar con facilidad; por lo tanto, bajo esa perspectiva, es difícil elaborar leyes generales tal como lo entiende la comunidad científica y muchos pensadores.

Las proporciones científicas

Pero, ¿qué entendemos por teorías o leyes generales? Podría valernos el considerarlas como un conjunto de supuestos a partir de los cuales, mediante razonamientos lógicos, sería posible deducir hechos, sucesos o acontecimientos del tipo de:

“identificada científicamente una cosa, situación o proporción, mediante cálculos aritméticos o razonamientos lógicos, deducimos o predecimos otra, o sea: (A) mediante (r), se convierte en (B)”.

Por ejemplo, en la ciencia natural por antonomasia, que es la física newtoniana, el espacio recorrido por un cuerpo es igual a la velocidad que lleva ese cuerpo, multiplicado por el tiempo que tarda en recorrerlo (E = V x T); o, en la ley de la palanca, donde Potencia por su brazo es igual a la Resistencia por el suyo (P x b1 = R x b2).

Escultura que representa la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d'Or, Lyon, Francia
Escultura sobre la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d’Or, Lyon, Francia

Todo ello ¿Qué nos está diciendo? Bajo mi punto de vista lo que nos están diciendo todas estas fórmulas o ecuaciones es que existen unas proporciones, unas equivalencias entre las partes y el todo; por ejemplo, entre velocidad y tiempo con el espacio, y también entre las partes, o sea, entre velocidad y tiempo entre sí.

En el segundo ejemplo, se podría decir que existe una proporción o correspondencia máxima -que llega a la igualdad- entre dos elementos, aparentemente distintos, que son los dos miembros de la ecuación, (P x b1) por un lado y (R x b2) por el otro; de tal forma que si al primer miembro lo llamamos (A) y al segundo miembro lo llamamos (B), A : B =  1, o lo que es lo mismo, la proporcionalidad mínima o máxima, según se mire, es la igualdad, y a partir de ese punto diremos que un elemento es poco o muy proporcional a otro.

Puede ser directamente proporcional, en razón de sus magnitudes, de forma que cualquier cambio del primer elemento produce un cambio cuantitativo o cualitativo del segundo en el mismo sentido; e inversamente proporcional, de forma que cualquier cambio del primer elemento origina un cambio del segundo, pero en sentido inverso.

Las proporciones de los hechos históricos

El análisis anterior nos sirve para despejar dudas y tener un punto de partida no “contaminado” de la gran cantidad de fórmulas, modelos y opiniones que existen sobre el particular, y que nos llevan a afirmar que, en cualquier teoría o ley general, existen proporcionalidades entre los diferentes elementos, sucesos, hechos, fenómenos…

Y en la Historia y las ciencias sociales se pueden encontrar proporcionalidades, relaciones y análisis entre muchos de sus elementos, sucesos, hechos y fenómenos, como sucede en las ciencias naturales. La cuestión es que las matemáticas y la física necesitan proporciones máximas y no se conforman con proporciones menores, es decir, las matemáticas y la física no pueden permitirse el más mínimo error en la mayoría de los casos, y por ello buscan teorías que se puedan plasmar en igualdades y ecuaciones, pero las ciencias sociales, y en especial la Historia, no precisan tanto, se conforman con encontrar regularidades y analogías.

Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997
Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997 (The Philosophy of Science Association)

Carl G. Hempel afirma en su obra La explicación científica, que sería más correcto hablar de “hipótesis universales” en lugar de hacerlo de “leyes generales”, y que buscar una “hipótesis universal” en la Historia debería hacerse bajo el presupuesto de hallar una hipótesis que afirme una regularidad del siguiente tipo:

“en todos los casos en donde un hecho de una clase específica C ocurre en un cierto lugar y tiempo, otro hecho de una clase específica E ocurrirá en un lugar y tiempo relacionados de un modo específico con el lugar y el tiempo de ocurrencia del primer suceso.”

Simetrías y semejanzas

El modelo de hipótesis de Hempel hace que me sienta cómodo, sobre todo, porque es el modelo más común que aparecerá casi siempre en cualquier hipótesis histórica que se quiera formular, al incorporar dos factores fundamentales de la historia: espacio y tiempo, sin los cuales la historia no tendría sentido.

Sin embargo, lo que la Historia no puede establecer es “en todos los casos”, y, en ese sentido, la Historia no puede ni debe pretender ser una ciencia que pueda crear modelos matemáticos de ecuaciones e igualdades, ni tampoco establecer una “ley general” que pueda ser refutada por motivo de una sola predicción que no se cumpla, como afirman los racionalistas con Karl Popper a la cabeza.

Mi opinión es que, a la Historia le basta con establecer proporcionalidades y analogías entre hechos, elementos, sucesos o acontecimientos del pasado con respecto al presente, y que, gracias al modelo inductivo –el mejor por ser histórico–, se puedan predecir tendencias futuras e incluso, utilizando la estadística, analogías y semejanzas.

Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas
Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas.

Resumiendo, las ciencias exactas precisarán ecuaciones algebraicas para establecer la “ley general”, y las ciencias naturales precisarán experimentaciones científicas rigurosas o demostraciones algebraicas para ser aceptadas; en cambio, las ciencias sociales se conforman con “esbozos de ley general” o proporcionalidades.

En palabras más sencillas, las ciencias exactas se identifican con igualdades; las ciencias naturales se identifican con igualdades fiables, es decir, sometidas a refutación experimental; y las ciencias sociales establecen proporcionalidades y analogías a través de series de hechos similares comprobados, que darían origen a un sistema de probabilidades que pudiera establecer una “ley general”.

En ese sentido, la Historia sería la ciencia más adecuada y fiable para poder establecer hipótesis del tipo inductivo, ya que los (n) elementos, hechos, sucesos o acontecimientos que puede presentar como prototipos, son de una gran seguridad y solvencia al tratarse de elementos, hechos, sucesos o acontecimientos históricos, teniendo, además, como elemento catalizador al tiempo, que es consustancial con la Historia y fundamental a la hora de valorar si un determinado suceso está sometido o no a una ley general; es decir, se puede someter a una ley general válida, y se puede estudiar y analizar bajo el punto de vista de las ciencias naturales o, por el contrario, es un suceso singular que se deberá estudiar y analizar bajo el prisma de las ciencias humanas o del espíritu; o sea, nosotros opinamos con convicción que muchos sucesos históricos podrían estar sometidos a leyes generales para pequeños periodos de tiempo, y, por otro lado, también estamos convencidos de que muchas leyes generales establecidas desde las ciencias naturales en un tiempo ilimitado, podrían no tener validez.

Leyes naturales y leyes sociológicas

Consideremos un ejemplo. Históricamente, está constatado que, en una amplia sociedad, cuanto más se incrementa la clase media menos posibilidades hay de que haya grandes revoluciones. Llamando a la sociedad A y a la clase media B, se producirá que, a medida que la clase media aumenta, el riesgo de revolución R disminuye convirtiéndose en R’, siendo B y R cuantificable en número, cantidad o dimensión. Contrariamente, a medida que la clase media disminuye, el riesgo de revolución aumenta; por lo tanto, creemos que existe una proporcionalidad que se puede constatar históricamente, pero que no podemos asegurar que se cumplirá siempre y en cualquier lugar.

Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos
Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos (US Census)

Sin embargo, sí se producirá una cuasi igualdad en forma de ecuación que diga: en una sociedad de ciertas dimensiones A, y en tiempo (t) suficientemente pequeño:  B’ / B = R / R’, de tal forma que, cuando en la sociedad A, con una clase media B, y en un tiempo muy corto, a medida que aumenta la clase media disminuirán las revoluciones, ya sea en cantidad o intensidad.

Cierto es que no podemos estar seguros de que esa igualdad se seguirá produciendo en el futuro, puesto que la ecuación nace de una inducción histórica y, bajo el punto de vista de las ciencias naturales, nadie puede asegurar que esa ley se siga produciendo en un tiempo futuro ilimitado, pero existen una serie de elementos psicológicos y sociológicos de la sociedad que aseveran que es más fácil que una sociedad se revele violentamente contra el orden establecido y las instituciones cuando esa sociedad está formada por una mayoría de clase baja, que si está formada por una mayoría de clase media.

Resumiendo, podemos afirmar que, en un tiempo corto, muchas leyes inductivas serían tan válidas como las leyes deductivas y, por consiguiente, podemos afirmar que, en el corto plazo, existen muchas generalidades de carácter histórico que se podrían emplear discretamente para conocer mejor el pasado, y prevenir cuidadosamente el futuro, o lo que es lo mismo: las aproximaciones y tendencias, en el corto plazo, pueden tener validez para la historia.

El continuo e infinito tiempo

Nuestro punto de vista sobre el tiempo es el siguiente:

El tiempo podría ser relativo para cada Sistema, partiendo de una unidad global que es el mundo, como el conjunto de galaxias; nuestro mundo correspondería a la constelación de la Vía Láctea y la Tierra, donde vive la humanidad, gira alrededor de una estrella incandescente llamada Sol, que es de donde recibe el calor para producir y mantener a los seres vivientes del planeta Tierra, y, por ende, la vida del ser humano.

Representación gráfica del sistema solar
Representación gráfica del sistema solar.

Pues bien, dejando de lado el tiempo de esa unidad global del Mundo, nuestro tiempo será la magnitud que mide los procesos de rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol, pero si hacemos un esfuerzo de abstracción mental o, como dirían Horkheimer y Adorno, “logramos separar el sujeto del objeto mediante un esfuerzo mental” al mismo tiempo que nos olvidamos del día, de la noche, de los relojes…, ¿qué sería el tiempo para nosotros?  ¿No sería algo vacío, solo medible por el envejecimiento de nuestro cuerpo, el crecimiento de plantas, el nacimiento de criaturas, su crecimiento o el deterioro de las cosas que nos rodean?

Por lo tanto, nosotros creemos que el tiempo siempre está ligado a “acción” y movimiento, y lo que el ser humano identifica como tiempo en realidad es duración, cosa que ya Bergson lo afirmaba en su obra La Evolución Creadora, donde asevera que nuestra inteligencia tiende a considerar el tiempo de una forma rectilínea y distingue de modo artificial el pasado, presente y futuro, mientras que, para la auténtica realidad de la conciencia, el tiempo es duración (durée), o sea, algo no susceptible de reducirse a un instante, porque es un flujo continuo “cuyos momentos sucesivos no pueden separarse”. Por consiguiente, la duración solo puede ser captada, según la concepción bergsoniana, mediante la intuición, y nuestra interpretación del tiempo sería t = p1 + p2 + p3 + … pn, es decir, el tiempo sería el conjunto infinito de procesos o cambios que se producen en un Sistema, lo que nos lleva a afirmar que el tiempo histórico es un conjunto de cambios continuos y progresivos producidos en las sociedades hasta nuestros días, en el bien entendido de que esos cambios han de ser “hechos” o “acontecimientos” de relevancia histórica.

Alberto Vázquez Bragado

–Alberto Vázquez Bragado es Licenciado en Historia por la universidad de Barcelona. Máster en Historia de la Ciencia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Formación en Ciencias Económicas, Dirección de Empresas y Literatura. Autor de artículos de investigación en la revista científica Llull y de varios libros de divulgación científica.

Fuente: cinconoticias.com, 22/12/18.

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El número cordobés

diciembre 31, 2018

EL NÚMERO CORDOBÉS

El otro día, mientras estábamos en clase apareció en uno de los ejercicios un número bastante singular conocido como número cordobés. La curiosidad me picó a investigar a cerca de este número y ahora me dispongo a exponeros los resultados de mi investigación.
Lo primero es ver de donde viene este número. Su construcción es muy sencilla, lo obtenemos de dividir el radio de un octógono por su lado quedando algo así y siendo su valor 1.30656…

Como también habréis podido imaginar, esta proporción es muy común en la Mezquita cordobesa, aquí tenéis algunos ejemplos:

No solo eso, lo más curioso es que en 1951, la diputación cordobesa decidió realizar un test a estudiantes de arquitectura, pidiéndoles que dibujarán su rectángulo ideal. Pensando que el mayoritario sería el famoso rectángulo áureo su sorpresa fue descomunal cuando descubrieron que la proporción ideal era la de rectángulo que divido el largo por el ancho se obtenía aproximadamente 1.3 frente al 1.6 del áureo, una diferencia más que considerable. Atónitos decidieron repetir el test pero ahora sobre la población cordobesa en general obteniendo de nuevo el mismo resultado. Y resulta, que por alguna extraña razón el ideal de belleza en Córdoba no es el rectángulo áureo. Además este número no solo está presente en la ciudad de la Mezquita, lugar en el que abunda, sino que es muy fácil encontrarlo, ya que el octógono siempre ha sido una figura geométrica muy ligada a la construcción, por ejemplo en torres, que para sostener sus cúpulas pasan de un cuadrado a un octógono mediante un corte sagrado en la mayoría de los casos.  

Fuente: matematicosoriano.blogspot.com

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Georg Cantor y los infinitos

diciembre 31, 2018

Georg Cantor, el matemático que descubrió que hay muchos infinitos y no todos son del mismo tamaño

Por Marcus du Sautoy.
Serie de la BBC «Breve historia de Matemáticas»

Infinitos
Asombrosamente, no hay uno sino infinitos infinitos, de muchos tamaños.

En un chiste de matemáticos, un profesor le pregunta a la clase cuál es el número más grande. «Un trillón de billones», responde Jorge. «Y si es un trillón de billones y uno?», replica el profesor. «Bueno, estaba cerca», dice Jorge.

Los números no tienen fin. Dame un número y te daré uno más grande.

Durante miles de años, los matemáticos pensaron que el infinito estaba más allá de su comprensión.

Pero a comienzos del siglo XX, el matemático alemán Georg Cantor abordó el problema del infinito y nos mostró cómo seguir contando cuando los números se agotan.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 1918)
Image captionGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845-Halle, 6 de enero de 1918) fue la primera persona que pudo formalizar la noción de infinito.

Es uno de los momentos más emocionantes en la historia de las matemáticas. Se parece al momento en que contamos por primera vez. Pero en lugar de 1, 2, 3, contamos infinitos.

Cantor reveló que el infinito en sí mismo es un número. De hecho, infinitamente muchos números. Una revelación que desafió profundamente el establecimiento matemático.

«El verdadero logro de Cantor fue mostrar que hay infinitos más grandes que otros, algo sencillamente asombroso», señala Roger Penrose, profesor emérito de Matemáticas de la Universidad de Oxford, en conversación con la BBC.

«Entonces no se trata sólo de lo finito y lo infinito. Hay infinidades grandes, otras enormes, otras estupendamente enormes…».

Una separación

Por un tiempo, la ciencia y las matemáticas mantuvieron una relación muy íntima. Pero a mediados del siglo XIX, comenzaron a separarse.

El movimiento neohumanista de Wilhelm von Humboldt, que valoraba la educación por sí misma, en lugar de centrarse en objetivos utilitarios, alentó a los matemáticos en Alemania a pensar de forma más creativa, más imaginativa y de una manera más abstracta.

Gotinga siglo XIX
Gotinga era la meca de las matemáticas en ese tiempo, pero Cantor estaba en Halle.

Y en ninguna parte esto se puso en práctica más que en Gotinga.

Fue allá donde Carl Gauss comenzó a remodelar las matemáticas, desarrollando nuevas teorías de los números, y donde Bernhard Riemann empujó a la gente al hiperespacio, explorando mundos que nunca podrían verse.

Y fue ahí donde el siguiente gigante de las matemáticas alemanas, Georg Cantor, aspiraba hacer su investigación.

Una pregunta

A Georg Cantor le gustaba hacer preguntas difíciles.

En su tesis doctoral, escribió: «En matemáticas, el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas«.

Infinito ilustrado con el efecto droste
Antes de Cantor, se pensaba que el infinito estaba más allá de nuestra capacidad de comprensión.

Y para él, «la esencia de las matemáticas descansa por completo en la libertad«

Fue esa libertad la que provocó que Cantor se dirigiera en una dirección que potencialmente no tenía fin. Le atrajo la idea de tratar de capturar el infinito, algo que la mayoría de los matemáticos de la época creían imposible.

Pero, en opinión de Cantor, «el miedo al infinito es una forma de miopía que destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar de que en su forma más elevada nos ha creado y sostenido«.

Él iba a llevar las matemáticas a mundos cada vez más abstractos, que incluso los matemáticos de Gotinga encontraron desagradables.

¿Un infinito?

Hasta entonces, todos los infinitos habían sido agrupados bajo un encabezado. Pero Cantor quería saber si algunos infinitos eran más grandes que otros.

Fue la pregunta con la que batalló toda su vida. Cuando finalmente resolvió lo aparentemente imposible, estaba absolutamente convencido de su validez.

Infinito ilustrado con el efecto droste
No había un único infinito sino muchos, supo Cantor. Y luego se preguntó si todos los infinitos eran iguales.

El infinito podía ser domesticado y comprendido.

Para quienes tienen los conocimientos suficientes para poderlos apreciar, los teoremas que Cantor son hermosos.

No obstante, en su época, hasta el eminente matemático Leopold Kronecker, quien lo había entrenado en la Universidad de Berlín y debería haber sido su más importante defensor, los consideró como un carbunclo matemático.

Una pelea

Aún así, Cantor no dio cabida a las dudas.

«Mi teoría se mantiene tan firme como una roca; cada flecha dirigida contra ella regresará rápidamente a su arquero«, afirmó.

Leopold Kronecker
Image captionLeopold Kronecker había sido su profesor, pero se convirtió en su tormento.

Kroneker insistió, implacable.

«No sé qué predomina en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero estoy seguro de que lo que no hay ahí es matemáticas«.

En cierto sentido, Kronecker tenía razón, las ideas de Cantor rozaban la filosofía y llegarían a cuestionar los fundamentos mismos de las matemáticas.

Cantor se defendió escribiéndole directamente al Ministro de Educación sobre el comportamiento de Kronecker.

«Yo sabía exactamente el efecto inmediato que esto tendría: que Kronecker se irritaría como si lo hubiera picado un escorpión, y con sus tropas de reserva provocaría tal aullido que Berlín pensaría que había sido transportado a los arenosos desiertos de África, con sus leones, tigres y hienas. ¡Parece que realmente logré ese objetivo!«, escribió Cantor.

Pero sus comentarios no le ganaron simpatías en la comunidad matemática y comenzó a tener dificultades hasta para publicar sus ideas.

Un golpe de gracia

Poco después, recibió otro golpe, esta vez del influyente matemático sueco Gösta Mittag-Leffler, quien además era editor de la importante revista matemática Acta Mathematica.

«Estoy convencido de que la publicación de su nuevo trabajo perjudicará enormemente su reputación entre los matemáticos. Sé muy bien que, básicamente, a usted eso le da lo mismo. Pero si su teoría es desacreditada, pasará mucho tiempo antes de que vuelva a conseguir la atención del mundo matemático«, le advirtió.

Gotinga
La comunidad matemática en Gotinga se unió en su contra.

A Cantor le afectó profundamente el rechazo de un matemático al que respetaba mucho:

«De repente recibí una carta de MittagLeffler en la que escribió (para mi gran asombro) que, después de una seria consideración, consideró esta publicación como aproximadamente 100 años antes de tiempoDe ser así, tendría que esperar hasta el año 1984, y eso me parece demasiado pedir«, se lamentó.

Una lástima

La oposición de Mittag-leffler y Kronecker aseguró que Cantor nunca llegara a Gotinga: pasó el resto de sus días en los remansos de Halle, donde comenzó a sentirse cada vez más aislado.

«La visión [del infinito] que considero la única correcta es compartida por pocos. Aunque posiblemente yo sea el primero en la historia en tomar esta posición tan explícitamente, ¡estoy seguro de que no seré el último!«.

Infinito en el suelo
Por brillantes que fueran, los infinitos de Cantor iban a tener que esperar… demasiado tiempo para él.

Sufría episodios de depresión maníaca y la controversia sobre sus matemáticas solo empeoró las cosas.

Y a su batalla con el establecimiento se le sumó la muerte de su madre, hermano e hijo menor.

Eventualmente, Cantor fue admitido en el hospital psiquiátrico en Halle donde pasó gran parte de las últimas décadas de su vida.

Cómo contar el infinito

Cantor, al que le gustaban las preguntas, pensaba en los números como la respuesta a la pregunta: ¿cuántos?

Su gran idea surgió de imaginar que solo teníamos 4 números: 1,2,3 y muchos.

Mercado
Para que entendiéramos, nos llevó al mercado.

Imagínate que estás en un mercado. Tú tienes muchas monedas, el tendero tiene muchas naranjas.

Cantor se dio cuenta de que incluso si no podemos contar (porque el único número que tenemos más allá de 3 es «mucho»), aún podemos saber quién tiene más naranjas o monedas.

Lo que haríamos es emparejar la primera naranja con tu primera moneda, la siguiente naranja con tu segunda moneda, y así sucesivamente, hasta que…

  • Tú te quedas sin monedas (el tendero tenía más naranjas)
  • Él se queda sin naranjas (tú tenías más monedas)
  • o ambos se quedan sin naranjas y monedas (tenían la misma cantidad).
1, 2, 3 en frutas
1, 2, 3 y muchas monedas o naranjas.

Cantor aplicó la misma idea al concepto de infinito.

Descubrió, por ejemplo, que la infinidad de números enteros (1, 2, 3…) tiene el mismo tamaño que el infinito que consiste en números pares (2, 4, 6…).

Pero la sorpresa llegó cuando intentó emparejar números enteros con números decimales.

Esta vez encontró que siempre hay más números decimales que números enteros.

O dicho de manera más formal: la infinidad de todas las expansiones decimales infinitas de números es un tipo de infinito genuinamente más grande que la infinidad de números enteros.

Y no se detuvo.

Prueba de emparejamiento infinito de Cantor
Diagrama que muestra la prueba de emparejamiento de Cantor, que demostró que el conjunto infinito de números racionales es contable y tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que los números naturales ( 1, 2, 3 …). Los números racionales incluyen las fracciones formadas a partir de los números naturales, pero se pueden contar utilizando el mismo método que el utilizado para contar los números naturales. Aquí, las fracciones racionales se cuentan a lo largo de las diagonales (flechas rojas) donde los números que forman la fracción suman 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente. Las fracciones racionales repetidas se muestran en azul. Por el contrario, los números reales (decimales infinitos) forman un conjunto infinito incontable.

Hay más de un infinito.

De hecho, hay infinitos infinitos.

Si todo esto de desconcierta un poco, ahora entiendes lo que le pasó a los contemporáneos de Cantor, entre ellos algunas de las mejores mentes matemáticas del siglo XIX.

Una pregunta, dos respuestas

Cantor nos mostró cómo seguir contando cuando llegamos al final de nuestros números.

Mostró que puede haber infinitos conjuntos de diferentes tamaños.

Y siguió encontrando más resultados extraños, como que no existe un conjunto que sea el más grande: dado un conjunto infinito, siempre se puede hacer uno más grande.

Pero la pregunta que realmente irritó a Cantor se refería a la naturaleza del conjunto infinito de números decimales.

Signo de interrogación
Una pregunta que no tenía una respuesta.

Sí, es más grande que el conjunto de números enteros, pero ¿podría haber un conjunto intermedio?

Un día, probaba que sí, al día siguiente, demostraba lo contrario.

¿La razón? Ambas respuestas son correctas, como se demostró algunas décadas después, una revelación por la que varias áreas de las matemáticas entraron en crisis.

El infinito mostró el límite

Las ideas de Cantor sobre los infinitos llevaron al descubrimiento de que las matemáticas mismas tienen limitaciones.

El gran lógico austríaco Kurt Godel, inspirado por el problema de Cantor, demostró en la década de 1930 que hay afirmaciones sobre números que son ciertas pero que no se pueden probar.

Mente con colores
¿Mente humana vs computadoras? Sólo necesitas recordar a Cantor para saber que el conocimiento humano no es computable.

Roger Penrose, famoso por su comprensión de las matemáticas de los agujeros negros, recientemente ha centrado su atención en el cerebro humano.

Y cree que las matemáticas de Cantor fueron el catalizador de nuevas ideassobre lo que hace que nuestros cerebros sean especiales (y crucialmente diferentes de las computadoras).

«El argumento que Cantor usó para mostrar que algunos infinitos son más grandes que otros infinitos muestra que el conocimiento humano no es computable», destaca Penrose.

«Es extraño, pero lo que hacemos los humanos es algo que involucra consciencia, pues el conocimiento mismo implica nuestra percepción consciente», explica.

«No tiene mucho sentido decir que entiendes algo si no estás siquiera consciente de ello», le dijo a la BBC.

El paraíso

En los albores del siglo XX, los matemáticos comenzaron a reconocer el valor las asombrosas creaciones de Cantor.

David Hilbert, que estaba emergiendo como el principal matemático de su generación en el mundo, declaró que la obra de Cantor era «el producto más asombroso del pensamiento matemático, una de las realizaciones más bellas de la actividad humana en el dominio de lo puramente inteligible«.

Chica con cuadro que la muestra a ella
Tocar el infinito.

«Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros«, destacó Hilbert.

Como dijo Mittag-Leffler, Cantor estaba adelantado 100 años a su tiempo.

Para mediados del siglo XX, lejos de ser criticado, el genio rechazado fue acogido por las matemáticas convencionales.

Y es que las ideas de Cantor son unas de las extraordinarias de la historia.

Le han permitido a los matemáticos tocar el infinito, jugar con él y finalmente reconocer que el infinito es un número. No sólo un número sino infinitamente muchos números.

Fuente: bbc.com, 2018.

matemáticas

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Cómo detectar fraudes con la ley de Benford

noviembre 22, 2018

La ley de Benford: ¿aprender a defraudar o a detectar fraudes?

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Cambiar demasiados números en documentos financieros puede resultar arriesgado si uno no conoce ciertas matemáticas. Muy a menudo, los números que aparecen en este tipo de documentos siguen cierta regla matemática, llamada ley de Benford o ley del primer dígito significativo. Si uno se olvida de seguir la regla, entonces los números no pasarán ciertos tests estadísticos y es probable que sean examinados con detenimiento por un hipotético agente fiscal. La ley de Benford afirma que si se toman números aleatoriamente y se calculan las frecuencias de sus primeros dígitos significativos, los números con primer dígito significante 1 representarían el 30%, mientras que los números con primer dígito significante 9 representarían el 4.5%. Esta regla se observa en otros muchos conjuntos de números, como las potencias de 2 o los números de Fibonacci.

¿Por qué?

A día de hoy se tienen explicaciones satisfactorias para este hecho y vamos a compartirlas con el lector.

La ley de Benford tiene que ver con la distribución de los primeros dígitos significativos de los números. El primer dígito significativo de un número positivo es el dígito no nulo que aparece más a la izquierda en su expresión decimal. Por ejemplo, el primer dígito significativo de \pi es 3, el de 2371.5 es 2 y el de 0.00563 es 5. Otra manera de definirlo que será útil en nuestra discusión matemática es escribir un número real positivo x como un número m \in [ 1 , 9 ) multiplicado por una potencia de 10:

\[x = m 10^n ~ , ~~ n \in \mathbb{Z}.\]

Entonces el primer dígito significativo de x es la parte entera de m, que se denota por \lfloor m \rfloor. El número m se llama mantisa de x. Afirmamos que si tomamos una colección de números aleatorios y calculamos la frecuencia B(i) del primer dígito significativo i, entonces B(i) es aproximadamente \log_{10} (1 + \frac{1}{i}). Esta fórmula proporciona la siguiente tabla de frecuencias:

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Tabla 1: Frecuencias en la ley de Benford.

Figura 1: Frecuencias B(i) en la ley de Benford.

Demos ahora una breve reseña histórica. El fenómeno fue descubierto por primera vez por el astrónomo Simon Newcombe (1835-1909), quien se dio cuenta de que las primeras páginas de las tablas logarítmicas (correspondientes a dígitos significativos pequeños) aparecían mucho más desgastadas que las últimas páginas. Su descubrimiento fue olvidado y esta ley fue redescubierta por Frank Benford (1883-1948) hacia 1938. Frank Benford reunió decenas de miles de números de distintos orígenes que seguían su ley. La moderna base de datos de Simon Plouffe, que contiene 215 millones de constantes matemáticas también sigue la ley de Benford.

Muchos conjuntos de números que no son aleatorios también siguen la ley de Benford. Este es el caso de la población o la superficie de los países, la longitud de los ríos, etc. Quizá el lector quiera interrumpir la enumeración y empezar a ser escéptico… ¿En qué unidades se miden estas longitudes y estas áreas? ¿Las longitues vienen dadas en millas o en kilómetros? Esto no importa… Si las longitudes de los ríos en kilómetros siguen la ley de Benford entonces ¡las longitudes en millas también siguen la ley de Benford! Un cambio de unidades se corresponde con un cambio de escala. Veremos que la ley de Benford es invariante frente a cambios de escala. Más aún, es la única ley de probabilidad invariante frente a cambios de escala.

Figura 2: Algunos datos que siguen aproximadamente la ley de Benford: superficies de países en kilómetros cuadrados, áreas de países en millas cuadradas y poblaciones de países.

En la introdución se ha mencionado que los números de Fibonacci también siguen la ley de Benford. En cierto sentido, la ley de Benford es subjetiva, ya que depende de la base 10en la que expresamos los números. En una base b con b \neq 10 los dígitos no nulos son los elementos del conjunto \{ 1; ... ; b-1\} y la ley de Benford en base b dice que la frecuencia del primer dígito significativo i es B_b (i) = \log_b (1+\frac{1}{i}). Pues bien: ¡los números de Fibonacci siguen la ley de Benford en cualquier base b! La ley de Benford es invariante frente a cambios de base.

Ya es tiempo de comenzar a dar explicaciones. Para ello se requiere al lector que recuerde sus cursos de probabilidad. O a lo mejor prefiere experimentar por sí mismo antes de leer matemáticas más serias.

1. Invarianza frente a cambios de escala

Consideremos un cambio de escala simple obtenido multiplicando todos los números por 2. Si consideramos los números con dígito significativo 1, todos ellos pasarán a tener como dígito significativo 2 o 3. Es fácil ver que B(1) = B(2) + B(3). De hecho,

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De manera similar se puede comprobar que B(2) = B(4)+B(5), etc. Pero, ¿cómo arreglárselas al cambiar de kilómetros a millas, es decir, multiplicar números por 1,6? Como se ha dicho anteriomente, la ley de Benford es demasiado restrictiva y necesitamos generalizarla. ¿Qué significa que el primer dígito significativo sea i? Significa que su mantisa m pertenece al intervalo [i, i + 1). Por tanto, la ley de Benford es una distribución de probabilidad parcial sobre la mantisa. La ley de Benford generalizada (que llamaremos ley de Benford haciendo abuso del lenguaje) en la mantisa viene dada por una función de densidad en el intervalo [1, 10). Cuando elegimos un número al azar y calculamos su mantisa, obtenemos una variable aleatoria M que toma valores en [1, 10). Podemos decir que sigue la ley de Benford si la función de densidad viene dada por

\[f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}  \frac{1}{x \log 10}, & x \in [1 , 10 ), \\ 0, & \mbox{en otro caso.} \end{array}\right.\]

Si P(a \leqslant M < b) es la probabilidad de que a \leqslant M < b entonces se tiene que tener que

\[P( a \leqslant M < b ) = \int_a^b  f(x) d x.\]

Esto es una generalización de la ley de Benford, ya que

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¿Qué significa que una variable aleatoria X en [1, 10) es invariante frente a cambios de escala? Significa que si c es un número real positivo y tomamos la variable aleatoria Y = cX entonces la mantisa M de la variable aleatoria Y tiene la misma función de densidad que la de X. Esto no es difícil de probar en el caso en que X proviene de la ley de Benford, pero hay que distinguir casos en función del tamaño de c. Lo haremos para uno de los casos y dejaremos el resto al lector. Podemos escribir c = m 10^r, donde m \in [1, 10)es la mantisa de c. Como la mantisa de cX es la misma que la de mX, basta considerar el caso c \in [1, 10). ¿Cuál es la herramienta necesaria para probar esto? Puede que el lector recuerde de sus cursos de probabilidad que la función de distribución (acumulada) es muchas veces más útil que la función de densidad para variables aleatorias continuas. La función de distribución de una variable aleatoria M se define como

\[F(x) = P(M \leqslant x).\]

Si X sigue la ley de Benford entonces su función de distribución viene dada por

(1)\begin{eqnarray*} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}  0, & x < 1, \\ \log_{10} x, & x \in [1 , 10), \\  1, & x \geqslant 10. \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Por tanto, debemos probar que si X sigue la ley de Benford y M es la matisa de cX, para c \in [1, 10), entonces la función de distribución de M viene dada por (1).

Para ello necesitamos calcular P(M \leqslant z) para z \in [1, 10]M es la mantisa de cX, que toma valores en [c, 10c). Por tanto M = cX, si cX < 10 y cX / 10 si cX \geqslant 10. El primer caso se da cuando z < c. La única posibilidad de que la mantisa de cX esté en [1, c) es que cX \in [10, 10c].Entonces la mantisa de cX es igual a cX / 10. Por tanto,

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como se buscaba. Los otros casos se resuelven de la misma manera.

El recíproco es más interesante…

2. La ley de Benford es la única ley de probabilidad sobre la mantisa invariante frente a cambios de escala

Esta es una afirmación impresionante. Sin embargo, veremos que la demostración no es mucho más complicada que el argumento anterior. Sea X la variable aleatoria que representa la mantisa y toma valores en [1, 10). Busquemos su función de distribución F(x) bajo la hipótesis de que X es invariante frente a cambios de escala; necesitamos calcular

\[F(x) = P(X \leqslant x) = P(1 \leqslant X \leqslant x).\]

Por tanto, tenemos que F(0) = 0 y F(10) = 1. La mayor dificultad de la demostración radica en interpretar qué significa que X es invariante frente a cambios de escala. Como 1 \leqslant X \leqslant x y c \leqslant cX \leqslant cx son el mismo suceso, se tiene que

(2)\begin{eqnarray*} P(1 \leqslant X \leqslant x) = P(c \leqslant cX \leqslant cx) = F(x). \end{eqnarray*}

Como antes, consideramos el caso c \in [1, 10), por lo que cx < 10 (c depende de x). Así, para c \leqslant cX \leqslant cxcX es igual a su mantisa. Como X es invariante frente a cambios de escala, la mantisa de cX tiene la misma función de distribución que X. Por tanto,

\[P(c \leqslant cX \leqslant cx) = F(cx) - F(c).\]

Combinando con (2) se tiene que F(x) verifica

(3)\begin{eqnarray*} F(x) = F(cx) - F(c),~~~ F(1) = 0,~~ F(10) = 1. \end{eqnarray*}

siempre que c \in [1, 10) no sea demasaido grande. Debemos hallar F en la ecuación funtional (3). Veamos cómo hacer esto. Si c = 1 + \varepsilon, entonces

\[F(x) = F(x(1 + \varepsilon)) - F(1 + \varepsilon),\]

que puede ser expresado como

\[\frac{F(x(1 + \varepsilon)) - F(x)}{x \varepsilon} = \frac{F(1 + \varepsilon) - F(1)}{x \varepsilon},\]

ya que F(1) = 0. Si tomamos el límite cuando \varepsilon \longrightarrow 0, reconocemos en cada lado de la ecuación un cociente cuyo límite es una derivada. En el lado izquierdo es \frac{F(x + x \varepsilon) - F(x)}{x \varepsilon}, cuo límite es F'(x), y en el lado derecho \frac{F(1 + \varepsilon) - F(1)}{\varepsilon}, que tiende a F'(1). Por tanto, se tiene la siguiente ecuación diferencial en variables separables:

\[F'(x) = \frac{F'(1)}{x},\]

cuya solución es F(x) = F'(1) \ln x + C. Como F(1) = 0, tenemos que C = 0, y como F(10) = 1, entonces F'(1) = \frac{1}{\ln 10} . Así, F(x) = \frac{\ln x}{\ln 10} = \log_{10} x y con ello hemos terminado.

3. ¿Por qué números de todo tipo de procedencia siguen la ley de Benford?

Theodore Hill dio una respuesta en 1995. Discutamos brevemente su idea. Por supuesto, no todos los conjuntos de números siguen la ley de Benford. Por ejemplo, si se considera la altura en metros de las personas entonces los únicos dígitos significativos que aparecen son, salvo unos pocos casos, 1 y 2. Si se convierten estas medidas a pies (un pie equivale aproximadamente a 30 cm) entonces la ley de distribución de los dígitos significativos varía. Por tanto, este conjunto no es invariante frente a cambios de escala. Supongamos que tenemos un conjunto de números de diversa procedencia y le cambiamos la escala. En este conjunto existen subconjuntos de números con diferente escala. Como este conjunto es grande y los números tienen diferentes orígenes, lo más probable es que diferentes escalas estén presentes. Multiplicar todos los números del conjunto por una constante positiva induce una permutación de las escalas en el nuevo conjunto. Por tanto, podemos esperar que el conjunto se comporte como si no tuviera ninguna escala en particular, luego seguirá la ley de Benford.

Esta explicación es buena para conjuntos de números provenientes de orígenes diversos, pero no explica por qué las superficies de los países o sus poblaciones o las longitudes de los ríos siguen la ley de Benford. Comentaremos explicaciones recientes (2008) para estos casos dadas por Gauvrit, Delahaye y Fewster. Su razonamiento es válido también para conjuntos grendes de números de toda procedencia.

4. Es probable que los conjuntos de números que abarcan diferentes órdenes de magnitud sigan la ley de Benford

Trabajando en base 10 hemos visto que los números positivos pueden ser escritos como
x = m 10^n, donde m \in [1, 10) y n \in \mathbb{Z}. Podemos considerar n como el orden de magnitud de x. Decimos que hay diferentes órdenes de magnitud en un conjunto si aparecen diferentes valores de n para sus elementos. Notar que esta propiedad es invariante frente a cambios de escala. Para simplificar la explicación, supongamos que los números están en el intervalo [1, 10^6). En este caso, los números con dígito significativo 1 son los pertenecientes al conjunto

\[S_1 = [1, 2) \cup [10,20) \cup [100,200) \cup [1000, 2000) \cup [10^4 , 2 \times 10^4 ) \cup [10^5 , 2 \times 10^5).\]

De manera similar definimos los conjuntos S_i para los otros dígitos. Es mejor trabajar con el logaritmo en base 10 de estos números: y = \log_{10} x; así, y = \log_{10} m + n. Probemos ahora que si una variable aleatoria M en [1, 10) sigue la ley de Benford entonces la variable aleatoria Z = \log_{10} M es uniforme en [0, 1). Para ello, basta ver que la funcion de distribución de Z es la de una variable aleatoria uniforme en [0, 1), es decir,

\[F(z) = \left\{ \begin{array}{ll}  0, & z < 0, \\ z, & z \in [0 , 1), \\  1, & z \geqslant 1. \end{array}\right.\]

De hecho, si z \in [0, 1),

\[P(Z \leqslant z) = P(0 \leqslant \log_{10} M \leqslant z) = P(1 \leqslant M \leqslant 10^z) = \log_{10} 10^z = z.\]

Si X pertenece al conjunto S_1, entonces Y está en T_1 = \log_{10} S_1:

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y de manera similar para los demás dígitos. Supongamos que tomar un número aleatorio de nuestro conjunto es una variable aleatoria X que toma valores en [1, 10^6). Entonces Y = \log_{10} X toma valores en [0 , 6). Notar que la probabilidad de que una variable aleatoria pertenezca a determinado conjunto es igual al área bajo la gráfica de la función de densidad sobre el conjunto.Si la función de densidad f de Y sobre [0 , 6) fuera uniforme, como en la Figura 3 (a), obtendríamos lo que queríamos probar. Sin embargo, en la mayoría de los casos no es así, como en la Figura 3 (b). Por eso es tan importante que el conjunto original de números abarque diferentes órdenes de magnitud. Las diferentes partes correspondientes a un dígito significativo dado i se extienden horizontalmente a lo largo de varios segmentos, cuya suma de longitudes es del orden de \log_{10} (1 + \frac{1}{i}) de la anchura total. Por tanto, incluso si la altura de f(x) no es la misma de un segemento a otro, se puede esperar que la altura media sea del mismo orden de magnitud para diferentes dígitos. Cuando esto sucede, los datos siguen la ley de Benford.

(a) función de densidad f uniforme
(b) función de densidad f no uniforme
Figura 3: Las áreas correspodientes a las frecuencias de los primeros dígitos significativos 1, 2, 3 y 4 para diferentes funciones de densidad de Y. Los valores de las correspondientes áreas están reflejadas en la Figura 4.

(a) función de densidad de f
(b) Áreas bajo la curva para los dígitos significativos de f y para la función uniforme
Figura 4: Las áreas correspondientes a las frecuencias de los primeros dígitos significativos 1, 2, 3 y 4 para la función de densidad de la Figura 3(b). A la derecha se puede ver que estos valores están muy cercanos a los obtenidos mediante la ley de Benford en el caso en que Y tenga una función de densidad uniforme.

5. ¿Cómo comprobar si un conjunto de números sigue la ley de Benford?

Si el lector ha tomado cursos de estadística, probablemente haya estudiado el test de bondad de ajuste chi cuadrado. Este test permite comprobar si ciertos datos siguen cierta distribución de probabilidad. Supongamos que que se quiere hacer este test a un conjunto de n números. Necesitaremos construir una tabla, en la que n_i representa el número de números qdel conjunto que tienen como primer dígito significativo i. Por supuesto, n = n_1 + ... + n_9N_i representa el número de números del conjunto que tendrían primer dígito significativo i si el conjunto siguiera la ley de Benford, es decir, N_i = nB(i).

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Tabla 2: La tabla para el test de bondad de ajuste \chi^2.

Se calcula

\[\chi^2 = \sum \limits_{i=1}^9 {\frac{(n_i - N_i)^2}{N_i}},\]

y se busca en la tabla de la \chi^2 la línea que corresponde a 8 grados de libertad. Si se va a hacer un test con un error del 5%, entonces se acepta que los datos se ajustan a la ley de Benford si \chi^2 < 15.51 y se rechaza en otro caso. Este es un método sencillo, pero si se van a hacer tests con estudiantes es conveniente que se familiaricen con los detalles del test y su significado.

6. Invarianza de la ley de Banford frente a cambios de base

Este caso se modela de manera similar a la invarianza frente a cambios de escala, aunque es un poco más complicado, ya que no podemos limitar el trabajo únicamente a la mantisa. De hecho, si x = m 10^n entonces la parte 10^n también debe se convertida a la nueva base. La mayor dificultad radica en expresar en términos matemáticos qué significa que una variable aleatoria sea independiente frente a cambios de base. Omitimos los detalles de este caso.

7. Conclusión

La ley de Benford es fascinante: desafía la intuición, se puede comprobar por uno mismo y también adaptar para una actividad de aula. Lo que solía ser una mera curiosidad es ahora una herramienta estándar para detectar fraudes. Por supuesto, cada vez más evasores de impuestos saben de ella. Pero hay que prestar atención: el primer dígito significativo no es lo único a tener en cuenta. La ley de Benford generalizada nos permite derivar leyes para el segundo dígito significativo, el tercero, etc. El lector uede tratar de encontrarlas por sí mismo: basta pensar en qué uniones de intervalos debe encontrarse la mantisa de un número para que su segundo (tercer, etc.) dígito significativo sea i.

Fuente: blog.kleinproject.org


Cuatro cosas que no sabes sobre la asombrosa Ley de Benford en Auditoría

Por Nahun Frett.

Durante el desarrollo de la Asignatura de Auditoría Interna en el Programa Internacional de Maestría en Auditoría y Gestión de Control realizado entre la Universidad de Valencia de España y UNAPEC de República Dominicana, un estudiante me solicito que hablara sobre la Ley de Benford. Este se ha convertido en un tema común abordado por los expertos de la profesión, debido a que Departamentos de Auditoría Interna innovadores están usando cada vez más la Ley de Benford en la realización de sus pruebas, la cual parte de un criterio poco convencional. Cómo respondería usted a la siguiente interrogante:

¿Es más probable que un número empiece por 1 o por 9?

En principio parecería lógico pensar que cualquier dígito tiene la misma probabilidad de ser el primero de un número, sin embargo esto no es cierto. La Ley de Benford, también es conocida como la Ley del primer dígito o Ley de los números anómalos, asegura que, en los números que existen en la vida real, la primera cifra que se espera que aparezca con más frecuencia que el resto de los números es el 1. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que se encuentre en la primera posición.

A continuación presentamos la distribución establecida por la Ley de Benford:

¿No es asombroso?

En mi opinión esta es una de las leyes más “anti-intuitivas” que conozco, debido a que: ¿No es increíble que haya más de un 30 por ciento de posibilidades de que el dígito con el que empieze una cifra sea el número 1?

Muchos auditores internos excepticos, preguntarían:

¿No parece mucho más razonable que para todos los dígitos la
posibilidad sea de 11.11 por ciento (que se obtiene de hacer 1/9)?

No sólo eso, es algo impresionante la escala descendente en que aparecen el resto de los dígitos; ahora bien existen otros puntos importantes que los auditores internos desconocen sobre esta desconcertante Ley:

Uno – La Ley de Benford no fue creada por Frank Benford

Al percatarse de que las páginas de los primeros dígitos en las tablas de logaritmos estaban más desgastadas que las páginas de los últimos dígitos, el astrónomo y matemático Simon Newcomb descubrió, en 1881, que los dígitos iniciales significativos de los números (i.e. excluyendo el cero) no se distribuían de manera uniforme. Dado que estas tablas eran utilizadas por científicos de diferentes disciplinas, Newcomb conjeturó que este fenómeno debía estar presente en bases de datos provenientes de distintos ámbitos de la vida.

Pero fue en 1938, cuando el físico Frank Benford redescubrió el fenómeno en 20 muestras de diferentes fuentes, que se aportó evidencia rigurosa sobre la presencia recurrente de la distribución logarítmica de los dígitos. Entre las bases de datos que mostraban esta frecuencia relativa se encontraban las siguientes: cuentas de electricidad, área de los ríos, peso atómico de los elementos químicos, números de los inmuebles en las calles, número de habitantes en las poblaciones, estadísticas de la liga americana de béisbol, número de defunciones en desastres, etc.

Nota al margen: Este sin lugar a dudas, es un fantástico cumplimiento de la Ley de Stigler, también conocida como la Ley Eponimia de Stigler, la cual es un axioma formulado por Stephen Stigler en 1980, el cual establece que “Ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo descubrió en primer lugar”, puede considerarse una manifestación inversa del llamado «Efecto Mateo», con el que la Ley de Stigler está emparentada.

Dos – La Ley de Benford tiene limitaciones

Esta Ley no se aplica a fenómenos que son aleatorios, no se puede usar en la lotería, ni ningún juego de azar cumple Benford. Lamentablemente, no nos sirve para hacernos ricos, debido a que no podría ser útil para predecir los números de la lotería, el resultado de la lotería es totalmente aleatorio, de forma que cada número tiene la misma probabilidad de aparecer.

Lo que necesita es que no sean números al azar. La Ley de Benford se aplica para conjuntos grandes de números que no sean aleatorios. Se usa esta ley cuando uno trabaja con conjuntos de muchos números, que obedezcan a la recolección de datos que provengan de la naturaleza (incluyendo factores sociales). Donde sí la puedes usar:

  • Facturas por servicio de energía eléctrica de una empresa distribuidora de electricidad.
  • Facturas de una compañía telefónica.
  • Pagos por reclamaciones de una compañía de seguros.
  • Facturación diaria por clientes en un hipermercado o una gran tienda por departamentos.

Tres – Su primer uso práctico fue para detectar fraudes fiscales

El profesor de contabilidad y matemático Mark Nigrini en la década del noventa, empleó la Ley de Benford para encontrar fraudes en declaraciones impositivas, basado en el principio de que las desviaciones que presenten los dígitos iniciales en una población de datos, con respecto a un patrón logarítmico esperado, podría sugerir la existencia de irregularidades.

La idea es simple pero poderosa, si a partir del conjunto de datos contables, registrados en los asientos de entradas y salidas, las primeras cifras significativas siguen la Ley de Benford, la declaración no ha sido, probablemente, manipulada. De forma general, se considera que quien maquilla datos de una contabilidad u otro tipo de fraude con datos socioeconómicos tiende a distribuir por inadvertencia los dígitos significativos de forma relativamente uniforme.

La Ley de Benford no brinda una respuesta final con respecto a si han ocurrido irregularidades, pero es útil para guiar al auditor a investigar más las discrepancias.
Lo que hace que la Ley de Benford sea particularmente útil para este tipo de evaluación es que permite realizar análisis sistemáticos y profundos, en forma simultánea, de un gran número de transacciones.

Cuatro – No necesitas adquirir un programa sofisticado de análisis de datos para aplicarla

Solo necesitas tener la información que se va a estudiar en un archivo plano, el cual puedes exportar a una hoja electrónica y luego aplicar la fórmula de la Ley de Benford.
Veamos un ejemplo. En el siguiente link puedes descargar la tabla de la población de todos los municipios españoles en 2006 (obtenida de la página del Instituto Nacional de Estadística):

Haz click aquí para descargar el archivo de Excel.

Usando la función de Excel EXTRAE se aísla el primer dígito del dato de la población en cada municipio. Aplicando las herramientas de análisis de Excel podemos calcular la frecuencia de aparición de cada valor, y vemos en esta población el fiel cumplimiento de la Ley de Benford.

Información importante: La tabla y el cálculo fue tomado del sitio web de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

 Nahun Frett

Es un reconocido conferencista especializado en temas sobre auditoría interna, gestión de riesgo, gobierno corporativo, cambio organizacional, liderazgo y auto-evaluación de control. Motivador nato de equipos multidisciplinarios de auditoría interna, ampliamente solicitado para dictar conferencias y proveer capacitación en cursos, talleres y seminarios. Colaborador de Auditool

Santo Domingo, República Dominicana

Fuente: auditool.org


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Borges y las Matemáticas

noviembre 9, 2018

Las Matemáticas y los enigmas secretos en la obra de Jorge Luis Borges

marcus du sautoy _ matemático

Que uno sea ‘’de letras’’ y otro ‘’de números’’ puede considerarse como dos mundos totalmente distintos. Sin embargo, para el matemático británico Marcus du Sautoy, la diferencia no es tan inmensa desde que ha relacionado la obra del famoso escritor argentino Jorge Luis Borges y las matemáticas estrechando el vínculo de los números y las letras.

marcus du sautoy _ matematicoMarcus du Santoy es escritor, periodista y profesor de matemáticas en la prestigiosa Universidad de Oxford. En el año 2001 fue premiado con el Premio Berwick de la Sociedad Matemática de Londres por la mejor investigación al matemático menor de 40 años de edad y es, sin ninguna duda, uno de los profesionales más involucrados en su ámbito.

Además, y aunque su pasión sean las matemáticas, du Santoy es también un gran periodista y escribe en famosos diarios como The Times y The Guardian.

Jorge Luis BorgesRecientemente du Sautoy desvelaba su gran pasión por la obra literaria del escritor argentino Jorge Luis Borges. El matemático no se había imaginado nunca este vínculo entre las matemáticas y el famoso escritor, hasta que un día, según cuenta él mismo, trataba de explicarle su trabajo de clasificar fórmulas geométricas a una amiga, hasta que ella le dijo que era igual que el cuento de Borges que hablaba sobre la enciclopedia. Enseguida, du Sautoy prestó total atención y se interesó por tratar el tema leyendo obras y cuentos del argentino escritor.

“Me dije a mi mismo, aquí hay un autor que realmente aprecia ideas como finito, infinito, formas, espacio, el poder de la paradoja” – afirmaba du Sautoy.

Desde entonces, el matemático se sintió apasionado por la forma en que Borges hablaba en forma narrativa sobre las matemáticas y, claramente, era un indicio de los propios intereses del autor, cuya biblioteca original albergaba libros del matemático francés Henri Poincaré. du Sautoy trató de investigar y conocer a biógrafos de Borges para comprobar de dónde provenían todas estas ideas en su literatura.

El AlephTras leer varios cuentos, pudo encontrar conceptos matemáticos como ‘El Aleph’ donde se trata lo finito y lo infinito al igual que en las matemáticas.

Pero la obra favorita del matemático es, sin duda, ‘La Biblioteca de Babel’, donde el propio Borges relaciona otra figura matemática: ‘toroo toroide’, que se refiere a la forma de objetos como un donut o una rosquilla. La teoría que saca Borges respecto a este concepto se encuentra en el ámbito literario, en ‘la Biblioteca’ como forma de rosquilla. Con esta premisa, el hecho de caminar dentro de ella sería un concepto ‘finito’ pero a la vez ‘ilimitado’ porque el caminante no se sale de la figura y puede dar la vuelta un número infinito de veces.

“Al igual que el bibliotecario, los científicos estamos dentro de nuestra biblioteca que llamamos Universo y usamos por ejemplo telescopios o herramientas de nuestra mente para investigar la forma de ese Universo” afirmaba Marcus du Sautoy.

Sin embargo, el enigma de la rosquilla es tan solo una parte del mundo de Borges puesto que ‘la biblioteca’ tiene varios pisos y el enigma de la rosquilla se encuentra en el primero.

Mientras Borges explicaba que al mirar hacia arriba vemos pisos que ascienden y al mirar hacia abajo pisos que descienden“, según du Sautoy sólo podemos imaginar estas formas en un espacio de cuatro dimensiones“.

Tras conocer estos enigmas, y unos cuantos más, en la obra Jorge Luis Borges, el matemático británico ha calificado al escritor como un ‘matemático secreto’ y no deja de recomendar su obra a todos los amantes de la literatura y de las matemáticas.

Fuente: enpositivo.com

Más información:

El Mapa de las Matemáticas

El gran misterio de las Matemáticas

Tiempo y matemáticas

Veinte matemáticos célebres

Los números en la naturaleza

Donald en el mundo de las Matemágicas

La importancia de las Matemáticas

Aquiles y la Tortuga

Matemáticas y juegos de azar

El arte matemático de Escher

La hipótesis de Riemann, ¿resuelta?

Euclides, Piet Mondrian y la matemática victoriana

El legado de Pitágoras, parte I – Los Triángulos de Samos

El Legado de Pitágoras, parte II – Pitágoras y otros

El Legado de Pitágoras, parte III – Retar a Pitágoras


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La ecuación matemática más hermosa del mundo

octubre 26, 2018

¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del mundo?

Las ecuaciones matemáticas representan algunas de las leyes más complejas que gobiernan el Universo y todo lo que hay en ello.

Se necesita años de experiencia para entender las ecuaciones más profundas y muchas de ellas son tan complejas que son difíciles de traducir a un lenguaje normal.

Sin embargo, esto no significa que no podamos apreciar su belleza.

BBC Earth les preguntó a matemáticos y físicos por las ecuaciones que ellos piensan son las más bonitas.

Aquí te presentamos las doce que los expertos prefieren.

La ecuación de Dirac

«Estéticamente es elegante y simple», comenta Jim Al-Khalili de la universidad de Surrey en el Reino Unido.

Ecuación de Dirac
Ecuación de Dirac

«Es una ecuación muy poderosa por lo que significa y su papel en la historia de la física del siglo XX».

La ecuación fue descubierta a finales de los años 20 por el físico Paul Dirac, y juntó dos de las ideas más importantes de la ciencia: la mecánica cuántica, que describe el comportamiento de objetos muy pequeños; y la teoría especial de Einstein de la relatividad, que describe el comportamiento de objetos en movimiento rápido.

Por lo tanto, la ecuación de Dirac describe cómo las partículas como electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz.

La fórmula de Riemann

El matemático Bernhard Riemann publicó esta ecuación en 1859.

Fórmula de RiemannFórmula de Riemann

Permite calcular los números primos por debajo de un número dado.

Por ejemplo, la ecuación de Riemann revela que hay 24 números primos entre 1 y 100.

«Los números primos son los átomos de la aritmética», explica Marcus du Sautoy de la universidad de Oxford.

«Son los números más básicos e importantes en el corazón del mundo de la matemática. Pero sorprendentemente, a pesar de más de 2000 años de investigación, todavía no los entendemos».

Pi

«Siempre le digo a mis estudiantes que si esta fórmula no los sorprende completamente es que sencillamente no tienen alma», señala Chris Budd de la universidad de Bath.

PiPi es la ecuación de la circunferencia

Muchos lectores sabrán de esta famosa ecuación.

Sencillamente describe cómo la circunferencia de un círculo varía con su diámetro.

La relación de los dos es un número llamado pi, que aproximadamente es 3,14, pero no exactamente.

Pi es un número irracional, lo que significa que los dígitos pueden continuar indefinidamente sin que se repitan.

Euler-Lagrange

Esta ecuación se utiliza para analizar todo, desde la forma de una burbuja de jabón a la trayectoria de un cohete alrededor de un agujero negro.

Euler LagrangeCon esta ecuación se puede analizar prácticamente todo.

«Más que una ecuación, es una receta para generar una infinita variedad de posibles leyes de física», comenta Andrew Pontzen de la University College London.

A pesar de sus múltiples aplicaciones, la ecuación es «engañosamente corta y simple», agrega Pontzen.

La ecuación de Yang-Baxter

«La ecuación de Yang-Baxter es una ecuación simple que puede ser representada en un dibujo de un niño de dos años», señala Robert Weston de la universidad Heriot-Watt en Edimburgo.

Yang-BaxterEsta fórmula es tan simple que la puede dibujar un niño.

Como la ecuación de Euler-Lagrange, se ve simple pero tiene implicaciones profundas en muchas áreas de la matemática y la física.

Esto incluye cómo se comportan las olas en aguas poco profundas, la interacción de partículas subatómicas, la teoría matemática de nudos y la teoría de las cuerdas.

«Te lo puedes imaginar como estar en el centro de una telaraña», explica Weston. «En las cuerdas de esa red puedes encontrar muchos temas en lo que juega un papel fundamental».

Identidad de Euler

«La mayoría de las matemáticas modernas y físicas derivan del trabajo de Leonhard Euler», aclara Robin Wilson de la Open University del Reino Unido.

Identidad de EulerEuler es considerado el Mozart de las matemáticas.

Él fue «el matemático más prolífico de todos los tiempos» y el «Mozart de las matemáticas».

Pero a pesar de todos sus logros, «mucha de la autocalificada ‘gente educada’ nunca ha oído hablar de él».

Su ecuación más famosa es la identidad de Euler, y en ella se pueden vincular las constantes de la matemática.

Identidad de EulerLa ecuación más famosa de Euler vincula todos los números más importantes

La ecuación combina cinco de los números más importantes de la matemática. Los cuales son:

  • 1 – la base de todos los números
  • 0 – el concepto de la nada
  • pi – el número que define al círculo
  • e – el número que subraya el crecimiento exponencial
  • i – la raíz cuadrada «imaginaria» de -1

Todos los números tienen aplicaciones prácticas, incluida para la comunicación, navegación, energía, fabricación, finanzas, meteorología y medicina.

Pero eso no es todo: la identidad de Euler también tiene tres de las operaciones matemáticas más básicas: suma, resta y exponenciación.

La ecuación de la onda

«La belleza de la ecuación de la onda se manifiesta de muchas formas», explica Ian Stewart de la universidad de Warwick del Reino Unido.

Ecuación de onda.

«Es matemáticamente simple y elegante y tiene una interesante variedad de soluciones con agradables características matemáticas».

La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas.

Se aplica a todo tipo de ondas, desde las de agua a las de sonido y vibraciones. Incluso a las ondas de luz y radio.

Teorema de Bayes

Esta ecuación fue desarrollada por primera vez por el reverendo Thomas Bayes en el 1700.

Teorema de Bayes
Este teorema tiene más usos de los que uno se imagina

Calcula la probabilidad que un evento (A) sea real, dado que otro evento (B) también lo es.

Tiene muchos usos, como para detectar fallas de vigilancia, defensa militar, operaciones de búsqueda y rescate, en escáneres médicos en incluso para filtros de correos electrónicos no deseados.

«Su belleza destaca porque subyace en el pensamiento racional y la toma de decisiones, más que por cualquier aspecto estético intrínseco», comenta David Percy, de la universidad de Salford, quien no pudo decidirse entre Bayes y la identidad de Euler.

Ecuación del campo de Einstein

La primera vez que Albert Einstein habló de su teoría general de la relatividad fue en 1915, y al año siguiente se publicó.

Campo de EinsteinEl campo de Einstein es la favorita de muchos matemáticos

Él la resumía en una ecuación, que de hecho es el sumario de diez ecuaciones.

Katie Mack, de la universidad de Melbourne en Australia, explica que estas fórmulas cambiaron completamente cómo entendemos la naturaleza y evolución del Universo.

«Lo fundamental de este nuevo punto de vista es que la idea de espacio-tiempo, el tejido básico de la realidad, es maleable», agrega.

La relatividad general ofreció una nueva visión de cómo funciona la gravedad.

En vez de objetos masivos ejerciendo una atracción en otros objetos, estos distorsionan el espacio y tiempo alrededor de ellos.

La ecuación de Einstein nos puede decir cómo nuestro universo ha cambiado con el tiempo, y ofrece un vistazo de los primeros momentos de la creación.

No extraña que sea la ecuación favorita de muchos matemáticos.

Aplicación logística

La aplicación logística es uno de los ejemplos clásicos de la teoría del caos.

Mapa ligísticoLa ecuación del caos

«Puede ser resumida de la siguiente forma: la gran complejidad puede surgir de reglas muy sencillas», comenta Olalla Castro Alvaredo de la City University de Londres.

La ecuación puede ser usada para modelar muchos procesos naturales, como el crecimiento o la disminución de una población de animales con el tiempo.

La forma en la que se comporta una población termina siendo enormemente sensible al valor de r, de manera contraintuitiva.

Si r está entre 0 y 1, la población siempre morirá. Pero si está entre 1 y 3, la población llegará a un valor fijo –y si está por encima de 3.56995, la población se convierte ampliamente impredecible.

Estos comportamientos son descritos como «caóticos» por los matemáticos, y no son los que instintivamente deberíamos esperar.

Pero todas emergen de una fórmula que matemáticamente es bastante simple.

Una simple progresión aritmética

Una progresión aritmética es simplemente una secuencia de números separados por la misma cantidad.

Progresión artiméticaQuizás la belleza está en la simpleza

Por ejemplo, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 es una progresión aritmética cuya diferencia es 2.

«Muchas de las cosas que consideramos hermosas de deben a la misma simétrica, reduciendo el trabajo que necesitamos para entenderlas», dice Benjamin Doyon del King’s College de Londres en el Reino Unido.

«Quizás nuestro cerebro es feliz al hacer menos trabajo, creando una sensación positiva de belleza».

Fórmula cuaternión

Famosamente tallada en un puente de piedra por el matemático irlandés William Rowan Hamilton, esta ecuación describe cómo trabajar con números complejos que incluyen raíces cuadradas de números negativos.

Fórmula cuaterniónCuenta la historia que el matemático Hamilton talló la ecuación debajo de un puente de Dublín.

Esta ecuación, establecida por William Rowan Hamilton, es fundamental para una rama oscura de la matemática llamada álgebra cuaternión.

«La historia es que Hamilton dio con esta ecuación mientras caminaba en Dublín y la talló en un puente en un acto de triunfo», cuenta Chris Budd de la universidad de Bath.

En la actualidad, el álgebra cuaternión es básica en la industria de la computación gráfica.

Se utiliza para describir la orientación de los objetos en la pantalla.

Fuente: bbc.com

formula de Euler


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Sherlock Holmes y la criptogafía

octubre 25, 2018

Holmes, un perspicaz decodificador

Por César Tomé.

los bailarines

Sherlock Holmes, el famoso detective creado por Arthur Conan Doyle, era conocido por sus grandes capacidades deductivas. Entre sus aventuras, me permito destacar El ritual de los Musgrave –ver la entrada Thales– en la que utilizaba el teorema de proporcionalidad de triángulos de Thales para encontrar el lugar en el que se escondía un secreto transmitido –mediante un extraño ritual– durante generaciones por la familia Musgrave.

Sherlock Holmes 02 los bailarinesEn esta anotación quiero comentar otro de los relatos cortos del famoso detective, Los bailarines –incluido en la colección El regreso de Sherlock Holmes–. Esta vez, Holmes descubre el misterio que se le plantea, usando sus dotes de criptógrafo.

En esta aventura, Hilton Cubitt pide ayuda a Holmes para aclarar un enigma relacionado con su esposa: se encuentra muy angustiada, al estar recibiendo unos curiosos mensajes en clave. El marido no desea incomodarla –ella no quiere contarle lo que sucede–, y envía a Holmes la primera de las notas que consigue interceptar:

Holmes 1

Ante la vista de este criptograma, Holmes asegura:

Estos jeroglíficos tienen sin duda un sentido. Si se trata de una cosa puramente arbitraria, quizá nos sea imposible descifrarlo; pero si estamos ante una cosa sistemática, llegaremos sin duda al fondo del asunto. Ahora bien: esta muestra que tenemos aquí es tan breve, y los hechos que usted me ha relatado resultan de tal manera indefinidos, que carecemos de base para una investigación.”

Hilton Cubitt sigue recopilando mensajes para dar más pistas a Holmes sobre el problema que preocupa a su esposa. Van apareciendo en puertas, paredes y ventanas más mensajes en clave:

Holmes 2

Los monigotes –los bailarines– que componen los mensajes aparecen en diferentes posturas, a veces llevan banderines, en algunas ocasiones están colocados boca abajo:

Holmes 3

Cada nueva información proporcionada por Cubitt ayuda a Holmes en su intento de resolver el misterio:

Estoy bastante familiarizado con toda clase de formas secretas de escritura y soy autor de una insignificante monografía acerca del tema, en la que analizo ciento sesenta claves distintas; pero confieso que ésta me resultó completamente nueva. Los inventores del procedimiento se propusieron, por lo visto, ocultar el hecho de que estos dibujos encierran un mensaje, produciendo la impresión de que se trata de simples dibujos infantiles caprichosos.”

Holmes –exactamente de la misma manera en la que procede el protagonista de El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe, ver [2]– comienza estudiando la frecuencia de aparición cada símbolo, y la compara con la frecuencia de las letras en inglés.

Sin embargo, una vez convencido de que cada símbolo de esos equivale a una letra, y aplicando al caso las reglas por las que nos guiamos para descifrar toda clase de escrituras secretas, la solución resulta bastante fácil. El primer mensaje que me fue presentado era tan breve, que resulta imposible para mí sentar otra afirmación con alguna seguridad fuera de la de que la figura

Holmes 4

representa la letra e. Ustedes saben que la ‘e’ es la más corriente de las letras del alfabeto inglés y que predomina en este idioma hasta el punto de que, incluso en las frases más breves, se puede tener la seguridad de que se repite con más frecuencia que ninguna otra letra.”

Tras fijar la letra E, el detective continúa descubriendo algunos de los símbolos de este cifrado por sustitución directamente, o deduciendo palabras guiándose por el contexto o el sentido común: los bailarines a los que alude el título del relato de Conan Doyle son las letras –minúsculas y mayúsculas– y los signos de puntuación de un nuevo abecedario.

Holmes 5

El alfabeto completo era una invención de Patrick, el padre de Elsie –la esposa de Cubitt–, jefe de una banda de delincuentes: el nuevo alfabeto le ayudaba a enviar mensajes a su ‘cuadrilla’, que pasaban desapercibidos –pareciendo un simple juego de niños– para cualquier persona desconociendo la clave.

Lamentablemente, a pesar de conseguir averiguar la clave, Holmes no logra evitar el asesinato de su cliente, Hilton Cubitt. Pero al menos, logra desenmascarar al asesino, y lo hace –conocedor como ya era del código escondido– enviándole un mensaje en el anterior alfabeto en nombre de Elsie.

Nota 1: Los criptogramas mostrados arriba dicen:

1) aM herE abE slaney (estoy aquí Abe Slaney)

2) aT elriges (en Elrige)

3) elsiE preparE tO meeT thY god (Elsie, prepárate para comparecer ante Dios)

Nota 2: En Strange Little Dancing Men Explained at Last, Martin Bergman permite descargar las fuentes de este alfabeto ‘bailarín’: se puede instalar y utilizar; yo lo he hecho en mi ordenador, y puede que me dedique a mandar mensajes misteriosos…

Holmes 6

Este no es un mensaje cifrado.

Referencias:

[1] Arthur Conan Doyle, Los bailarines [pdf]

[2] Marta Macho Stadler, Edgar Allan Poe, el científico, Matematicalia vol 4, no. 4, 2008

[3] La imagen del alfabeto en clave está extraído de la página de la matemática Jill Britton

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua enZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios

Fuente: culturacientifica.com


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Los números en la naturaleza

septiembre 30, 2018

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta f_{10}

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377<br /><br /> \ldots \,

La sucesión comienza con los números 1 y 1,1 y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias del brécol romanescu y en el arreglo de un cono.

fibonacci 01

 

Historia

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir».2

Número de Mes Explicación de la genealogía Parejas de conejos totales
Comienzo del mes 1 Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total.
Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3 La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B. 2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4 Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. 3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5 A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. 5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6 A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. 8+5=13 parejas en total.

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.3

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos f_{n+1}/f_n se acerca a la relación áurea fi (\phi) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la sucesión de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

(3)f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

f_0 = 0\,
f_1 = 1\,

se obtienen los siguientes números:

  • f_2 = 1\,
  • f_3 = 2\,
  • f_4 = 3\,
  • f_5 = 5\,
  • f_6 = 8\,
  • f_7 = 13\,

para n = 2,3,4,5,\ldots

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.

Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera a_0,a_1,a_2,\dots es la función f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots, es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4)f\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}

Cuando esta función se expande en potencias de x\,, los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

\frac{x}{1-x-x^2}=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots

Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

f_{n+2}-f_{n+1}-f_n=0\,

con las condiciones iniciales

f_0=0\, y f_1=1\,

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t^2-t-1=0, y sus raíces son

t=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

f_n=b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n.4

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl}b+d & = & 0 \\ b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)&=&1\end{array}\right\}

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

b=\frac1{\sqrt5},d=-\frac1{\sqrt5}

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5)f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

\varphi=\frac{1+\sqrt5}2

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6)f_n=\frac{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^{n}}{\sqrt5}

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional \varphi\,. De hecho, la relación con este número es estrecha.

Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

\left . \begin{array}{rcl}<br /><br /> f_{n} &=& f_{n} \\<br /><br /> f_{n-1} + f_{n} &=& f_{n+1}<br /><br /> \end{array} \right \}

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}

Conociendo a f_0=0 y f_1=1, al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene

(7)\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8)\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_n\\f_n&f_{n+1}\end{bmatrix}

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly5 dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

  • La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,…, lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense «The Field» del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
  • Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17=13+3+1, 65=55+8+2.
  • Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.
  • La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si \textstyle\alpha = \frac{1+\sqrt 5}{2} y \textstyle\beta = \frac{1-\sqrt 5}{2}, entonces
f_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta} y f_n\approx\frac{\alpha^n}{\sqrt 5}\,
  • Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
f_n=\frac{f_{n-2}+f_{n+1}}2
  • Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.
f_{n+1}= f_{n} * 2 - f_{n-2}
  • La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n+2 menos uno. Es decir
f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1
  • Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
f_0-f_1+f_2-\cdots+(-1)^nf_n=(-1)^nf_{n-1}-1
f_1+f_3+f_5+\cdots+f_{2n-1}=f_{2n}
f_0+f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1
f_0^2+f_1^2+f_2^2+\cdots+f_n^2=f_nf_{n+1}
f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^2
f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^2-1
Si k\geq1, entonces f_{n+k}=f_kf_{n+1}+f_{k-1}f_n\, para cualquier n\geq0
f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n (Identidad de Cassini)
f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}
f_{n+2}^2-f_{n+1}^2=f_nf_{n+3}

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2}
f_{n+2}^3+f_{n+1}^3-f_n^3=f_{3n+3}
f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi (con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:
f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi)f_{n}
  • El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente
\mathrm{mcd}\left(f_n,f_m\right)=f_{\mathrm{mcd}\left(n,m\right)}
Esto significa que f_n\, y f_{n+1}\, son primos relativos y que f_k\, divide exactamente a f_{nk}\,
  • Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier n\geq0,
f_{n+1}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}
y más aún
f_{3n}=\sum_{j=0}^n\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}2^jf_j
  • Si f_p = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción, f_4=3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
  • La suma infinita de los términos de la sucesión \textstyle\frac{f_n}{10^n} es exactamente \textstyle\frac{10}{89}.
  • La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
  • El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada 15\times10^{n-1} números.

Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como \ldots,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja f_{n-2}\, de la ecuación (3) de donde se obtiene

f_{n-2}=f_n-f_{n-1}\,

De esta manera, f_{-n}=f_n\, si n es impar y f_{-n}=-f_n\, si n es par.

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando n es cualquier número real. La función resultante

f(x)=\frac{\varphi^x-\cos(\pi x)\varphi^{-x}}{\sqrt 5}

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

  • f(0)=0~
  • f(1)=1~
  • f(x)=f(x-1)+f(x-2)~ para cualquier número real x

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión g_0,g_1,g_2,\ldots donde

(9)g_n=g_{n-1}+g_{n-2}\, para n=2,3,4,5,\ldots

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

 \varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}.

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

 \varphi^x=\varphi^{x-1}+\varphi^{x-2}.

…y al de los complejos.

 \varphi^z=\varphi^{z-1}+\varphi^{z-2}.

Una característica notable es que, si g_0,g_1,g_2,\ldots es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

g_n=f_{n-1}g_0+f_ng_1~

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}g_0\\g_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

  • l_0=2~
  • l_1=1~
  • l_n=l_{n-1}+l_{n-2}~ para n=2,3,4,5,\ldots

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

  • La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
\lim_{n\to\infty}\frac{l_{n+1}}{l_n}=\varphi
  • La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
l_n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}
  • La suma de los primeros n números de Lucas es el número que se encuentra en la posición n+2 menos uno. Es decir
l_0+l_1+l_2+\cdots+l_n=l_{n+2}-1
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
l_n=f_{n-1}+f_{n+1}~
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad
f_n=\frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}

Algoritmos de cálculo

Cálculo de f_7 usando el algoritmo 1.

Para calcular el n-ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad O(\varphi^n)\,)
función {\it fib}(n)\,

si n<2\, entonces

devuelve n\,
en otro caso

devuelve {\it fib}(n-1) + {\it fib}(n-2)\,

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar f_{n+1}-1 sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión f_n crece tan rápido como \varphi^n, entonces el algoritmo está en el orden de \varphi^n. Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular f_{50} este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que \varphi es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de \varphi y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado f_{50}=1.258626903\times10^{10} aún cuando el resultado correcto es f_{50}=12586269025. Este error se hace cada vez más grande conforme crece n.

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par (i,j)\, de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es (j,i+j)\,, de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad O(n)\,)
función {\it fib}(n)\,

i\gets 1
j\gets 0
para k\, desde 0\, hasta n-1\, hacer

t\gets i+j
i\gets j
j\gets t
devuelve j\,

Esta versión requiere efectuar sólo n sumas para calcular f_n, lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular f_{50}.

Calculando f_{100} usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular x^n como

x^n=\begin{cases} x & \mbox{si }n=1 \\ \left(x^{\frac n 2}\right)^2 & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ x\times x^{n-1} & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, \log_2(n) multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores a y b, y su cuadrado se puede calcular como

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}^2 =<br /><br /> \begin{bmatrix}a^2+b^2 & b(2a+b)\\<br /><br /> b(2a+b) & (a+b)^2+b^2\end{bmatrix}

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad O(\log(n))\,)
función {\it fib}(n)\,

si n\leq0 entonces

devuelve 0\,
i\gets n-1
(a,b) \gets (1,0)
(c,d) \gets (0,1)
mientras i > 0\, hacer

si i\, es impar entonces

(a,b) \gets (db + ca, d(b + a) + cb)
(c,d) \gets (c^2 + d^2, d(2c + d))
i\gets i\div 2
devuelve a+b\,

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular f_{100}, en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.

Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad de Bejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual se deriva el nombre en francés de esta ciudad, «Bougie», que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.6

Dígitos en la sucesión de Fibonacci

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:

  • Empezando en 1 dígito y «terminando» en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.
  • En los elementos de posición n, n10, n100,…, el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

Divisibilidad

  • Sean n y m enteros positivos. Si el número n es divisible por m entonces el térmimo n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la cita sucesión7
  • Cualquiera que sea el entero m, entre los m^2 - 1 primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 48
  • Si k es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.9 Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.
  • Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí10

Véase también

Referencias

  1. La leyenda que motivó esta sucesión «empezó con una pareja de conejos». Vorobiov: Números de Fibonacci
  2. Laurence Sigler, Fibonacci’s Liber Abaci, página 404
  3. Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
  4. Pareciera que surge de modo natural la raíz cuadrada de cinco, número irracional pura creación humana
  5. Fibonacci Quarterly
  6. (en inglés)T.C.Scott; P. Marketos (2014). «On the Origin of the Fibonacci Sequence». MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  7. Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscú. Esta sección exige que la sucesión empiece con 1 y con 0 (1974)
  8. Vorobiov: Ibídem
  9. Vorobiov: Op. cit
  10. Al ojo se puede comprobar esta proposición, chequeando la lista respectiva

Bibliografía

  • N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas.
  • A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
  • Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.

Fuente: Wikipedia.


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Matemáticas, ¿para qué?

septiembre 29, 2018

Para qué sirven las matemáticas

Por Francisco R. Villatoro.

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Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos en “The unplanned impact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British Society for the History of Mathematics.”

Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias cumplen 2 = 2 = 2 = ijk= –1.

Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter Guthrie Tait (1831–1901), profesor de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) pasó más de 38 años discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo vectorial, que a finales del siglo XIX eclipsó a los cuaterniones y los matemáticos del siglo XX, en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones. Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales. En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además de en gráficos por ordenador. Al final del s. XX, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine (más de 100 mil millones de dólares en 2010).

Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”

En 1907, Albert Einstein formuló el principio de equivalencia, un paso clave para el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Su idea es simple en extremo, que los efectos de una aceleración son indistinguibles de los efectos de un campo gravitatorio uniforme, o dicho de otro modo, que la masa como “carga” gravitatoria y la masa inercial son equivalentes. Esta idea llevó a Einstein a concebir la gravedad como una curvatura del espaciotiempo. En 1915 publicó las ecuaciones de su teoría general que indican cómo la materia curva el espaciotiempo circundante. Las matemáticas que utilizó tienen su origen a mediados del siglo anterior. Bernhard Riemann introdujo los fundamentos de la geometría diferencial en 1854, en la defensa de su tesis de habilitación (una especie de tesis doctoral que era requisito para impartir clases en la universidad). Introdujo la geometría diferencial de espacios (hipersuperficies) de n dimensiones, llamadas variedades, y las nociones de métrica y curvatura. En los 1870, Bruno Christoffel extendió las ideas de Riemann e introdujo las conexiones afines y el concepto de transporte paralelo. El cálculo diferencial en variedades (o cálculo tensorial) alcanzó altas cotas de abstracción con los trabajos de Gregorio Ricci-Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita (entre 1880 y los inicios del s. XX). Pero estas ideas tan abstractas no tenían ninguna aplicación práctica hasta que Albert Einstein en 1912, con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossman decidió utilizar este cálculo tensorial para articular su profunda visión física sobre el espaciotiempo. Gracias a las variedades de Riemann en cuatro dimensiones (tres para el espacio y una para el tiempo), Einstein revolucionó nuestras ideas sobre la gravedad y sobre la evolución del universo. Las ecuaciones de Einstein no tenían ninguna solución estática, por lo que Einstein introdujo en 1917 una término adicional, la constante cosmológica con objeto de compensar la expansión natural del universo. Tras los trabajos teóricos de otros físicos, como Alexander Friedmann en 1922, y los resultados experimentales de Edwin Hubble, Einstein decidió en 1931 eliminar la constante cosmológica y calificar su inclusión como “el mayor error de su vida.” Hoy en día, tras la gran sorpresa de 1998, el concepto de energía oscura ha reintroducido la constante cosmológica.

Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”

En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.

Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que se besan, planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial? En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que esperar al trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953. Oleg Musin demostró en 2003 que el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como demostró Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560. Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres dimensiones y utilizan empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos, la red E8 en 8 dimensiones y la red de Leech en 24 dimensiones.

Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem utilizando estos empaquetamientos de esferas multidimensionales. El problema de la comunicación analógica en una línea telefónica es el ruido. En una conversación entre dos personas el lenguaje natural es tan redundante que el ruido importa poco, pero para enviar datos es necesario introducir ciertas redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce el ancho de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por segundo). Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar al máximo el ancho de banda. Para ello utilizó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (más tarde también se utilizó el de Leech). En la década de los 1970, el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo temprano de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en su trabajo, dijo que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran sido manchadas de esta manera por las aplicaciones.”

Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”

En 1992, dos físicos propusieron un dispositivo simple para convertir las fluctuaciones térmicas a nivel molecular en un movimiento dirigido: un motor browniano (Brownian ratchet) basado en alternar el encendido y el apagado de cierto campo. En 1996, la esencia matemática de este fenómeno fue capturada en el lenguaje de la teoría de juegos por la paradoja de Parrondo. Un jugador alterna dos juegos, en ambos juegos por separado la esperanza a largo plazo implica perder, sin embargo, alternar ambos juegos permite lograr a largo plazo una victoria. En general, se utiliza el término “efecto de Parrondo” para describir el resultado dos pruebas que combinadas logran un resultado diferente al de dichas pruebas individuales. El “efecto Parrondo” tiene muchas aplicaciones, como en el control de sistemas caóticos ya que permite que la combinación de dos sistemas caóticos conduzca a un comportamiento no caótico. También puede ser utilizado para modelar en dinámica de poblaciones la aparición de brotes de enfermedades víricas o en economía para predecir los riesgos de ciertas inversiones en bolsa.

Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”

En el siglo XVI, Girolamo Cardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna, “Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).

En el siglo XVII, Jakob Bernoulli reconoció que la teoría de la probabilidad podría aplicarse mucho más allá de los juegos de azar. Escribió “Ars Conjectandi” (publicado después de su muerte en 1713), que consolidó y amplió el trabajo en probabilidad de Cardano, Fermat, Huygens y Pascal. Bernoulli probó la ley de grandes números, que dice que cuanto mayor sea la muestra, más se parecerá el resultado muestral al de la población original. Las compañías de seguros deben limitar el número de pólizas que venden. Cada póliza vendida implica un riesgo adicional y el efecto acumulado podría arruinar la empresa. A partir del siglo XVIII, las empresas de seguros comenzaron a utilizar la teoría de probabilidades para sus políticas de ventas y para decidir los precios de los seguros con objeto de garantizar beneficios a largo plazo. La ley de Bernoulli de los grandes números es clave para seleccionar el tamaño de las muestras que permiten realizar predicciones fiables.

Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”

Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.

Pero en la década de 1990, las aplicaciones prácticas de la topología comenzaron a aparecer. Lentamente al principio, pero ganando impulso hasta que ahora parece que hay pocas áreas de la ciencia en las que la topología no se utilice. Los biólogos utilizan la teoría de nudos para comprender la estructura del ADN. Los ingenieros en robótica utilizan la teoría para planificar las trayectores de los robots móviles. Las bandas de Möbius se utilizan para obtener cintas transportadoras más eficientes. Los médicos utilizan la teoría de la homología para hacer escaneos cerebrales y los cosmólogos las usan para comprender cómo se forman las galaxias. Las empresas de telefonía móvil utilizan la topología para identificar los lugares donde no hay cobertura de la red. E incluso en computación cuántica se están utilizando hilos trenzados para construir ordenadores cuánticos robustos. La topología permite usar los mismos teoremas para resolver problemas muy diversos, desde el ADN a los sistemas de GPS (Sistemas de Posicionamiento Global). ¿Hay alguna aplicación práctica donde no se utilice la topología?

Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”

Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y otros en el siglo XVIII para estudiar la dinámica de las vibraciones de cuerdas y para estudiar los movimientos de los cuerpos en mecánica celeste. Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, reconoció la gran utilidad práctica de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a desarrollar una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de Fourier se utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica, hasta los circuitos eléctricos. En la actualidad, los métodos de Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la ingeniería modernas, en especial de las técnicas computacionales.

Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo XIX eran inadecuadas para el desarrollo riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número de problemas de carácter técnico que desafiaron a muchas de las grandes mentes de la época. Costó mucho desarrollar nuevas técnicas matemáticas para poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función. Bernhard Riemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900 obtuvieron nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia de series infinitas resultó muy resbaladiza al principio, pero se logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, que trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la década de 1870, los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los conjuntos se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son iguales pero cuyas series de Fourier son idénticas.

En la primera década del siglo XX, el concepto de espacio de Hilbert fue clave para entender las propiedades de las series de Fourier. El matemático alemán David Hilbert y sus colegas definieron estos espacios de forma axiomática, algo que parecía muy alejado de las aplicaciones prácticas. Sin embargo, en la década de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac y John von Neumann reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica, ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta clase de espacios de Hilbert. La mecánica cuántica es la teoría científica más exitosa de todos los tiempos. Sin ella, gran parte de nuestra tecnología moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de pantalla plana, la energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las series de Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo XX, y acabarían conduciendo a la energía nuclear.

Fuente: francis.naukas.com

matemáticas


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Michael Atiyah presentó su solución a la Hipótesis de Riemann

septiembre 24, 2018

Un prestigioso matemático asegura que resolvió uno de los problemas más famosos de la historia

El británico Michael Atiyah presentó su solución a la hipótesis de Riemann. Si se demuestra que es correcta, podría ganar un millón de dólares.  

Michael Atiyah, el matemático británico que asegura haber resuelto uno de los problemas más antiguos de la historia.
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El matemático británico Michael Atiyah presentó este lunes, durante una conferencia dictada en un congreso en Heidelberg (Alemania) una posible solución a uno de los problemas más famosos de la disciplina, la demostración de la célebre hipótesis de Riemann, planteada en 1859.

Bernhard RiemannLa hipótesis, que debe su nombre al matemático alemán Bernd Riemann y con un planteamiento cuya comprensión exige cierta formación matemática, tiene implicaciones para la comprensión de la distribución de los números primos, lo que, a su vez, puede tener repercusiones para las técnicas de seguridad informática.

La demostración de la conjetura de Riemann está entre los llamados problemas del milenio, definidos en 2000 por el Clay Matematic Institut que ofrece un premio de un millón de dólares por la solución de cada uno de ellos.

Desde entonces, el único que se había resuelto -hasta ahora- era la demostración de la hipótesis de Poincaré lograda por el ruso Grigori Perelman que, tras lograr la hazaña, no quiso aceptar ni el millón de dólares ni la medalla Fields, algo así como el Nobel de las matemáticas, y en cambio abandonó la vida científica.

El caso Perelman es un ejemplo de la cercanía entre la genialidad y la locura que se ve en algunos matemáticos

Atiyah (segundo dsede la derecha) con los reyes de Noruega en 2004, cuando le dieron el premio Abel (EFE)

Atiyah (segundo desde la derecha) con los reyes de Noruega en 2004, cuando le dieron el premio Abel.
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El problema también formaba parte la llamada lista de Hilbert, elaborada por David Hilbert en 1900, y que muchos matemáticos tienen permanentemente en la cabeza.

Para determinar si la demostración ofrecida por Atiyah es correcta o no habrá que esperar las reacciones de la comunidad matemática y la publicación de la misma, previa revisión de expertos en busca de posibles inconsistencias, en una revista especializada. En 2015, un matemático nigeriano también había anunciado la resolución del problema, pero fue luego desestimado. Y lo mismo ocurrió 13 años antes con un paquistaní. 

En todo caso, la charla ofrecida este lunes por Atiyah provocó gran expectativa porque en el programa del congreso se advertía que presentaría una «demostración simple» de la hipótesis de Riemann a través de una nueva aproximación radical.

El anunció despertó en medio mundo una lluvia de tuits y de preguntas, y la conferencia de Atiyah se siguió por diversos canales, muchos de los cuales no dieron abasto. Investigador en la Universidad de Edimburgo, Atiyah tiene 89 años y recibió varios reconocimientos, entre ellos la Medalla Fields y el premio Abel, y la orden del mérito del Gobierno británico. 

En la charla, Atiyah hizo primero un repaso de la historia de la confrontación de las matemáticas con los números primos, desde Euclides hasta Robert Langland y señalando que la hipótesis de Riemann era lo que ofrecía una mejor posibilidad de solución para encontrar una estructura en la distribución de los mismos.

El matemático y otros científicos en 2009 con la reina Isabel II. El investigador fue reconocido con la Orden del Merito (AP)

El matemático y otros científicos en 2009 con la reina Isabel II. El investigador fue reconocido con la Orden del Merito.
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Su aproximación al problema -el manuscrito ha empezado a circular en las redes- es como una especie de asalto al mismo desde otro ámbito de las matemáticas.

El problema, a través del cual Atiyah llegó a su propuesta de demostración de la hipótesis de Riemann, tenía que ver con la física, concretamente con la función de Todd.

Atiyah, en apenas media página, muestra que si hubiera un contraejemplo que refutase la hipótesis de Riemann, entonces habría una contradicción en la función de Todd y a partir de ello concluye que Riemann tenía razón.

Las primeras reacciones han oscilado entre el entusiasmo y el desconcierto. Muchos, durante la conferencia en la que se demoró en antecedentes históricos, se preguntaban cuando iba a empezar con la demostración. Algunos incluso la pasaron por alto y otros no estaban muy seguros de que aquello a lo que habían asistido era la solución de uno problema matemático centenario.

Al final, alguien del público, le preguntó a Atiyah si creía que estaba seguro de ganarse el millón de dólares. Sí, estaba seguro. Ahora habrá que esperar la voz de los expertos.

Sin embargo, en muchas redes sociales se percibe cierto grado de escepticismo por parte de matemáticos, para muchos la demostración resulta demasiado simple para ser correcta.

Sin embargo, también se alegran de que Atiyah, con la expectativa que despertó, les de una oportunidad de hablar de matemáticas y en algunos institutos se han organizado incluso «seminarios express» sobre la hipótesis de Riemann.

—Fuente original: EFE

Fuente: Clarín, 24/09/18.

Riemann


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