Matemáticas racistas: Cuando la estupidez contamina la ciencia

marzo 6, 2021

«Matemáticas racistas»: la nueva idiotez que apoya la fundación Gates

The Bill & Melinda Gates Foundation financió un programa titulado «Un camino hacia la instrucción matemática equitativa. Desmantelando el racismo en la instrucción matemática».

Por Emmanuel Alejandro Rondón.

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«La cultura de la supremacía blanca se infiltra en las aulas de matemáticas en las acciones cotidianas de los profesores. Junto con las creencias que subyacen a estas acciones, perpetúan el daño educativo a los estudiantes negros, latinos y multilingües, negándoles el pleno acceso al mundo de las matemáticas», esta cita pertenece al programa: «Un camino hacia la instrucción matemática equitativa. Desmantelando el racismo en la instrucción matemática»; un paper de 82 páginas que explica cómo combatir el racismo sistémico en las aulas de clases, en la actitud de los profesores y, sobre todo, en las matemáticas.

No es ninguna broma, de hecho, el documento fue financiado por The Bill & Melinda Gates Foundation; la famosa fundación Gates, según artículo publicado en la plataforma Substack en la sección de la escritora Bari Weiss llamada «Common Sense with Bari Weiss».

En el artículo Bari Weiss le da la palabra al profesor matemático Sergiu Klainerman.

Klainerman, de acuerdo con el perfil reseñado en el artículo, es un «profesor de matemáticas en Princeton especializado en la teoría matemática de los agujeros negros. Ha sido becario MacArthur, becario Guggenheim y es miembro de la Academia Nacional de Ciencias».

Una crítica durísima contra la ideología woke por la cruzada contra las matemáticas

El profesor escribió una crítica durísima contra la nueva ocurrencia del movimiento woke americano apoyado por Bill Gates y su fundación: llamar a las matemáticas racistas.

Al parecer, para la Woke America, los profesores que imparten la catedra derrochan supremacía blanca oprimiendo a los estudiantes pertenecientes a minorías étnicas con sus malvados ejercicios matemáticos. Por ende, hay que convertir y renovar a las matemáticas haciéndolas más antirracistas. Esa parece ser la lógica.

«Las matemáticas, con sus herramientas aparentemente imparciales —2 + 2 siempre es igual a 4— han presentado un problema para un movimiento ideológico que ve cualquier desigualdad de resultados como prueba de un sesgo sistémico. El problema no puede ser que algunos niños sean mejores en matemáticas, o que algunos profesores sean mejores en su enseñanza. Como muchas otras cosas, el argumento básico del movimiento Woke contra las matemáticas es que son intrínsecamente racistas y que hay que hacerlas antirracistas. Esto se logra socavando la noción de respuestas correctas e incorrectas, eliminando la expectativa de que los estudiantes muestren su trabajo, refiriéndose a las herramientas de pruebas matemáticas como racistas, y eliminando las clases de matemáticas aceleradas».

Parte del texto de la escritora Bari Weiss en su introducción antes de darle la pluma al profesor Klainerman.

Esa es la opinión de la escritora, parece dura, pero la del profesor Klainerman lo es aún más.

«En mi posición como profesor de matemáticas en Princeton, he sido testigo del declive de las universidades e instituciones culturales, ya que han abrazado la ideología política a expensas de la erudición rigurosa. Hasta hace poco —este verano pasado, en realidad— había pensado ingenuamente que las disciplinas STEM se salvarían de esta toma de posesión ideológica. Me equivoqué», inició su exposición el señor Klainerman en «Common Sense with Bari Weiss».

«Los intentos de “deconstruir” las matemáticas, negar su objetividad, acusarlas de prejuicios raciales e infundirlas con ideología política se han vuelto cada vez más comunes, tal vez incluso en la escuela primaria de su hijo».

Continuó el profesor Klainerman.
El valioso testimonio de un sobreviviente del comunismo

Kainerman gracias a las matemáticas pudo cumplir su versión del sueño americano. Siendo un inmigrante proveniente de Rumania vivió sin decoro —como muchos— el infierno totalitario comunista en su tierra natal, pero llegó a Estados Unidos y abrazó la libertad.

El profesor explica que, a diferencia de los regímenes comunistas que él mismo sufrió, esta America Woke es mucho «más blanda» en términos de violencia física, pero desgarradora en términos morales.

«A diferencia del totalitarismo tradicional practicado por los antiguos países comunistas, como la Rumanía en la que crecí, esta versión es blanda. No impone su ideología encarcelando a los disidentes o eliminándolos físicamente, sino mediante la vergüenza social, el castigo de la multitud, la culpabilidad por asociación y la coacción de la palabra», esbozó Kainerman lanzando, a posteriori, un dardo durísimo: «En lo que respecta a la educación, creo que la ideología woke es incluso más dañina que el comunismo antiguo».

El profesor, también critico de los regímenes comunistas, fue claro en explicar que, al menos, en dichos totalitarismos se respetaba la ciencia y las matemáticas, en especial la segunda, porque era inmune a la presión ideológica. Pero esto no lo respeta la ideología woke, argumenta.

«Al igual que los niños de todo el mundo, me atraían las matemáticas por su belleza formal, la elegancia y la precisión de sus argumentos, y la sensación única de logro que podía obtener al encontrar la respuesta correcta a un problema difícil. Las matemáticas también me permitieron escapar del embriagador tambor diario de la propaganda del partido, un refugio contra la aplastante atmósfera del conformismo político e ideológico».

Explicó el profesor Kainerman.

Añadiendo: «La ideología woke, por otro lado, trata tanto la ciencia como las matemáticas como construcciones sociales y condena la forma en que se practican, en la investigación y la enseñanza, como manifestaciones de supremacía blanca, eurocentrismo y poscolonialismo».

El profesor puso un ejemplo claro, que es el reciente programa, citado anteriormente, que está apoyado financieramente por la Fundación Gates; y que, según relata, cuenta con socios como: Lawrence Hall of Science de la Universidad de Berkeley, la Asociación de Administradores Escolares de California y la Oficina de Educación del Condado de Los Ángeles.

El programa, explica el profesor, esboza que «la cultura de la supremacía blanca se manifiesta en el aula cuando se centra en obtener la respuesta ‘correcta’», o en su defecto, «cuando se exige a los alumnos que muestren su trabajo, al tiempo que estipula que el propio “concepto de que las matemáticas son puramente objetivas es inequívocamente falso”».

El plan de estudio apoyado por Bill Gates tiene como objetivo principal «desmantelar el racismo en la enseñanza de las matemáticas» y, lo que puede ser más preocupante, involucrar «el giro sociopolítico en todos los aspectos de la educación, incluidas las matemáticas».

Kainerman, notoriamente preocupado, explicó lo absurdo que es tomar a las matemáticas como una ciencia que va cambiando según la raza, etnia o gentilicio de las personas. Las matemáticas son una.

«Por razones históricas, a menudo hablamos de las contribuciones al campo de las matemáticas de los egipcios, babilonios, griegos, chinos, indios y árabes y nos referimos a ellos como entidades distintas. Todos ellos han contribuido, a través de un diálogo cultural único, a la creación de un edificio verdaderamente magnífico y accesible hoy en día a todos los hombres y mujeres del planeta», explicó el profesor Kainerman. «Aunque rindamos homenaje a las grandes figuras históricas que informan la práctica de las matemáticas, la asignatura puede enseñarse —y a menudo se hace— sin hacer referencia a los individuos que han contribuido a ella. En ese sentido, es singularmente universal».

Para culminar su contundente crítica, el profesor añadió que, simplemente, las matemáticas racistas, blancas o supremacistas no existen:

«No hay ninguna razón para asumir, como hacen los activistas, que los niños de las minorías no son capaces de hacer matemáticas o de encontrar las “respuestas correctas”. Y no puede haber ninguna justificación para, en nombre de la “equidad” o de cualquier otra cosa, privar a los estudiantes de la educación rigurosa que necesitan para tener éxito. Los verdaderos antirracistas se levantarán y se opondrán a este sinsentido».

Fuente: elamerican.com


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Libros para disfrutar las Matemáticas

agosto 6, 2020

Libros de matemáticas básicas (y no tan básicas) para aprender a quererlas

Las matemáticas forman parte de nuestra vida y eso es incuestionable. Así que, para que logres entenderlas de una vez por todas, te traemos en esta ocasión un listado de libros de matemáticas básicas para que aprendas a quererlas.

¿Necesitas más razones?

Aquí va una: porque explican el universo que nos rodea, la tecnología, la naturaleza, el cuerpo humano…

Vale, estas son evidentes. Pero ¿y si te dijéramos que también está detrás del enamoramiento, de una sinfonía, de una obra pictórica o de los libros de Borges? ¿Ahora sí?

Presta atención a los títulos que te presentamos a continuación.

Todos escritos por expertos en matemáticas que han dedicado y dedican sus vidas a su estudio y que tienen el empeño de hacer que aquellos que no somos eruditos en la materia las disfrutemos. ¡Y vaya si lo consiguen!

Matemáticas: placer, poder, a veces dolor. Una mirada crítica sobre la matemática y su enseñanza

No es extraño que al escuchar la palabra “matemáticas” se nos venga a la cabeza esa asignatura que traía de cabeza a muchos en su época de estudiante. Y más aún si lo tuyo eran las letras.

Lo cierto es que, poco a poco, esa tendencia de indiferente oscuridad científica va cambiando, y cada vez se pone en más foco en la divulgación científica y en la clara comprensión de estas áreas de conocimiento. Un ejemplo es este título de César Sáenz Castro y Xenaro García Suárez, de la Universidad Autónoma de Madrid, quienes se proponen acabar con el miedo que rodea esta disciplina.

Ambos autores plantean, a dos manos, que las matemáticas constituyen una ciencia social y cultural. Y que no solo forma parte de una caracterización tecnológica y simbólica.

cubierta de Matemáticas: placer, poder, a veces dolor

Además, este libro constituye una crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas. La cual se ha basado en ejercicios rutinarios y repetitivos que, según los autores, daba a entender la materia como algo meramente objetivo.

Como decimos, este es un tema candente en la actualidad. En el siguiente vídeo, el popular profesor Dan Meyer da algunas pistas de los obstáculos a superar en la enseñanza de las matemáticas. Tampoco es el único, el físico Conrad Wolfram, con su empresa Computers Based Math, también trata -a su manera- de mejorar el aprendizaje matemático en la enseñanza primaria.

Pero no nos extendamos más.

En suma, el libro de Saéz y García nos da las claves para abordar las matemáticas con placer (y a veces dolor, que es la otra cara de la moneda), pero siempre teniendo en cuenta las condiciones personales de quien la estudian.

Didáctica de las matemáticas en educación infantil

Abordemos la cuestión desde la educación más básica. ¿Cómo es la enseñanza de las matemáticas en Educación Infantil? ¿Cómo debería ser? En este volumen, Blanca Arteaga y Jesús Macías, de la Universidad Internacional de la Rioja, tratan de dar respuesta aportando una serie de pautas y consejos para los maestros.

Su metodología parte de la base de que el docente debe despertar la curiosidad, la necesidad de investigar y de buscar respuestas. Y siempre teniendo en cuenta la idiosincrasia del alumnado, sus distintas capacidades.

Dividido en dos partes, “Desarrollo del pensamiento matemático” y “Consideraciones didácticas y metodológicas”, este estupendo manual pretende ser una guía para la enseñanza de una materia que, en muchas ocasiones, se diluye entre el resto de disciplinas en esta temprana fase educativa.

Matemáticas en la vida cotidiana

¿Aún temes a las matemáticas? Si es así, te proponemos otro título para que enfrentes tus miedos a esta disciplina, que, te aseguramos, puede llegar a resultar fascinante.

Lo primero que debes reconocer es que forman parte de la mayoría de las tareas que llevamos a cabo cada día.

  • Hablar por teléfono
  • Hacer fotos con nuestros móviles y cámaras
  • Sacar dinero en un cajero automático
  • El uso de los ordenadores e internet
  • Viajar en metro o usar un GPS

¡Y no aumentamos la lista porque eso nos ocuparía todo el artículo!

cubierta de Matemáticas en la vida cotidiana

Este libro conjunto de la Universidad de Jaén hará que descubras el maravilloso universo de las matemáticas. Conectando sus teorías con tus tareas cotidianas, sus autores logran que sientas curiosidad y fascinación por todos esos números que se esconden detrás de lo que hacemos.

Prisma. Un paseo entre las matemáticas y la realidad

Si te interesan las matemáticas, pero no eres un experto, este es el libro ideal para que profundices en su conocimiento.

Los integrantes del Grupo de Divulgación de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla  tienen su empeño puesto en hacer llegar las matemáticas a todo aquel que esté interesado en ellas, independientemente del nivel previo que posean.

cubierta de Prisma. Un paseo entre las matemáticas y la realidad

De ahí el carácter divulgativo de una obra que recoge, en catorce capítulos, las charlas de expertos sobre diversas ramas y épocas de las matemáticas.

Un excelente trabajo que le valió a sus autores el Premio Universidad de Sevilla a la Divulgación Científica.

Libros del CSIC sobre matemáticas

Sin duda alguna, la Editorial CSIC es uno de los sellos de referencia en el estudio científico de nuestro país.

Además, sus esfuerzos se concentran en la divulgación de sus investigaciones, no solo hacia el resto de científicos sino hacia la población general. Por ello poseen una colección (¿Qué sabemos de…?) de breves libros divulgativos que tratan de condensar lo más importante de una materia concreta de forma asequible. Y para un público no especializado.

En esta ocasión, os vamos a presentar tres títulos que abordan la materia de las matemáticas.

Las matemáticas de los cristales

La cristalografía es la parte de la geología que estudia la forma y estructura de los minerales al cristalizar. Y en ella también intervienen las matemáticas.

Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria nos explican aquí la relación entre ambas disciplinas, que se remonta nada menos que al siglo XVII.

Fue entonces cuando Kepler, absorto en los copos de nieve que se posaban sobre su abrigo, comenzó a descifrar la estructura de tan bello fenómeno. ¡Con ayuda de las matemáticas, por supuesto!

cubierta de Las matemáticas de los cristales

Además, estos expertos del CSIC nos muestran cómo cristalografía y matemáticas tienen en común el estudio de la simetría y los grupos, entre otros muchos conceptos.

Un conciso y asequible relato en el merece mucho la pena indagar.

Las matemáticas de la luz

Si en el anterior texto el detonante fue la nieve, ahora es el turno de la luz. En este otro título de la colección del CSIC, Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria vuelven a asombrarnos con la relación de las matemáticas con un fenómeno tan universal como la luz.

cubierta de Las matemáticas de la luz

En un recorrido por la historia, nuestros autores narran las distintas etapas en que las matemáticas, y en especial la geometría, se incorporaron al estudio de la luz.

Por supuesto, también de cómo el ser humano ha sido capaz de descifrar el papel de la luz en nuestra visión, un fenómeno que, a día de hoy, sigue evolucionando.

Matemáticas y ajedrez

El 11 de mayo de 1997, la supercomputadora Deeper Blue (versión mejorada de la conocida Deep Blue) venció por primera vez en la historia a un ser humano en una partida de ajedrez, Kaspárov.

Es fácil imaginar lo que pensaría Kaspárov sobre las matemáticas en ese momento…

Y es que el ajedrez siempre ha sido objeto de atención por parte de matemáticos, programadores o expertos en inteligencia artificial, entre muchos otros. Por ello, Razvan Iagar ha querido sintetizar en este libro su historia común.

cubierta de Matemáticas y ajedrez

Y es que fue precisamente la incursión en este juego de mesa lo que permitió a muchos de científicos perfeccionar sus teorías.

Si eres aficionado al ajedrez y quieres conocer las matemáticas que se esconden detrás de la partida perfecta, este breve relato será tu mejor cómplice.

Las matemáticas de nuestra vida

Ponemos fin a nuestras recomendaciones de hoy con este título tan llamativo.

¿Acaso podríamos entender el mundo sin las matemáticas?

Los editores de la obra, Julio Mulero, Lorena Segura y Juan Matías Sepulcre, de la Universidad de Alicante, saben que no. Y por ello han compilado trece capítulos en los que se repasa la conexión de las matemáticas con temas como el amor, el arte, el cine, la literatura

Interesante, ¿verdad?

cubierta de Las matemáticas de nuestra vida

Si quieres conocer qué números, fórmulas o hipótesis se aplican a una obra de arte, a una pieza musical o a tu libro favorito, este título te ayudará a hacer esa conexión.

¡Por cierto! Al inicio del post mencionábamos a Borges, ¿verdad? Mira:

Las inimaginables matemáticas en La biblioteca de Babel de Borges

Si eres lector de Borges y aficionado las matemáticas, este es tu libro.

El profesor del Wheaton College (Masssachusets, EE.UU.) William Goldbloom Bloch detalla en esta obra publicada por la Universidad Veracruzana un apasionante viaje lleno de anécdotas a la lógica matemática que compone el clásico cuento La biblioteca de Babel.  Divertidísimo.

LAS INIMAGINABLES MATEMÁTICAS EN

Ya lo ves, las matemáticas no son únicamente largas e incomprensibles fórmulas que solo atañen a los científicos.

Y es que, querido lector, matemáticas… eres tú y… ¿también Dios?

Fuente: unebook.es

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Más sobre el Teorema de Bayes

julio 29, 2020

Un teorema para el Siglo XXI

Por Anabel Forte Deltell.

Estimado señor, 

Le adjunto un escrito hallado entre los papeles de nuestro fallecido amigo Mr Bayes que, en mi opinión, tiene gran mérito y debería ser preservado:

EL TEOREMA DE BAYES

hilo en twitter por @AnaBayes y @Juliomulero para el concurso #ENEMDivulga de @ENEM_mat

Así empezaba la carta que Richard Price envió a John Cantón el 23 de diciembre de 1673 y a la que acompañaba el documento que dio origen al conocido como Teorema de Bayes, un teorema que está llamado a ser clave, por ejemplo, en las resoluciones judiciales y que da lugar a la visión Bayesiana de la estadística. 

Foto extraída de : https://www.manhattanrarebooks.com/

Thomas Bayes, era un reverendo presbiteriano cuyo teorema simboliza la formalización matemática del aprendizaje humano. En el fondo, el Teorema de Bayes explica cómo actualizamos nuestra visión de un proceso a medida que conocemos nueva información. 

Tenemos dos cajas de tornillos: la caja A (los culpables) contiene 40 tornillos de los cuales un 30% son defectuosos y la caja B (los inocentes) contiene 60 de los cuales 10% son defectuosos.

De pronto… ¡mala suerte! Se nos caen al suelo las dos cajas y se mezclan todos los tornillos. La catástrofe es que ya no sabemos cuáles son de cada caja.  Cogemos uno del suelo al azar y estamos interesados en conocer qué probabilidad hay de que sea culpable o inocente. 

Antes incluso de mirarlo pensamos: ¡ajá! Como 40 de los 100 tornillos eran de la caja A, la probabilidad de que nuestro tornillo sea “culpable” es 0.4 mientras que, la de que sea inocente (de la caja B) es 0.6. 

El tornillo tiene, por tanto, una mayor probabilidad de ser inocente:

Ahora bien, lo observamos con cuidado y vemos que es defectuoso.

¡Bravo! ¡Tenemos una pista! Como en un juicio, pero ¿cómo la usamos? ¿Cambia esto el estado de las cosas?

Tenemos que pensar que ahora nuestro “universo” se ha reducido a los tornillos defectuosos. ¿Y esos cuántos son?

En la caja A había un 30% (12) de tornillos defectuosos. En la caja B, un 10% (6). Por tanto, el tornillo que “hemos rescatado” sólo puede ser uno de los 18 tornillos defectuosos.

Entonces, si tenemos en cuenta que el tornillo es defectuoso (la pista), ahora la probabilidad de que el tornillo pertenezca a la caja A (sea culpable) ha pasado a ser 12/18=0.66 

Siguiendo el mismo razonamiento, la probabilidad de que sea inocente es  6/18=0.33.

Antes, la probabilidad de ser de la caja A era 0.4 y la de ser de la caja B, 0.6.

Ahora, con una mayor información, la probabilidad de ser de la caja A es 0.66 y la de pertenecer a la caja B, 0.33. 

¿Cómo cambia la perspectiva, no crees?

El Teorema de Bayes formaliza esta idea para que la podamos aplicar a cualquier situación en la que nuestra información se actualiza gracias a nueva información. 

En concreto, si llamamos D a la pista o información nueva y A al hecho de ser culpable: 

Imagina ahora que te llaman a un juicio de verdad, uno sin tornillos. 

En principio no tienes ningún prejuicio y piensas que es muy poco probable que una persona haya cometido un crimen así que asignas una probabilidad inicial de 0.01 a que la persona acusada sea culpable, esto es P(A).

Durante el juicio nos muestran una colilla encontrada en la escena del crimen. 

Se trata de una marca de tabaco muy rara y sabemos que la probabilidad de haber encontrado esa colilla en la escena del crimen es de 0.015, esto es P(D) 

Sabemos, además, que la persona acusada fuma ese tabaco y, por tanto, si esa persona fuese culpable la probabilidad de que hubiésemos hallado la colilla es muy alta, digamos P(D|A)= 0.9 (porque habrá ratos que no fume, vaya).

Aplicando la fórmula de Bayes, se obtiene que 0.9*0.01/0.015= 0.6

¡¡¡La probabilidad de que sea culpable ha pasado de 0.01 a 0.6 tras observar la pista!!!! 

Uno de los juicios en los que esta aplicación del Teorema de Bayes tuvo un gran impacto fue el de Diana Quer https://www.elprogreso.es/articulo/galicia/teorema-nunca-utilizado-espana-trata-probar-diana-fue-violada/201911211650041408557.html

A grandes rasgos, en el juicio se partía de una probabilidad muy baja de que el móvil del crimen fuese la violación, pero, a la vista de las pistas, la probabilidad habría aumentado a un 0.99. 

OJO: La probabilidad de ser culpable tras obtener la pista P(A|D) no es la misma que la de obtener la pista sabiendo que esa persona es culpable P(D|A) y es posible que conozcamos la segunda, pero no la primera que es la que buscamos.  

En definitiva, el Teorema de Bayes se convierte en una herramienta determinante en control de calidad o en justicia, pero también en diagnóstico clínico incluso en la detección del Spam en nuestros correos electrónicos y conforma la base de la Estadística Bayesiana 

Gracias por leer hasta aquí!

Fuente: http://anabelforte.com/2020/07/23/un-teorema-para-el-siglo-xxi/

Bayes

Más información:

El Teorema de Bayes en el Análisis de Inteligencia

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Caos y Complejidad

mayo 16, 2020

Espacio de debate

Teoría del Caos

La teoría del caos es la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata sobre ciertos tipos de Sistemas complejos y Sistemas dinámicos no lineales MUY sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales implican grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo; a pesar de ser sistemas deterministas, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.

La teoría de las estructuras disipativas, conocida también como teoría del caos, tiene como uno de sus principales representantes al químico belga Ilya Prigogine, y plantea que el mundo no sigue estrictamente el modelo del reloj, previsible y determinado, sino que tiene aspectos caóticos. El observador no es quien crea la inestabilidad o la imprevisibilidad con su ignorancia: ellas existen de por sí, y un ejemplo típico el clima.

El «efecto mariposa» (nombre acuñado a partir del diagrama de la trayectoria obtenida por el meteorólogo y matemático Edward Lorenz al intentar hacer una predicción del clima) hace referencia a la sensibilidad de un determinado sistema caótico, donde la más mínima variación en sus condiciones iniciales pueden provocar que el sistema evolucione en formas completamente diferentes. Así, una pequeña perturbación inicial mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande.

caos digital

Fuente: Ediciones EP, 2020.

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La vida del extravagante matemático Alexander Grothendieck

febrero 10, 2020

La obra de Alexander Grothendieck (1928-2014)

Por Francisco R. Villatoro.

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck

El matemático francés Alexander Grothendieck falleció el 13 de noviembre de 2014 en Saint-Girons, Francia. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus trabajos en Álgebra Homológica y Geometría Algebraica. Fue un matemático que destaca por su visión (su particular punto de vista) a la hora de atacar los problemas matemáticos más difíciles. Sus ideas han generado puentes entre muchas disciplinas alejadas entre sí y ha abierto campos insospechados. Muchas de sus ideas se encuentran en manuscritos inéditos, lo que ha elevado su figura a la talla de mito.

En este breve homenaje a su figura me basaré en el muy recomendable artículo de Leovigildo Alonso Tarrío y Ana Jeremías López, “La obra de Alexander Grothendieck,” Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 4: 623-638, 2001 [PDF gratis]. También recomiendo leer a Winfried Scharlau, “Who Is Alexander Grothendieck?,” Notices of the AMS 55: 930-941, 2008 [free PDF] (gracias José L. Pérez aka ‏@Jos192).

Más información biográfica en “Décès d’Alexandre Grothendieck,” Institut des Hautes Études Scientifiques, 14 Nov 2014; Bruce Weber, Julie Rehmeyernov, “Alexander Grothendieck, Math Enigma, Dies at 86,” New York Times, 14 Nov 2014; Pierre Cartier, “Alexander Grothendieck. A Country Known Only by Name,” Inference Review, 14 Nov 2014; y otros.

Grothendieck es el paradigma en el siglo XX del matemático guiado por una intuición casi milagrosa. Estudiante brillante, durante su carrera en la Universidad de Montpellier, Francia, redescubrió por sus propios medios la teoría de la medida de Lebesgue. Desarrolló su tesis doctoral en París, bajo la dirección de Dieudonné (pura escuela Bourbaki). Allí asistió a seminarios de H. Cartan, Delsarte, Godement y Schwartz. Tras sus estancias postdoctorales en Kansas y Sao Paulo fue contratado por el recién fundado I.H.E.S. (Institut des Hautes Études Scientifiques), la réplica francesa al I.A.S. (Institute for Advanced Study) de Princeton. Allí demostró ser uno de los matemáticos vivos más geniales y más revolucionarios de su tiempo. Sus trabajos culminaron con la Medalla Fields en 1966, que se negó a recoger porque se concedió en el ICM  (Congreso Internacional de Matemáticos) celebrado en Moscú, 16-26 Agosto. Su acto fue una protesta contra la represión soviética en Hungría en 1956.

En 1970 abandona el I.H.E.S., pasa al C.N.R.S. (Centre National de la Recherche Scientifique) y, finalmente, en 1973, retorna a la Universidad de Montpellier como profesor (abandonando la investigación activa). En 1984 volvió al C.N.R.S. para retirarse en 1988, ya con 60 años, año que recibió el Premio Crafoord de la Academia Sueca (el premio que dicha academia concede a los matemáticos para quitarse el sanbenito de que no haya un Nobel para los matemáticos). Grothendieck rechazó dicho premio (que también fue concedido a Deligne) y aprovechó para arremeter contra la falta de ética de la ciencia actual. Decidió retirarse a los Pirineos franceses.

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck - recent photograph

Los primeros trabajos de Grothendieck fueron en Análisis Matemático. Extendió la teoría de espacios vectoriales topológicos de Dieudonné, su director de tesis, a productos tensoriales de espacios localmente convexos (los llamados espacios nucleares). Hay varias posibilidades para dotar de una topología a un producto tensorial E⊗F, de dos espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita. Grothendieck estudia dos posibilidades concretas que le permiten generalizar el teorema del núcleo de Schwartz e introducir los llamados espacios nucleares (p.ej. el espacio de las funciones holomorfas sobre una variedad analítica compleja).

A finales de los 1950 Grothendieck se centra en la dualidad en cohomología (la extensión del concepto de dualidad de Poincaré a las variedades algebraicas). Generaliza varios resultados, e imparte una charla plenaria en el ICM de 1958 en Edimburgo sobre Álgebra Homológica. Sus resultados muestran el espíritu funtorial que le guió durante toda su carrera: el objeto de estudio no son las variedades algebraicas sino los morfismos entre ellas. Gracias a ello una definición y una construcción naturales hacen que la demostración de un resultado (muy complicado) se convierta en algo trivial (es decir, si escribes algo de la forma correcta sus propiedades serán obvias y no será necesario que las demuestres de forma explícita). Para muchos matemáticos la genial intuición de Grothendieck era una guía, casi extraterrestre o sobrenatural, hacia el rigor más bourbakiano.

En Geometría Algebraica la gran contribución de Grothendieck fue un cambio de lenguaje, seguido por la gran mayoría de trabajos relevantes posteriores en este campo. El lenguaje de esquemas simplifica la intuición de los resultados, permitiendo generalizarlos, y además ofrece grandes ventajas técnicas. Esta gran contribución nació con su generalización de la fórmula de Riemann-Roch para determinar la característica de Euler-Poincaré de curvas complejas en variedades algebraicas, que se basó en el llamado grupo de Grothendieck, también conocido como funtor K0, que le llevó a una nueva teoría de cohomología denominada Teoría K. Estos trabajos sentaron las bases de la Geometría Algebraica del resto del siglo.

Dibujo20141116 Alexander Grothendieck - another photograph

El carácter peculiar de Grothendieck le llevó a escribir de su propia mano pocos artículos matemáticos. Le gustaba impartír seminarios en el I.H.E.S. con sus descubrimientos, dejando que sus colegas se encargaran de tomar notas y redactar los correspondientes artículos técnicos. Por ejemplo, la teoría de esquemas fue expuesta en un tratado redactado por Dieudonné, titulado Eléments de Géométrie Algébrique. Una obra monumental de la que sólo aparecieron los cuatro primeros capítulos (de los doce proyectados inicialmente). La cohomología étale que aprendió de Grothendieck en un seminario, junto a la teoría de formas modulares, permitió a Deligne demostrar en 1974 las conjeturas de Weil sobre el número de puntos de una variedad algebraica sobre un cuerpo finito (un análogo a la hipótesis de Riemann para la función Zeta de una curva sobre un cuerpo finito). La cohomología cristalina de Grothendieck (que fuerza la validez del lema de Poincaré y permite integrar formalmente en la variedad) también ha conducido a importantes avances.

Grothendieck también nos dejó muchas conjeturas, como las famosas conjeturas estándar (también enunciadas por Bombieri) de la teoría de motivos. Estas conjeturas están abiertas en general y su resolución permitirá garantizar la existencia de una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas. Sobre estos temas Grothendieck nunca publicó una línea, sin embargo, hoy son el centro de la Geometría Algebraica. Su yoga motívico ha llevado a una auténtica galaxia de conjeturas enunciadas por otros autores, pero inspiradas en sus ideas.

He de confesar que mis conocimientos de Geometría Algebraica son insuficientes para poder entender los resultados de Grothendieck. Como todo visionario, durante su retiro en Montpellier, soñó con varias teorías matemáticas que conocemos por las cartas que envió a algunos colegas: Álgebra Topológica (teoría de las ∞-categorías laxas), Topología Moderada (una generalización de la teoría de esquemas), Geometría Algebraica Anabeliana (cómo construir variedades algebraicas a partir de su grupo fundamental cuando no es conmutativo), la teoría de Galois-Teichmüller y, en general, el punto de vista esquemático o aritmético para los poliedros regulares (los llamados dibujos de niños). Hay varias iniciativas que pretenden hacer públicos los manuscritos inéditos de Grothendieck sobre estos temas que se encuentran depositados en la Universidad de Montpellier, pero él mismo ha dicho que se opone a que sean publicados. Ahora con su fallecimiento es posible que la tarea se lleve a cabo y quizás las nuevas ramas matemáticas soñadas por Grothendieck puedan aportarnos luz en el panorama matemático del siglo XXI.

Descanse en paz, Alexander Grothendieck.

Fuente: francis.naukas.com

el artista y el matemático

Más información:

El misterio de Alexandre Grothendieck

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14 de marzo Día internacional de las Matemáticas

noviembre 29, 2019

La UNESCO declara el 14 de marzo como Día Internacional de las Matemáticas

Por Nova Ciencia.

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Lenguaje de las matemáticas

Las Matemáticas ya tienen su día internacional en el calendario. La Unión Matemática Internacional (IMU) ha comunicado a sus organizaciones adheridas, entre las que se encuentra el Comité Español de Matemáticas (CEMat), la proclamación por parte de la UNESCO del 14 de marzo como el Día de Internacional de las Matemáticas. Esta resolución ha sido adoptada en la 40 Conferencia General de la UNESCO, celebrada en París del 12 al 27 de noviembre de 2019. Con el apoyo de numerosas organizaciones internacionales y gobiernos, entre ellos el de España, la IMU había liderado en los últimos años este proyecto, en el que anualmente se invitará a los países a celebrar este día con diversas actividades dirigidas a los centros educativos y al público general.

La elección del 14 de marzo responde a la coincidencia del 3-14 con el número Pi, fecha en la que, de hecho, muchos países celebraban el “Día de Pi”. El lanzamiento oficial de esta celebración tendrá lugar el viernes 13 de marzo de 2020 en dos eventos paralelos, el primero de ellos en la sede de la UNESCO en París y el segundo en África, durante un evento paralelo en el Next Einstein Forum que se celebra en Nairobi (Kenia).

La IMU ha creado la página web www.idm314.org, en la que países y organizaciones están invitados a anunciar sus celebraciones. Además, pondrá a disposición de los interesados materiales en abierto y en diferentes lenguas, entre ellos, proyectos, ideas, actividades o “software” para usar en las aulas. El tema elegido para el próximo año será “Mathematics is everywhere” (Las Matemáticas están en todas partes), con el que los participantes están invitados a encontrar las conexiones de las matemáticas con la ciencia y la tecnología; en la organización de las ciudades, la sociedad y los gobiernos; los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) o las actividades diarias de las personas.

Fuente: novaciencia.es, 27/11/19.

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03.14 Pi Day . 14 de marzo

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International Mathematical Union

The International Day of Mathematics is a project led by the International Mathematical Union.

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La amante cartesiana, una historia matemática

noviembre 20, 2019

La amante cartesiana

MATEMOCIÓN

No es la primera vez que escribo en la sección Matemoción del Cuaderno de Cultura Científica sobre matemáticas y cómics. He dedicado una serie de entradas a las matemáticas de la novela gráfica Habibi (Astiberri, 2011), de Craig Thompson (véase Habibi y los cuadrados mágicosparte 1parte 2 y parte 3), y otra a las matemáticas del cómic Ken Games (Diábolo, 2009-10), de José Robledo (guionista) y Marcial Toledano (dibujante) (véase la entrada Las matemáticas en el cómic Ken Games).

En la entrada de hoy vamos a centrar nuestra atención en la novela gráfica La amante cartesiana (Egales, 2016), escrita por Paloma Ruiz Román y dibujada por Juan Alarcón.

Portada de la novela gráfica La amante cartesiana, de Paloma Ruiz Román (guión) y Juan Alarcón (dibujo), publicada en 2016 por la editorial Egales

La historia de esta novela gráfica está inspirada en un artículo del matemático José Manuel Rey, de la Universidad Complutense de Madrid, titulado A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution (algo así como Un modelo matemático sobre la dinámica sentimental para explicar los divorcios), publicado en 2010, en la revista científica PLOS ONE (esta revista está publicada por la Public Library of Science, que es una organización editorial estadounidense sin ánimo de lucro que tiene como objetivo la publicación de una serie de revistas científicas de contenido abierto).

Este artículo, por su temática, tuvo cierta repercusión en los medios de comunicación. Por ejemplo, en ABC Ciencia se publicó un artículo con el título “El amor para siempre está destinado al fracaso, según una fórmula matemática”. O en el periódico Público apareció otro artículo con un título más destinado a llamar la atención que a describir la realidad de la investigación matemática explicada en el mismo, “El amor no existe, según las matemáticas”, con la volanta más descriptiva, aunque aún un poco exagerada “Un científico español elabora un modelo teórico que sugiere que las relaciones sentimentales duraderas y satisfactorias son prácticamente imposibles”. Y este artículo, con toda probabilidad, fue leído por la autora de La amante cartesiana.

La novela gráfica empieza presentando, en las primeras páginas, la relación sentimental entre la protagonista, una profesora de matemáticas de un instituto de enseñanza secundaria, a la cual se va a ver dando clase en varias páginas de la novela gráfica, y su pareja, una fotógrafa, que más adelante en la historia viajará a Islandia para realizar un reportaje fotográfico durante seis meses.

Página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se ve a la protagonista, una profesora de matemáticas de enseñanza secundaria, dando clase de matemáticas. En concreto, explicando algunas propiedades del número dos

Presentada la relación sentimental de esta pareja, se muestra un dibujo, de página completa, que ofrece a la persona que lee el cómic la primera pista sobre cuál va a ser el tema de la novela gráfica. En la misma se ve al matemático ruso Lev Poltryagin escribiendo fórmulas matemáticas en una pizarra, además del texto “El matemático ruso Lev Poltryagin elaboró en la década de los cincuenta la teoría de control óptimo, alumbrada para solucionar un contratiempo con un avión de combate soviético. Pero nunca imaginó que unos años más tarde se emplearía para explicar por qué hay un divorcio aproximadamente cada 80 segundos”. Por lo tanto, uno de los puntos de partida de la novela gráfica es el fracaso de las relaciones de pareja.

Página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se ve al matemático ruso Lev Poltryagin frente a una pizarra

La historia continúa hasta que la fotógrafa debe emprender su viaje a Reikiavik, dejando a la matemática sola, sumida en una cierta tristeza. Y entonces llega la segunda información relevante, relacionada con el artículo del matemático madrileño José Manuel Rey, sobre la historia que nos están contando. Un dibujo a página completa de la protagonista, acompañada de imágenes de su pareja, de un avión, de una ciudad y de fórmulas matemáticas. Todo ello acompañado de dos textos explicativos.

El primero: “En 2010, fue el matemático José Manuel Rey quien, combinando la segunda ley de la termodinámica con las ecuaciones de control óptimo, sacó a la luz una fórmula de conclusiones poco esperanzadoras: el amor no perdura”.

Y el segundo “Las matemáticas, disciplina capaz de explicar cualquier suceso que se repita, toman como punto de partida en la fórmula lo que se puede considerar un hecho común: las relaciones por sí solas, es decir, la sustancia que las mantiene vivas, tienden a extinguirse”.

Página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se hace hincapié en el artículo del matemático José Manuel Rey, en el que se modeliza las relaciones de pareja

El tema para la novela gráfica está servido, la fragilidad de las relaciones de pareja, y su fuente de inspiración es el artículo A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution en el que se obtiene un modelo matemático para describir la dinámica de las relaciones sentimentales.

Como se cita en la introducción del artículo publicado por PLOS ONE, la mayoría de las personas mencionan el amor y las relaciones de pareja cuando se les pregunta por los elementos importantes para tener una vida feliz. Además, cuando las personas inician una relación amorosa a largo plazo, lo hacen bajo la premisa de vivir juntas y felices para siempre. Sin embargo, las altas tasas de divorcios, por ejemplo, en Estados Unidos y Europa, donde prácticamente una de cada dos parejas acaba en divorcio, ponen de manifiesto cierto fracaso de las relaciones sentimentales. Es lo que el matemático de la Universidad Complutense de Madrid llama la “paradoja del fracaso”, es decir, aunque en la base de las relaciones sentimentales está el que duren para siempre, muy probablemente fracasarán.

El sicólogo estadounidense John Gottman, que se ha hecho famoso por su trabajo sobre la predicción del divorcio y la estabilidad en las relaciones sentimentales, fue uno de los primeros en utilizar las matemáticas para estudiar las relaciones de pareja, en concreto, utilizó una ecuación diferencial basada en lo que llama la “segunda ley de la termodinámica para las relaciones sentimentales”, es decir, al igual que un recipiente caliente se enfriará si no se le suministra calor, las relaciones sentimentales se deteriorarán si no reciben un aporte de “energía” que compense esa tendencia al enfriamiento. Aunque, como pone de manifiesto el sociólogo estadounidense, sería interesante poder contar con un modelo matemático que describa la dinámica de las relaciones de pareja y esto es lo que hizo el matemático de la Universidad Complutense de Madrid.

Parte de una página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se aparece la protagonista dando clase de matemáticas, en concreto, hablando del número uno

Todo modelo matemático intenta describir el “objeto de interés”, en este caso la dinámica de las relaciones sentimentales, simplificando el problema, intentando quedarse con las partes esenciales del mismo. Uno de los ejemplos más ilustrativos de esta situación es el grafo del problema de los puentes de Königsberg, que está en el origen de la teoría de grafos (véase el libro Del ajedrez a los grafos (RBA, 2015) o la entrada El problema de los tres caballeros y los tres criados). Cuanto más se simplifique, más manejable será el modelo, más claras y útiles serán las conclusiones, aunque también puede ocurrir que perdamos parte de la información en el proceso de abstracción; pero si no se simplifica lo suficiente el problema, el modelo puede ser demasiado complejo para tratarlo y las conclusiones serán menos útiles. Algo así como ocurre con los mapas. En los mapas siempre se pierde parte de la información, pero son muy útiles. Por ejemplo, entre los mapas más importantes para su uso en la navegación están los que preservan los rumbos, los ángulos, sin embargo, estos no preservan las áreas, los caminos más cortos, ni las distancias; o los que son buenos para la divulgación o la comunicación de información porque preservan las áreas, fallan con los rumbos, los caminos más cortos o las distancias; y lo mismo ocurre con otros mapas (véase El sueño del mapa perfecto (RBA, 2011) o las entradas Imago Mundi, 7 retratos del mundoImago Mundi, otros 6 retratos del mundoImago Mundi, finalmente 9 retratos más del mundo). Por otra parte, el mapa de escala 1:1 que es (o sobre) la Tierra misma, como en el texto de Borges Del rigor de la ciencia, es el más exacto de todos, pero inútil e inservible.

Del rigor de la ciencia

…En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal Perfección que el mapa de una sola Provincia ocupaba toda una Ciudad, y el mapa del Imperio, toda una Provincia. Con el tiempo, esos Mapas Desmesurados no satisficieron y los Colegios de Cartógrafos levantaron un Mapa del Imperio que tenía el tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que ese dilatado Mapa era Inútil y no sin Impiedad lo entregaron a las Inclemencias del Sol y de los Inviernos. En los desiertos del Oeste perduran despedazadas Ruinas del Mapa, habitadas por Animales y por Mendigos; en todo el País no hay otra reliquia de las Disciplinas Geográficas.

SUÁREZ MIRANDA: Viajes de varones prudentes, libro cuarto, cap. XLV, Lérida, 1658.

La historia elabora un concepto encontrado en Silvia y Bruno de Lewis Carroll: un mapa ficticio que tenía una escala de «una milla por milla». Uno de los personajes en la historia de Carroll hace notar varias de las dificultades prácticas con el mapa y asegura que «ahora usamos el país mismo como su propio mapa, y [le] aseguro que funciona casi igual de bien».

El matemático José Manuel Rey, para realizar su modelo matemático de la dinámica de las relaciones sentimentales, asume que las parejas estarán formadas por individuos más o menos similares, que se da la “segunda ley de la termodinámica para las relaciones sentimentales” y que dos elementos fundamentales en las relaciones de pareja son el sentimiento de bienestar que se siente dentro de la pareja y el esfuerzo que se va realizando desde que empieza la relación. Entonces, utilizando teoría de control óptimo (que es la que desarrolló el matemático ruso Lev Pontryagin), obtuvo la fórmula que describe la dinámica de las relaciones de pareja, que se incluye también en la novela gráfica.

La fórmula matemática obtenida por el matemático José Manuel Rey para describir la dinámica de las relaciones sentimentales. La imagen pertenece al artículo del periódico Público

Esta fórmula está incluida en el cómic, cuando se está produciendo la separación emocional de la pareja protagonista. De nuevo, en un dibujo de página completa, donde se muestra a la fotógrafa trabajando en Islandia, se incluye y se explica la fórmula, que en el texto se denomina “la fórmula matemática del desamor”.

Parte de una página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que se aparece la protagonista dando clase de matemáticas, en concreto, hablando del número uno

La información que proporciona la fórmula, la variable W, es la “felicidad del matrimonio” (entendiendo matrimonio en un sentido amplio). La fórmula consta de una integral, que como dice el texto “la integral suma las sensaciones cotidianas”. Y dentro de la integral hay dos partes, una positiva, que como dice en el comic “este grupo de variables es el bienestar que se siente dentro de la pareja”, y otra negativa, descrita como “este otro conjunto mide el coste del esfuerzo desde el inicio de la relación”.

Más adelante, cuando la relación entre la protagonista y su pareja ya se ha roto, se incluye otro dibujo con una metáfora sobre el significado del estudio, que seguramente fue fruto de las conversaciones entre la escritora y el matemático. En concreto se añade el texto “Tal y como explica Rey, la manera más sencilla de entender por qué se repite el hecho de que las relaciones no funcionen es a través de la metáfora del jardín”. Y nos la explica: “Para que las plantas se mantengan frondosas durante toda la vida, hay que aportar abono, agua y cuidados. Todo en su justa medida”. Y concluye: “Pero este esfuerzo continuo no es gratuito. Tiene un coste que suele ser excesivo, apocando antes o después a las plantas a un estado marchito”.

Parte de una página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que la protagonista reflexiona sobre las conclusiones del modelo matemático de la dinámica de las relaciones sentimentales

En otra página, que vemos en la anterior imagen, la protagonista reflexiona sobre las conclusiones que nos ofrece el modelo matemático de la dinámica de las relaciones de pareja. Recogiendo las palabras del autor del estudio: “el esfuerzo que es necesario para que una relación funcione siempre será mayor que el esfuerzo que esperamos tener que realizar para ello”.

Y se continúa afirmando en La amante cartesiana “o lo que es lo mismo, hagamos lo que hagamos para que una relación salga bien, siempre será insuficiente, ya que la tendencia natural conduce a la dejadez y, con ella, al fracaso”.

Como reacción a este pensamiento negativo que domina a la protagonista, fruto de su ruptura sentimental, la última parte de la novela es un alegato a favor del amor y las relaciones sentimentales.

Aunque el estudio matemático sobre la dinámica de las relaciones de pareja es la parte matemática central de esa novela gráfica de Paloma Ruiz Román y Juan Alarcón, lo cierto es que la ciencia de Pitágoras impregna toda la historia. Veamos algún ejemplo.

La protagonista de La amante cartesiana, que como hemos comentado es profesora de matemáticas en un instituto de enseñanza secundaria, explicará a sus estudiantes propiedades de ciertos números particulares en paralelo a su historia sentimental. Así, explica en clase algunas propiedades del número 2, cuando se presenta a la pareja en las primeras páginas, como que el 2 es el único número primo par y que es el único número tal que la suma consigo mismo es igual al producto consigo mismo, es decir, 2 + 2 = 2 x 2. Por otra parte, cuando la protagonista se queda sola, por el viaje de su pareja, habla a la clase del número 1, mientras que cuando su relación se rompe lo hace sobre el 0.

Por otra parte, cuando una tercera persona entra en escena, la profesora hablará del número pi, que no es 3, pero está muy cerca (3,14159…), y lo hace en relación con la poesía. En concreto, la bailarina a la que conoce la protagonista le lee una poesía con sabor matemático, el poema Escrito con tiza del poeta chileno Oscar Hahn, que incluimos a continuación.

ESCRITO CON TIZA

Uno le dice a Cero que la nada existe
Cero replica que Uno tampoco existe
porque el amor nos da la misma naturaleza

Cero más Uno somos Dos le dice
y se van por el pizarrón tomados de la mano

Dos se besan debajo de los pupitres
Dos son Uno cerca del borrador agazapado
y Uno es Cero mi vida.

Detrás de todo gran amor la nada acecha.

La protagonista tras escuchar el poema, le contesta que “tiene la estructura de una ecuación, de un problema matemático” y realiza un análisis matemático de la misma. Este es el estudio que realizó el chileno Camilo Herrera y que podéis leer aquí.

Parte de la página de la novela gráfica La amante cartesiana, en la que la protagonista explica a su clase el poema irracional relacionado con el número pi del ajedrecista Manuel Golmayo

Tras esa relación entre matemáticas y poesía, en la siguiente escena de la novela gráfica, se ve a la protagonista hablando a sus estudiantes de un poema del ajedrecista español Manuel Golmayo (1883-1973) relacionado con el número pi. En concreto, uno de esos poemas, que en ocasiones son denominados irracionales, en los que cada palabra del poema tiene tantas letras como indican los dígitos del número pi (o también podría ser otro número irracional, como la razón aurea phi o el número e). El poema es el siguiente.

Soy y seré a todos definible, [3,14159]

mi nombre tengo que daros, [26535]

cociente diametral siempre inmedible [8979]

soy de los redondos aros [32384]

Pero en la novela gráfica hay más matemáticas. Descartes, Kepler, la música de las esferas, el azar o la probabilidad son algunas de las cuestiones matemáticas que también encontraréis en esta historia, pero eso lo descubriréis cuando disfrutéis de su lectura. Para terminar, os dejo con el problema de ingenio (relacionado con el problema amoroso de la protagonista) planteado por la profesora de matemáticas en el cómic.

Problema: Supóngase que los dos enunciados siguientes son verdaderos:

(1) Quiero a Elena o quiero a Adriana.

(2) Si quiero a Elena entonces quiero a Adriana.

¿Se sigue necesariamente que quiero a Elena? ¿Se sigue necesariamente que quiero a Adriana?

Bibliografía

1.- Paloma Ruiz Román, Juan Alarcón, La amante cartesiana, Egales, 2016.

2.- José Manuel Rey, A Mathematical Model of Sentimental Dynamics Accounting for Marital Dissolution, PLOS ONE, vol. 5, 2010.

3.- Periódico ABC: El amor para siempre está destinado al fracaso, según una fórmula matemática, Judith de Jorge, 13 de mayo de 2010.

4.- Periódico Público: El amor no existe según las matemáticas, Manuel Ansede, 25 de abril de 2010.

5.- Raúl Ibáñez, Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos, El mundo es matemático, RBA, 2015.

6.- Raúl Ibáñez, El sueño del mapa perfecto, cartografía y matemáticas, El mundo es matemático, RBA, 2010.

7.- Camilo Herrera, La solución de la ecuación poética

Sobre el autor: Raúl Ibáñez es profesor del Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU y colaborador de la Cátedra de Cultura Científica

Fuente: culturacientifica.com, 20/11/19.

Paloma Ruiz Román

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Aumenta la demanda de Matemáticos

mayo 30, 2019

La carrera de Matemáticas se dispara en plena era del ‘big data’

La titulación exige la mayor nota de corte cuando se cursa con Físicas y tiene una empleabilidad del 100% en la sociedad de Internet y la inteligencia artificial. Cada curso ingresan 3.000 estudiantes

Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense.
Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense.

MADRID — La carrera de Matemáticas vive un auge sin precedentes debido al empuje del big data, la inteligencia artificial y la promesa de una empleabilidad del 100%. Hace 10 años sobraban plazas así que para acceder a la facultad bastaba un cinco pelado de nota media. El curso pasado, los aspirantes a matemáticos entraron en el grado al menos con un 12,68 sobre 14 y con un 13,77 si se estudia con Físicas. En medio de la cuarta revolución industrial, la de Internet y las tecnologías de la información, en el sector se rifan a estos titulados y ellos lo saben. “No han entregado el trabajo de fin de grado y ya les están llamando para trabajar”, explica Antonio Brú, decano de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

Entre 2000 y 2005 se redujeron en un 43% las matrículas en Matemáticas pero esas cifras son agua pasada. Victoria Otero, de la Universidad de Santiago de Compostela, era presidenta de los decanos de Matemáticas cuando en 2009 empezaron a cubrirse todas las plazas. Los campus vieron el filón y diseñaron nuevos títulos relacionados. Ahora ingresan 2.500 estudiantes en Matemáticas y otros 500 en los dobles grados que cruzan esta disciplina con la Física, la Estadística, la Informática o la Economía.

El documento Impacto socio-económico de la investigación matemática en España, elaborado por Analistas Financieros Internacionales (AFI) para la Red Estratégica de Matemáticas (REM), contabiliza la huella en el empleo que alcanzaron en 2016 estos estudios: un millón de ocupadosdirectos —un 6% del total de puestos de trabajo— y otros 2,3 millones indirectos, lo que supone que el 10% del producto interior bruto (PIB) de España estuvo ligado a la actividad matemática de forma intensiva y un 26,9% indirectamente. En el Reino Unido, los Países Bajos o Francia el empleo asociado es entre cuatro y cinco puntos mayor.

“Antes, los graduados en Matemáticas solo podían aspirar a ser profesores de secundaria o quedarse en la Universidad”, explica Carmen Palomino, directora de Talento en la Fundación Universidad Empresa. En los últimos cinco años han aumentado de 7 a 115 las ofertas de empleo para matemáticos de sus compañías asociadas. Un estudio de la Real Sociedad Española de Matemáticas sobre salidas laborales avalaba en 2005 esa opinión y argumentaba, además, las razones de la desafección entre los estudiantes: la carrera tenía fama de difícil y larga por la media de años empleados para finalizarla.

Ahora, las matemáticas tienen un sinfín de salidas profesionales. “Todo en el mundo de las empresas se mueve con datos y se contratan muchos matemáticos, físicos y estadísticos en el big data y la inteligencia artificial”, explica Palomino. Porque hay matemáticas detrás del diseño, modelaje, simulación, organización y el análisis de datos de cualquier producto. “Se necesita, además, gente que extraiga, analice y exponga datos para anticiparse a las tendencias del mercado”, explica Sara Álvarez, mánager en la empresa de búsqueda de empleo Adecco.

El papel de los matemáticos es justificar toda la teoría y después, un ingeniero lo utiliza de forma aplicada. Cada uno tiene que descubrir su talento y explotarlo. Para mí, sin embargo, sería más complicado estudiar Derecho que hay que memorizar mucho”, explica Carmen Recio, de 25 años, que estudió el grado de Matemáticas en Zaragoza y trabaja en inteligencia artificial en IBM. Su puesto no existía hace tres años. “Dudaba entre Físicas y Matemáticas y mi tutor me dijo que Matemáticas, por ser más abstracta, me iba a abrir un abanico mayor de opciones. Me informé y vi que había un 95% de empleabilidad en los tres primeros meses”.

SUBEN LAS CIENCIAS Y BAJAN LAS INGENIERÍAS

Los estudios de ciencias —incluyen Matemáticas, Biología, Químicas y Físicas— han experimentado un aumento en los campus públicos, pasando de representar el 8,7% en el 2012 al 9,5% un lustro después. Un incremento que coincide con la crisis económica que llevó al paro a muchos arquitectos e ingenieros de caminos.

Un estudio de Analistas Financieros Internacionales (AFI) concluye que tener una buena formación matemática desde la escuela “genera rentabilidad: mejores ocupaciones y mayores salarios en el futuro, entre un 7% y un 10%” superiores.

35 de las 48 universidades públicas impartieron en 2016-2017 el grado y, de media, los estudiantes aprobaron el 70% de los créditos en los que se matricularon, un porcentaje a mitad de la tabla entre las carreras de ciencias.

Las matemáticas son vitales en el sector informático, financiero, de telecomunicaciones, sanitario y energético. “La empleabilidad es del 100%. Hace años, las empresas tecnológicas pedían un ingeniero informático o industrial y ahora han abierto el campo a los físicos y los matemáticos”, explica Álvarez, que elige mandos medios y directivos en Adecco. “A veces llamas a alguien de este perfil que te dice que ha tenido ya otra oferta esa misma mañana y no puedes tardar en tomar la decisión porque te quedas sin él”.

Helena García Escudero, estudiante de Matemáticas y Físicas en la Complutense.
Helena García Escudero, estudiante de Matemáticas y Físicas en la Complutense.

La universitaria vallisolotena Helena García Escudero, que termina Matemáticas y Físicas en la Complutense, llegó desorientada a la carrera. “Matemáticas te enseña los fundamentos de todo y curiosamente no usas la calculadora, mientras que Físicas es más aplicada y la utilizas. Tienes que aprender un nuevo lenguaje y te rompe los esquemas”, cuenta la futura astrofísica encantada de su decisión. En unos días, Helena empezará unas prácticas en la sede madrileña de la Agencia Espacial Europea y el pasado curso estuvo con una beca en la Universidad de Irving (California), donde comprobó que allí muchos alumnos redondean los estudios con conocimientos de Filosofía o Historia. Helena, que toca el piano y participa en pruebas de atletismo universitario —lo cuenta para dejar claro que no son unos cerebritos aislados del mundo—, quiere hacer un máster en la Universidad de Chicago. Helena, que toca el piano y participa en pruebas de atletismo universitario —lo cuenta para dejar claro que no son unos cerebritos aislados del mundo—, quiere hacer un máster en Astrofísica en la Universidad de Chicago.

“Las facultades de Matemáticas están formando bien en las técnicas y la contextualización abstracta de la resolución de problemas”, se felicita la matemática Elisa Martín Garijo, directora de Innovación de IBM España. “Y luego hay másteres que te permiten ahondar en los datos o la producción industrial. Pero lo importante es que las bases estén bien marcadas y luego el resto del conocimiento es bastante fácil”. En esta compañía muchos altos cargos son matemáticos, empezando por su presidenta, Marta Martínez.

Por ponerle un pero, la directiva de IBI afirma: “Podría mejorar la colaboración entre la universidad y la empresa para que los estudios tengan una visión más práctica”. Otero, vicerrectora de Titulaciones de la Universidad de Santiago, cree que ya están en ello. “En casi todos los grados se están implantando las prácticas externas que antes no se incluían. Se interesan por ellos institutos biomédicos que necesitan matemáticos en equipos multidisciplinares para, por ejemplo, traducir el tratamiento de una enfermedad a un lenguaje que entienda una máquina”.

El tirón matemático parece imparable y tiene un reverso para la ciencia. “Las empresas les ofrecen a los recién egresados 1.500 o 1.800 euros y así es difícil que se queden en la universidad haciendo investigación básica, que tampoco puede descuidarse”, alerta el rector Brú.

UNA TITULACIÓN SIN TANTA BRECHA DE GÉNERO

Las Administraciones organizan actividades para atraer vocaciones a las STEM (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas), muy necesitadas de nuevas incorporaciones y especialmente femeninas. Sin embargo, en el grado de Matemáticas la brecha no es tan acusada. Victoria Otero, presidenta de la Comisión Profesional de la Real Sociedad Matemática Española, explica que en el grado el 44% son alumnas. Una cifra estable en el tiempo. “Matemáticas se relacionaba antes con la docencia y eso es un trabajo muy asociado a las mujeres”, explica. Aunque la presencia femenina disminuye en los dobles grados que incluyen Matemáticas: son el 33%. Los decanos no tienen clara la causa, quizás se debe a la extrema competitividad para acceder a ellos. “No es cuestión de expediente”, precisa Otero. “Faltan referentes femeninos para las niñas, porque casi todos los científicos más importantes de la historia son hombres”, razona la joven Carmen Recio que hace una labor de divulgación.

Fuente: elpais.com, 30/05/19.

Más información:

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Las matemáticas lo hicieron millonario

Quien domine las matemáticas, dominará el mundo

matemáticas

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La utilidad de la Historia

febrero 6, 2019

¿La Historia es una ciencia?

Por Alberto Vázquez Bragado.1

Reloj astronómico de Praga
Reloj astronómico de Praga.

Se sabe que, en Historia, es prácticamente imposible obtener teorías o leyes generales de forma deductiva y más tarde soportar un experimento como sucede en las ciencias sociales, pues lo histórico viene ya de experiencias vividas, de observaciones a lo largo del tiempo. ¿Qué experimentación habrían de precisar?

Desde luego que ninguna. La Historia, como tal, es una ciencia social en la que intervienen infinidad de variables y donde las constantes pueden cambiar con facilidad; por lo tanto, bajo esa perspectiva, es difícil elaborar leyes generales tal como lo entiende la comunidad científica y muchos pensadores.

Las proporciones científicas

Pero, ¿qué entendemos por teorías o leyes generales? Podría valernos el considerarlas como un conjunto de supuestos a partir de los cuales, mediante razonamientos lógicos, sería posible deducir hechos, sucesos o acontecimientos del tipo de:

“identificada científicamente una cosa, situación o proporción, mediante cálculos aritméticos o razonamientos lógicos, deducimos o predecimos otra, o sea: (A) mediante (r), se convierte en (B)”.

Por ejemplo, en la ciencia natural por antonomasia, que es la física newtoniana, el espacio recorrido por un cuerpo es igual a la velocidad que lleva ese cuerpo, multiplicado por el tiempo que tarda en recorrerlo (E = V x T); o, en la ley de la palanca, donde Potencia por su brazo es igual a la Resistencia por el suyo (P x b1 = R x b2).

Escultura que representa la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d'Or, Lyon, Francia
Escultura sobre la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d’Or, Lyon, Francia

Todo ello ¿Qué nos está diciendo? Bajo mi punto de vista lo que nos están diciendo todas estas fórmulas o ecuaciones es que existen unas proporciones, unas equivalencias entre las partes y el todo; por ejemplo, entre velocidad y tiempo con el espacio, y también entre las partes, o sea, entre velocidad y tiempo entre sí.

En el segundo ejemplo, se podría decir que existe una proporción o correspondencia máxima -que llega a la igualdad- entre dos elementos, aparentemente distintos, que son los dos miembros de la ecuación, (P x b1) por un lado y (R x b2) por el otro; de tal forma que si al primer miembro lo llamamos (A) y al segundo miembro lo llamamos (B), A : B =  1, o lo que es lo mismo, la proporcionalidad mínima o máxima, según se mire, es la igualdad, y a partir de ese punto diremos que un elemento es poco o muy proporcional a otro.

Puede ser directamente proporcional, en razón de sus magnitudes, de forma que cualquier cambio del primer elemento produce un cambio cuantitativo o cualitativo del segundo en el mismo sentido; e inversamente proporcional, de forma que cualquier cambio del primer elemento origina un cambio del segundo, pero en sentido inverso.

Las proporciones de los hechos históricos

El análisis anterior nos sirve para despejar dudas y tener un punto de partida no “contaminado” de la gran cantidad de fórmulas, modelos y opiniones que existen sobre el particular, y que nos llevan a afirmar que, en cualquier teoría o ley general, existen proporcionalidades entre los diferentes elementos, sucesos, hechos, fenómenos…

Y en la Historia y las ciencias sociales se pueden encontrar proporcionalidades, relaciones y análisis entre muchos de sus elementos, sucesos, hechos y fenómenos, como sucede en las ciencias naturales. La cuestión es que las matemáticas y la física necesitan proporciones máximas y no se conforman con proporciones menores, es decir, las matemáticas y la física no pueden permitirse el más mínimo error en la mayoría de los casos, y por ello buscan teorías que se puedan plasmar en igualdades y ecuaciones, pero las ciencias sociales, y en especial la Historia, no precisan tanto, se conforman con encontrar regularidades y analogías.

Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997
Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997 (The Philosophy of Science Association)

Carl G. Hempel afirma en su obra La explicación científica, que sería más correcto hablar de “hipótesis universales” en lugar de hacerlo de “leyes generales”, y que buscar una “hipótesis universal” en la Historia debería hacerse bajo el presupuesto de hallar una hipótesis que afirme una regularidad del siguiente tipo:

“en todos los casos en donde un hecho de una clase específica C ocurre en un cierto lugar y tiempo, otro hecho de una clase específica E ocurrirá en un lugar y tiempo relacionados de un modo específico con el lugar y el tiempo de ocurrencia del primer suceso.”

Simetrías y semejanzas

El modelo de hipótesis de Hempel hace que me sienta cómodo, sobre todo, porque es el modelo más común que aparecerá casi siempre en cualquier hipótesis histórica que se quiera formular, al incorporar dos factores fundamentales de la historia: espacio y tiempo, sin los cuales la historia no tendría sentido.

Sin embargo, lo que la Historia no puede establecer es “en todos los casos”, y, en ese sentido, la Historia no puede ni debe pretender ser una ciencia que pueda crear modelos matemáticos de ecuaciones e igualdades, ni tampoco establecer una “ley general” que pueda ser refutada por motivo de una sola predicción que no se cumpla, como afirman los racionalistas con Karl Popper a la cabeza.

Mi opinión es que, a la Historia le basta con establecer proporcionalidades y analogías entre hechos, elementos, sucesos o acontecimientos del pasado con respecto al presente, y que, gracias al modelo inductivo –el mejor por ser histórico–, se puedan predecir tendencias futuras e incluso, utilizando la estadística, analogías y semejanzas.

Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas
Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas.

Resumiendo, las ciencias exactas precisarán ecuaciones algebraicas para establecer la “ley general”, y las ciencias naturales precisarán experimentaciones científicas rigurosas o demostraciones algebraicas para ser aceptadas; en cambio, las ciencias sociales se conforman con “esbozos de ley general” o proporcionalidades.

En palabras más sencillas, las ciencias exactas se identifican con igualdades; las ciencias naturales se identifican con igualdades fiables, es decir, sometidas a refutación experimental; y las ciencias sociales establecen proporcionalidades y analogías a través de series de hechos similares comprobados, que darían origen a un sistema de probabilidades que pudiera establecer una “ley general”.

En ese sentido, la Historia sería la ciencia más adecuada y fiable para poder establecer hipótesis del tipo inductivo, ya que los (n) elementos, hechos, sucesos o acontecimientos que puede presentar como prototipos, son de una gran seguridad y solvencia al tratarse de elementos, hechos, sucesos o acontecimientos históricos, teniendo, además, como elemento catalizador al tiempo, que es consustancial con la Historia y fundamental a la hora de valorar si un determinado suceso está sometido o no a una ley general; es decir, se puede someter a una ley general válida, y se puede estudiar y analizar bajo el punto de vista de las ciencias naturales o, por el contrario, es un suceso singular que se deberá estudiar y analizar bajo el prisma de las ciencias humanas o del espíritu; o sea, nosotros opinamos con convicción que muchos sucesos históricos podrían estar sometidos a leyes generales para pequeños periodos de tiempo, y, por otro lado, también estamos convencidos de que muchas leyes generales establecidas desde las ciencias naturales en un tiempo ilimitado, podrían no tener validez.

Leyes naturales y leyes sociológicas

Consideremos un ejemplo. Históricamente, está constatado que, en una amplia sociedad, cuanto más se incrementa la clase media menos posibilidades hay de que haya grandes revoluciones. Llamando a la sociedad A y a la clase media B, se producirá que, a medida que la clase media aumenta, el riesgo de revolución R disminuye convirtiéndose en R’, siendo B y R cuantificable en número, cantidad o dimensión. Contrariamente, a medida que la clase media disminuye, el riesgo de revolución aumenta; por lo tanto, creemos que existe una proporcionalidad que se puede constatar históricamente, pero que no podemos asegurar que se cumplirá siempre y en cualquier lugar.

Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos
Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos (US Census)

Sin embargo, sí se producirá una cuasi igualdad en forma de ecuación que diga: en una sociedad de ciertas dimensiones A, y en tiempo (t) suficientemente pequeño:  B’ / B = R / R’, de tal forma que, cuando en la sociedad A, con una clase media B, y en un tiempo muy corto, a medida que aumenta la clase media disminuirán las revoluciones, ya sea en cantidad o intensidad.

Cierto es que no podemos estar seguros de que esa igualdad se seguirá produciendo en el futuro, puesto que la ecuación nace de una inducción histórica y, bajo el punto de vista de las ciencias naturales, nadie puede asegurar que esa ley se siga produciendo en un tiempo futuro ilimitado, pero existen una serie de elementos psicológicos y sociológicos de la sociedad que aseveran que es más fácil que una sociedad se revele violentamente contra el orden establecido y las instituciones cuando esa sociedad está formada por una mayoría de clase baja, que si está formada por una mayoría de clase media.

Resumiendo, podemos afirmar que, en un tiempo corto, muchas leyes inductivas serían tan válidas como las leyes deductivas y, por consiguiente, podemos afirmar que, en el corto plazo, existen muchas generalidades de carácter histórico que se podrían emplear discretamente para conocer mejor el pasado, y prevenir cuidadosamente el futuro, o lo que es lo mismo: las aproximaciones y tendencias, en el corto plazo, pueden tener validez para la historia.

El continuo e infinito tiempo

Nuestro punto de vista sobre el tiempo es el siguiente:

El tiempo podría ser relativo para cada Sistema, partiendo de una unidad global que es el mundo, como el conjunto de galaxias; nuestro mundo correspondería a la constelación de la Vía Láctea y la Tierra, donde vive la humanidad, gira alrededor de una estrella incandescente llamada Sol, que es de donde recibe el calor para producir y mantener a los seres vivientes del planeta Tierra, y, por ende, la vida del ser humano.

Representación gráfica del sistema solar
Representación gráfica del sistema solar.

Pues bien, dejando de lado el tiempo de esa unidad global del Mundo, nuestro tiempo será la magnitud que mide los procesos de rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol, pero si hacemos un esfuerzo de abstracción mental o, como dirían Horkheimer y Adorno, “logramos separar el sujeto del objeto mediante un esfuerzo mental” al mismo tiempo que nos olvidamos del día, de la noche, de los relojes…, ¿qué sería el tiempo para nosotros?  ¿No sería algo vacío, solo medible por el envejecimiento de nuestro cuerpo, el crecimiento de plantas, el nacimiento de criaturas, su crecimiento o el deterioro de las cosas que nos rodean?

Por lo tanto, nosotros creemos que el tiempo siempre está ligado a “acción” y movimiento, y lo que el ser humano identifica como tiempo en realidad es duración, cosa que ya Bergson lo afirmaba en su obra La Evolución Creadora, donde asevera que nuestra inteligencia tiende a considerar el tiempo de una forma rectilínea y distingue de modo artificial el pasado, presente y futuro, mientras que, para la auténtica realidad de la conciencia, el tiempo es duración (durée), o sea, algo no susceptible de reducirse a un instante, porque es un flujo continuo “cuyos momentos sucesivos no pueden separarse”. Por consiguiente, la duración solo puede ser captada, según la concepción bergsoniana, mediante la intuición, y nuestra interpretación del tiempo sería t = p1 + p2 + p3 + … pn, es decir, el tiempo sería el conjunto infinito de procesos o cambios que se producen en un Sistema, lo que nos lleva a afirmar que el tiempo histórico es un conjunto de cambios continuos y progresivos producidos en las sociedades hasta nuestros días, en el bien entendido de que esos cambios han de ser “hechos” o “acontecimientos” de relevancia histórica.

Alberto Vázquez Bragado

–Alberto Vázquez Bragado es Licenciado en Historia por la universidad de Barcelona. Máster en Historia de la Ciencia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Formación en Ciencias Económicas, Dirección de Empresas y Literatura. Autor de artículos de investigación en la revista científica Llull y de varios libros de divulgación científica.

Fuente: cinconoticias.com, 22/12/18.

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El número cordobés

diciembre 31, 2018

EL NÚMERO CORDOBÉS

El otro día, mientras estábamos en clase apareció en uno de los ejercicios un número bastante singular conocido como número cordobés. La curiosidad me picó a investigar a cerca de este número y ahora me dispongo a exponeros los resultados de mi investigación.
Lo primero es ver de donde viene este número. Su construcción es muy sencilla, lo obtenemos de dividir el radio de un octógono por su lado quedando algo así y siendo su valor 1.30656…

Como también habréis podido imaginar, esta proporción es muy común en la Mezquita cordobesa, aquí tenéis algunos ejemplos:

No solo eso, lo más curioso es que en 1951, la diputación cordobesa decidió realizar un test a estudiantes de arquitectura, pidiéndoles que dibujarán su rectángulo ideal. Pensando que el mayoritario sería el famoso rectángulo áureo su sorpresa fue descomunal cuando descubrieron que la proporción ideal era la de rectángulo que divido el largo por el ancho se obtenía aproximadamente 1.3 frente al 1.6 del áureo, una diferencia más que considerable. Atónitos decidieron repetir el test pero ahora sobre la población cordobesa en general obteniendo de nuevo el mismo resultado. Y resulta, que por alguna extraña razón el ideal de belleza en Córdoba no es el rectángulo áureo. Además este número no solo está presente en la ciudad de la Mezquita, lugar en el que abunda, sino que es muy fácil encontrarlo, ya que el octógono siempre ha sido una figura geométrica muy ligada a la construcción, por ejemplo en torres, que para sostener sus cúpulas pasan de un cuadrado a un octógono mediante un corte sagrado en la mayoría de los casos.  

Fuente: matematicosoriano.blogspot.com

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