El Encanto Matemático: Un viaje revelador a través de Fibonacci y Zeckendorf

mayo 16, 2024

Por Gustavo Ibáñez Padilla.

En el complejo y misterioso mundo de las matemáticas, hay ciertos fenómenos que capturan en forma inmediata la imaginación del público en general. Uno de esos enigmas fascinantes es la relación entre la Sucesión de Fibonacci y el Teorema de Zeckendorf. ¿Qué tienen en común estas dos joyas matemáticas? ¿Y por qué nos siguen sorprendiendo hasta el día de hoy? Lo veremos a continuación.

La sucesión de Fibonacci es, sin duda, una de las secuencias más famosas en el mundo de las matemáticas. Comienza con los números 0 y 1, y cada número subsiguiente es la suma de los dos anteriores. Así, la secuencia resulta ser: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, y así sucesivamente hasta el infinito. Esta secuencia aparentemente simple ha fascinado a matemáticos, artistas e incluso biólogos debido a su aparición en una enorme variedad de fenómenos naturales, desde la disposición de las hojas en una rama hasta los patrones de crecimiento de los girasoles.

La historia de la sucesión de Fibonacci se remonta al siglo XIII, a un hombre conocido como Leonardo de Pisa, comúnmente llamado Fibonacci. En su influyente libro Liber Abaci, publicado en 1202, Fibonacci presentó al mundo occidental los números indo-arábigos y sus aplicaciones en la aritmética. Pero lo que llamó la atención de muchos fue un problema aparentemente simple sobre el crecimiento de una población de conejos, que llevó al descubrimiento de la secuencia de números que ahora lleva su nombre.

Liber abaci

¿Cuál es la relación de Fibonacci con el teorema de Zeckendorf? Pues que este teorema afirma que: Todo entero positivo se escribe, de manera única, como suma de números de Fibonacci no consecutivos. A esa escritura única se le llama la descomposición de Zeckendorf del número en cuestión.

Así pues, todos los números naturales pueden expresarse como la suma de números de Fibonacci únicos. Es decir, cada número natural puede descomponerse de manera única como una suma de números de Fibonacci, sin que ninguno de ellos se repita. Esta descomposición única es lo que hace que el teorema de Zeckendorf sea tan intrigante, ya que revela una estructura ordenada y predecible que ha fascinado a generaciones de matemáticos. ( Por ejemplo: 10= 2+8  ;  26 = 5+21  ;  43 = 1+8+34 )

El matemático francés Édouard Lucas, famoso por su trabajo en Teoría de números y sus libros de matemáticas recreativas, manifestó: “Los números de Fibonacci son como un gran cuento, lleno de sorpresas y misterios, esperando ser descubiertos”. Fue Lucas quien le puso el nombre a esta famosa sucesión, de la cual descubrió numerosas características, desde patrones geométricos hasta propiedades únicas en teoría de números.

Una de las sorpresas más asombrosas de este universo matemático es la relación entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea representada por el número φ (phi), cuyo valor es aproximadamente igual a 1,618, un número misterioso que parece resonar en los rincones más profundos de la naturaleza y el arte. Como si estuvieran bailando al unísono, los números de Fibonacci revelan una conexión íntima con esta proporción divina a medida que crecen hacia el infinito, como si estuvieran siguiendo una partitura escrita en el corazón mismo de la realidad.

La razón áurea y la espiral de Fibonacci

“Las matemáticas son la poesía del universo”, sostuvo el genial matemático David Hilbert, y en la intersección de Fibonacci y Zeckendorf, encontramos una poesía matemática que cautiva y encanta con su elegancia y misterio.

Estas sorprendentes relaciones e intersecciones entre diversos conceptos matemáticos son las que nos llevan a afirmar que las matemáticas son una verdadera unidad, lo cual llevo también a los ’modernos’ a denominarla en singular y con mayúscula, como Matemática.

“Los números de Fibonacci son como una sinfonía matemática, cada uno tocando su propia melodía única, pero juntos creando una armonía incomparable” afirmaba Lucas. ¿Qué papel desempeña el teorema de Zeckendorf en esta sinfonía matemática? Resulta que este teorema proporciona un marco ordenado y estructurado para entender cómo los números naturales se descomponen en términos de números de Fibonacci únicos. Es como si cada número natural tuviera una historia que contar, una historia que se revela a través de su descomposición en términos de esta antigua secuencia numérica.

“Las matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a diferentes cosas”, dijo el matemático francés Henri Poincaré, y resulta evidente en la intersección de Fibonacci y Zeckendorf. A través de estas ideas aparentemente abstractas, descubrimos un mundo rico y vibrante de posibilidades matemáticas que nos desafían a mirar más allá de la superficie y explorar las profundidades del universo numérico.

Pero la diversión matemática no se detiene aquí. El teorema de Zeckendorf ha inspirado una serie de acertijos y juegos matemáticos que desafían la mente y estimulan el pensamiento creativo. Desde rompecabezas de descomposición de números hasta juegos de estrategia basados en la sucesión de Fibonacci, hay un mundo de aventuras matemáticas esperando ser exploradas por aquellos dispuestos a sumergirse en sus misterios.

Y no debemos olvidar el encanto de la matemagia, un arte que combina ilusionismo y matemáticas para crear asombrosos trucos de números y acertijos. Maestros de la matemagia como Sam Lloyd y Henry Dudeney han seducido audiencias con sus trucos ingeniosos basados en principios matemáticos, recordándonos que las matemáticas pueden ser tanto sorprendentes como entretenidas, como bien lo explica Martin Gardner en su libro Matematica, magia y misterio.

La Sucesión de Fibonacci y el Teorema de Zeckendorf nos invitan a un viaje fascinante a través del rico y sorprendente mundo de las matemáticas. Desde su aparición en la naturaleza hasta su aplicación en la teoría de números y los juegos matemáticos, estas ideas continúan maravillando y deleitando a quienes se aventuran en el emocionante viaje de descubrimiento matemático.

En palabras del prolífico matemático Paul Erdős: “Las matemáticas son como una aventura sin fin, siempre hay nuevas maravillas por descubrir”. Y en el universo de las matemáticas recreativas Fibonacci, Zeckendorf y sus seguidores están siempre listos para sorprender y extasiar a aquellos que se atreven a adentrarse en sus misterios.

Fuente: Ediciones EP, 16/05/24.

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Este artículo también ha sido publicado en Mendoza Today


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Los números en la naturaleza

Matemáticas: ¿descubrimiento o creación?

La importancia del Azar: Más allá de un juego de dados

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La importancia del Azar: Más allá de un juego de dados

noviembre 17, 2023

Por Gustavo Ibáñez Padilla.

Álea iacta est – la suerte está echada. Estas palabras, atribuidas a Julio César en el crucial momento en que cruzó el río Rubicón, resonaron a lo largo de la historia como un recordatorio de que la vida está impregnada de elementos impredecibles. Hoy, en el siglo XXI, el concepto de azar cobra especial relevancia, por lo que resulta de gran interés explorar su papel en nuestras decisiones y considerar su presencia constante en eventos aparentemente insignificantes.

Julio César cruza el Rubicón. Alea iacta est

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La aleatoriedad, definida como la imprevisibilidad inherente a ciertos eventos, procesos o modelos, encuentra su lugar en diversas disciplinas, desde las matemáticas hasta la filosofía y la física cuántica. En el vasto tablero de la existencia, cada lanzamiento de dados representa un encuentro con lo incierto.

En el ámbito matemático, se plantea una interesante paradoja: solo una secuencia infinita puede considerarse verdaderamente aleatoria. Para secuencias finitas, la influencia de un determinismo subyacente se hace evidente, ya que siempre es posible encontrar una fórmula que las reproduzca. Sin embargo, en la física cuántica, se postula una aleatoriedad profunda, desafiando nuestra capacidad de prever los resultados incluso en eventos macroscópicos como el lanzamiento de dados.

Blaise Pascal, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens y Jacob Bernoulli, pioneros en la exploración de la probabilidad, sentaron las bases de lo que hoy conocemos como Teoría de Probabilidad. Estos visionarios matemáticos avanzaron en la comprensión de la aleatoriedad estadística, considerando las frecuencias de bloque como medida de lo impredecible.

Pioneros de la Probabilidad

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La historia de la aleatoriedad se entrelaza con la eterna disyuntiva entre el libre albedrío y el determinismo. A lo largo de milenios, la filosofía y la teología han debatido sobre la autonomía de nuestras decisiones frente a un destino predestinado. Es en este diálogo entre lo impredecible y lo inevitable donde la aleatoriedad ocupa un papel crucial.

El término ‘aleatorio’ no solo denota la carencia de propósito, causa u orden, sino que también se asocia con propiedades estadísticas medibles, como la ausencia de tendencias o correlaciones identificables. En este sentido, la aleatoriedad se manifiesta como un fenómeno que trasciende la casualidad, influenciando tanto la ciencia como la historia.

A medida que avanzamos en la comprensión de la aleatoriedad, la Teoría de la información introduce la entropía como una medida de desorden, y los matemáticos Gregory Chaitin, Andréi Kolmogórov y Ray Solomonoff aportan la noción de aleatoriedad algorítmica. En este enfoque, la imprevisibilidad de una secuencia se relaciona con su capacidad para resistir la compresión algorítmica, desafiando la idea de un universo regido por patrones predefinidos. A pesar de ello cabe aquí recordar la frase del genial Albert Einstein: “Dios no juega a los dados”.

Albert Einstein

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Pero, ¿cómo afecta el azar a nuestras vidas cotidianas? En situaciones aparentemente mundanas, como elegir una ruta para el trabajo o decidir qué película ver, la aleatoriedad se manifiesta. Tomemos el ejemplo de las aplicaciones de navegación: cada vez que confiamos en ellas para dirigirnos, confiamos en algoritmos que incorporan elementos de azar en la búsqueda de la ruta más eficiente. Detrás de la aparente simplicidad de estas decisiones se encuentra la complejidad de lo impredecible.

Incluso en la toma de decisiones más trascendentales, como elegir una carrera o a la pareja de vida, la influencia del azar no puede subestimarse. La vida está llena de giros inesperados, encuentros fortuitos y oportunidades que surgen sin previo aviso. En palabras de Nassim Taleb, autor de El Cisne Negro, la vida está llena de eventos altamente improbables que desafían nuestras expectativas y definen nuestro destino.

Álea iacta est. Se echó el dado. El dado fue lanzado. La suerte está echada.

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En última instancia, la importancia del azar en nuestra vida radica en su capacidad para desafiar nuestras certezas y abrir puertas a lo inexplorado. Al reconocer la presencia constante de la aleatoriedad, podemos abrazar la incertidumbre como parte integral de nuestra existencia. Cada paso que damos, cada decisión que tomamos, se convierte en una apuesta contra las probabilidades, recordándonos que, al igual que Julio César al cruzar el Rubicón, estamos echando el dado de la vida.

En un mundo cada vez más complejo e interconectado, la comprensión de la aleatoriedad se convierte en una herramienta invaluable. Nos permite adaptarnos a lo inesperado, encontrar oportunidades en los desafíos y abrazar la diversidad de experiencias que la vida tiene para ofrecer. En última instancia, la suerte puede estar echada, pero cómo enfrentamos la incertidumbre y aprovechamos las oportunidades que se presentan es el verdadero juego que define nuestra historia.

Fuente: Ediciones EP, 17/11/23.

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Matemáticas y juegos de azar

Medidas de Tendencia Central en el Mundo Financiero

La Regresión a la Media y la Ley de los Grandes Números: Su Impacto en las Finanzas y la Gestión del Riesgo

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La Regresión a la Media y la Ley de los Grandes Números: Su Impacto en las Finanzas y la Gestión del Riesgo

octubre 13, 2023

Por Gustavo Ibáñez Padilla.

En el complejo universo de las finanzas e inversiones, comprender las sutilezas estadísticas es crucial para tomar decisiones acertadas. Dos conceptos fundamentales que destacan en este panorama son la Regresión a la Media y la Ley de los Grandes Números, principios respaldados por la experiencia de matemáticos, expertos y empresarios de renombre. Reflexionaremos más a fondo en estos conceptos y su aplicación en finanzas, inversión y, crucialmente, en la Gestión del Riesgo y los Seguros, resaltando así la importancia de la Protección Financiera en la vida de todo empresario o inversor.

Regresión a la Media

La Regresión a la Media, propuesta por el visionario Francis Galton, nos recuerda que los resultados extremos tienden a equilibrarse con el tiempo. Esto tiene una aplicación vital en la Gestión del Riesgo y los Seguros. En palabras de Nassim Taleb, el reconocido autor de El Cisne Negro: “La Regresión a la Media es el alma de la gestión del riesgo.”

Supongamos un empresario que dirige una cadena de restaurantes. Después de un año excepcionalmente rentable, es sabio no asumir que este nivel de ganancias continuará indefinidamente. La Regresión a la Media sugiere que es más probable que las ganancias se estabilicen o disminuyan en el próximo período contable. Aquí, la Protección Financiera, en forma de reservas o seguros empresariales, puede ser la diferencia entre la continuidad del negocio y la crisis financiera ante una caída inesperada en las ganancias.

“Entender la Regresión a la Media es crucial para gestionar el riesgo. Es la base de cualquier sistema de seguro o protección financiera” nos recuerda el matemático y bróker de inversionesNassim Taleb.

Ley de los Grandes Números

La Ley de los Grandes Números ─formulada por el genial matemático suizo Jakob Bernoulli, en su obra Ars Conjectandi del siglo XVIII─ establece que a medida que se realizan un número creciente de experimentos o eventos independientes, la media de los resultados se aproximará al valor esperado o teórico. Esta ley es esencial para comprender cómo los resultados a corto plazo pueden variar significativamente de las tendencias a largo plazo.

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Imaginemos un fondo de inversión que invierte en una amplia variedad de activos. Durante un trimestre, algunos activos pueden experimentar pérdidas, pero la cartera en su conjunto tiene una tendencia positiva. La Ley de los Grandes Números nos asegura que, a medida que se acumulan más trimestres, la rentabilidad promedio de la cartera se aproximará a la expectativa teórica.

El meollo de la cuestión se sintetiza en la siguiente afirmación de Jakob Bernoulli: “La aritmética de los acontecimientos inciertos es tan exacta como la de la certeza.”

La Ley de los Grandes Números es también el pilar de la industria de los Seguros. A medida que la cartera de asegurados se amplía, las compañías aseguradoras pueden prever con mayor precisión los eventos y establecer primas adecuadas.

Consideremos una compañía de seguros de salud. Al tener un gran número de asegurados, la compañía puede prever con alta certeza la cantidad de reclamaciones médicas que recibirán en un periodo determinado. Esto les permite fijar primas que cubran los costos, generando así beneficios tanto para la compañía como para los asegurados.

La certeza que nos brinda esta ley es refrendada por Warren Buffett, cuando dice: “La Ley de los Grandes Números es el fundamento de la industria de seguros. Nos permite entender y gestionar el riesgo.”

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Aplicaciones en el Mundo de las Inversiones

Estos conceptos tienen un impacto sustancial en las decisiones de inversión y gestión de carteras:

  • Selección de Activos: La Regresión a la Media advierte a los inversores sobre la posible reversión de tendencias extremas en el corto plazo.
  • Diversificación y Gestión del Riesgo: La Ley de los Grandes Números respalda la estrategia de diversificación como una forma efectiva de mitigar el riesgo.
  • Planificación a Largo Plazo: Ambos conceptos son esenciales para la toma de decisiones a largo plazo, permitiendo a los inversores evitar reacciones impulsivas a fluctuaciones temporales.

Especulación y Protección Financiera

Los especuladores exitosos, como George Soros, reconocen la importancia de la Protección Financiera. Soros, famoso por su papel en la caída de la libra esterlina en 1992, no solo especuló, sino que también utilizó estrategias de protección para mitigar el riesgo asociado con sus posiciones.

Imaginemos a un inversor que ha identificado una oportunidad de inversión en una nueva empresa tecnológica. Si bien está entusiasmado con el potencial de crecimiento, también es consciente de los riesgos inherentes a las startups. Aquí, la adopción de estrategias de Protección Financiera, como la diversificación de la cartera, puede ser crucial para mitigar el riesgo asociado con este tipo de inversiones más volátiles.

Siempre debemos recordar la recomendación de Nassim Taleb: “La Protección Financiera no es solo una estrategia, es una filosofía de vida. Permite a los inversores prosperar en la incertidumbre.”

Regresión a la Media y Ley de los Grandes Números como bases del éxito

La combinación de la Regresión a la Media y la Ley de los Grandes Números forma la base de decisiones financieras informadas y la gestión eficaz del riesgo. En un mundo mundo Volátil, Incierto, Complejo y Ambiguo, la Protección Financiera se convierte en una herramienta invaluable para asegurar la continuidad y el éxito en cualquier empresa o cartera de inversión. Como afirmó Warren Buffett, “la inversión exitosa es sobre la gestión del riesgo, no su eliminación.”

Al comprender y aplicar estos fundamentales conceptos, los empresarios, los inversores, los gestores de riesgos y las personas en general pueden desempeñarse con confianza en el cambiante escenario financiero, construyendo un futuro económico de mayor estabilidad y prosperidad.

Fuente: Ediciones EP, octubre 2023.

New York Stock Exchange (NYSE)

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Medidas de Tendencia Central en el Mundo Financiero

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Medidas de Tendencia Central en el Mundo Financiero

octubre 12, 2023

Por Gustavo Ibáñez Padilla.

En el dinámico mundo de las finanzas, la clave para tomar decisiones acertadas radica en la capacidad de interpretar y analizar datos de manera rápida y efectiva. En este sentido, las Medidas de tendencia central estadística son herramientas fundamentales. La media, mediana, moda y rango son como brújulas que nos orientan en el vasto océano de la información financiera. Son parámetros estadísticos simples que indican cuál es el centro de un conjunto de datos. Su uso está muy difundido, ya que al resumir un conjunto de datos en un solo valor simplifican el análisis de todo un bloque de información y proporcionan una visión generalizada sobre el mismo.

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Principales medidas de tendencia central

─La Media: Equilibrio en los Ingresos

La media, también conocida como promedio, es el punto de equilibrio de un conjunto de datos. Es el resultado de sumar todos los valores y luego dividirlos por la cantidad de elementos. Para visualizarlo, imaginemos un grupo de diez profesionales con diferentes niveles de ingresos. Si sumamos todos los sueldos y los dividimos entre diez, obtendremos la media de ingresos del grupo.

Es importante tener en cuenta que la media puede ser influenciada por valores extremos. Si uno de los profesionales tiene un sueldo excepcionalmente alto, este valor puede distorsionar la media y no reflejar la situación financiera real del grupo en su conjunto.

─La Mediana: Estabilidad en los ingresos

A diferencia de la media, la mediana es el valor intermedio de un grupo de números. Se trata del valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Imaginemos un grupo de nueve ejecutivos, esta vez ordenados por sus ingresos de menor a mayor. La mediana será el sueldo del quinto profesional en esta lista.

Lo destacado de la mediana es su resistencia a los valores atípicos. Esto la convierte en una herramienta valiosa para evaluar la estabilidad financiera del grupo. Si uno de los profesionales tiene un ingreso muy alto o muy bajo, la mediana no se ve afectada en la misma medida que la media.

─La Moda: El Favorito en los ingresos

La moda es el valor más frecuente en un conjunto de datos. Es como el favorito de la multitud. Siguiendo con el ejemplo de los ingresos, si cierto sueldo es el más repetido en el grupo de profesionales, entonces ese valor es la moda.

Para ilustrar este punto, imaginemos que en el grupo de diez ejecutivos, cinco de ellos tienen el mismo sueldo mensual. En este caso, ese sueldo específico se convierte en la moda. Esto puede indicar tendencias en los salarios de la industria o en la empresa en la que trabajan.

─El Rango: Variedad en los ingresos

El rango es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo en un conjunto de datos. Nos brinda una visión clara de la variedad de resultados posibles. Continuando con el ejemplo de los profesionales, si el ingreso más alto es de U$S100.000 y el más bajo es de U$S30.000, el rango sería de U$S70.000. Esto nos indica que existe una amplia gama de ingresos en el grupo.

En el mundo financiero, el rango es una herramienta esencial para evaluar la volatilidad y el nivel de riesgo asociado a ciertos activos o inversiones. Un rango amplio sugiere una mayor variabilidad en los resultados y, por lo tanto, un mayor nivel de riesgo.

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El valor de las medidas de tendencia central

Para respaldar la importancia de estos parámetros, el matemático John Allen Paulos señaló: «En un mundo inundado de datos, las medidas de tendencia central son faros que nos guían hacia decisiones más certeras.»

El famoso economista John Maynard Keynes también subrayó la relevancia de estas herramientas al afirmar: «Sin una comprensión profunda de las tendencias centrales de los datos, las decisiones económicas carecen de fundamento sólido.»

Tomando el timón de tus finanzas

Al aplicar estas medidas de tendencia central en el mundo financiero, te empoderas para tomar decisiones más inteligentes y adaptativas. Imagina que estás considerando invertir en dos fondos mutuos. Al analizar sus historiales de rendimiento, puedes usar la mediana para evaluar la estabilidad y la moda para identificar cuál ha sido el favorito del mercado. El rango te proporciona información sobre la variabilidad y el riesgo asociado a cada fondo.

En última instancia, al comprender y aplicar estas herramientas, estás tomando el timón de tus finanzas. No te limitas a navegar por el mar de datos, sino que tienes el poder de dirigir tu curso hacia un futuro financiero más próspero y seguro. Como dijo Martin Gardner, «la comprensión de las tendencias centrales nos brinda una brújula confiable en el laberinto de la información financiera.» ¡Así que adelante, fija el rumbo y emprende tu ruta hacia el éxito financiero!

Fuente: Ediciones EP, 11/10/23.


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La utilidad de la Historia

octubre 2, 2023

¿La Historia es una ciencia?

Por Alberto Vázquez Bragado.

Reloj astronómico de Praga

Se sabe que, en Historia, es prácticamente imposible obtener teorías o leyes generales de forma deductiva y más tarde soportar un experimento como sucede en las ciencias sociales, pues lo histórico viene ya de experiencias vividas, de observaciones a lo largo del tiempo. ¿Qué experimentación habrían de precisar?

Desde luego que ninguna. La Historia, como tal, es una ciencia social en la que intervienen infinidad de variables y donde las constantes pueden cambiar con facilidad; por lo tanto, bajo esa perspectiva, es difícil elaborar leyes generales tal como lo entiende la comunidad científica y muchos pensadores.

Las proporciones científicas

Pero, ¿qué entendemos por teorías o leyes generales? Podría valernos el considerarlas como un conjunto de supuestos a partir de los cuales, mediante razonamientos lógicos, sería posible deducir hechos, sucesos o acontecimientos del tipo de:

“identificada científicamente una cosa, situación o proporción, mediante cálculos aritméticos o razonamientos lógicos, deducimos o predecimos otra, o sea: (A) mediante (r), se convierte en (B)”.

Por ejemplo, en la ciencia natural por antonomasia, que es la física newtoniana, el espacio recorrido por un cuerpo es igual a la velocidad que lleva ese cuerpo, multiplicado por el tiempo que tarda en recorrerlo (E = V x T); o, en la ley de la palanca, donde Potencia por su brazo es igual a la Resistencia por el suyo (P x b1 = R x b2).

Escultura que representa la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d'Or, Lyon, Francia
Escultura sobre la ley de la palanca de Arquímedes en el Parc de la Tête d’Or, Lyon, Francia

Todo ello ¿Qué nos está diciendo? Bajo mi punto de vista lo que nos están diciendo todas estas fórmulas o ecuaciones es que existen unas proporciones, unas equivalencias entre las partes y el todo; por ejemplo, entre velocidad y tiempo con el espacio, y también entre las partes, o sea, entre velocidad y tiempo entre sí.

En el segundo ejemplo, se podría decir que existe una proporción o correspondencia máxima -que llega a la igualdad- entre dos elementos, aparentemente distintos, que son los dos miembros de la ecuación, (P x b1) por un lado y (R x b2) por el otro; de tal forma que si al primer miembro lo llamamos (A) y al segundo miembro lo llamamos (B), A : B =  1, o lo que es lo mismo, la proporcionalidad mínima o máxima, según se mire, es la igualdad, y a partir de ese punto diremos que un elemento es poco o muy proporcional a otro.

Puede ser directamente proporcional, en razón de sus magnitudes, de forma que cualquier cambio del primer elemento produce un cambio cuantitativo o cualitativo del segundo en el mismo sentido; e inversamente proporcional, de forma que cualquier cambio del primer elemento origina un cambio del segundo, pero en sentido inverso.

Las proporciones de los hechos históricos

El análisis anterior nos sirve para despejar dudas y tener un punto de partida no “contaminado” de la gran cantidad de fórmulas, modelos y opiniones que existen sobre el particular, y que nos llevan a afirmar que, en cualquier teoría o ley general, existen proporcionalidades entre los diferentes elementos, sucesos, hechos, fenómenos…

Y en la Historia y las ciencias sociales se pueden encontrar proporcionalidades, relaciones y análisis entre muchos de sus elementos, sucesos, hechos y fenómenos, como sucede en las ciencias naturales. La cuestión es que las matemáticas y la física necesitan proporciones máximas y no se conforman con proporciones menores, es decir, las matemáticas y la física no pueden permitirse el más mínimo error en la mayoría de los casos, y por ello buscan teorías que se puedan plasmar en igualdades y ecuaciones, pero las ciencias sociales, y en especial la Historia, no precisan tanto, se conforman con encontrar regularidades y analogías.

Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997
Fotografía de Carl Gustav Hempel, 1905-1997 (The Philosophy of Science Association)

Carl G. Hempel afirma en su obra La explicación científica, que sería más correcto hablar de “hipótesis universales” en lugar de hacerlo de “leyes generales”, y que buscar una “hipótesis universal” en la Historia debería hacerse bajo el presupuesto de hallar una hipótesis que afirme una regularidad del siguiente tipo:

“en todos los casos en donde un hecho de una clase específica C ocurre en un cierto lugar y tiempo, otro hecho de una clase específica E ocurrirá en un lugar y tiempo relacionados de un modo específico con el lugar y el tiempo de ocurrencia del primer suceso.”

Simetrías y semejanzas

El modelo de hipótesis de Hempel hace que me sienta cómodo, sobre todo, porque es el modelo más común que aparecerá casi siempre en cualquier hipótesis histórica que se quiera formular, al incorporar dos factores fundamentales de la historia: espacio y tiempo, sin los cuales la historia no tendría sentido.

Sin embargo, lo que la Historia no puede establecer es “en todos los casos”, y, en ese sentido, la Historia no puede ni debe pretender ser una ciencia que pueda crear modelos matemáticos de ecuaciones e igualdades, ni tampoco establecer una “ley general” que pueda ser refutada por motivo de una sola predicción que no se cumpla, como afirman los racionalistas con Karl Popper a la cabeza.

Mi opinión es que, a la Historia le basta con establecer proporcionalidades y analogías entre hechos, elementos, sucesos o acontecimientos del pasado con respecto al presente, y que, gracias al modelo inductivo –el mejor por ser histórico–, se puedan predecir tendencias futuras e incluso, utilizando la estadística, analogías y semejanzas.

Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas
Gráfica de tendencias para predecir el comportamiento del mercado de divisas.

Resumiendo, las ciencias exactas precisarán ecuaciones algebraicas para establecer la “ley general”, y las ciencias naturales precisarán experimentaciones científicas rigurosas o demostraciones algebraicas para ser aceptadas; en cambio, las ciencias sociales se conforman con “esbozos de ley general” o proporcionalidades.

En palabras más sencillas, las ciencias exactas se identifican con igualdades; las ciencias naturales se identifican con igualdades fiables, es decir, sometidas a refutación experimental; y las ciencias sociales establecen proporcionalidades y analogías a través de series de hechos similares comprobados, que darían origen a un sistema de probabilidades que pudiera establecer una “ley general”.

En ese sentido, la Historia sería la ciencia más adecuada y fiable para poder establecer hipótesis del tipo inductivo, ya que los (n) elementos, hechos, sucesos o acontecimientos que puede presentar como prototipos, son de una gran seguridad y solvencia al tratarse de elementos, hechos, sucesos o acontecimientos históricos, teniendo, además, como elemento catalizador al tiempo, que es consustancial con la Historia y fundamental a la hora de valorar si un determinado suceso está sometido o no a una ley general; es decir, se puede someter a una ley general válida, y se puede estudiar y analizar bajo el punto de vista de las ciencias naturales o, por el contrario, es un suceso singular que se deberá estudiar y analizar bajo el prisma de las ciencias humanas o del espíritu; o sea, nosotros opinamos con convicción que muchos sucesos históricos podrían estar sometidos a leyes generales para pequeños periodos de tiempo, y, por otro lado, también estamos convencidos de que muchas leyes generales establecidas desde las ciencias naturales en un tiempo ilimitado, podrían no tener validez.

Leyes naturales y leyes sociológicas

Consideremos un ejemplo. Históricamente, está constatado que, en una amplia sociedad, cuanto más se incrementa la clase media menos posibilidades hay de que haya grandes revoluciones. Llamando a la sociedad A y a la clase media B, se producirá que, a medida que la clase media aumenta, el riesgo de revolución R disminuye convirtiéndose en R’, siendo B y R cuantificable en número, cantidad o dimensión. Contrariamente, a medida que la clase media disminuye, el riesgo de revolución aumenta; por lo tanto, creemos que existe una proporcionalidad que se puede constatar históricamente, pero que no podemos asegurar que se cumplirá siempre y en cualquier lugar.

Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos
Estudio sociológico para medir la relación entre educación e ingresos (US Census)

Sin embargo, sí se producirá una cuasi igualdad en forma de ecuación que diga: en una sociedad de ciertas dimensiones A, y en tiempo (t) suficientemente pequeño:  B’ / B = R / R’, de tal forma que, cuando en la sociedad A, con una clase media B, y en un tiempo muy corto, a medida que aumenta la clase media disminuirán las revoluciones, ya sea en cantidad o intensidad.

Cierto es que no podemos estar seguros de que esa igualdad se seguirá produciendo en el futuro, puesto que la ecuación nace de una inducción histórica y, bajo el punto de vista de las ciencias naturales, nadie puede asegurar que esa ley se siga produciendo en un tiempo futuro ilimitado, pero existen una serie de elementos psicológicos y sociológicos de la sociedad que aseveran que es más fácil que una sociedad se revele violentamente contra el orden establecido y las instituciones cuando esa sociedad está formada por una mayoría de clase baja, que si está formada por una mayoría de clase media.

Resumiendo, podemos afirmar que, en un tiempo corto, muchas leyes inductivas serían tan válidas como las leyes deductivas y, por consiguiente, podemos afirmar que, en el corto plazo, existen muchas generalidades de carácter histórico que se podrían emplear discretamente para conocer mejor el pasado, y prevenir cuidadosamente el futuro, o lo que es lo mismo: las aproximaciones y tendencias, en el corto plazo, pueden tener validez para la historia.

El continuo e infinito tiempo

Nuestro punto de vista sobre el tiempo es el siguiente:

El tiempo podría ser relativo para cada Sistema, partiendo de una unidad global que es el mundo, como el conjunto de galaxias; nuestro mundo correspondería a la constelación de la Vía Láctea y la Tierra, donde vive la humanidad, gira alrededor de una estrella incandescente llamada Sol, que es de donde recibe el calor para producir y mantener a los seres vivientes del planeta Tierra, y, por ende, la vida del ser humano.

Representación gráfica del sistema solar
Representación gráfica del sistema solar.

Pues bien, dejando de lado el tiempo de esa unidad global del Mundo, nuestro tiempo será la magnitud que mide los procesos de rotación y traslación de la Tierra alrededor del Sol, pero si hacemos un esfuerzo de abstracción mental o, como dirían Horkheimer y Adorno, “logramos separar el sujeto del objeto mediante un esfuerzo mental” al mismo tiempo que nos olvidamos del día, de la noche, de los relojes…, ¿qué sería el tiempo para nosotros?  ¿No sería algo vacío, solo medible por el envejecimiento de nuestro cuerpo, el crecimiento de plantas, el nacimiento de criaturas, su crecimiento o el deterioro de las cosas que nos rodean?

Por lo tanto, nosotros creemos que el tiempo siempre está ligado a “acción” y movimiento, y lo que el ser humano identifica como tiempo en realidad es duración, cosa que ya Bergson lo afirmaba en su obra La Evolución Creadora, donde asevera que nuestra inteligencia tiende a considerar el tiempo de una forma rectilínea y distingue de modo artificial el pasado, presente y futuro, mientras que, para la auténtica realidad de la conciencia, el tiempo es duración (durée), o sea, algo no susceptible de reducirse a un instante, porque es un flujo continuo “cuyos momentos sucesivos no pueden separarse”. Por consiguiente, la duración solo puede ser captada, según la concepción bergsoniana, mediante la intuición, y nuestra interpretación del tiempo sería t = p1 + p2 + p3 + … pn, es decir, el tiempo sería el conjunto infinito de procesos o cambios que se producen en un Sistema, lo que nos lleva a afirmar que el tiempo histórico es un conjunto de cambios continuos y progresivos producidos en las sociedades hasta nuestros días, en el bien entendido de que esos cambios han de ser “hechos” o “acontecimientos” de relevancia histórica.

Alberto Vázquez Bragado

–Alberto Vázquez Bragado es Licenciado en Historia por la universidad de Barcelona. Máster en Historia de la Ciencia por la Universidad Autónoma de Barcelona. Formación en Ciencias Económicas, Dirección de Empresas y Literatura. Autor de artículos de investigación en la revista científica Llull y de varios libros de divulgación científica.

Fuente: cinconoticias.com, 22/12/18.

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Luis Caffarelli, Premio Abel 2023

marzo 22, 2023

El argentino Luis Caffarelli ganó el «Nobel» de Matemáticas: es el primer latinoamericano en lograrlo

A los 74 años obtuvo el Premio Abel, el equivalente al Nobel para las matemáticas. Desde hace décadas reside en Estados Unidos. Cuáles fueron sus mayores contribuciones. Su estudio sobre lo que ocurre en un vaso con hielo.

Por: Gustavo Sarmiento.

Las Matemáticas no tienen Nobel. Lo que usualmente es considerado como «el Nobel» de esa disciplina es el Premio Abel que entrega la Academia de Ciencias y Letras de Noruega en honor al matemático noruego, Niels Henrik Abel, fallecido hace casi un par de siglos. Y la gran novedad, que atañe a nuestro país, es que su edición 2023 la obtuvo el argentino Luis A. Caffarelli, que actualmente vive en Estados Unidos. Es el primer latinoamericano en lograrlo.

Caffarelli ganó el premio por sus «contribuciones fundamentales a la teoría de la regularidad de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales, incluidos los problemas de frontera libre y la ecuación de Monge-Ampère», según la información oficial.

Las ecuaciones diferenciales son herramientas que la ciencia utiliza para predecir el comportamiento del mundo físico. Estas ecuaciones relacionan una o más funciones desconocidas y sus derivadas. Las funciones representan generalmente cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define la relación entre las dos. Esas relaciones son corrientes, por lo cual, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel de gran importancia en numerosas disciplinas, entre las que se incluyen la física, la economía y la biología.

Las ecuaciones diferenciales parciales aparecen naturalmente como leyes de la naturaleza para describir fenómenos tan diferentes como el fluir del agua o el crecimiento de las poblaciones. Estas ecuaciones fueron objeto constante de intenso estudio desde la época de Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Pero las cuestiones fundamentales relativas a la existencia, singularidad, regularidad y estabilidad de las soluciones de algunas de las ecuaciones clave siguen sin resolverse.

Pero pocos matemáticos vivos en todo el mundo contribuyeron tanto a nuestra comprensión de las ecuaciones diferenciales parciales como el argentino nacionalizado estadounidense, quien introdujo nuevas e ingeniosas técnicas, dando pruebas de un brillante conocimiento geométrico y aportando resultados fundamentales.

Un artículo de la embajada de Noruega destaca que un caso emblemático es la teoría de la regularidad: «La regularidad –o suavidad– de las soluciones es esencial en los cálculos numéricos y la ausencia de regularidad mide la salvajez con que naturaleza puede comportarse».

«Los teoremas de Caffarelli han cambiado radicalmente nuestra comprensión de las clases de ecuaciones diferenciales parciales no lineales con amplias aplicaciones. Sus resultados son técnicamente virtuosos y cubren muchas áreas diferentes de las matemáticas y sus aplicaciones», manifestó el presidente del Comité del Premio Abel, Helge Holden.

Lo que ocurre en un vaso con hielo

El trabajo de Caffarelli se refirió durante décadas en gran parte a problemas de frontera libre. Por ejemplo, el problema del hielo que se derrite en el agua: la frontera libre es la interfase o fase intermedia entre el agua y el hielo. Es parte de lo desconocido que está por determinarse. Al derretirse los cubitos, sus aristas se van redondeando. Poco a poco se crea un nuevo mundo en esa frontera entre el sólido y el líquido, con energías y geometrías cambiantes. 

“No puedes alcanzar la verdad, pero por lo menos puedes acercarte a ella, a la complejidad de la realidad”, contó el matemático de 74 años. En una nota de El País, contaba: “Las matemáticas vinculadas a la física son las más interesantes. Yo no soy muy partidario de hacer investigaciones superabstractas, que solo puedan entender media docena de matemáticos”.

Otro ejemplo es el agua que se filtra a través de un material poroso, entendiendo la interfase entre el agua y el medio. «Caffarelli aportó soluciones esclarecedoras a estos problemas con aplicaciones a las interfases sólidolíquido, a los flujos de chorro y de cavitación, a los flujos de gases y líquidos en materiales porosos, así como a las matemáticas financieras», acotan desde la Embajada.

Caffarelli también brilló al profundizar en las ecuaciones de Navier-Stokes que describen desde 1845 el flujo de un fluido viscoso, como el aceite. Las aplicaciones son incalculables: desde analizar la circulación sanguínea o predecir el movimiento del petróleo hasta la fabricación del motor de un auto, las matemáticas financieras o el perfeccionamiento de modelos fundamentales que explican el universo.

Claramente no es lo único. Caffarelli publicó más de 320 artículos, realizó más de 130 colaboraciones y asesoró a más de 30 estudiantes de doctorado en un periodo de 50 años. «Al combinar su brillante conocimiento geométrico con ingeniosas herramientas analíticas y métodos, ha tenido y continúa teniendo un impacto muy importante en el campo», afirma Helge Holden. Para tomar dimensión de su importancia en el mundo matemático, los artículos de Caffarelli ya llevan recibidas 19.000 citas por parte de otros científicos y científicas.

Una vida de atracción por la ciencia

Caffarelli nació en Buenos Aires. Cursó en el Colegio Nacional y después estudió Matemáticas en la Universidad de Buenos Aires. En una entrevista años atrás con Juan Luis Vázquez contaba: «Nací y pasé mi juventud en la ciudad de Buenos Aires. Fue una juventud despreocupada durante un periodo relativamente próspero en la Argentina, en un tiempo, la década de los 60, en que había grandes expectativas de cambios y desarrollos científicos a nivel mundial. Siempre me atrajeron la ciencia y la tecnología de manera que tuve que elegir entre ingeniería, matemática o física. Durante aproximadamente un año y medio estudié matemática y física pero finalmente opté por la matemática. Me doctoré en la Universidad de Buenos Aires con una tesis dirigida por Calixto Calderón, y poco tiempo después fui a Minnesota con una beca posdoctoral».

Sus profesores en Argentina lo impulsaron a perfeccionarse en el exterior. Conoció a Gene Fabes y Nestor Riviere en nuestro país, fue a Minnesota (EE UU) por un año, «pero luego distintas circunstancias fueron posponiendo mi regreso».

¿Por qué la Argentina produjo y produce tantos matemáticos brillantes? Esto respondía: «Hans Lewy me contaba que en los EEUU la investigación científica fue un producto de la postguerra. En aquel periodo la Argentina tuvo la fortuna de recibir un flujo importante de científicos europeos de primera línea (Santaló, Balanzat, Beppo Levi, entre los matemáticos) que sentaron las bases de un sistema de educación científica excepcional. Se creó el CONICET, la carrera de investigador, las becas externas, la figura del profesor con dedicación exclusiva, en fin, un sistema que aún seguimos usufructuando entre tantos altibajos económicos».

En la misma entrevista respondía sobre el eterno debate matemática pura versus matemática aplicada o aplicable: «En mi opinión es un debate para puristas. Lo importante es que estamos presenciando uno de los grandes periodos de la matemática. El modelado matemático complejo está ocupando un lugar importante en muchísimas áreas como materiales compuestos, química, biología, finanzas, dinámica de poblaciones, procesamiento de imágenes, estructuras complejas de redes, seguridad de datos. Recordemos además que el modelado envuelve topología, geometría, teoría de números, en fin, todas las áreas. La comunidad matemática tiene dos opciones: aceptar el desafío de participar de esta explosión científica, o aislarse y limitarse».

Y daba su recomendación a los más jóvenes: «Mi recomendación es que la ciencia de hoy es fascinante y está llena de matemáticas. Que no se limite por una habilidad precoz en un rinconcito de las matemáticas, y que se tome el tiempo de descubrir qué es lo que realmente lo apasiona».

Lo que otros no ven

En Minnesota, Caffarelli cambió la dirección de su investigación, después de asistir a una serie de conferencias sobre análisis armónico impartidas por Hans Lewy, matemático estadounidense retirado, nacido en Polonia. Caffarelli le pidió a Lewy indicarle algunos problemas en los que él pudiera trabajar, y Lewy le sugirió “el problema del obstáculo”, un clásico del campo de la regularidad de las ecuaciones elípticas completamente no lineales. La motivación física es determinar la posición que adopta una membrana elástica sobre un obstáculo dado. Caffarelli tuvo que aprender el tema desde cero, y quedó «enganchado». Rápidamente, comenzó a hacer progresos sorprendentes en este tema y en el área más amplia de “problemas de frontera libre”.

Cuenta la Embajada de Noruega que en 1980 Caffarelli se trasladó al Instituto Courant de Ciencias Matemáticas, división independiente de la Universidad de Nueva York. Caminando un día por Chinatown con Robert Kohn y Louis Nirenberg (el ganador del Premio Abel 2015, fallecido en 2020), los tres matemáticos decidieron colaborar en un artículo sobre las ecuaciones de Navier-Stokes, un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen la dinámica de los fluidos: «El resultado de esta colaboración fue Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations, artículo histórico publicado en 1982 que, más tarde, ganaría el Premio Steele 2014 de la American Mathematical Society por su importante contribución a la investigación».

Cuando a Nirenberg le preguntaron más tarde qué pensaba de Caffarelli como matemático, respondió: “Tiene una intuición fantástica, es sencillamente notable … Me costó mucho seguirle el ritmo. De algún modo, ve inmediatamente cosas que los otros no ven”.

Fuente: tiempoar.com.ar, 22/03/23

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Las matemáticas lo hicieron millonario

enero 20, 2023

El matemático que encontró un fallo en la Lotería con el que ganó millones

Durante casi una década, Jerry Selbee compró cantidades ingentes de boletos sabiendo que casi siempre saldría ganando. Así es como consiguió ‘hackear’ el sistema.

Por Héctor G. Barnés.

Marge and Jerry Selbee

Marge and Jerry Selbee

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Hace alrededor de una década, los dependientes de los establecimientos de alimentación del Estado de Michigan tuvieron que acostumbrarse a la fuerza a contemplar una peculiar estampa. Uno de sus vecinos, un varón de alrededor unos 65 años, entraba en su tienda y comenzaba a comprar lotería de una de las máquinas automáticas. No un billete ni dos, ni siquiera 20 ni 30 (lo que sería una cifra muy superior a la que solían adquirir la mayoría de jugadores), sino miles de décimos. Todos los que fuesen posible entre la hora de apertura de la tienda y la de cierre. No era un problema. Al fin y al cabo, este hombre, que había abierto a mediados de los años 80 otra tienda de alimentación semejante, podía llegar a gastarse miles de dólares.

Lo que no sabían los vecinos de la localidad de Evart es que no era una simple excentricidad, sino que la inversión que este misterioso jubilado estaba llevando a cabo le estaba reportando a él y a su red de colaboradores cuantiosas ganancias. A lo largo de los años, un punto negro en dos distintos sorteos les permitiría recaudar alrededor de 27 millones de dólares (unos 21 millones de euros). En la cabeza de Jerry Selbeeel matemático que trabajó para Kellogg y fue capaz de encontrar este fallo en cuestión de minutos una mañana de 2003, cuando cayó en sus manos un boleto con las probabilidades de ganar, no cabía posibilidad de que se tratase de un error. Era tan evidente que, probablemente, las autoridades sabían que nadie caería en la cuenta.

Hizo cálculos y descubrió que, en las semanas de bote, las probabilidades de obtener premio hacían que la inversión fuese siempre rentable.

¿Cuál era exactamente el truco, desvelado para el gran público por primera vez en una serie de artículos del departamento de investigación de The Boston Globe (sí, los mismos de ‘Spotlight’)? El funcionamiento del bote, en principio no tan diferente al de otros juegos españoles como la Primitiva. El coste de una papeleta de Winfall, en la que había que elegir seis número del 1 al 49, costaba un dólar. Según la cantidad de números acertados (de tres a seis), se obtendría un premio en consonancia. La clave, no obstante, se encontraba en el bote, que se repartía en caso de que tras varias semanas (seis de media) nadie hubiese acertado la combinación ganadora y se hubiesen alcanzado los cinco millones de dólares.

Cuando esto ocurría, la lotería era promocionada a todo trapo para que los jugadores casuales probasen suerte. En lo que pocas (o ninguna) persona había caído es en que, siempre y cuando nadie acertase los seis números, las probabilidades hacían que la inversión fuera siempre rentable para el jugador. Había una posibilidad entre 54 de acertar tres números y 1 en 1.500 de acertar cuatro; en las semanas en las que se repartía el bote, los premios se multiplicaban por 10, de forma que cualquier dólar invertido valía, estadísticamente, más que un dólar. Como ha explicado años después el propio Jerry a ‘The Huffington Post’ en el reportaje definitivo sobre el tema, “simplemente lo multipliqué y me dije ‘vaya, el retorno es positivo’”.

Un juego con truco

El jugador, por supuesto, seguía teniendo más posibilidades de perder que de ganar si compraba un único billete. El truco se encontraba en comprar grandes cantidades de boletos para que todos los aciertos compensasen el dinero que se perdía con las apuestas no ganadoras; cuanto más dinero uno se gastase, más posibilidades había de obtener ganancias, puesto que las estadísticas estaban a su favor. A la larga, era una simple cuestión de estadística. Algo de cajón para Jerry Selbee, un gran aficionado a las matemáticas y a los puzzles lógicos que averiguó con un sencillo vistazo que, en el caso del Winfall, la banca no ganaba.

La siguiente semana, volvió a Mesick. Se gastó 3.400 dólares y ganó 6.300. Una vez más, volvió a probar y obtuvo 15.700 dólares tras apostar 8.000

Lo más difícil, en este caso, era la logística. Al principio, porque Jerry temía contárselo a su mujer Marge, que siempre había estado en contra del juego. Así que decidió probar suerte por su cuenta, después de hacer pruebas con papel y lápiz: la primera vez se gastó 2.200 dólares en una pequeña tienda en Mesick, a unos 70 kilómetros de Evart, donde vivía. La jugada no salió bien y tan solo obtuvo 2.150 dólares; es decir, había perdido 50. Sin embargo, el matemático aficionado sabía que era una mera cuestión de mala suerte; el problema radicaba en que no se había gastado suficiente dinero. Así que la siguiente semana de bote, volvió a Mesick y se gastó 3.400 dólares: ganó 6.300. Una vez más, volvió a probar y obtuvo 15.700 dólares tras apostar 8.000. Había hackeado el sistema.

Con esa cantidad de dinero entre sus manos, no le resultó difícil convencer a su mujer que habían dado con el negocio de sus vidas. Esta se prestó a participar, entre otras razones, porque confiaba plenamente en las habilidades con los números de su marido. El problema era, en todo caso, práctico: solo se podían imprimir 10 boletos a la vez, lo que obligaba a la pareja a pasar horas y horas delante de las máquinas expendedoras y la curiosa mirada de los tenderos que, no obstante, no hacían muchas preguntas cuando veían a Jerry y Marge imprimiendo boletos sin parar. Otra aparente dificultad era ordenar estos tickets y comprobar si tenían premio o no, algo que hacían dos veces por si se habían equivocado. Un trabajo arduo que, no obstante, les mantenía entretenidos en los años previos a su jubilación.

Décimo de Powerball, un juego similar al que el matemático aficionado ‘hackeó’.

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El sistema funcionaba, así que los Selbee preguntaron a sus hijos si querían unirse. En la primera apuesta perdieron 18.000 dólares, pero los descendientes de Jerry sabían bien que su padre no estaba equivocado. GS Investment Strategies fue el nombre que recibió la empresa fundada por este para administrar el dinero de los jugadores: hasta 25 personas llegaron a formar parte del club, incluidos abogados, trabajadores de una sucursal bancaria y policías. En 2005, las ganancias rondaban los 40.000 dólares. Entonces llegó la primera mala noticia: en mayo de ese año, la Lotería de Michigan cerró el concurso y dejó a la pareja de jubilados sin su principal ‘hobby’ y fuente de ingresos.

No pasaría ni un mes hasta que encontraron una alternativa parecida, eso sí, en el vecino estado de Massachusetts. Se trataba de un juego que funcionaba de forma similar, aunque con pequeñas diferencias como el coste del billete (dos dólares y no uno) o los números a elegir. La logística era aún más difícil que en el otro juego, pero eso no les disuadió de seguir con su plan, esta vez, con base en un motel al oeste del Estado. Era un trabajo intensivo: para contar todos los boletos (que en ocasiones ascendían a 70.000 dólares por sorteo), tenían que trabajar 10 horas durante 10 días. En su apuesta récord, llegaron a gastar 720.000 dólares en un único juego. La banca, a la larga, siempre perdía. Sin embargo, no eran los únicos que habían descubierto este fallo en el sistema.

Yayos vs universitarios

Ya lo contamos en su día: un grupo de alumnos del MIT había encontrado por su cuenta el mismo fallo en el sistema que este par de dependientes. No obstante, su sistema tenía una diferencia fundamental, una línea que Jerry y Maggie no se habrían atrevido a cruzar. No solo gastaban mucho dinero en boletos sabiendo que tenían la estadística de su lado, sino que también forzaban que saliese el bote apostando mucho más dinero. Jerry se enfadó tras conocer las artimañas de sus competidores. “Nos habían sacado del juego intencionadamente”, lamenta años después. El hombre hizo caso omiso cuando le propusieron intercambiar información para no pisarse los unos a los otros.

Jerry se enfadó cuando la prensa le consideró poco menos que un estafador. Él sabía que no estaba reduciendo las posibilidades de ganar de los demás

Fue también el principio del fin. No fue la autoridad lotera la que dio la estacada a este sistema, sino una periodista del equipo de investigación de The Boston Globe llamada Andrea Estes, que descubrió el truco en una serie de artículos publicados en verano de 2011, que una vez más, enfurecieron a Jerry porque le presentaba como poco menos que un estafador. Algo que él tenía muy claro que no era: matemáticamente, era consciente de que no estaba reduciendo las posibilidades de ningún competidor. Tan solo estaba aprovechando el azar en su favor. Fue una bomba informativa que pronto llegó a toda la prensa americana y que obligó a las autoridades del Estado a tomar cartas en el asunto.

La última partida jugada por la pareja tuvo lugar en enero de 2012, medio año después de la publicación del primero de los artículos. Desde luego, había sido el negocio de su vida, ya que en nueve años llegaron a obtener 27 millones de dólares (U$S 7,75 millones  de ganancias, después de descontar impuestos y los costes del juego), una cantidad que terminaron repartiendo entre todos los socios de GS Investment. Sin embargo, Jerry seguía enfadado por su recién adquirida fama de ‘hacker’ lotero, y no quedó tranquilo hasta que el inspector general de Massachusetts publicó un informe de 35 páginas en el que concedía que nadie había salido perjudicado por la particular estrategia del matrimonio y sus competidores del MIT.

Lo que Jerry demostró es que quien hace la ley hace la trampa, y que muchos de los juegos de azar en los que participamos no están tan bien diseñados como parece… O incluso que estos cambios, en lugar de corromper la competición, pueden ser una manera más justa de administrar el dinero. Porque esa es la última lección de la historia de Jerry y Maggie: que la Lotería puede pasar de ser un juego que grava a los más pobres, que son los que suelen participar en esta clase de juegos, para ser una herramienta de redistribución económica… aunque sea tan solo para un puñado de lúcidos matemáticos.

Fuente: elconfidencial.com, 06/03/18.


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Cómo lograr su Libertad Financiera

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Resolución de un crimen con Teoría de Grafos

septiembre 13, 2022

El reto matemático: El crimen de la mujer muerta en su casa de Pirineos, resuelto con grafos

Por Víctor M. Manero.

Hace dos semanas en ‘¿Pueden las matemáticas resolver un crimen?’ de esta sección se presentó un crimen ficticio retando al lector a resolverlo usando matemáticas, en particular, grafos.

Una breve introducción sobre grafos se puede encontrar en dicho artículo, así como el concepto de grafo de intervalos que recordamos aquí.

Grafo de intervalos

Si representamos varios intervalos en una recta real, por ejemplo, podemos pensar en los periodos de tiempo que unas ciertas personas han pasado en una isla ver figura 1, el grafo de dichos intervalos es aquel que se obtiene dibujando un vértice por cada intervalo o persona y dos vértices se unirán con una arista si las personas que representan han coincidido en la isla o lo que es lo mismo si los correspondientes intervalos se intersecan, ver figura 1.

Figura 1. Intervalos de tiempo y su correspondietne grafo de intervalos
Figura 1. Intervalos de tiempo y su correspondietne grafo de intervalos

Los grafos de intervalos tienen propiedades interesantes pero la que nos interesa a nosotros es la siguiente:

Un grafo de intervalos siempre está triangulado.

Un grafo se dice que está triangulado si para todo camino cerrado (conjunto de aristas que comienza y acaba en un mismo vértice) formado por al menos al menos cuatro aristas, existe una que une vértices no consecutivos, ver figura 2. Equivalentemente esto se puede describir como que dado cualquier cuadrilátero contenido en el grafo éste está dividido en triángulos.

Figura 2: Grafo triangulado, grafo no triangulado
Figura 2: Grafo triangulado, grafo no triangulado

Una justificación informal de esta propiedad es fácil de presentar. Si suponemos que existe un grafo de intervalos con un camino cerrado de longitud cuatro y que no está triangulado, al tratar de construir los correspondientes intervalos que dan lugar a dicho grafo vemos que un tal grafo no puede existir, ver figura 3.

Figura 3. Grafo de intervalos no realizable
Figura 3. Grafo de intervalos no realizable

Por lo tanto, si dada una situación al trazar su correspondiente grafo de intervalos resulta que éste no está triangulado esto nos viene a decir que dicho grafo es erróneo o lo que es equivalente los intervalos asociados al mismo están equivocados.

El crimen en cuestión

Acababa de llegar la primavera y la veterana inspectora Alicia Pelegrina de la Policía Nacional se encontraba ante un paisaje plagado de nieve. A su lado, su joven ayudante, el agente Jorge Martín.

A pesar de sus años de experiencia, la inspectora Pelegrina jamás había visto un caso parecido. Una mujer, Araceli, había sido hallada muerta en la casa que habitaba en un abandonado pueblo del Pirineo aragonés del que era la única habitante. Las investigaciones permiten concluir a los agentes Pelegrina y Martín que el crimen se ha producido debido a un escape de gas venenoso accionado con un temporizador. El dispositivo, que había sido minuciosamente instalado, se encontraba escondido en las inmediaciones de la casa y a través de un tubo dirigía el gas letal hasta la misma.

Las primeras pesquisas permiten a los agentes deducir que el crimen ha sido llevado a cabo por una única persona, pero ¿quién?

A lo largo del invierno varias personas habían visitado a la fallecida, concretamente 8. Estas son consideradas desde un primer momento sospechosas. Debido a la intensa nieve todos los visitantes habían accedido al pueblo desde el único acceso posible, la estación de tren de Canfranc. El guardia de seguridad de la estación recuerda haber visto a los 8 sospechosos exactamente en dos ocasiones, una cuando venían y otra cuando se iban, lo que confirma que cada sospechoso visitó a la víctima una única vez. Sin embargo, el guardia no recuerda las fechas exactas de paso de cada uno de ellos.

La lista de los sospechosos es la siguiente:

Laura Díaz (escritora de libros infantiles), Inés Mármol (cantante de un grupo punk), Javier Fernández (cómico/guionista), Ramón Nogueras (activista climático), Daniel Pellicer (jugador profesional de golf), Pablo Tristán (cocinero de renombre), Alejandro Sánchez (violinista) y Maja Wrzeistein (profesora de literatura hispánica).

En los interrogatorios los sospechosos no saben precisar las fechas exactas en las que estuvieron en la casa de la fallecida, pero sí son capaces de describir claramente a los agentes con quienes coincidieron:

– Laura dice haber coincidido con Javier y con Maja.

– Inés aseguró haber visto a Ramón, Pablo y Daniel.

– Javier recuerda haber visto a Laura, Alejandro, Daniel y Ramón.

– Ramón comenta haber visto a Inés y a Javier.

– Daniel recuerda haber visto a mucha gente, concretamente a Javier, Alejandro, Pablo e Inés.

– Alejandro aseguró haber coincidido con Javier, Daniel, Pablo y Maja.

– Pablo dice haber visto sólo a Inés, Alejandro y Daniel.

– Maja comenta haber visto sólo a Laura y a Alejandro.

Los inspectores observan que las versiones de los sospechosos no presentan contradicciones y en principio no parece que nadie esté mintiendo, ¿o quizá sí?

Resolución del crimen

Dadas las declaraciones de los sospechosos sabemos con quien ha coincidido cada uno (o al menos lo que declaran). Esto nos permite realizar el grafo de intervalos correspondiente a la situación.

Por simplicidad denotaremos a cada sospechoso con la inicial de su nombre, es decir Laura (L), Inés (I), Javier (J), Ramón (R), Daniel (D), Alejandro (A), Pablo (P) y Maja (M).

Figura 4. Grafo de intervalos de las declaraciones de los sospechosos.
Figura 4. Grafo de intervalos de las declaraciones de los sospechosos.

Ahora bien, recordemos que un grafo de intervalos siempre está triangulado, o equivalentemente, para todo camino cerrado (conjunto de aristas que comienza y acaba en un mismo vértice) formado por al menos cuatro aristas, existe una arista que une vértices no consecutivos.

Sin embargo, en nuestro grafo de intervalos (ver figura 5) tenemos un primer camino cerrado –el formado por A-M-L-J constituido por cuatro aristas y que no está triangulado.

Figura 5. Camino cerrado formado por A-M-L-J.
Figura 5. Camino cerrado formado por A-M-L-J.

Así que hay alguien de ese subconjunto de sospechosos (Alejandro-Maja-Laura-Javier) que no está diciendo la verdad, ya que al tratarse de un grafo de intervalos éste debe estar triangulado. O lo que es lo mismo, o bien Alejandro y Laura han coincidido o bien lo han hecho Javier y Maja.

Por otra parte, observando nuestro grafo de intervalos (ver figura 6) podemos encontrar un segundo camino cerrado: el formado por J-R-I-D constituido por cuatro aristas y que no está triangulado.

Figura 6. Camino cerrado formado por J-R-I-D
Figura 6. Camino cerrado formado por J-R-I-D

Así que alguien de ese nuevo subconjunto de sospechosos (Javier-Ramón-Inés-Daniel) está mintiendo ya que, de nuevo, al tratarse de un grafo de intervalos éste debe estar triangulado, o lo que es lo mismo: o bien Javier e Inés han coincidido o bien lo han hecho Ramón y Daniel.

Ahora bien, si tenemos en cuenta que tal y como se indicaba en la historia “las primeras pesquisas permiten a los agentes deducir que el crimen ha sido llevado a cabo por una única persona”, el único sospechoso que se encuentra en ambos subconjuntos de sospechosos es Javier el cual en verdad ha coincido en el pueblo con Inés y con Maja pero en esos momentos se encontraba oculto preparando su macabro plan, así que Javier Fernández (cómico/guionista) es el asesino.

Víctor M. Manero (@pitimanero) es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Fuente: abc.es, 31/01/22

grafo

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La belleza de las matemáticas

septiembre 8, 2022

Las fórmulas elegantes producen en el cerebro la misma actividad que las obras de arte o la música

Por Seth Newman.

La belleza de las matemáticas

Desde la antigüedad, los matemáticos han venido equiparando la belleza matemática a la belleza musical o plástica. Científicos británicos han determinado ahora que, a pesar de su naturaleza abstracta, la belleza matemática está vinculada con actividad en la misma región del cerebro que la belleza percibida a través de los sentidos.

Los investigadores pidieron a 15 matemáticos que vieran una tanda de 60 ecuaciones y que las valorasen una por una, en una escala, de –5 (la más «fea») a+5 (la más «hermosa»). A continuación, examinaron mediante imagen por resonancia magnética funcional el cerebro de los voluntarios mientras estos volvían a mirar las fórmulas. Las exploraciones de seguimiento revelaron que una condición necesaria, pero no suficiente, para que el sujeto apreciase la belleza en una fórmula era que comprendiera su significado matemático (algunas de las presentadas, aunque bien comprendidas, no les llamaron la atención por su belleza).

Al discriminar entre comprensión y belleza, los investigadores pudieron descontar la actividad cerebral asociada a la comprensión y centrarse en la región responsable de la sensación de belleza: la corteza medial orbitofrontal, una región que se relaciona con la integración de la experiencia sensorial, la emoción y la toma de decisiones. Estudios anteriores han demostrado que esta área cerebral aparece muy activa cuando los sujetos ven u oyen algo que perciben como hermoso, por ejemplo, arte plástico o musical.



La belleza resulta escurridiza de estudiar científicamente, porque su naturaleza es personal y subjetiva. Semir Zeki, del Colegio Universitario de Londres y autor del estudio, sugiere que, al referirse a la belleza, los matemáticos pueden estar «tocando» una profunda conexión entre el cerebro humano y el mundo natural. Dado que hemos evolucionado en este universo, postula Zeki, «la experiencia de lo bello puede ser un indicio orientador hacia la verdad en el universo«.

Muchos matemáticos afirman que buscan la belleza tanto como lo hace un compositor o un pintor. Zeki señala que este proceder conduce en ocasiones hasta nociones increíbles por su profundidad. «Relegar la belleza al estudio del arte, dejándola extramuros de la ciencia, ya no es sostenible«.


Fórmulas sugestivas
«Tradicionalmente, los matemáticos han considerado que el criterio más importante de belleza es la simplicidad«, explica el neurocientífico Semir Zeki. La fórmula más citada por los voluntarios matemáticos en relación con su belleza fue la identidad de Euler:


e + 1 = 0


Esta relaciona entre sí las cinco constantes matemáticas más importantes con tres operaciones aritméticas fundamentales, unas y otras una sola vez.

La expresión que los participantes tildaron de «fea»  más a menudo corresponde al desarrollo en serie de 1/π descrito por Srinivasa Ramanujan.
 


Esta fórmula define el recíproco de π recurriendo solo a números enteros; resulta útil a los matemáticos que buscan conocer valores muy aproximados al número π, uno de los más importantes de las matemáticas. 

Srinivasa Ramanujan

Fuente: scientificamerican.com


Más información:

Matemáticas: ¿descubrimiento o creación?

Borges y las Matemáticas

Libros para disfrutar las Matemáticas

Veinte matemáticos célebres

Los números en la naturaleza

Donald en el mundo de las Matemágicas

La importancia de las Matemáticas

Aquiles y la Tortuga

Matemáticas y juegos de azar

El arte matemático de Escher


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El mundo de los números complejos

agosto 9, 2022

El bello mundo de los números imposibles

El encaje de los números complejos como instrumento de gran potencia en varias ramas de matemáticas puras y aplicadas transitó por distintas fases de aceptación que fueron encabezadas por eminentes matemáticos

Por Juan Matías Sepulcre.

Los números complejos hicieron sus primeras tímidas apariciones en la escena científica a través de los trabajos del médico y matemático Girolamo Cardano (1501-1576) del matemático e ingeniero hidráulico Rafael Bombelli (1526-1572) en relación al cálculo de las raíces de un polinomio cúbico, es decir, en la búsqueda de valores exactos X0 cumpliendo relaciones de la forma:

El bello mundo de los números imposibles

En realidad, aunque no fue la motivación principal de su aparición en escena, los números complejos ya surgen de forma explícita en las soluciones de determinadas ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, consideremos la ecuación: x²-2x-3=0

Que equivale a: (x+1)(x-3)=0

Resulta claro que sus soluciones son: x=-1 y x=3

Sin embargo, si consideramos la ecuación: x²+1=0

El lector puede observar que, como el cuadrado de un número real cualquiera es positivo o nulo, no es posible resolverla mediante números reales . Sin embargo, si introducimos un número que podríamos llamar la raíz cuadrada de menos uno , obtenemos algebraicamente las soluciones:

El bello mundo de los números imposibles

No obstante, antes de la época del renacimiento en la que se abordan las soluciones de las ecuaciones cúbicas, la aparición de la raíz de un número negativo en el análisis de cualquier ecuación, también cuadrática, llevaba inmediatamente a la interpretación de que el problema asociado a tal ecuación no presentaba solución alguna .

Hoy en día sabemos que los números complejos constituyen una herramienta esencial de trabajo de algunas ramas de matemáticas puras y aplicadas como la variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica, hidrodinámica o electromagnetismo. De hecho, es altamente reconocida su utilidad en muchos campos del análisis matemático, álgebra, mecánica cuántica, electrónica o telecomunicaciones.

Sin embargo, podríamos decir que desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII estos números fueron usados con cierto recelo y desconfianza , siendo motivo de diversas controversias entre los miembros de la comunidad científica.

De hecho, fueron inicialmente considerados como números imposibles tolerados únicamente en un limitado dominio algebraico por su utilidad complementaria para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Esto se debía principalmente a que, por aquel entonces, resultaba difícil concebir cualquier realidad física que correspondiese con ellos, lo que llevaba a diversos autores a emplear términos como sofisticados, sin sentido, inexplicables, incomprensibles o imposibles para referirse a tales números.

En realidad, el propio Cardano, en cuyos manuscritos aparecen raíces cuadradas de números negativos, los trataba de modo muy sutil, como un mero artefacto matemático carente de significado propio, pero dotados de algunas reglas para manipularlos. Sin embargo, tras el desarrollo de la obra Ars Magna de Cardano, Bombelli fue un paso más allá al desarrollar una cierta aritmética en torno a ellos, algo de lo que nos ocuparemos más adelante.

Números negativos e irracionales

Un proceso similar ocurrió también con los números negativos, que no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII . Por ejemplo, el hecho de hablar de -1 piezas de fruta no conllevaba grado alguno de realismo, pero desde ese mismo punto de vista tampoco lo hubiera comportado hablar de ¾ de una persona o afirmar que las mujeres tuvieron un promedio de 2,5 hijos en algún momento dado.

Sin duda alguna, hoy en día la ausencia de los números negativos también nos resultaría inconcebible, y es que por ejemplo la posibilidad de trabajar con magnitudes negativas nos permite constantemente representar deudas, pérdidas, disminuciones … algo tan habitual como el hecho de manejar temperaturas negativas.

De hecho, todo ello nos ayuda también a interpretar con mayor claridad, y expresar algebraica y rigurosamente, resultados estadísticos como el que nos permite afirmar que la tasa de fecundidad en una cierta región se haya reducido hoy en día a la mitad si la comparamos por ejemplo con el año 1960.

Además, desde un punto de vista geométrico, si consideramos los números reales como vectores dotados de magnitud (su valor absoluto) y sentido (dependiendo del signo), entonces la multiplicación por el número negativo -1 hace cambiar de sentido el número que estamos multiplicando, lo que nos añade otra razón natural de su existencia (por cierto, el lector podrá observar más tarde, cuando tratemos la interpretación geométrica de los números complejos, que lo que haremos será establecer otras direcciones en nuestra particular brújula).

Relaciones de inclusión entre distintos conjuntos numéricos
Relaciones de inclusión entre distintos conjuntos numéricos

Mucho antes, en plena Grecia Clásica , el descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado no podía expresarse como una cantidad entera de las unidades que miden los lados, esto es, la constatación de la presencia de números irracionales en tal desarrollo, llevó a la Escuela Pitagórica (en el siglo V a.C.) a una gran consternación , pues en su forma de pensar no tenían cabida las magnitudes inconmensurables .

Anque pensemos que:

El bello mundo de los números imposibles

Supone una precisión de medida que es físicamente imposible, en términos prácticos no cabe duda que la existencia formal de los números irracionales, junto con todas las abstracciones teóricas realizadas hasta la fecha (incluyendo la propia simbología utilizada para los números naturales y la de los números negativos), nos han ayudado a evolucionar independientemente de su realidad física inmediata … y, desde luego, los números complejos no se escapan de este mismo contexto.

La geometría de los números complejos

Además de su aparición en la resolución de las ecuaciones cúbicas, actualmente se conoce la importancia que los números complejos tuvieron en el planteamiento y resolución de muchos problemas de la física matemática: magnetismo, calor, electricidad, gravedad, flujo de fluidos …, pero sin duda un factor que ayudó considerablemente a la plena aceptación de los números complejos fue el hecho de haber podido realizar una clara interpretación geométrica, algo que popularizó enormemente el brillante matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

A este respecto, las coordenadas cartesianas en el plano, llamadas así en honor a René Descartes (1596-1650) por su nombre latinizado Renatus Cartesius , asocian a cada punto del plano un par de números denominados abscisa y ordenada. Así, todo número complejo puede representarse en el análogo plano bidimensional complejo como un par ordenado de números reales (a,b), donde a se denomina la parte real y b la parte imaginaria, e identificando los pares (a,0) con los números reales a , y los pares de la forma (0,b) con los llamados números imaginarios puros.

A este respecto, el par (0,1) se le denominó la unidad imaginaria , por ser de naturaleza distinta a la del número real, y es denotado por i, símbolo introducido en la literatura en 1779 por el prolífico matemático, físico y filósofo Leonhard Euler (1707-1783). Los números relacionados, es decir, aquellos de la forma a+bi, con a y b números reales, son los que llamamos números complejos y la colección de todos ello se suele denotar por C.

Aritmética de los números complejos

En el sentido anteriormente descrito, los números complejos son una extensión del sistema de los números reales y constituyen un sistema más amplio en el que cualquier polinomio de grado mayor o igual que 1 admite soluciones, resultado que se conoce con el nombre de teorema fundamental del álgebra y que logró demostrar correctamente Gauss en 1799.

Eso sí, mientras que en nuestro día a día comparamos constantemente dos números reales para decidir cuál es el mayor, esto no se puede realizar en general con los números complejos. Sin embargo, su aritmética es sencilla, ya que la suma y la multiplicación de dos números complejos es la natural, con el ingrediente extra de que cada vez que aparezca i² se reemplaza por -1 .

De hecho, si (a,b) y (c,d) representan dos números complejos arbitrarios, su suma y producto vienen dados de la siguiente manera:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

(a,b)•(c,d)=(ac-bd, ad+bc).

Equivalentemente,

(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i,

(a+bi)•(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.

Resulta asequible comprobar que estas operaciones satisfacen las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad , también comunes a las operaciones con los números reales. A partir de ellas, también se pueden definir de forma coherente sus operaciones inversas, esto es la resta y la división, y otras operaciones más enmarcadas en el sistema de los números complejos como el conjugado, módulo, argumento o las raíces -ésimas, algunas de las cuales trataremos a continuación.

Ahondando en la interpretación geométrica

A la vista de la interpretación geométrica realizada anteriormente, cualquier problema en el que las direcciones de un plano estén involucradas resulta ser una aplicación potencial de los números complejos. En particular, la física está repleta de tales interpretaciones.

A modo de ejemplo, pensemos en el fenómeno consistente en la propagación de una vibración, lo que nos conduce al concepto de onda.

Pues bien, los números complejos resultan ser una herramienta excelente para describir tales ondas como ocurre con el sonido , las olas del mar, las ondas sísmicas o la vibración de una cuerda. Prueba de ello es que si consideramos un número complejo z=a+bi, representado el plano bidimensional, siempre nos resulta posible trazar un segmento desde el origen de coordenadas (0,0) hasta el punto (a,b), sobre el que podemos calcular su longitud r (también llamado módulo de z y representado por |z|) y su ángulo α respecto del eje de abscisas (que da lugar al argumento de z). Es decir, con la ayuda de trigonometría básica, un número complejo lo podemos también representar mediante la llamada forma polar :

El bello mundo de los números imposibles
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Este desarrollo nos permite inmediatamente dar una interpretación geométrica de las operaciones suma y producto introducidas anteriormente. En efecto, ya podemos afirmar que la suma de dos números complejos es equivalente a la ley del paralelogramo de vectores , y también que al multiplicar dos números complejos sus ángulos se suman, es decir:

El bello mundo de los números imposibles

Propiedad que resulta muy útil para hacer procesamiento digital de señales, por ejemplo permitiendo rápidamente encontrar el método preciso que interviene en la variación de la fase y frecuencia de una onda, cuya descripción práctica viene dada por:

El bello mundo de los números imposibles
Ley del paralelogramo
Ley del paralelogramo

Ahora el lector podrá tratar de deducir a partir de las propiedades anteriormente expuestas la, así llamada por muchos científicos, fórmula más bella de las matemáticas , esto es, la identidad de Euler, que involucra a cinco constantes matemáticas: 0,1,e,i,π, incluyendo por tanto a la unidad imaginaria.

Identidad de Euler
Identidad de Euler

Finalmente, en este contexto conviene mencionar también los trabajos de distinta índole realizados por matemáticos como Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard Riemann (1826-1866), a partir de los cuales se llegó a la plena aceptación de los números complejos como instrumento de gran potencia en el análisis intrínseco de la teoría de funciones, y en particular en la teoría de las funciones de variable compleja que constituye una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX.

Juan Matías Sepulcre Martínez es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante. Twitter: @JMSepulcre

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Fuente: abc.es


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