–Claramente es un guiño a Alicia en el País de las Maravillas, Ven.

–Vale, profeta, el propio Morfeo le ha dicho a Neo que si toma la píldora roja entrará en la madriguera del conejo blanco y llegará al País de las Maravillas, o sea, a Matrix.

Nuestros amigos Sal y Ven, que han crecido mucho desde la última vez que estuvimos con ellos, han estado viendo, como ya habrás imaginado, la película Matrix. Cuando el mayor, Sal, habla del guiño al libro de Lewis Carroll, Alicia en el País de las Maravillas, se refiere a una de las primeras escenas de la película en la que el protagonista, Neo, recibe un mensaje en su ordenador:“Follow the white rabbit” (“Sigue al conejo blanco”). Y ya, no contamos más que no queremos hacer spoiler para aquellos que aún no la hayáis visto.

–No te pongas así, Ven, solo era un comentario por si no te habías dado cuenta.

–Ya, porque tú eres más listo, ¿no?

–Anda ya, no seas susceptible y dramático. ¿Tú que harías en el lugar de Neo? ¿Elegirías la píldora azul y seguirías viviendo en el mundo que conoces sabiendo que no es real? ¿O te tomarías la píldora roja para seguir al conejo blanco?

–Huy, píldoras y conejos blancos… –Mati entraba en ese momento en la sala –. No sé si me va a gustar esta conversación.

–Ay, hola Mati, no te escuchamos entrar. –dijo Ven y se acercó a saludar con un beso a su amiga.

–Hablábamos de Matrix y de las píldoras que Morpheus le ofrece a Neo –añadió su hermano mientras se acercaba a saludar también. Gauss no dijo nada porque estaba dormido, se quedó frito en cuanto empezó la película. Sí, es un perro sin sensibilidad para estas cosas pero le queremos igual, ¿eh?

–Vaya, eso me tranquiliza –dijo la pelirroja guiñando un ojo y añadió–. No quiero que bailéis con ningún conejo blanco.

Los dos hermanos se miraron extrañados uno al otro primero y luego se quedaron mirando con esa misma expresión a Mati.

–Bah, no me hagáis caso, simplemente me acordé de una cosa que no viene al caso.

–Pues ya nos la tienes que contar, ya sabes –apostilló Ven también con un guiño.

–Vaaaale, os la cuento. Tiene que ver con Michael Jackson.

Sal y Ven se miraron mitad sorprendidos mitad expectantes, con las narices arrugadas. Es una pena que Gauss siguiera dormido porque él adora las canciones del rey del pop y siempre movía la cola cuando pronunciaban su nombre. Mati continuó:

–Como sabéis, Michael murió en el verano de 2009 a causa de una sobredosis de medicamentos que le administró su médico personal para que pudiese dormir. Pues bien, parece ser que el detonante para la muerte pudo ser un medicamento, el propofol, que se usa principalmente como anestésico en los hospitales y, por lo tanto, muy potente.

–Muy bien, ¿y qué tiene que ver con el conejo, Mati? –preguntó Ven.

–Ah, eso, claro. Alguna gente le llama ‘bailar con el conejo blanco’ a la sensación que experimentan cuando les inyectan proponol. Supongo,yo no lo he probado ni ganas, que porque sienten que caen por una madriguera hasta que se quedan dormidos. Y, de hecho, cuando juzgaron a Conrad Murray por la muerte de Michael Jackson, en la sala del tribunal alguien, no sabemos quién, dejó un conejo blanco de peluche cerca de donde se sentaba él.

–Vaya historia, Mati –dijo Sal –, ¿todo eso se te viene a la cabeza cuando oyes hablar de un conejo blanco? ¿No es más fácil que te acuerdes solo de Alicia? Los matemáticos sois raros…

Mati estalló en una carcajada y trató de defenderse:

–No, hombre –dijo entre risas –. A los matemáticos si nos hablas de conejos pensamos, ipso facto, en Fibonacci, ¡claro!

–¡Claro! –exclamó Ven –, la sucesión de Fibonacci. Ya me acuerdo. Nos la explicaste con conejos hace tiempo.

–Oh, sí, hace mucho tiempo, eráis muy pequeños… –Mati dejó escapar un suspiro.

–Bueno, pero lo que necesito que recordéis hoy es cómo se calculaban los términos de la sucesión, ¿os acordáis?

–Sí, claro –se apresuró a contestar Sal –, se empieza con el 0 y el 1 y a partir de ahí cada término es la suma de los dos términos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.

–No, Mati nos enseñó empezando con 1 y 1 –interrumpió Ven –, porque empezamos con una pareja de conejos. Pero, bueno, da lo mismo, salvo el primer 0 la sucesión es la misma.

–Ajá, perfecto. Ahora necesito un tablero de ajedrez y una moneda –continuó Mati –. Bueno, algo más simple, una hoja de papel cuadriculado y una moneda.

Ven fue a su cuarto a buscar lo que había pedido Mati, Sal aprovechó para acariciar a Gauss que se acababa de despertar y, bueno, para escaquearse de subir a buscar el papel cuadriculado. Cuando el pequeño bajó con el papel, Mati sacó una moneda y les propuso:

–Os voy a proponer un juego, se llama el juego de Wythoff. Sobre este papel cuadriculado vamos a poner, al azar, nuestra moneda en una de los cuadrados. Por turnos, vais a mover la moneda de alguna de las 3 formas que os propongo: (1) hacia abajo todas las casillas (cuadrados) que queráis, (2) hacia la izquierda todas las casillas que queráis o (3) en diagonal, hacia la izquierda y hacia abajo, todo lo que queráis. Gana el que consiga llegar con la moneda a la meta que está en la casilla más a la izquierda y más abajo, la que he coloreado de rojo.

–Parece fácil… –dijo Ven haciéndose el interesante.

–Aún no he terminado de proponeros el juego –continuó ella –. Os digo que en este juego están escondidos los conejos de Fibonacci, ¿os atrevéis a buscarlos?

–¿Cómo que se han escondido los conejos, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Eso es precisamente lo que tenéis que averiguar, ¿dónde y cómo se han escondido?

–Supongo que te refieres a la sucesión de Fibonacci –apuntó Ven –, pero tampoco se me ocurre cómo. Porque en principio, el número de casillas que elijamos para cada movimiento Sal y yo no tienen por qué seguir ninguna regla, ¿no?

Mati asintió victoriosa, los chicos se quedaron mirando el papel y Gauss ladró solo para reclamar un poco de atención, se había despertado mimoso y nadie le hacía caso. Al cabo de unos minutos, la pelirroja les dijo:

–Os lo voy a contar, no es fácil. De hecho, un pelín rebuscado pero es maravilloso. Lo primero que haremos es preguntarnos si este juego siempre tiene ganador, es decir, ¿la partida puede quedar en tablas? ¿Puede haber empate?

–No, uno de los dos jugadores seguro que gana –dijo Sal –, el juego tiene que terminar, porque solo se puede ir hacia abajo y hacia la izquierda, no se puede volver atrás..

–Eso es –confirmó ella –, por lo tanto tenemos que el juego es finito (no podemos jugar indefinidamente) y no puede acabar en empate. Con estas dos condiciones (finito y sin empate), y gracias a nuestro John Nash, sabemos que para este juego uno de los jugadores tiene siempre una estrategia ganadora: uno de los dos tiene movimientos que le garantizan ganar.

–¿Y cuál es la estrategia ganadora, Mati? –preguntó Ven.

–Eso no nos lo dice Nash pero vamos a construirla nosotros. Paso a paso.

–Vamos –añadió Sal impaciente. Gauss ladró con ganas para insuflar energía a sus dueños.

–Lo primero que haremos –comenzó a decirles Mati –será ponerle nombre a las casillas del tablero para poder referirnos a ella. A la casilla de la meta la nombramos (0,0) y a partir de ella nombramos a las demás con un par ordenado (a, b) en el que a indicará la fila en la que está (comenzando en 0 para la fila de abajo) y b nos dirá en qué columna está (comenzando en 0 para la columna más a la izquierda). Nos quedaría algo así:

–Lo que parece claro es que si un jugador deja la moneda sobre la misma fila, sobre la misma columna o sobre la misma diagonal que ocupa la meta, el siguiente gana en un solo movimiento –continuó la pelirroja –. Marcamos esas posiciones en amarillo en nuestra cuadrícula, ninguna de ellas sería una posición deseable para poner la moneda en nuestro turno, porque le daríamos el triunfo a nuestro contrincante. Todas las casillas amarillas serán casillas perdedoras.

–Las amarillas son casillas losers –interrumpió Ven haciéndose el chulito.

–Calla, Ven –le cortó su hermano, impaciente por conocer la estrategia ganadora.

–No, me gusta –dijo Mati –: las llamaremos casillas losers porque si dejamos la moneda en alguna de ellas le daremos el triunfo a nuestro adversario.

Ven sonrió de medio lado con aire de triunfador, Gauss se puso al lado de Sal. Él es así, nunca le gustaron demasiado los anglicismos.

–Si os fijáis –siguió ella –, hemos descubierto dos casillas ganadoras: la (1,2) y la (2,1).

–¡Las llamaremos casillas pobediteli! –gritó Sal.

Mati, Ven y Gauss le miraron con los ojos de par en par esperando que explicara por qué ese nombre. El gafotas les dijo:

–Es como se dice ganadoras en ruso, a mí me gusta más en ruso que en inglés.

–¡Pero esa palabra es muy complicada, gafotas! –se quejó el pequeño.

–No, de hecho, he elegido esa que, en realidad, significa ganadores porque ganadoras sería vyigrysh que sí que es más difícil de pronunciar.

–¿Has aprendido ruso, Sal? –le preguntó Mati.

–No, lo he buscado en el traductor de Google mientras coloreabais de amarillos las losers –respondió él y añadió –. Acepto que las llamemos casillas pobes que es más cortito pero inspirado en el ruso, ¿vale, Mati?

–Por mí, está bien, Mati –dijo Ven al que, en el fondo, le molaba la idea de su hermano. Gauss se puso junto a Mati, no tenía una opinión formada sobre adoptar palabras rusas en el vocabulario pero suele ser así, equidistante cuando nota tensión en el ambiente.

–Muy bien –dijo ella –, como os decía hemos encontrado dos casillas ganadoras, digo dos casillas pobes: la (1,2) y la (2,1). Las pintamos en verde.

–¿Cómo sabes que son pobes, Mati –preguntó el pequeño que es bastante novelero y había aceptado con gusto la palabra inspirada en el ruso.

–Si consigues llegar con tu moneda a una de ellas ya has ganado, Ven. Tu adversario solo puede alcanzar desde ellas las casillas: (0,2), (0,1), (1,1), (1,0) y (2,0). Las 5 son casillas losers(están coloreadas de amarillo) y en el siguiente movimiento tú llegas a la meta.

–Aaaaah, es verdad… –asintió.

–Por lo tanto –siguió Mati –, caiga donde caiga la moneda, el jugador que llegue a una de las casillas pobes habrá ganado la partida. Las podemos tratar como metas del juego también.

–Eso es… –dijo Sal que se estaba emocionando con el análisis del juego.

–Por la misma razón que antes, si dejamos nuestra moneda en la misma fila, en la misma columna o en la misma diagonal que una pobe, habríamos perdido. Porque eso le daría la opción a nuestro rival a moverse hasta la pobe y ganar. Vamos, entonces, a pintar de amarillo todas las casillas que nos permiten llegar a la casillas (1,2) y (2,1); esto es, las de sus filas, ,sus columnas y sus diagonales hacia arriba y a la derecha.

–Todas esas amarillas son losers, ¿verdad, Mati? –preguntó Ven.

–Efectivamente, desde cualquiera de ellas se pueden alcanzar o la meta o las pobes marcadas en verde que dan la victoria. Y, de paso, descubrimos dos nuevas pobes: la (3,5) y la (5,3); las primeras que no conducen ni a la meta, ni a las otras pobes.

–Ah, claro –afirmó Ven –, lo veo claro. Si me coloco en la (3, 5) o en la (5,3) mi rival está obligado a moverse a una amarilla que o me lleva a la meta o a otra pobe…

–Es lo que acaba de decir Mati, Ven…

–Bueno, vale, gafotas, me lo repetía para afianzar las ideas, ¿vale?

–¿Qué tenemos que hacer ahora, chicos?

–Pintar de amarillo las casillas que pueden llegar a las nuevas pobes –dijo Ven –, esas serían losers porque desde ella llegamos a las pobes y fin, ganamos.

–Eso es –afirmó ella –. Las pintamos.

–Ya sé cuál son las siguientes pobes, Mati –se apresuró a decir Ven –: la (4,7) y la (7,4).

–Eso es, Ven –dijo Mati –, muy bien.

–Y ahora hay que pintar de amarillo, de losers, las casillas de sus filas, sus columnas y su diagonal, ¿no? –preguntó Sal.

–Sí, camarada –respondió Mati con un guiño.

–Ajá –dijo Ven –, ahí están las nuevas pobes (6,10) y (10,6). Y fin.

–Bueno, fin en este tablero — corrigió Mati –, si el tablero es más grande tendríamos que seguir buscando losers y pobes. Pero pensemos en este tablero, por ahora: la estrategia ganadora consiste en moverte de pobe a pobe.

–Pero esta estrategia ganadora ¿es para el primer jugador o para el segundo? –quiso saber Sal.

–Depende –dijo Mati –. Como os dije al principio, al comienzo del juego la moneda se coloca al azar. Si partimos de una casilla amarilla la estrategia ganadora es para el primer jugador que se moverá a una pobe y ya habrá ganado; si partimos de una casilla verde el primer jugador tiene que moverse a una amarilla con lo cual la estrategia ganadora es para el segundo jugador.

–Sí, claro –continuó Sal –. La gracia está en que de una casilla verde no puedes moverte a una verde pero desde cualquier amarilla siempre puedes llegar a una verde. Por eso, si conoces las casillas pobes y consigues colocarte en una el otro jugador jamás podrá llegar a una casilla verde…

–Eso es –dijo ella –, si pintamos el grafo que modela el juego, las casillas verdes y la meta serían los vértices de lo que se conoce como el núcleo del grafo…

–Ya me extrañaba a mí que no hubiese grafo escondido… –se burló Ven.

–¿Ves? No podía defraudarte, Ven, sé que te encantan los grafos –respondió Mati con un guiño –. Vamos a pintar el grafo que representa a este juego pero para un tablero 3 x 3 porque en otro caso no se verían bien las flechas. Tendríamos que poner un punto (vértice) por cada casilla e indicamos con flechas (aristas dirgidas) los posibles movimientos entre casillas para el juego de Wythoff. Nos quedaría algo así:

–Sí, es verdad, que lío de flechas, Mati –dijo Ven.

–Ya, por eso solo hemos dibujado el grafo para el tablero 3 x 3. En realidad, a este tipo de grafos con flechas, los llamamos grafos dirigidos o digrafos. Por eso, porque las aristas que unen los puntos tienen dirección, son flechas. Pues bien, vamos a colorear de rojo, además de la meta, las dos únicas pobes (casillas ganadoras) que aparecen en este digrafo, que serían las (1,2) y la (2,1):

–Como os decía esos 3 vértices rojos forman lo que en Teoría de Grafos llamamos el núcleo del grafo porque esos 3 vértices forman un conjunto independiente (no existen flechas entre dos de ellos) y absorbente (desde cualquier punto azul existe una flecha que lo conecta con uno de los rojos) –les dijo Mati.

–Es verdad… –se asombró Ven –, qué guapo.

–Es muy guapo, sí –dijo ella –, sobre todo, porque esta estrategia ganadora, la de moverse en el núcleo del digrafo que modela el juego sirve para cualquier juego que se pueda representar con un digrafo: bastaría con calcular un conjunto núcleo de vértices (de puntos) que contengan al vértice meta u objetivo. Una vez que un jugador accede a un vértice o casilla del núcleo, ya no lo pueden sacar de él.

–¿Seguro? –preguntó Sal-

–Segurísimo –respondió tajante Mati –. Si yo me coloco en un vértice o casilla del núcleo, en el siguiente movimiento tú no puedes llegar a otro vértice del núcleo también, porque forman un conjunto independiente, no están conectados.. Fíjate en el dibujo de nuestro digrafo, de un vértice rojo no se puede llegar a otro vértice rojo.

–Cierto, cierto… –susurró Ven.

–Pero además –continuó ella –, elijas el vértice azul que elijas para moverte yo siempre podré volver, en el siguiente movimiento, al núcleo, a un vértice rojo, porque estos vértices (los rojos, los del núcleo) forman un conjunto absorbente, es decir, desde cualquier punto fuera del núcleo (desde cualquier punto azul) existe una flecha que lo lleva a un punto rojo.

–Qué chulo –dijo Ven ensimismado.

–Lo es, sin duda –confirmó Mati –. Se trata, por lo tanto, de caminar sobre las casillas del núcleo hasta llegar a la meta.

–¿Y no puede ocurrir que entres en un bucle de movimientos entre casillas rojas y no llegues nunca a la meta? –preguntó Sal.

–No, en este juego no, siempre avanzamos hacia la izquierda y hacia abajo.

–¿Y hay más juegos con núcleos de estos, Mati? –preguntó Sal.

–Sí, muchos. De hecho os conté uno de ellos, sin deciros nada del núcleo porque eráis pequeños, pero era eso lo que calculábamos aquí. Las baldosas amarillas eran el núcleo:

–Ay, qué tramposilla… –dijo Ven a Mati.

–Bueno, te lo estoy contando ahora que eres mayor, ¿no? –respondió la gafotas — La estrategia ganadora del juego de Wythoff también se puede explicar sin hablar de digrafos y núcleos, depende de a quien se la estés contando.

–La verdad es que es todo muy sorprendente, Mati –dijo Sal sonriendo.

–Hey, pero queda mucho más –les advirtió la pelirroja –. Aún no hemos encontrado los conejos.

–¡Es cierto! –gritó Ven — ¿Dónde están?

–Volvamos al juego de Wythoff y a las casillas, ¿cómo se llamaban las ganadoras?, pobes,¿verdad?

–Sí, sí, pobes –dijo el gafotas.

–Vamos a fijarnos en los nombres de las casillas pobes y a analizar algunos aspectos. Lo primero de los que uno se da cuenta es de que si está la casilla (a, b) entre las pobes también estará la casilla (b, a). Es decir, si está (1, 2) está la (2,1), si está la (3, 5) está la (5, 3), etc… Eso es fácil de deducir por la simetría del juego, ¿no? Los movimientos horizontales y verticales son intercambiables.

Los chicos escuchaban con atención, Gauss ladró simplemente porque hacía muchas líneas que no hablábamos de él en este capítulo.

–De hecho, si aparece una casilla pobe en la fila 1, por ejemplo la (1,2), ya sabemos que no habrá otra casilla pobe cuya primera coordenada sea 1, puesto que al aparecer la (1,2)eliminamos (pintando de amarillo) todas su fila. Y también su columna, con lo que sabemos que no habrá ninguna otra pobe con la segunda coordenada igual a 2. También sabemos que no habrá ninguna casilla ganadora o pobe con las dos coordenadas iguales, por ejemplo (20, 20), porque estarían sobre la diagonal de la meta que hemos eliminado (pintando de amarillo) en el primer paso de nuestro análisis de la estrategia ganadora.

Gauss volvió a ladrar. Es un perro egocéntrico.

–Pues bien, para tratar de adivinar qué casillas pobes habría en un tablero más grande que el nuestro vamos a quedarnos con el conjunto de casillas pobes que están por debajo de la diagonal que va desde la meta hacia arriba y a la derecha. Vamos a tratar de construir la sucesión de casillas pobes (ganadoras) para cualquier tablero de cualquier dimensión y para ello construiremos la sucesión de casillas ganadoras bajo la diagonal. Luego solo tendremos que completarla añadiendo las casillas simétricas. Es decir, nos saldrá, por ejemplo, la (1,2)por debajo de la diagonal y sabremos que también estará la simétrica, la (2,1) por encima.

–¡Venga! –animó Ven.

–Para ello vamos a escribir en una tablita las coordenadas de las casillas pobes (por debajo de la diagonal) que ya hemos detectado, ordenándolas según han ido apareciendo en nuestro análisis:

–Fijaos bien –les animó Mati –, ¿notáis alguna regla que se repita?

Los chicos estuvieron un rato mirando la tabla hasta que, finalmente, Ven exclamó:

–¡Qué curioso! ¡La segunda coordenada de las casillas pobes es la suma del número de orden de la casilla más la primera coordenada de la casilla!

–Es verdad –confirmó Sal sonriendo –, ¿esto va a ocurrir siempre, Mati?

–Así es, chicos –dijo ella –. Y así saldría si siguiésemos nuestro análisis en un tablero más grande. También podéis observar que no se repite ningún número en las coordenadas por lo que hemos dicho antes: si aparece el 1 como primera coordenada de una casilla ganadora ya no puede aparecer nunca más en la primera coordenada de otra casilla ganadora, porque cada casilla ganadora o pobe es única en su fila. Pero, como el juego es simétrico, si el 1 aparece en la primera coordenada de una casilla ganadora también estará en la segunda coordenada de otra casilla ganadora, su simétrica. Bueno, en nuestro juego salían a la vez la (1, 2) y su simétrica la (2,1).

Gauss gimió de un modo raro. Esta ves no podemos explicar por qué.

–Eso significa –continuó Mati –que en los cuadraditos rojos de nuestra tabla no se va a repetir nunca ningún número, ¿me explico?

–Te explicas –dijeron Sal y Ven al unísono.

–Ahora viene lo más chulo –les anunció –: la primera coordenada de la siguiente casilla pobe,la número 5 por debajo de la diagonal, será el número natural más pequeño que aún no hayamos puesto en la tabla…

–¿El 8? –preguntó el gafotas.

–Sep –dijo Mati.

–Entonces, la siguiente casilla pobe es la (8, 13), ¿no? La segunda coordenada será 8 (la primera) más el número de orden, el 5 –dijo Ven.

–Exacto –confirmó Mati.

–Siguiendo esta regla –continuó nuestra amiga matemática –, podemos construir la sucesión de casillas ganadoras o pobes para cualquier tablero:

–Qué chulo, Mati… –exclamó Sal.

–Pero, ¿dónde están los conejos de Fibonacci, Mati? –Ven se empezaba a impacientar.

–Espera, tranquilo… –dijo ella –. Vamos a fijarnos ahora en la sucesión de números que aparecen en la primera coordenada por una parte, la llamamos X_n, y en la sucesión de números que aparecen en la segunda coordenada por otra, que llamaremos Y_n. ¿Qué observáis?

–Que ninguna de ellas es la sucesión de Fibonacci –dijo Ven torciendo el morro decepcionado.

–Efectivamente, ninguna de ellas es la de Fibonacci, Ven –siguió ella –, pero son lo que se llaman en Matemáticas dos sucesiones complementarias. Es decir, si las unimos tenemos todos los números naturales (los que sirven para contar) y no se repite ningún número al unirlas.

–Maravilloso… –bromeó Ven.

–Sí, lo es, Ven –continuó ella –. Y sabemos que son complementarias por las propiedades del juego de Wythoff, por las propiedades de las casillas ganadores o pobes como las llama el camarada Sal.

–¿Y los conejos? –insistió el pequeño.

–Deja terminar a Mati, Ven, por favor –intervino Sal.

–Veréis, resulta que existen unas sucesiones complementarias muy especiales que reciben el nombre de sucesiones de Beatty, en honor a Samuel Beatty, que escribió acerca de ellas en 1926. Las sucesiones de Beatty se construyen a partir de un número irracional (un número que no se puede expresar como fracción de 2 números enteros) mayor que 1, llamémosle r, de la siguiente manera:

–¿Qué son esas rayitas, Mati, que pones en las letras? –preguntó Sal.

–¿⌊r⌋? Ah, es cierto, no lo he explicado. ⌊r⌋ es la parte entera de un número por defecto, o sea, lo que nos queda al borrar sus decimales. Por ejemplo, ⌊π⌋ sería 3, lo que nos queda de πcuando le quitamos sus decimales.

–Podemos calcular las sucesiones de Beatty con π, ¿no? –preguntó Sal —π es un número irracional y es mayor que 1.

–Claro, π nos vale –dijo Mati –, y si hacemos las sucesiones de Beatty asociadas al número π,es decir r = π=3.14159265359… y s= π/( π-1) = 1.46694220692…, nos queda:

–¿Veis? Los números naturales que faltan en la sucesión B_r están, como por arte de magia, en la sucesión B_s –dijo Mati –, ¿no os parece maravilloso?

–Sin duda –respondió Sal con una enorme sonrisa.

–¿Y si lo hacemos con √2? –preguntó Ven –Es otro irracional mayor que 1.

–Vamos a hacerlo –dijo Mati –: r = √2= 1.41421356237 y s= √2 / (√2-1)= 3.41421356237, nos queda:

–Huy, cómo se parece la B_rde √2 a la B_s de π, ¿no? –exclamó el pequeño.

–Bueno, pero son diferentes –puntualizó su hermano.

–Sí, sí –apostilló Mati –, cada irracional tiene sus propias sucesiones de Beatty. Eso es seguro.

En ese momento Gauss… no sabemos qué estaba haciendo el can porque, honestamente, estábamos todos esperando a que Mati sacara, por fin, los conejos de Fibonacci de su chistera matemática.

–Bueno, chicos –les dijo –, recapitulemos un poco. Comenzamos buscando una estrategia ganadora para el juego de Wythoff y hemos construido la sucesión de casillas ganadoras para el juego; descubrimos entonces que la sucesión de las primeras coordenadas de las casillas y la sucesión de las segundas coordenadas de las casillas eran sucesiones complementarias, ¿no? –Los niños y Gauss asintieron con vehemencia –. Por otra parte, hemos visto que las sucesiones de Beatty son también complementarias y que cada número irracional tiene las suyas propias. La pregunta que se nos viene inmediatamente a la cabeza es: ¿existe algún número irracional de forma que sus sucesiones de Beatty sean, precisamente, las sucesiones del juego de Wythoff? Y la respuesta es… –pausa dramática de la pelirroja.

–¡¡Suéltalo, Mati!! –gritaron los chicos.

–La respuesta es sí, existe un irracional cuyas sucesiones de Beatty son las del juego de Wythoff –dijo Mati triunfante –. Y lo más maravilloso de todo es que ese irracional es, nada más y nada menos, que ¡¡φ, la razón aúrea!!

–¡¡WOW!! –exclamó Sal

–¡¡Toma, toma, toma!! ¡Cómo mola! –gritó Ven.

–Oye, Ven –dijo su hermano –, hacía mucho tiempo que no te escuchaba decir eso de “toma, toma, toma”.

–Bueno, es que hace mucho que no venía por este blog, tú sabes… –respondió Ven.

–¿Os acordáis de la razón aúrea, verdad, chicos? –les interrumpió Mati.

–Claro, Mati –dijo Ven –, nos lo contaste hace tiempo.

Esta es la razón aúrea, un número irracional muy especial.
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Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos en “The unplanned impact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British Society for the History of Mathematics.”

Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias cumplen i ² = j ² = k ² = ijk= –1.

Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter Guthrie Tait (1831–1901), profesor de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) pasó más de 38 años discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo vectorial, que a finales del siglo XIX eclipsó a los cuaterniones y los matemáticos del siglo XX, en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones. Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales. En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además de en gráficos por ordenador. Al final del s. XX, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine (más de 100 mil millones de dólares en 2010).

Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”

En 1907, Albert Einstein formuló el principio de equivalencia, un paso clave para el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Su idea es simple en extremo, que los efectos de una aceleración son indistinguibles de los efectos de un campo gravitatorio uniforme, o dicho de otro modo, que la masa como “carga” gravitatoria y la masa inercial son equivalentes. Esta idea llevó a Einstein a concebir la gravedad como una curvatura del espaciotiempo. En 1915 publicó las ecuaciones de su teoría general que indican cómo la materia curva el espaciotiempo circundante. Las matemáticas que utilizó tienen su origen a mediados del siglo anterior. Bernhard Riemann introdujo los fundamentos de la geometría diferencial en 1854, en la defensa de su tesis de habilitación (una especie de tesis doctoral que era requisito para impartir clases en la universidad). Introdujo la geometría diferencial de espacios (hipersuperficies) de n dimensiones, llamadas variedades, y las nociones de métrica y curvatura. En los 1870, Bruno Christoffel extendió las ideas de Riemann e introdujo las conexiones afines y el concepto de transporte paralelo. El cálculo diferencial en variedades (o cálculo tensorial) alcanzó altas cotas de abstracción con los trabajos de Gregorio Ricci-Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita (entre 1880 y los inicios del s. XX). Pero estas ideas tan abstractas no tenían ninguna aplicación práctica hasta que Albert Einstein en 1912, con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossman decidió utilizar este cálculo tensorial para articular su profunda visión física sobre el espaciotiempo. Gracias a las variedades de Riemann en cuatro dimensiones (tres para el espacio y una para el tiempo), Einstein revolucionó nuestras ideas sobre la gravedad y sobre la evolución del universo. Las ecuaciones de Einstein no tenían ninguna solución estática, por lo que Einstein introdujo en 1917 una término adicional, la constante cosmológica con objeto de compensar la expansión natural del universo. Tras los trabajos teóricos de otros físicos, como Alexander Friedmann en 1922, y los resultados experimentales de Edwin Hubble, Einstein decidió en 1931 eliminar la constante cosmológica y calificar su inclusión como “el mayor error de su vida.” Hoy en día, tras la gran sorpresa de 1998, el concepto de energía oscura ha reintroducido la constante cosmológica.

Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”

En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.

Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que se besan, planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial? En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que esperar al trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953. Oleg Musin demostró en 2003 que el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como demostró Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560. Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres dimensiones y utilizan empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos, la red E8 en 8 dimensiones y la red de Leech en 24 dimensiones.

Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem utilizando estos empaquetamientos de esferas multidimensionales. El problema de la comunicación analógica en una línea telefónica es el ruido. En una conversación entre dos personas el lenguaje natural es tan redundante que el ruido importa poco, pero para enviar datos es necesario introducir ciertas redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce el ancho de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por segundo). Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar al máximo el ancho de banda. Para ello utilizó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (más tarde también se utilizó el de Leech). En la década de los 1970, el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo temprano de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en su trabajo, dijo que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran sido manchadas de esta manera por las aplicaciones.”

Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”

En 1992, dos físicos propusieron un dispositivo simple para convertir las fluctuaciones térmicas a nivel molecular en un movimiento dirigido: un motor browniano (Brownian ratchet) basado en alternar el encendido y el apagado de cierto campo. En 1996, la esencia matemática de este fenómeno fue capturada en el lenguaje de la teoría de juegos por la paradoja de Parrondo. Un jugador alterna dos juegos, en ambos juegos por separado la esperanza a largo plazo implica perder, sin embargo, alternar ambos juegos permite lograr a largo plazo una victoria. En general, se utiliza el término “efecto de Parrondo” para describir el resultado dos pruebas que combinadas logran un resultado diferente al de dichas pruebas individuales. El “efecto Parrondo” tiene muchas aplicaciones, como en el control de sistemas caóticos ya que permite que la combinación de dos sistemas caóticos conduzca a un comportamiento no caótico. También puede ser utilizado para modelar en dinámica de poblaciones la aparición de brotes de enfermedades víricas o en economía para predecir los riesgos de ciertas inversiones en bolsa.

Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”

En el siglo XVI, Girolamo Cardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna, “Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).

En el siglo XVII, Jakob Bernoulli reconoció que la teoría de la probabilidad podría aplicarse mucho más allá de los juegos de azar. Escribió “Ars Conjectandi” (publicado después de su muerte en 1713), que consolidó y amplió el trabajo en probabilidad de Cardano, Fermat, Huygens y Pascal. Bernoulli probó la ley de grandes números, que dice que cuanto mayor sea la muestra, más se parecerá el resultado muestral al de la población original. Las compañías de seguros deben limitar el número de pólizas que venden. Cada póliza vendida implica un riesgo adicional y el efecto acumulado podría arruinar la empresa. A partir del siglo XVIII, las empresas de seguros comenzaron a utilizar la teoría de probabilidades para sus políticas de ventas y para decidir los precios de los seguros con objeto de garantizar beneficios a largo plazo. La ley de Bernoulli de los grandes números es clave para seleccionar el tamaño de las muestras que permiten realizar predicciones fiables.

Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”

Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.

Pero en la década de 1990, las aplicaciones prácticas de la topología comenzaron a aparecer. Lentamente al principio, pero ganando impulso hasta que ahora parece que hay pocas áreas de la ciencia en las que la topología no se utilice. Los biólogos utilizan la teoría de nudos para comprender la estructura del ADN. Los ingenieros en robótica utilizan la teoría para planificar las trayectores de los robots móviles. Las bandas de Möbius se utilizan para obtener cintas transportadoras más eficientes. Los médicos utilizan la teoría de la homología para hacer escaneos cerebrales y los cosmólogos las usan para comprender cómo se forman las galaxias. Las empresas de telefonía móvil utilizan la topología para identificar los lugares donde no hay cobertura de la red. E incluso en computación cuántica se están utilizando hilos trenzados para construir ordenadores cuánticos robustos. La topología permite usar los mismos teoremas para resolver problemas muy diversos, desde el ADN a los sistemas de GPS (Sistemas de Posicionamiento Global). ¿Hay alguna aplicación práctica donde no se utilice la topología?

Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”

Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y otros en el siglo XVIII para estudiar la dinámica de las vibraciones de cuerdas y para estudiar los movimientos de los cuerpos en mecánica celeste. Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, reconoció la gran utilidad práctica de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a desarrollar una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de Fourier se utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica, hasta los circuitos eléctricos. En la actualidad, los métodos de Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la ingeniería modernas, en especial de las técnicas computacionales.

Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo XIX eran inadecuadas para el desarrollo riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número de problemas de carácter técnico que desafiaron a muchas de las grandes mentes de la época. Costó mucho desarrollar nuevas técnicas matemáticas para poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función. Bernhard Riemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900 obtuvieron nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia de series infinitas resultó muy resbaladiza al principio, pero se logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, que trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la década de 1870, los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los conjuntos se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son iguales pero cuyas series de Fourier son idénticas.

En la primera década del siglo XX, el concepto de espacio de Hilbert fue clave para entender las propiedades de las series de Fourier. El matemático alemán David Hilbert y sus colegas definieron estos espacios de forma axiomática, algo que parecía muy alejado de las aplicaciones prácticas. Sin embargo, en la década de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac y John von Neumann reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica, ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta clase de espacios de Hilbert. La mecánica cuántica es la teoría científica más exitosa de todos los tiempos. Sin ella, gran parte de nuestra tecnología moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de pantalla plana, la energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las series de Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo XX, y acabarían conduciendo a la energía nuclear.

Fuente: francis.naukas.com

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