En la enseñanza elemental se pone énfasis en las matemáticas como medio para ejercitar nuestra mente y desarrollar habilidades racionales. En geometría estudiamos el espacio plano y luego avanzamos al espacio de tres dimensiones. Nos familiarizamos con las rectas, los polígonos y los cuerpos. Dotados con estos conocimientos descubrimos que en la naturaleza abundan los círculos, cónicas, espirales, cardioides, catenarias, entre otras curvas, superficies y volúmenes.
Las curvas en las que la naturaleza ha desplegado su creatividad solo fueron apreciadas en toda su belleza matemática a partir del siglo XVIII, cuando se desarrolló el cálculo diferencial, una herramienta necesaria para explorar este maravilloso universo de formas.
La Cicloide, una curva singular
Si hacemos rodar un círculo sobre una superficie plana sin resbalar y observamos la trayectoria que dibuja un punto cualquiera del mismo, veremos que al principio se desplazará hacia arriba, alcanzará una altura máxima igual al diámetro del círculo, y luego descenderá hasta tocar la línea horizontal en un punto situado a una distancia del original igual a la circunferencia del círculo. A esta curva, que se repite continuamente, se la denomina cicloide. Es una curva con muchas particularidades que ha intrigado a los matemáticos durante siglos. La cicloide fue durante más de un siglo fuente de controversias y disputas entre los matemáticos.
Evangelista Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileo Galilei, publicó un importante estudio en 1644 sobre la cicloide, que ya era estudiada durante años por su maestro.
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Propiedades Tautócrona y Braquistócrona
Una de las propiedades más notables de la cicloide es la tautócrona. Los científicos observaron que, despreciando el rozamiento, si invertimos una cicloide y dejamos caer un objeto por ella (como una pequeña esfera), llegará a la parte más baja en un tiempo que no depende del punto de partida. Esta propiedad se denomina tautócrona.
Otra característica fascinante de la cicloide es la braquistócrona. En esta curva, el tiempo de recorrido es menor que en un segmento recto, es decir, se minimiza el tiempo necesario para recorrer una distancia. Por esta razón, los toboganes de patinaje a menudo tienen forma de cicloide, para permitir que los patinadores lleguen abajo en el menor tiempo posible. Además, siguiendo el principio de Fermat, la trayectoria seguida por un haz de luz entre dos puntos es aquella que resulta en el menor tiempo de viaje, dibujando así una curva braquistócrona.
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La Cicloide en la Vida Cotidiana
La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular.
[La construcción del péndulo isócrono aprovecha una propiedad fundamental de la curva cicloide, que consiste en que su evoluta es otra cicloide. (La evoluta de una curva es la curva envolvente de la familia de rectas normales a la curva original en todos sus puntos, en el sentido de que dichas rectas normales son tangentes a la evoluta en puntos correspondientes.)]
Péndulo cicloidal
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Además, las cicloides se utilizan en el diseño de engranajes para maquinaria. Los engranajes cicloidales tienen ventajas sobre los engranajes tradicionales porque pueden reducir el desgaste y aumentar la eficiencia al distribuir la carga de manera más uniforme.
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La Cicloide en la ciencia moderna
En el campo de la física, las cicloides también desempeñan un papel crucial. En la óptica, la trayectoria de la luz puede modelarse utilizando la curva cicloide para estudiar cómo los rayos de luz se comportan en diferentes medios. Esto tiene aplicaciones en el diseño de lentes y sistemas ópticos avanzados.
Asimismo, en la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas.
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Un legado duradero
La cicloide, con sus propiedades tautócrona y braquistócrona, ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.
En síntesis, la cicloide no es solo una curiosidad matemática, sino una herramienta fundamental en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. Su elegancia y utilidad nos recuerdan que, al igual que en la vida, las formas más bellas y eficientes no siempre son las más simples. La próxima vez que veas un tobogán, un reloj de péndulo o incluso una lente óptica, recuerda que detrás de su diseño hay una curva que ha fascinado a los matemáticos y científicos durante siglos. La cicloide es un testimonio del poder de la matemática para describir y mejorar el mundo que nos rodea.
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Gracias al ahínco de Antonio Bravo que ha conseguido la versión rusa, nunca antes traducida al castellano, a la paciencia de Natalia Abramenko que lo ha traducido, tratando de expresar en castellano, la sensibilidad que el autor le ha dado originalmente en ruso, a Patricio Barros que ha “traducido” lo ya traducido por Natalia, para darle sentido en el lenguaje de la geometría y a Guillermo Mejía que ha corregido, con infinita paciencia, el texto completo, hemos logrado poner a disposición de los internautas, un libro que constituye una exclusividad en la lengua castellana; nos referimos a la Geometría Recreativa escrita por Yakov Perelman. Ante Uds. uno de los mejores clásicos de la geometría práctica. Su lenguaje sencillo y directo facilita la lectura del libro: problemas poco comunes, captura de situaciones históricas y curiosos ejemplos de la vida diaria, harán las delicias de los jóvenes lectores y talvez de otros no tanto. Esta publicación tiene como objetivo principal inculcar en los jóvenes el gusto por el estudio de la geometría, promoviendo en ellos el interés por su aprendizaje independiente y entregándoles conocimientos suplementarios a los programas escolares. Este libro, una primicia en la lengua castellana, es el resultado de la unión de voluntades que, trabajando en conjunto, han aportado un grano de arena más al conocimiento y difusión de las obras gran autor ruso, Yakov Perelman.
Mayo de 2003
3. El método de Julio Verne
El siguientemétodo también es sencillo. Julio Verne describió en su novela “La islamisteriosa” la forma de medir los objetos de gran altura:
– Hoyvamos a medir la altura del acantilado de Vista Lejana, –dijo el ingeniero.
–¿Necesitamos algunos instrumentos? –preguntó Gebert.
– Nohace falta. Lo haremos de otra manera, más fácil y más segura.
Eljoven, caminó desde el acantilado hasta la orilla. Cogió un jalón de 12 pies delongitud, el ingeniero comprobó la medida con su estatura, la cual conocíabien. Gebert entregó una plomada al ingeniero; ésta no era más que una piedraatada al extremo de una cuerda. Situándose a 500 pies del acantilado vertical,el ingeniero clavó el jalón verticalmente en la arena, con la ayuda de laplomada, enterrándola a dos pies de profundidad. Luego se alejó del jalón,hasta que tumbándose en el suelo pudo ver el extremo saliente del jalón y lacresta del acantilado en línea recta (Figura 7). Marcó este punto con unaestaca.
–¿Tienes algunas nociones de geometría?– preguntó a Gebert.
– Sí.
–¿Recuerdas las propiedades de los triángulos semejantes?
– Suslados correspondientes son proporcionales.
–Exacto. Ahora voy a construir dos triángulos rectángulos semejantes. Un catetodel triángulo pequeño será el jalón, el otro cateto, será la distancia desde laestaca hasta el pie del jalón; la hipotenusa, es mi línea de vista. En eltriángulo mayor los catetos son el acantilado, cuya altura queremos medir, y ladistancia desde la estaca hasta el pie del acantilado; la hipotenusa es milínea de vista, que se une con la hipotenusa del triángulo menor.
Figura 7. Como encontraron la altura de un acantilado los personajes de Julio Verne
– ¡Eeentendido! – exclamó el joven. La distancia de la estaca hasta el jalón es a la distancia desde la estaca hasta el pie del acantilado, como la altura del jalón es a la altura del acantilado.
–Exactamente. Sigamos, si medimos las dos primeras distancias, y sabemos laaltura del jalón, podemos calcular el cuarto miembro de la proporción que es laaltura del acantilado.
Semidieron ambas distancias horizontales: la pequeña midió 15 pies, la grandemidió 500 pies.
Finalmenteel ingeniero anotó:
