Lotería y Probabilidad

julio 30, 2018

Lotería y Probabilidad

Loterias de España

españa botonPocas personas podrán decir que se han resistido a la tentación de probar suerte con algún juego de azar, como lo atestigua todos los años el balance económico de Loterías y Apuestas del Estado. En 2005 los españoles se gastaron más de 28 mil millones de euros en juegos de azar, que una vez descontados los premios, daría lugar a un gasto efectivo de nueve mil millones de euros. Esto supone un consumo per cápita de 642 euros y las ventas en el 2006 aumentaron un 5,54 %. Un 60% de esta cantidad corresponde a los juegos privados (tragaperras, casinos y bingos), otro 33% a loterías públicas y un 7% a los juegos de la ONCE .

Los españoles podrían programar sus apuestas en función de las probabilidades pero, para esto, tendrían que analizar los índices de cada uno de los sorteos existentes. De mayor a menor, las probabilidades de tener más suerte y ganar son las siguientes:

• La Lotería Nacional, en el sorteo de los jueves, la probabilidad es de 1 entre 600.000, y en el sorteo de navidad , la probabilidad es de 1 entre 85.000.
• Seguida a mayor distancia de la Quiniela, que para llevarse el pleno, la probabilidad es de uno entre casi cinco millones.
• La suerte de ganar el premio mayor con la Lotería Primitiva es de uno entre 14 millones. Le sigue El Cuponazo, con una probabilidad de uno entre 15 millones.
• Luego se sitúa El Gordo de la Primitiva con una probabilidad de llevarse el primer premio de 1 entre unos 31 millones y por último El Euromillón, con una probabilidad de uno entre 76 millones.
En cuanto a los juegos que más pasiones levantan destaca sin duda la Lotería Nacional, con una participación del 57%; seguida por la Primitiva, con el 25%; la Bono Loto, con el 7%; la Quiniela con el 6% y, por último, El Gordo de la Primitiva, con el 4%.
Vamos a hacer un estudio detallado de cada una de las probabilidades de las distintas loterias nacionales:

• La Primitiva y la Bono Loto » 1 entre 13.983.816
• El Gordo de la Primitiva »1 entre 31.625.100
• Euromillones » 1 entre 76.275.360
• Lotería Nacional » 1 entre 600.000(Jueves)1 entre 85.000(Navidad)
• La Quiniela y el Quinigol » 1 entre 4.782.969
• Hípica nacional » 1 entre 8.835.372 (Lototurf)
1 entre 60.080.000 (Quíntuple Plus)
• Cupón Once » 1 entre 15 millones
• El Combo de la Once »1 entre 15 millones

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Esperanza Matemática de las Loterías

Las probabilidades de las loterías por si mismas son irrelevantes. Lo que realmente importa es si el valor del premio multiplicado por la probabilidad (en escala de 0 a 1).

Una definición de Esperanza Matemática
Una definición fácil de entender de lo que aquí llamaremos «Esperanza Matemática» es la relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar. La definición matemática de «Esperanza Matemática» o Valor Esperado es bastante más compleja, pero en el desarrollo de este Sistema se limita a Premio x Probabilidad.
Aquí, un valor para la esperanza matemática de 1 indica «juego justo», un «menor que uno» indica «desfavorable para el jugador» y un «mayor que uno» es «favorable para el jugador» ( en las definiciones formales el cero suele ser el «juego justo», y los valores negativos o positivos indican «positivo o negativo para el jugador»).

loteria 01• Si la esperanza matemática es 1, el juego es «justo». Por ejemplo, apostar 1 euro a que una moneda sale cara o cruz, si el premio por acertar son 2 euros, y si se pierde, 0 euros. La esperanza del juego es 2 • (1/2) = 1. Entonces, consecuentemente con la teoría de juegos, podría pagar el euro para jugar o para rechazar jugar, porque de cualquier manera su expectativa total sería 0.
• Si la esperanza matemática es menor que 1, el juego es «desfavorable para el jugador». Un sorteo que pague 500 a 1 pero en el que la probabilidad de acertar sea de 1 entre 1.000, la esperanza matemática es 500 • (1/1.000) = 0,5.
• Si la esperanza matemática es mayor que 1, el juego es «favorable para el jugador», todo un «chollo» para el jugador. Un ejemplo sería un juego en el que se paga 10 a 1 por acertar el número que va a salir en un dado, en donde hay una probabilidad de acertar es de 1 entre 6. En este ejemplo el valor de la esperanza matemática es 10 • (1/6)=1,67 y por tanto en esas condiciones es juego «beneficioso» para el jugador.

Esperanza matemática de las loterías
La esperanza matemática es un valor importante que conocer para cualquier tipo de premio, en función de su dificultad, y para cada sorteo concreto.
En la Primitiva, la esperanza matemática general o promedio es sencillamente 0,55 y en Euromillones es 0,5. Se corresponde a la cantidad que se devuelve en premios: el 55% o el 50% del total apostado por los jugadores. Ese dinero siempre se devuelve, teniendo en cuenta que con el tiempo los premios no entregados se acumulan en Botes.
En la Primitiva el reparto de premios funciona de modo que la cantidad jugada por todos los jugadores (excepto el 45% que se queda la organización) se suma y reparte en diversas categorías: una parte para los de más aciertos, otra parte para premios menores, reintegros, etc. Esto marca ciertamente diferencias entre la esperanza matemática (premios por probabilidad) de las diferentes categorías de premios. La esperanza matemática más alta es la del Reintegro que es de 0,1 (10 %).
Estos cálculos, que de por sí son sencillos, se ven complicados por algunas reglas relativamente recientes, como el «premio fijo para los acertantes de 3» o «los acertantes de 5 nunca pueden ganar más que los de 6», pero son en cualquier caso calculables con precisión.
En general, y para la Loto tradicional la norma a grandes rasgos es que la esperanza matemática es mayor que 1 cuando la cantidad de premios total (el bote más el 55% de la cantidad que todos los jugadores apuestan ese día) es mayor de lo que valen 13,9 millones de apuestas (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones) y esto ocurre en muy muy muy raras ocasiones.
Pero imagenemos como hipótesis de trabajo que llega un día en el que se ha acumulado un bote de 20 millones de euros y en el que por alguna circunstancia nadie juega a la Loto excepto una persona. A 1 euro por apuesta, esto supondría pagar unos 14 millones de euros para jugar a todas las combinaciones y embolsarse todos los premios: el bote más lógicamente la recuperación del 55% de lo apostado y un 10% en reintegros (7,7 millones de euros, correspondiente al resto de premios menores de 5, 4, reintegros, etc.) Resultado: apostando 14 millones se recuperarían 27,7 millones de euros. Casi otros 14 millones de beneficio. ¡Buen negocio!

Un ejemplo real fue el sorteo de Bonoloto (Loto 6/49) del 18/11/1990. Un bote de 1.151 millones de pesetas se sumó a una recaudación de sólo 374 millones. A 25 pesetas por apuesta se hicieron en total unos 15 millones de apuestas. La probabilidad de acertar 6 era de 1 entre 14 millones, como siempre (y en total se repartía el 55% de la recaudación, como siempre). El premio de 1.200 millones que recibió un único acertante de 6 números tenía como base una esperanza matemática de 3,2 (frente a 1 que sería lo normal en un “juego justo” o 0,55 en un día convencional sin bote). Es decir, si el juego hubiera sido “justo” tanto para el jugador como para la banca, el premio debería haber sido de sólo unos 350 millones. Pero el ganador se llevó 1.200 millones porque había un bote acumulado de muchísimas semanas. La esperanza matemática promedio de ese día, contando todos los premios, era de 3,6. ¡Ese día ciertamente era mejor jugar a la Loto que no jugar!
Casi siempre, cualquier juego real de apuestas tiene esperanza menor que 1: lo más probable es perder dinero. El motivo por el que se juega es que en caso de ganar, los premios son de escándalo. Estamos dispuestos a perder una cantidad pequeña de dinero casi con seguridad a cambio de la posibilidad, por pequeña que sea, de hacernos ricos de la noche a la mañana.
Fuente: http://www.estadisticaparatodos.es
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Ganó 758 millones de dólares en la lotería

agosto 25, 2017

EE.UU.: una mujer ganó US$ 758 millones, el mayor premio de lotería de la historia

Se trata de Mavis Wanczyk, que obtuvo el premio en el Powerball; deberá pagar casi la mitad en impuestos.

Mavis Wanczyk al recibir el premio
Mavis Wanczyk al recibir el premio.
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WASHINGTON — Era un miércoles como cualquier otro para Mavis Wanczyk. Había terminado su turno en el Mercy Medical Center, un hospital en Springfield, Massachussets, y se preparaba para el viaje de regreso a casa cuando un colega, Rob, le leyó el número ganador del Powerball, uno de los juegos de lotería más populares de Estados Unidos.

«¡Lo tengo!¡Lo tengo!», empezó a gritar. Su colega le pidió el boleto, lo miró, la miró y le dijo: «¡Ganaste!».

Wanczyk ganó el mayor premio de lotería en la historia de Estados Unidos para una sola persona, US$ 758,7 millones, que después del pago de impuestos le dejarán nada menos que 480,5 millones de dólares.

Wanczyk confesó que al principio le costó creerlo. Apenas se enteró, pensó que era una broma. Después, ya en su casa, tampoco sentía que era la ganadora. Pero ayer, mientras se dirigía a la conferencia de prensa que la convirtió en una figura mundial, ya comenzó a palpar su nueva realidad. Ganar la lotería le parecía un sueño imposible, confesó. Tras haber cumplido con ese sueño, decidió avanzar con otro: renunciar a su trabajo.

Ver imagen en Twitter

Mavis Wanczyk is 53, an employee at Mercy Medical Center and a mother of two. She lives in Chicopee. Won using family birthday numbers.

«Los llamé y les dije que no volvería», dijo Wanczyk entre risas, en una conferencia de prensa organizada por la lotería estatal de Massachusetts, en la cual posó al lado del cheque gigante con su nombre.

Había comprado el boleto ganador el miércoles por la tarde en una tienda de Chicopee, el pueblo donde vive. El número ganador: 6, 7, 16, 23, 26, y el Powerball, 4.

Cuando le preguntaron qué haría para celebrar, respondió: «Me voy a esconder en mi cama».

Fuente: La Nación, 25/08/17.


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invertir no es un juego de azar

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Fermat y Pascal padres de la probabilidad moderna

mayo 1, 2017

Fermat, Pascal y los inicios de la probabilidad moderna

Te contamos cuáles fueron los comienzos de la actual teoría de la probabilidad

Por Miguel Ángel Morales.

 

Fermat, Pascal y los inicios de la probabilidad moderna
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Desde el porcentaje de que llueva o nieve un día concreto en una zona determinada hasta la idoneidad de apostar o no según la mano de póker que llevemos, pasando por las cuotas a favor o en contra de la victoria de un cierto equipo y muchos otros fenómenos físicos o económicos. Gran parte de los datos que nos encontramos a diario en muchos ámbitos están basados en el cálculo de probabilidades.

En 1933, Andréi Kolmogórov establecía la que se conoce como concepción axiomática de probabilidad, dando rigor de esta forma a muchos de los estudios que se habían realizado con anterioridad en esta rama y comenzando así el estudio moderno de la teoría de probabilidades. Pero el estudio de la probabilidad comenzó mucho antes, y se puede decir que los precursores de esta teoría fueron Pierre de Fermat y Blaise Pascal.

Nos remontamos al siglo XVII. La teoría de números da sus primeros pasos como rama de las matemáticas gracias a Pierre de Fermat, y la geometría analítica hace su aparición en las matemáticas apoyada en los estudios del propio Fermat y de René Descartes. Al margen de todo esto, la alta sociedad francesa se entretiene con juegos de azar.

Pierre de Fermat
Pierre de Fermat.

Uno de sus integrantes, Antoine Gombaud, Caballero de Méré, era un experto jugador (aparte de escritor y pensador). A pesar de su sabiduría en lo que a juegos de azar se refería, había dos que le creaban dudas, que no entendía completamente. Por ello, decidió planteárselos a Pascal.

El primero que vamos a comentar es el siguiente. Supongamos que tiramos un dado cuatro veces y pensemos en la probabilidad de que salga al menos un 6 en alguna de las tiradas (da igual en cuál de ellas). La cuestión es la siguiente: ¿nos conviene apostar a que saldrá al menos un 6? Veámoslo con matemáticas.

Vamos a calcular la probabilidad de que no salga ningún 6 en ninguna de las tiradas, y el resultado se lo restaremos a 1, obteniendo así la probabilidad de que salga al menos un 6.

La probabilidad de que no salga un 6 en una tirada es 5/6 (cinco valores que no son 6 entre seis valores posibles), y como tiramos cuatro veces (y las tiradas son independientes), la probabilidad de que no salga ningún 6 en esas cuatro tiradas es:

(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) = (5/6)4

Ahora la probabilidad de que salga al menos un 6 saldrá de restar ese resultado a 1:

P(Al menos un 6) = 1-(5/6)4=0’5177…

Como nos sale un resultado mayor que 0’5, nos conviene apostar a que saldrá al menos un 6 en cuatro tiradas de un dado.

Gombaud sabía que esa apuesta era ligeramente favorable que la contraria (aunque seguro que no hizo los cálculos como hemos mostrado aquí), y a partir de aquí se planteó qué ocurriría al tirar dos dados y esperar que en ambos salga 6 al menos una vez. Su razonamiento fue algo parecido a lo siguiente:

“La probabilidad de sacar 6 en ambos dados (en una tirada) es igual a multiplicar por 1/6 la probabilidad de sacar un 6 con un dado en una tirada. Por tanto, para igualar la situación al problema anterior habría que hacer 4 · 6 = 24 tiradas. Así conseguimos un problema en el que la probabilidad de sacar 6 en ambos dados al menos una vez es la misma que la de sacar un 6 al menos una vez en el caso anterior, por lo que interesa apostar a favor de ese hecho.”

Blaise Pascal
Blaise Pascal.

El caso es que nuestro caballero de Mére, a pesar de que aparentemente la apuesta era favorable, veía que a la larga perdía más veces que ganaba. Vamos, que la apuesta no parecía tan favorable, pero no sabía por qué. ¿Podrías ayudar tú a Antoine? Piénsalo, más adelante daremos la respuesta.

El segundo problema es, bajo mi punto de vista, más interesante. Os pongo en situación:

Imaginemos que dos jugadores A y B juegan con una moneda, tirándola y viendo lo que sale en ella. Si sale cara, A acumula un punto, y si sale cruz lo acumula el jugador B. Ambos han apostado 32 € y gana el jugador que antes llegue a 5 puntos, llevándose entonces todo el dinero (al parecer, el problema trataba de tirar un dado y cada uno había elegido un número concreto, pero para ilustrar el problema nos vale nuestro ejemplo). Por circunstancias que no vienen al caso, hay que interrumpir el juego antes de que uno de los jugadores gane, estando en ese momento el marcador así: A lleva 4 puntos y B lleva 3 puntos. La cuestión es la siguiente: ¿cómo debe repartirse el dinero?

Este problema había sido estudiado anteriormente por Luca Pacioli y por Tartaglia, pero ambos dieron respuestas erróneas. Nuestro caballero de Mére se lo propuso a Pascal, que lo puso en conocimiento de Fermat mediante correspondencia. En esa correspondencia entre estos dos monstruos de las matemáticas se resolvió este problema y, de paso, se creó el germen de la teoría del cálculo de probabilidades.

Pero vayamos al problema en sí. La primera idea, en cierto modo razonable, sería repartir el dinero total, 64 €, en proporción según los puntos que llevan cada uno de ellos en el momento en el que el juego se corta. Como en ese momento A lleva 4 puntos y B lleva 3 puntos, habría que dividir 64 entre 7 y dar 4 partes a A y 3 partes a B…

…el problema es que este razonamiento no da un resultado justo. Por ejemplo, imaginad que sólo se ha hecho una tirada y ha salido cara. Entonces A lleva un punto…y las circunstancias obligan a terminar ahí el juego. Según el razonamiento anterior, A debería llevarse todo el dinero, lo que sería a todas luces injusto.

El reparto más justo (y, por tanto, el correcto) debe ir en función de la probabilidad que tendría cada uno de ganar el juego si éste no se hubiera interrumpido. Vamos a analizar cuáles serían las probabilidades de cada uno y las usaremos después para repartir el dinero correctamente.

Como decíamos, el jugador A lleva 4 puntos y el B lleva 3 puntos, y gana el primero que llegue a 5 puntos. Si en la siguiente tirada hubiera salido una cara, el jugador A llegaría a 5 puntos y, por tanto, ganaría. La probabilidad de que ocurra eso es la probabilidad de que salga cara en una tirada: 1/2.

Si hubiese salido cruz, el jugador B sumaría 4 puntos. Como el A también lleva 4, todavía no ha ganado nadie, por lo que hay que tirar de nuevo. Si en esa segunda tirada sale cara, gana el A, y esto ocurre con probabilidad

(1/2) · (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 por la cruz y el segundo por la última cara)

Y si en la segunda tirada sale cruz, gana el jugador B. La probabilidad de que eso ocurra es también

(1/2) · (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 por la primera cruz y el segundo por la última cruz)

Analizando estos casos, vemos que la probabilidad de que gane A es:

P(Gana A)=1/2 + 1/4 = 3/4

Y la probabilidad de que el ganador sea B es:

P(Gana B)=1/4

Entonces debemos dividir el dinero total en cuatro partes y darle tres a A y una a B. Por tanto, al jugador A le corresponden 48 € y al B le deben dar 16 €.

Volvamos ahora al primer problema. ¿Lo has resuelto? Razonando como en el caso de una sola tirada de dado seguro que sí. Pero por si acaso vamos a comentarlo.

Vamos a calcular la probabilidad de que no salga el resultado (6,6), y después, como antes, le restaremos esa probabilidad a 1. Como el resultado (6,6) puede darse solamente en 1 de los 36 casos posibles, y tiramos el dado 24 veces, tenemos que:

P(No salga (6,6)) = (35/36)24

Ahora le restamos ese valor a 1 y obtenemos la probabilidad de que salga (6,6) al menos una vez en 24 tiradas:

P(Al menos sale (6,6) una vez en 24 tiradas) = 1 – (35/36)24 = 0’4914…

Lo que significa, al ser menor que 0’5, que apostar a ese resultado es, a la larga, perjudicial para el jugador.


Como ya hemos comentado, Pascal y Fermat comentaron y dieron solución a estos problemas en la correspondencia que se generó entre ambos (Fermat, sobre todo, era mucho de comunicarse con otros matemáticos por correspondencia) después de que el caballero de Mére se los propusiera a Pascal. Aquí tenéis traducciones al inglés de parte de esa correspondencia, aunque por desgracia no todas las cartas han llegado a nuestros días. El responsable de formalizar todos estos argumentos fue Christiaan Huygens, que tuvo conocimiento de esta correspondencia sobre 1655. En 1657 publicó el tratado De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculando en juegos de azar), escrito en el que resolvía los problemas sobre probabilidades que circulaban en aquella época. Este tratado se convirtió en el primero trabajo publicado sobre cálculo de probabilidades.


Como habéis podido ver, el simple planteamiento de un problema práctico por parte de Antoine Gombaud, caballero de Mére, acabó dando lugar a toda una teoría matemática con multitud de usos y aplicaciones. Y no es el único caso, recordad el caso de los puentes de Königsberg y la teoría de grafos. Por ello, no debemos restarle importancia a ninguno de los problemas que se nos puedan ocurrir o que nos puedan aparecer, ya que nunca se sabe la importancia que pueden llegar a tener o las aplicaciones que se les puede encontrar.

Fuente: elpais.com

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Por qué se equivocaron las casas de apuestas con el Brexit

junio 27, 2016

Por qué se equivocaron las casas de apuestas con el ‘brexit’

Por Jon Sindreu.
Graham Sharpe, portavoz de la casa de apuestas William Hill, señala las probabilidades para el referendo británico.
Graham Sharpe, portavoz de la casa de apuestas William Hill, señala las probabilidades para el referendo británico.
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Cuando la Liga Premier comenzó su última temporada en agosto pasado, los apostadores asignaban una probabilidad de 0,0002% a que el Leicester City se coronara campeón. Cuando el equipo levantó el trofeo y dio la vuelta olímpica al final de la temporada, unos pocos hinchas acérrimos ganaron miles de libras esterlinas, pero la mayoría de los apostadores perdieron todo su dinero.

casas de apuestasAlgo parecido ocurrió el viernes, cuando se anunció que la mayoría de los británicos había optado por abandonar la Unión Europea, lo cual dejó atónitos a los mercados. Al momento del cierre de las últimas mesas de votación, algunas casas de apuestas asignaban que las probabilidades de un voto a favor de dejar la UE, una opción conocida como brexit, eran menores de 10%.

“No puedo recordar ninguna otra ocasión en que las casas de apuestas se hubieran equivocado tanto”, dijo Christian Gattiker, estratega jefe del banco privado suizo Julius Baer Group AG.

Las probabilidades de los apostadores representan presuntamente la “sabiduría de las multitudes” y toman en cuenta una gama más amplia de factores que una simple encuesta, que refleja el momento en que fue hecha. Pero lejos de ser predictores puramente racionales, las probabilidades de los apostadores están sujetas a una serie de sesgos, dicen los observadores.

En principio, la mayor parte de las apuestas se estaban realizando en Londres, donde cerca de dos tercios de la población se pronunció a favor de la permanencia en la UE.

Los inversionistas también podrían haber sido víctimas de sus propios prejuicios. La comunidad británica de inversionistas locales e internacionales reside casi exclusivamente en Londres y en Edimburgo, que también votó a favor de seguir en la UE por un margen de casi tres a uno.

En la casa de apuestas londinense William Hill PLC, cuando todavía faltaban unos dos meses para la votación de la semana pasada, una mujer que dijo ser de la zona central de Londres colocó una apuesta de 100.000 libras (US$136.500) a un triunfo de la opción de permanecer en la UE, lo que le daba la posibilidad de obtener una ganancia de 40.000 libras esterlinas.

La suya fue la mayor apuesta hecha en William Hill, dice Graham Sharpe, portavoz de la compañía.

En cambio, la mayor apuesta por una votación de dejar la UE hecha con William Hill fue de apenas 10.000 libras esterlinas. La apuesta la realizaron tres personas, dos de ellas desde Londres. “Todas las grandes apuestas se hicieron en Londres, pero eso no es inusual”, manifestó Sharpe.

La casa de apuestas londinense Paddy Power, parte de Betfair Group PLC, dijo que sus probabilidades se inclinaron a favor la alternativa de quedarse debido a las grandes apuestas. Alex Donohue, vocera de la empresa de apuestas Ladbrokes PLC, indicó que cerca del 80% de las apuestas colocadas fuera de Londres fueron a favor de salir de la UE.

Ambas casas de apuestas asignaban, en la víspera de la votación, una probabilidad de 10% o menos al brexit.

El lunes pasado, Betfair tenía una probabilidad una votación a favor de abandonar la UE de cerca de 25%, una caída frente al 40% de dos semanas atrás. El jueves en la noche, el día del referendo, Betfair asignaba una probabilidad de 94% al triunfo de la opción de permanencia y la libra esterlina alcanzó su mayor nivel del año frente al dólar.

“La cotización parecía moverse al ritmo de las probabilidades que asignaban las casas de apuestas”, dijo Ben Inker, codirector de asignación de activos de la firma de gestión de fondos GMO.

Bon Browne, director de inversión de Northern Trust Corp. , manifestó que el portafolio de múltiples activos de la firma, de más de US$10.000 millones, registró una caída de 2,8% el viernes, pero agregó que el resultado no fue tan negativo tomando en cuenta las pérdidas en los mercados globales. La mayoría de las pérdidas fueron provocadas por la exposición a las acciones internacionales, las cuales hundieron 8% al portafolio, y la exposición a bonos estadounidenses de alto riesgo, explicó. De todos modos, el equipo de Northern Trust no esperaba la victoria de la opción de dejar la UE.

“Todos estaban trabajando con la misma información que estaba distorsionada y altamente correlacionada con sus propios sesgos” aseveró. Pero “hay una diferencia entre apostar e invertir”.

Muchos inversionistas tenían convicciones arraigadas de cara a la votación de la semana pasada, dijo Browne, pero lo importante era preguntar “¿es un punto de vista bien informado?”, puntualizó.

Naomi Totten, vocera de Betfair, dijo que “este mercado del referendo fue tan extraordinario como el resultado mismo”.

El viernes, no obstante, las casas de apuestas ya habían dejado atrás el brexit y estaban asignando probabilidades sobre quien será el próximo primer ministro británico.

Fuente: The Wall Street Journal, 27/06/16.


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La Teoría de la Ruina del Jugador (Gambler’s Ruin)

invertir no es un juego de azar

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Un hombre de 80 años ganó casi medio millón de dólares en una máquina tragamonedas, en el casino de Palermo (Buenos Aires)

agosto 11, 2014

Un abuelo se convirtió en millonario al ganar más de cinco millones de pesos en el casino de Palermo

Según estadísticas oficiales de la concesionaria del juego, es el pozo más grande de Sudamérica; ganó ayer en la máquina de la fortuna.

lavado de dinero 28Buenos Aires — Para él la de ayer fue una tarde inolvidable. En el día del niño, la diosa de la fortuna pasó por el Hipódromo Argentino de Palermo y transformó en millonario a un abuelo: se alzó con $5.322.365 (unos 420.000 dólares al valor del mercado libre), el hasta ahora pozo más grande de Sudamérica, según información oficial de la concesionaria.

La increíble suma apareció en la pantalla de la máquina «Wheel of Fortune«, ubicada en la Tribuna Nueva del Hipódromo Argentino de Palermo, un juego con sistema de pozo progresivo en la que suele jugar este afortunado cliente de 80 años, oriundo de la localidad de Lomas de Zamora.

La que resultaba una visita más a la sala de slots del Hipódromo Argentino de Palermo, se transformó en una tarde inolvidable para este exgerente bancario. Según manifestó, compartiría su fortuna con su familia, particularmente con sus dos nietos, quienes sin duda tuvieron un día del niño inolvidable.
Fuente: LaNacion.com, 11/08/14. – 13:54 hs

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Crece la industria de las apuestas en España ]

Wheel of fortune en Hip Palermo

La pantalla que convirtió en rico a un abuelo. Foto: Gentileza Hipódromo de Palermo.

 

 

La industria de las apuestas continúa su escalada

julio 14, 2014

Crece la industria de las apuestas en España

Los juegos de casino y muy especialmente el póker han ganado popularidad entre los españoles. Atrás quedaron los tiempos en los que veíamos en el cine, casi sin entender nada, a estrellas de Hollywood sosteniendo las cartas y hablando de escaleras de color o dobles parejas. Con el paso de los años, en un mundo cada vez más globalizado, la magia del póker ha ido ganando terreno, al igual que la industria de las apuestas y los casinos online.
Así lo demuestran las cifras ofrecidas por el gobierno de España. En el primer trimestre de este 2014 se apostaron a través del juego online casi 1.600 millones de euros, lo que supone un 8,5 por ciento más respecto al año anterior. La regularización del juego online que realizó en 2012 la Dirección General de Ordenación del Juego del Ministerio de Hacienda ha sido clave para que estas cifras se hayan disparado. Y con ellas, también los ingresos de Hacienda, que ha visto cómo el juego online es una de las pocas actividades que mantiene sus aportaciones e incluso las incrementa pese a la crisis.

cantidades-apostadas-t1-2014

También ha sido fundamental para modernizar este tipo de entretenimiento la decisión firme de los operadores de apostar por la digitalización y el uso de las nuevas tecnologías. Numerosos sitios web de casino online y apuestas deportivas como el portal español http://www.casinoonlineespana.es, han adaptado sus servicios a las tecnologías móviles para expandir su oferta de póker, ruletas y tragaperras a los smartphones y tablets de sus usuarios. Y todo, con privacidad, comodidad y la mayor seguridad posible.
Todavía no se conocen los datos del segundo trimestre de este año para saber si se mantiene o no en España la afición por jugar y apostar de forma online, pero todo indica que esta práctica seguirá creciendo y que el ocio de las apuestas continúa su escalada. Parece que este sector juega con ventaja y que, de momento, la suerte está de su parte.
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Juego Seguro on line en España

julio 12, 2014

Regulan en España el Juego Seguro on line

El 6 de junio de 2012, concedidas las primeras autorizaciones de juego online, empezó a funcionar en España el mercado de juego online legal, en el que únicamente están habilitados para organizar y comercializar actividades de juego on line los operadores con licencia.
juego seguro 02Los operadores con licencia han obtenido título habilitante para el desarrollo de actividades de juego online tras verificarse que cumplían todos los requisitos jurídicos y técnicos establecidos por la Ley para garantizar un juego seguro, es decir, un juego justo, íntegro, fiable y transparente.
De este modo, la participación en juegos sólo resulta segura en los sitios web de los operadores legales, ya que estos proporcionan las siguientes ventajas a los participantes:

  • Establecimiento de reglas de juego claras y transparentes y derecho a ser informado de ellas.
  • Garantía de juego honesto, sin trampas ni estafas.
  • Seguridad en los depósitos, pagos y cobros.
  • Identificación del participante (comprobación de identidad y edad para impedir el acceso a menores).

Los operadores de juego sólo pueden ofrecer las actividades de juego que hayan sido reguladas, estando prohibidas aquellas que no lo hayan sido.
Fuente: http://www.juegoseguro.es/

Folleto PDF sobre el Juego Seguro: Juego Seguro

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Decálogo para el juego seguro en las apuestas online

1- Dominio.es: escoger una casa de apuestas profesional y con solvencia, que tenga licencia para operar en España. Si la casa de apuestas que visitas no tiene el dominio .es, cuidado, no tiene licencia para operar en este mercado y por tanto puedes tener problemas.
2- Logo de ‘Juego seguro’: Antes de dar tus datos bancarios, asegúrate de que el operador con el que vas a jugar está en posesión de una licencia expedida por la Dirección General de Ordenación del Juego.
3- Después de escoger la casa de apuestas, regístrate en la página web de la misma, rellenando un sencillo formulario con tus datos personales.
4- Lee los términos y condiciones de uso de la casa de apuestas. Sobre todo la parte de promociones, para que después no te lleves una sorpresa. Recuerda que es necesario ser mayor de edad (18 años) para poder jugar.
5- Elige una contraseña segura y cámbiala frecuentemente.
6- No des los datos de la cuenta personal a nadie, ni compartas la información de la cuenta con otras personas.
7- Aprovecha los especiales de la casa y las apuestas combinadas. Las apuestas que incluyan más de una variable multiplican las ganancias, por lo que pueden reportar beneficios mucho mayores que las simples.
8- Apuesta en juegos que conozcas mejor y/o de los que dispongas información fiable. Céntrate en uno o dos, y reúne las apuestas y esfuerzos en ellos.
9- Usa Internet para obtener información antes de apostar. Diarios y sitios web deportivos son fuentes de información fundamentales con abundantes datos que ayudan a realizar pronósticos antes de apostar.
10- Destina un fondo máximo para realizar apuestas y no superarlo nunca. Esta cantidad de dinero no debe condicionar la estabilidad económica de cada uno.

Adaptado de: http://www.que.es/ultimas-noticias/sociedad/201207211901-decalogo-para-juego-seguro-apuestas-cont.html

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junio 12, 2014

La Estadística y la Teoría de la Probabilidad en el Fortalecimiento de los Juegos de Azar:

¿Qué ocurría con la evolución de los juegos de azar durante el siglo XIX, campo primigenio en el cual había surgido la Teoría de la Probabilidad que paulatinamente se había extendido y alcanzado un desarrollo tan impresionante en todas las áreas de la ciencia?

Durante ese siglo prosperaron inicialmente los casinos que se inauguraron en los balnearios alemanes cercanos a los paisajes alpinos de la vertiente del río Rin (Wiesbaden, BadenBaden, Bad Homburg, Spa, SaxonlesBains, etc.), también florecieron numerosas casas de juego en el Estado de Louisiana antes de que comenzara la persecución puritana de los ciudadanos contra esa actividad pecaminosa que luego se propagó hacia otros pueblos de Estados Unidos a través del rió Mississippi, después surgieron los lujosos casinos de la Riviera Francesa como el de Monte Carlo a la cabeza del mundo por mucho tiempo, también se consolidaron los exclusivos clubes de juego para caballeros y las apuestas hípicas en el Reino Unido, florecieron los garitos y los Círculos Privados de juego en la alegre París convertida en una «ciudadespectáculo» después de su renovación urbanística concluida bajo el mando del Barón Haussmann, así como proliferaron los garitos en otras acogedoras ciudades francesas, y finalmente también crecieron los rústicos casinos a la americana (el famoso Saloon) durante el proceso de la colonización del Lejano Oeste.

Fundamentación matemática de los juegos de azar durante el siglo XIX.

Los flâneur del siglo XIX, es decir, los consumidores del ocio de la Modernidad, esto era todo lo que veían que ocurría ante sus ojos, pero tal vez muy pocos de ellos imaginaban que detrás de la fachada de los clubes, de las casas de juego, de las ventanillas de recepción de apuestas, de los garitos y de los casinos, el funcionamiento del negocio estaba dictado solamente por los últimos avances de la Teoría de la Probabilidad combinada con los aportes de la Estadística como herramienta de medición de los hechos inciertos o aleatorios. En efecto, en aquel tiempo los empresarios del ocio veían los juegos de azar simplemente como un «buen negocio comercial», que sólo es rentable si desde un comienzo le garantiza a la Banca la expectativa de obtener económicamente un cuantificable Valor Esperado (Expected Value) que constituye la Ventaja Matemática a su favor (House Edge), además de que tal rentabilidad sólo se puede concretar si siempre se garantiza un comportamiento impredecible del juego y si sólo se le ofrece al apostador opciones de triunfo «no equitativas» y desiguales frente a las reales opciones de triunfo de la Banca.

Estos primeros empresarios de los casinos, como los famosos hermanos Blanc que dirigieron el casino de Bad Homburg o el de Monte Carlo, eran gente que conocía del comercio, de la especulación financiera en las bolsas y en los bancos, de los criterios económicos aplicables a los negocios de alto riesgo, y por eso estas personas eran seguidoras de los últimos avances matemáticos y estadísticos ocurridos en el campo actuarial y de los seguros que eran una actividad comercial en la que el lucro se obtenía a partir de explotar las expectativas de ganancia o de pérdida en torno de la fortuita ocurrencia o no ocurrencia de ciertos siniestros (naufragios de barcos, deterioro de mercancías, incendios de fábricas, fallecimientos, robos, etc.), es decir, los empresarios de los casinos aplicaron en la administración de su negocio de los juegos de azar muchos de los criterios económicos y matemáticos que regían en el campo de los seguros que era el tipo de negocio más semejante a su actividad, y por eso ellos eran amplios conocedores de conceptos tales como la Teoría de la Ruina, la Pérdida Máxima Probable, el Cálculo del Riesgo Esperado, el Cálculo de las Reservas Disponibles, etc.

Estos primeros empresarios profesionales de los casinos para la adecuada administración de sus negocios del ocio también se asesoraban de importantes matemáticos pagándoles jugosos honorarios, y eran seguidores asiduos de las discusiones y las publicaciones sobre temáticas de probabilidad y estadística producidas por los sabios de su tiempo, por las asociaciones científicas, por las agremiaciones de contables o por los profesores de las universidades de Cambridge, Harvard, Oxford, la Sorbona, Turín, Berlín, etc. Además, tomando como referente el modelo de la Distribución Normal de la probabilidad ampliamente desarrollado por Laplace, Gauss, Poisson o Chebyshev, estos empresarios de los casinos sabían que en cualquier juego de azar, entre más jugadas se realicen, lo más probable es que las apariciones aleatorias de los resultados esperados se concentrarán dentro de ciertos límites en torno de un número ideal de apariciones, es decir, estadísticamente se prevé que los juegos de azar tienen un comportamiento más o menos regular que se puede proyectar previamente mediante el cálculo de probabilidades, comportamiento dentro del cual es poco probable que un resultado específico llegue a aparecer una cantidad excesiva de veces superior a las previstas, hasta el punto de volverse «predecible» a los ojos de los jugadores en contra de los intereses económicos de la Banca. Los empresarios que administraron los primeros grandes casinos le apostaban a la ocurrencia de esa forma de distribución de la probabilidad, le apostaban a que siempre el juego se comportaría aleatoriamente arrojando resultados que aunque en cada jugada son impredecibles, en todo caso globalmente se enmarcan dentro de unos límites más o menos previsibles desde el punto de vista estadístico, y por tanto, si en la mayoría de las ocasiones esos límites se dan, entonces se puede prever que al final la Banca siempre hará efectiva su ventaja matemática sobre los jugadores obteniendo importantes ingresos sobre todo el dinero que fue apostado por ellos.

Todo este conocimiento matemático, estadístico, contable y económico fue aplicado por los empresarios de los casinos en la creación de los nuevos juegos de azar, en la formulación de las reglas aplicables a cada juego, en el diseño de los tapetes de las mesas, en la selección precisa de las únicas opciones a las cuales les pueden apostar los jugadores, en el establecimiento de los montos de los premios que pueden ser pagados, en la fijación de los topes mínimos y máximos de las apuestas que se pueden admitir en cada mesa, etc. Se puede afirmar que, paradójicamente, desde el siglo XIX en las mesas de los juegos de azar de los casinos «nada ocurre al azar», porque los nuevos juegos de azar de la Modernidad no surgieron por generación espontánea ni por tradición cultural ni por caridad para agradarle a los consumidores del ocio, sino que surgieron como parte del engranaje de un gran negocio basado en la explotación de la ventaja matemática (House Edge) que conscientemente se establece a favor de la Banca en cada juego ofrecido al público.

En síntesis, desde el siglo XIX en una mesa de juego de un casino todo está debidamente calculado y planeado, para que desde el mismo momento en que el jugador coloque su apuesta sobre el tapete, las probabilidades y la estadística indiquen que esa apuesta muy probablemente deberá generar un flujo de rentabilidad a favor de las arcas de la Banca. Incluso la recaudación de este flujo rentable de dinero fue perfeccionada y comenzó a operar «automáticamente» gracias al ingeniero norteamericano Charles Fey, cuando basado en los diseños de las máquinas calculadoras, las cajas registradoras, los organillos de manivela, etc., inventó en 1897 la denominada «Máquina Tragamonedas» (Slot Machine), novedoso aparato que no sólo inauguró la gran época en que el comportamiento aleatorio de los juegos de azar comenzó a ser simulado mediante artilugios mecánicos, sino que además a la postre permitió que los empresarios de los casinos tuvieran una mayor seguridad acerca de la expectativa de obtener la recaudación de un porcentaje fijo de rentabilidad sobre el funcionamiento diario de tales máquinas.

Fortalecimiento de las Creencias Especulativas de los Apostadores respecto de los Juegos de Azar:

¿Qué hacían los jugadores y los apostadores del siglo XIX mientras todo lo anterior ocurría en la evolución matemática de los juegos de azar y del negocio de los casinos?

Al respecto un gran porcentaje de los jugadores posiblemente eran hábiles tahúres muy tramposos, que preferían aquellos juegos en los que tenían acceso a la manipulación directa de las cartas o de los dados, o preferían juegos en los que podían actuar en colusión con otros jugadores para así poder realizar todo tipo de timos y trampas contra los contrincantes ingenuos, únicas vías que encontraban seguras para la obtención de ganancias en los juegos de azar.

Muchos otros jugadores, fieles a la noble filosofía consumista del flâneur, consideraban impropio y poco caballeroso pensar en el dinero perdido en los juegos de azar o siquiera expresar cualquier emoción ante el anhelo de ganar una fortuna a través de ese medio: se jugaba, luego se ganaba o se perdía, pero siempre se aceptaban los resultados del azar con gallardía y caballerosidad.

Otros jugadores, menos dóciles a someterse pasivamente al imperio del azar, quizá aplicaban algunos análisis combinatorios muy simples para calcular sus expectativas de triunfo o para elegir las opciones a las que se les debía apostar.

Un creciente porcentaje de jugadores creían a pie juntillas en la falacia de la «Ley del Equilibrio Cósmico» que necesariamente se debe producir en la cantidad de apariciones de los resultados opuestos de un juego de azar entre más jugadas ocurran, falacia que desde los tiempos de D’Alembert inspiró a muchos apostadores a crear diversos sistemas de apuestas supuestamente infalibles, aplicables en mayor medida al TrenteetQuarante o la ruleta, sistemas absurdos basados realmente en simples martingalas y en progresiones en el incremento o en el descenso de la cantidad apostada en cada jugada, tales como la Gran Martingala, la Pequeña Martingala, el sistema Labouchere, la Progresión de Wrangler, el sistema Philiberte, el sistema Fitzroy, el sistema Tiers et Tout, el sistema Montant Belge, el sistema Paroli, etc.

Otros más, tal vez habían escuchado que la estadística era una ciencia que trabajaba de la mano con el cálculo de probabilidades para el análisis del comportamiento de los eventos aleatorios, pero lo único que ellos en verdad sabían sobre la aplicación de la estadística era recolectar unos pocos resultados aparecidos en algún juego de azar y comenzar a apostarle a los resultados que a primera vista parecían «más dominantes» o «más salidores» en el grupo analizado, sin emplear ningún procedimiento matemático serio para verificar si esos resultados presuntamente dominantes o salidores en verdad representaban una «desviación significativa» en el comportamiento aleatorio del juego o si solamente se enmarcaban dentro de los límites previsibles del azar.

Solamente hasta 1873 se conoció de la legendaria hazaña del ingeniero inglés Joseph Hobson Jagger (1830−1892), quien al parecer usó las técnicas de muestreo, de análisis estadístico y de cálculo de probabilidades para descubrir unas fuertes tendencias en una de las ruletas del casino de Monte Carlo, descubrimiento que según se dice le permitió amasar una gran fortuna al apostarle a los números que más probabilidades tenían de aparecer. Después de esta hazaña se conoció de un grupo de jugadores italianos que hacia 1880 también aplicaron las técnicas de la estadística y del cálculo de probabilidades para amasar una gran fortuna nuevamente en las ruletas desviadas de Monte Carlo, y posteriormente durante varias décadas no se volvió a conocer ninguna noticia, anécdota, sistema o libro que hablara a profundidad, con detalles y con ejemplos prácticos, sobre la manera de aplicar de forma conjunta la Estadística y la Teoría de la Probabilidad a concretos juegos de azar para amasar fortunas.

Resulta curioso que durante el siglo XIX los empresarios que administraron los casinos usaron a plenitud todos los elementos de la Estadística y de la Teoría de la Probabilidad para perfeccionar la ventaja matemática establecida en los juegos de azar y protegerse contra el riesgo, contra la probabilidad de ruina, contra las desviaciones inusuales en la aparición de los resultados aleatorios, contra la falta de reservas económicas, etc.; mientras que la mayoría de los jugadores se quedaron estancados en el uso precario del análisis combinatorio o en la creencia en la inmutable Ley del Equilibrio Cósmico que fue defendida por D’Alembert quizá en un momento de desvarío. En otras palabras, absurdamente para enfrentarse a los juegos de azar de la Modernidad los jugadores no estaban empleando las mismas herramientas matemáticas, estadísticas y del cálculo de probabilidades que usaron los empresarios para lograr el perfeccionamiento de la ventaja matemática establecida en tales juegos.

La culpa tal vez no era de los jugadores, sino de la ausencia de fuentes de información especializadas y serias en la aplicación de la Estadística y de la Teoría de la Probabilidad a los juegos de azar. En efecto, si uno analiza las grandes obras sobre estadística y probabilidad del siglo XIX escritas por verdaderos genios matemáticos de la talla de Laplace, Gauss, Poisson, Quetelet o Chebyshev, encuentra que estos sabios para poder explicar los conceptos básicos usados en sus obras acuden inicialmente a ejemplos muy simples basados en el lanzamiento de monedas, el lanzamiento de dados, la extracción aleatoria de cartas de un mazo, la extracción aleatoria de balotas de una urna, el análisis del Problema de los Puntos, etc., pero luego estos sabios se elevan a las alturas intelectuales y se adentran en la axiomatización de los conceptos explicados ligando su aplicación a la solución de problemas más trascendentales que merecían toda su atención, tales como el desciframiento de las órbitas de los planetas, la forma como se comporta la luz, el cálculo de la trayectoria de los planetoides, el cálculo de la resistencia de los metales usados en la fabricación de las mercancías, el cálculo del grado de error cometido en una observación, el desvío esperado en el comportamiento de una variable en un experimento de laboratorio, el cálculo esperado en el crecimiento de la población, el cálculo de la ocurrencia de posibles siniestros asegurados, etc. En las obras de estos grandes autores matemáticos no hay referencias a la manera práctica de aplicar y sacar provecho del Muestreo Estadístico, la Distribución Normal, la Varianza, la Desviación Típica o los Niveles de Confianza a juegos de azar concretos como el Baccarat, el TrenteetQuarante, la ruleta francesa, el ChuckaLuck, las loterías, etc.

Lo anterior no significa que durante el siglo XIX no se hayan escrito obras de literatura especializada sobre los juegos de azar, pues de hecho se escribieron muchas, mereciendo mención especial por su popularidad las siguientes:

An exposure of the arts and miseries of gambling, (1843). Escrita por Jonathan H. Green y publicada en Filadelfia.

Traité du TrenteQuarante contenant des analyses et des faits pratiques du plus haut intéret suivis d’une collection de plus de 40.000 coups de banque, (1853). Escrita por G. Grégoire y publicada en París.

Nouveau manuel complet des jeux de calcul et de hasard ou Nouvelle Académie des Jeux, (1853). Escrita por Lasserre, Lebrun y Leroy, y publicada en París.

Routledge’s Whist Player’s Handbook, (1854). Escrita por N. Routledge y publicada en Londres.

Jeux de la Roulette et du Trente et Quarante, Méthode, (1880). Escrita por Menaldo y publicada en Niza.

Le jeu public et Monaco, (1882). Escrita por Le Docteur Prompt, y publicada en Paris.

Les grands jeux: Roulette, Trente & Quarante, Baccarat, Bourse; (1885). Escrita por Pierre Boissier y publicada en París.

Il Giuoco del Lotto, (1886). Escrita por M. de Ciutiis y publicada en Nápoles.

Une lune de miel à Monte Carlo, (1887). Escrita por Adolphe Belot y publicada en Paris.

Girotechnie ou la description scientifique de la roulette, (1890). Escrita por el doctor C. Surville y publicada en Niza.

Montecarlo occulto, Montecarlo palese, (1899). Escrita por Barone York y publicada en Turín.

Sin embargo, estas obras, y muchas otras de su mismo estilo escritas y publicadas en el siglo XIX, se dedican principalmente a explicar las reglas aplicables a populares juegos de azar como el veintiuno, el póquer, el whist, la ruleta, el TrenteetQuarante, el baccarat, etc., pero no ofrecen un análisis serio de esos juegos que se fundamente en el cálculo de probabilidades o en el estudio estadístico de los resultados aleatorios. Realmente esas obras se limitan a proponerle al lector la aplicación de una serie de sistemas de colocación de apuestas, martingalas y progresiones que generalmente están basadas en las «falacias del jugador», sin ofrecer una verdadera prueba matemática de su efectividad frente a la Banca, todo lo cual es adobado además con una serie de anécdotas, especulaciones, recomendaciones y observaciones basadas sólo en la experiencia personal del autor de cada obra. En verdad es muy difícil creer que esas obras tienen un auténtico carácter científico, debido a la gran cantidad de especulaciones y suposiciones que emplean en la fundamentación de los diversos temas que tratan.

¿Por qué los grandes genios matemáticos y científicos del siglo XIX no aprovechaban sus conocimientos para escribir obras especializadas y serias sobre los juegos de azar?

Quizá muchos matemáticos, contables, ingenieros y científicos de esa época, que habían sido consultados por los mismos empresarios administradores de los casinos que perfeccionaron los modernos juegos de azar para así garantizar las ganancias de la Banca, sabían que si los juegos de azar tienen un comportamiento aleatorio que estadísticamente es próximo al modelo de la Distribución Normal, entonces no vale la pena gastar las neuronas tratando de formular sistemas matemáticos de apuestas que supuestamente prometen obtener ganancias exorbitantes en los juegos de azar, cuando realmente en muy contados casos el jugador verá ocurrir una inusitada racha favorable que se desvié significativamente más allá del comportamiento promedio del juego, lo cual tiene una probabilidad de ocurrencia siempre muy baja.

Tal vez por eso tampoco resulta extraño que desde el siglo XIX muchos jugadores hayan terminado parapetados en la lectura de obras que hablan de milagrosos sistemas de apuestas que sólo se basan en las falacias, o que, en el peor de los casos, al intentar encontrar sistemas infalibles de apuestas que puedan vencer a la Banca, hayan terminado por revivir las viejas creencias místicas sobre la «Diosa Fortuna» (el uso de talismanes, patas de conejo, fe ciega en las corazonadas, etc.) que son propias de aquella remota época pagana y oscurantista en que aún en los juegos de azar no regía la ventaja matemática perfeccionada a favor de la Banca.

Bibliografía consultada:

HALD, Anders. A history of mathematical statistics from 1750 to 1930. John Wiley & Sons, New York, 1998.

KILBY, J. y FOX, J. Casino operations management. John Wiley & Sons, New York, 2005.

KOYRE, Alexandre. Estudio de historia del pensamiento científico. Editorial Siglo XXI, Ciudad de México, 1978.

STIGLER, Stephen. The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900.Belknap Press/Harvard University Press, 1990.

WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Expected Value; Gambler’s Fallacy; Gambling; History of Statistics; House Edge; Wagering Business.

Fuente: http://www.eyeintheskygroup.com, 2014.

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