El mundo de los números complejos

El bello mundo de los números imposibles

El encaje de los números complejos como instrumento de gran potencia en varias ramas de matemáticas puras y aplicadas transitó por distintas fases de aceptación que fueron encabezadas por eminentes matemáticos

Por Juan Matías Sepulcre.

Los números complejos hicieron sus primeras tímidas apariciones en la escena científica a través de los trabajos del médico y matemático Girolamo Cardano (1501-1576) del matemático e ingeniero hidráulico Rafael Bombelli (1526-1572) en relación al cálculo de las raíces de un polinomio cúbico, es decir, en la búsqueda de valores exactos X0 cumpliendo relaciones de la forma:

En realidad, aunque no fue la motivación principal de su aparición en escena, los números complejos ya surgen de forma explícita en las soluciones de determinadas ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, consideremos la ecuación: x²-2x-3=0

Que equivale a: (x+1)(x-3)=0

Resulta claro que sus soluciones son: x=-1 y x=3

Sin embargo, si consideramos la ecuación: x²+1=0

El lector puede observar que, como el cuadrado de un número real cualquiera es positivo o nulo, no es posible resolverla mediante números reales . Sin embargo, si introducimos un número que podríamos llamar la raíz cuadrada de menos uno , obtenemos algebraicamente las soluciones:

No obstante, antes de la época del renacimiento en la que se abordan las soluciones de las ecuaciones cúbicas, la aparición de la raíz de un número negativo en el análisis de cualquier ecuación, también cuadrática, llevaba inmediatamente a la interpretación de que el problema asociado a tal ecuación no presentaba solución alguna .

Hoy en día sabemos que los números complejos constituyen una herramienta esencial de trabajo de algunas ramas de matemáticas puras y aplicadas como la variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica, hidrodinámica o electromagnetismo. De hecho, es altamente reconocida su utilidad en muchos campos del análisis matemático, álgebra, mecánica cuántica, electrónica o telecomunicaciones.

Sin embargo, podríamos decir que desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII estos números fueron usados con cierto recelo y desconfianza , siendo motivo de diversas controversias entre los miembros de la comunidad científica.

De hecho, fueron inicialmente considerados como números imposibles tolerados únicamente en un limitado dominio algebraico por su utilidad complementaria para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Esto se debía principalmente a que, por aquel entonces, resultaba difícil concebir cualquier realidad física que correspondiese con ellos, lo que llevaba a diversos autores a emplear términos como sofisticados, sin sentido, inexplicables, incomprensibles o imposibles para referirse a tales números.

En realidad, el propio Cardano, en cuyos manuscritos aparecen raíces cuadradas de números negativos, los trataba de modo muy sutil, como un mero artefacto matemático carente de significado propio, pero dotados de algunas reglas para manipularlos. Sin embargo, tras el desarrollo de la obra Ars Magna de Cardano, Bombelli fue un paso más allá al desarrollar una cierta aritmética en torno a ellos, algo de lo que nos ocuparemos más adelante.

Números negativos e irracionales

Un proceso similar ocurrió también con los números negativos, que no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII . Por ejemplo, el hecho de hablar de -1 piezas de fruta no conllevaba grado alguno de realismo, pero desde ese mismo punto de vista tampoco lo hubiera comportado hablar de ¾ de una persona o afirmar que las mujeres tuvieron un promedio de 2,5 hijos en algún momento dado.

Sin duda alguna, hoy en día la ausencia de los números negativos también nos resultaría inconcebible, y es que por ejemplo la posibilidad de trabajar con magnitudes negativas nos permite constantemente representar deudas, pérdidas, disminuciones … algo tan habitual como el hecho de manejar temperaturas negativas.

De hecho, todo ello nos ayuda también a interpretar con mayor claridad, y expresar algebraica y rigurosamente, resultados estadísticos como el que nos permite afirmar que la tasa de fecundidad en una cierta región se haya reducido hoy en día a la mitad si la comparamos por ejemplo con el año 1960.

Además, desde un punto de vista geométrico, si consideramos los números reales como vectores dotados de magnitud (su valor absoluto) y sentido (dependiendo del signo), entonces la multiplicación por el número negativo -1 hace cambiar de sentido el número que estamos multiplicando, lo que nos añade otra razón natural de su existencia (por cierto, el lector podrá observar más tarde, cuando tratemos la interpretación geométrica de los números complejos, que lo que haremos será establecer otras direcciones en nuestra particular brújula).

Mucho antes, en plena Grecia Clásica , el descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado no podía expresarse como una cantidad entera de las unidades que miden los lados, esto es, la constatación de la presencia de números irracionales en tal desarrollo, llevó a la Escuela Pitagórica (en el siglo V a.C.) a una gran consternación , pues en su forma de pensar no tenían cabida las magnitudes inconmensurables .

Anque pensemos que:

Supone una precisión de medida que es físicamente imposible, en términos prácticos no cabe duda que la existencia formal de los números irracionales, junto con todas las abstracciones teóricas realizadas hasta la fecha (incluyendo la propia simbología utilizada para los números naturales y la de los números negativos), nos han ayudado a evolucionar independientemente de su realidad física inmediata … y, desde luego, los números complejos no se escapan de este mismo contexto.

La geometría de los números complejos

Además de su aparición en la resolución de las ecuaciones cúbicas, actualmente se conoce la importancia que los números complejos tuvieron en el planteamiento y resolución de muchos problemas de la física matemática: magnetismo, calor, electricidad, gravedad, flujo de fluidos …, pero sin duda un factor que ayudó considerablemente a la plena aceptación de los números complejos fue el hecho de haber podido realizar una clara interpretación geométrica, algo que popularizó enormemente el brillante matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

A este respecto, las coordenadas cartesianas en el plano, llamadas así en honor a René Descartes (1596-1650) por su nombre latinizado Renatus Cartesius , asocian a cada punto del plano un par de números denominados abscisa y ordenada. Así, todo número complejo puede representarse en el análogo plano bidimensional complejo como un par ordenado de números reales (a,b), donde a se denomina la parte real y b la parte imaginaria, e identificando los pares (a,0) con los números reales a , y los pares de la forma (0,b) con los llamados números imaginarios puros.

A este respecto, el par (0,1) se le denominó la unidad imaginaria , por ser de naturaleza distinta a la del número real, y es denotado por i, símbolo introducido en la literatura en 1779 por el prolífico matemático, físico y filósofo Leonhard Euler (1707-1783). Los números relacionados, es decir, aquellos de la forma a+bi, con a y b números reales, son los que llamamos números complejos y la colección de todos ello se suele denotar por C.

Aritmética de los números complejos

En el sentido anteriormente descrito, los números complejos son una extensión del sistema de los números reales y constituyen un sistema más amplio en el que cualquier polinomio de grado mayor o igual que 1 admite soluciones, resultado que se conoce con el nombre de teorema fundamental del álgebra y que logró demostrar correctamente Gauss en 1799.

Eso sí, mientras que en nuestro día a día comparamos constantemente dos números reales para decidir cuál es el mayor, esto no se puede realizar en general con los números complejos. Sin embargo, su aritmética es sencilla, ya que la suma y la multiplicación de dos números complejos es la natural, con el ingrediente extra de que cada vez que aparezca i² se reemplaza por -1 .

De hecho, si (a,b) y (c,d) representan dos números complejos arbitrarios, su suma y producto vienen dados de la siguiente manera:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

(a,b)•(c,d)=(ac-bd, ad+bc).

Equivalentemente,

(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i,

(a+bi)•(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.

Resulta asequible comprobar que estas operaciones satisfacen las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad , también comunes a las operaciones con los números reales. A partir de ellas, también se pueden definir de forma coherente sus operaciones inversas, esto es la resta y la división, y otras operaciones más enmarcadas en el sistema de los números complejos como el conjugado, módulo, argumento o las raíces n -ésimas, algunas de las cuales trataremos a continuación.

Ahondando en la interpretación geométrica

A la vista de la interpretación geométrica realizada anteriormente, cualquier problema en el que las direcciones de un plano estén involucradas resulta ser una aplicación potencial de los números complejos. En particular, la física está repleta de tales interpretaciones.

A modo de ejemplo, pensemos en el fenómeno consistente en la propagación de una vibración, lo que nos conduce al concepto de onda.

Pues bien, los números complejos resultan ser una herramienta excelente para describir tales ondas como ocurre con el sonido , las olas del mar, las ondas sísmicas o la vibración de una cuerda. Prueba de ello es que si consideramos un número complejo z=a+bi, representado el plano bidimensional, siempre nos resulta posible trazar un segmento desde el origen de coordenadas (0,0) hasta el punto (a,b), sobre el que podemos calcular su longitud r (también llamado módulo de z y representado por |z|) y su ángulo α respecto del eje de abscisas (que da lugar al argumento de z). Es decir, con la ayuda de trigonometría básica, un número complejo lo podemos también representar mediante la llamada forma polar :

Este desarrollo nos permite inmediatamente dar una interpretación geométrica de las operaciones suma y producto introducidas anteriormente. En efecto, ya podemos afirmar que la suma de dos números complejos es equivalente a la ley del paralelogramo de vectores , y también que al multiplicar dos números complejos sus ángulos se suman, es decir:

Propiedad que resulta muy útil para hacer procesamiento digital de señales, por ejemplo permitiendo rápidamente encontrar el método preciso que interviene en la variación de la fase y frecuencia de una onda, cuya descripción práctica viene dada por:

Ahora el lector podrá tratar de deducir a partir de las propiedades anteriormente expuestas la, así llamada por muchos científicos, fórmula más bella de las matemáticas , esto es, la identidad de Euler, que involucra a cinco constantes matemáticas: 0,1,e,i,π, incluyendo por tanto a la unidad imaginaria.

Finalmente, en este contexto conviene mencionar también los trabajos de distinta índole realizados por matemáticos como Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard Riemann (1826-1866), a partir de los cuales se llegó a la plena aceptación de los números complejos como instrumento de gran potencia en el análisis intrínseco de la teoría de funciones, y en particular en la teoría de las funciones de variable compleja que constituye una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX.

Juan Matías Sepulcre Martínez es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante. Twitter: @JMSepulcre

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Fuente: abc.es

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Matemáticas: ¿descubrimiento o creación?

Las matemáticas… ¿nos las inventamos o las descubrimos? Un milenario debate sin resolver

Por Hannah Fry, matemática. 28 octubre 2018

Hay un misterio en el corazón de nuestro Universo. Un rompecabezas que, hasta ahora, nadie ha podido resolver. De resolverlo, las consecuencias serían profundas.

El misterio es por qué las reglas y los patrones matemáticos parecen infiltrarse en casi todo el mundo que nos rodea. De hecho, hay quienes describen las matemáticas como el lenguaje subyacente del Universo.

¿Significa eso que es algo que simplemente hemos ido descubriendo? ¿O es algo que hemos ido inventando, como cualquier lenguaje?

Nos hemos hecho esa pregunta durante miles de años y aún no hemos podido ponernos de acuerdo.

Porque las matemáticas apuntalan casi todo en nuestro mundo moderno, desde computadoras y teléfonos móviles hasta nuestra comprensión de la biología humana y nuestro lugar en el Universo.

Es por eso que los grandes pensadores de la historia han tratado de explicar los orígenes del extraordinario poder de las matemáticas.

Los números

El mundo moderno no existiría sin las matemáticas. Se esconde detrás de casi todo lo que nos rodea e influye sutilmente casi todo lo que ahora hacemos.

Y, sin embargo, es invisible. Intangible.

Entonces, ¿de dónde vienen las matemáticas? ¿Dónde viven los números?

A menudo pensamos en los números como algo atado a objetos, como el número de dedos en una mano o el número de pétalos en una flor.

Esta flor tiene 5 pétalos. Si le quitas 2, quedarán solo 3 (y se verá menos bonita).

Los pétalos ya no estarán, pero el número 2 seguirá existiendo.

Eso es algo que no puedes decir de todo: si los lápices nunca se hubieran inventado, la idea de un lápiz no existiría.

Puedes destruir el objeto físico, quemarlo hasta que sólo queden cenizas, pero no puedes destruir la idea de los números.

En todas las culturas del mundo, todos estamos de acuerdo sobre el concepto de 4, así lo llames cuatro, four, quatre, vier, o escribas el símbolo de otra manera.

El mundo platónico de los números

¿Habrá entonces algún mundo mágico paralelo en el que viven todas las matemáticas? ¿Un lugar en el que están las verdades fundamentales que nos ayudan a comprender las reglas de la ciencia?

O, ¿será todo producto de nuestra imaginación e intelecto?

«Es demasiado extraordinario pensar que las verdades matemáticas son producto enteramente de nuestras convenciones en la mente humana… Yo no creo que seamos tan inventivos«, opina Eleanor Knox, doctora en Filosofía de la Física de King’s College London, Reino Unido.

«A veces parece que las matemáticas se descubren, especialmente cuando el trabajo va muy bien y sientes como si las ecuaciones te estuvieran impulsando», señala Brian Greene, profesor de Física y Matemáticas de la Universidad de Columbia, EE.UU.

«Pero luego das un paso atrás y te das cuenta de que es el cerebro humano el que impone estas ideas y estos patrones en el mundo y, desde esa perspectiva, parece que las matemáticas son algo que viene de nosotros«, agrega Greene.

«El número cinco se llama fem en sueco, mi lengua materna», dice Max Tegmark, profesor de Física y Matemáticas en MIT, EE.UU.

«Esa parte la inventamos, el bagaje, la descripción, el lenguaje de las matemáticas. Pero la estructura en sí misma, como el número 5 y el hecho de que es 2 + 3, esa es la parte que descubrimos», explica el experto sueco.

El problema es que tanto quienes creen que las matemáticas fueron descubiertas como quienes piensan que son inventadas tienen argumentos muy persuasivos.

Tanto que seguramente esta serie te hará cambiar de opinión una y otra vez.

Para darte una prueba, empecemos con unas de muestras más sencillas de quienes dicen: «Las matemáticas están a nuestro alrededor. Solo necesitas saber dónde mirar para descubrirlas».

El ingenio del nautilino

De todas las estructuras que encuentras en la naturaleza, una de las más bellas es la concha de los nautilinos.

La criatura que vive adentro crea todas estas formas, y salta de una cámara a otra a medida que crece.

Es asombroso cómo ese pequeño ser puede crear algo tan extraordinario e increíblemente complejo.

Además, tiene un patrón oculto, que puedes revelar tomando tres pares de medidas de las cámaras.

Elijes un ángulo y mides la cámara interior, y luego una segunda medición hasta el borde exterior.

Tras hacer eso tres veces en tres ángulos diferentes tendrás tres pares de números que, a primera vista, parecen aleatorios.

En este caso:

• 14,5 / 46,7
• 23,9 / 77,6
• 307 / 995

Pero las apariencias pueden ser engañosas, porque si tomas cada uno de estos pares de números y divides uno por otro, comienza a emerger un patrón muy claro.

• 46,7 dividido 14,5 = 3,2
• 77,6 dividido 23,9 = 3,2
• 995 dividido 307 = 3,2

No importa dónde midas la concha, la proporción del ancho de las cámaras termina siendo constante.

Cada vez que el nautilino hace un giro completo, termina sentado en una cámara que tiene aproximadamente 3,2 veces el ancho del giro anterior.

Y al repetir esta simple regla matemática, puede crear esa concha en espiral bellamente intrincada.

Los pétalos de las flores

El nautilino no es el único ser vivo que tiene un patrón matemático oculto en su interior.

Si alguna vez has contado los pétalos de una flor, es posible que hayas notado algo inusual.

Unas tienen 3 pétalos. Otras, 5. Algunas, 8. Hay de 13 pétalos. Pero rara vez tienen los números intermedios (4, 6, 7, 9, 10, 11 o 12).

Estos números surgen una y otra vez. Parecen aleatorios, pero todos son parte de lo que se llama la secuencia o sucesión de Fibonacci, en nombre del matemático italiano del siglo XIII que la describió en Europa.

Comienzas con los números 1 y 1, y desde ese punto, sigues sumando los dos últimos números.

Así que…

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

… y así sucesivamente.

Al observar la cantidad de pétalos en una flor, descubres que siguen la sucesión de Fibonacci. Lo mismo sucede en muchas configuraciones biológicas, como las ramas de los árboles y las hojas en los tallos, entre otras.

Y eso no es todo.

Si te fijas en el centro de un girasol, verás que las semillas están dispuestas en forma de espiral. Cuenta el número de espirales en una dirección y, a menudo, encontrarás un número de Fibonacci.

Si luego cuentas las espirales que van en la dirección opuesta, encontrarás un número de Fibonacci adyacente.

¿Por qué las plantas hacen eso? Pues resulta que es la mejor manera en la que la flor puede organizar sus semillas para evitar que se dañen.

Esas reglas matemáticas simples y gloriosas que se encuentran escondidas en la naturaleza no parecen una coincidencia.

Una vez que detectas este tipo de patrones matemáticos, sientes que los descubriste, no que te los inventaste.

Es como si las matemáticas estuvieran ahí esperando que las encuentres.

No obstante…

Durante siglos, se pensó que el lenguaje de las matemáticas era fijo e inalterable, hasta que se hizo evidente que faltaba algo:

¿Qué es exactamente cero?

Un cero significa nada. Si tienes cero de algo, tienes nada.

El 0 es un concepto extraño; es como si la ausencia se convirtiera en algo.

¿Se trata de un número o una idea? ¿Y cómo puede algo sin valor tener tanto poder?

El 0 vs. los romanos

Aunque siempre hemos entendido el concepto de no tener nada, el concepto de cero es relativamente nuevo.

Usábamos números, podíamos contar pero antes del siglo VII el cero no existía.

Occidente ya tenía un sistema numérico: los números romanos.

Funcionaban bien, aunque eran algo difíciles de manejar

No se sabe si el 0 se originó en China o India pero fue en la última donde se comenzó a aceptar como un número adecuado.

Durante casi 1.000 años, los matemáticos indios trabajaron felices con números indo-arábigos, mientras que sus homólogos occidentales continuaron con los números romanos, hasta que el matemático Fibonacci reconoció su potencial.

Había sido educado en el norte de África, conocía la obra del erudito persa Al-Juarismi, por lo que había visto de primera mano cuán bien funcionaba ese sistema de números.

Es por eso que alertó a Europa occidental de la existencia del sistema indo-arábigo y defendió el 0.

Ese nuevo número era el que más cambios introducía.

En números romanos, por ejemplo, 1958 se escribe: MCMLVIII.

No importa dónde la coloques, la letra C siempre representa el número 100.

El 0 era diferente. Su posición podía cambiar los valores de los números a su alrededor. Piensa en la diferencia entre 11 y 101.

El 0 te permite escribir más números y manipularlos mucho más rápida y fácilmente.

Ahora: el 0 no lo descubrimos, lo creamos como parte del lenguaje para describir números.

Eso hace que las matemáticas se sientan como algo que hemos ideado. Necesitábamos un sistema numérico más fácil de usar así que a alguien se le ocurrió la brillante idea del cero.

Es una evidencia intrigante de que las matemáticas podrían ser inventadas, un producto de nuestro intelecto e imaginación.

Y no es la única, por supuesto, así como hay muchas más que apoyan el argumento de que las matemáticas ya existen y las vamos descubriendo.

¿Qué piensas tú?

*Basado en la serie de la BBC: «Números mágicos: el misterioso mundo de las matemáticas»

Fuente: bbc.com

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Mobius, una casa digna de un Matemático…

Mobius, una superficie con un solo lado y un solo límite

El diseño evolucionó a partir de la Banda de Mobius, que es una superficie con un solo lado y un solo límite. Tiene la propiedad matemática de ser inorienteable.

Por Antony Gibbon.

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El interior circular se asienta bajo la forma orgánica. Las puertas de vidrio del piso al techo hacen circular el espacio habitable de planta abierta y lo llevan a la zona de la piscina. Una cocina circular se encuentra en el punto central de la casa Mobius con una luz de cielo que refleja el diámetro de la forma de la cocina directamente arriba. Una escalera retorcida conduce a la terraza del techo que sigue la forma de las paredes internas de la estructura.

La gran cubierta del techo crea otra área del mismo tamaño que el espacio interior que brinda muchas opciones para su uso, así como un área para ver la naturaleza circundante. Una gran piscina con forma de elipse sigue la forma de la casa, a la que se accede desde ambos lados del edificio. El camino sinuoso hacia la propiedad lleva al garaje que se encuentra justo debajo del edificio con una segunda escalera que lleva de regreso al interior principal.

Fuente: arqa.com

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Banda de Möbius

La cinta o banda de Möbius o Moebius (/ˈmøːbjʊs/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Aunque sus primeras representaciones pueden verse en el Mosaico romano de comienzos del siglo III hallado en una villa de Sentinum. Gliptoteca de Múnich (Inv. W504), donde se representa al Dios Aion dentro de una Banda de Möbius circular.¹​Banda de Möbius conformada con una cinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos

Construcción de una cinta de Möbius

Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel, se da media vuelta a uno de sus extremos y se pegan.

Propiedades

La banda de Moebius posee las siguientes propiedades:Banda de MöbiusGráfica paramétrica de una banda de Möbius

• Es una superficie que solo posee una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, solo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.
• Tiene solo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.
• Es una superficie no orientable: Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.
• Otras propiedades: Si se corta una cinta de Moebius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.²​Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}} es mediante la parametrización:

{\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=\left[1+{\cfrac {v}{2}}\cos {\cfrac {u}{2}}\right]\cos(u)\\y(u,v)=\left[1+{\cfrac {v}{2}}\cos {\cfrac {u}{2}}\right]\sin(u)\\z(u,v)={\cfrac {v}{2}}\sin {\cfrac {u}{2}}\end{cases}}}

donde {\displaystyle \scriptstyle 0\leq u<2\pi } y {\displaystyle \scriptstyle -0.5\leq v\leq 0.5}.

Representa una banda doble de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia exterior tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x–y centrada en {\displaystyle \scriptstyle (0,0,0)\,}. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

{\displaystyle \scriptstyle -{\cfrac {64}{16v^{4}\cos(u/2)^{4}+128v^{3}\cos(u/2)^{3}+384v^{2}\cos(u/2)^{2}+8v^{4}\cos(u/2)^{2}+512v\cos(u/2)+32v^{3}\cos(u/2)+256+32v^{2}+v^{4}}}}

En coordenadas cilíndricas {\displaystyle \scriptstyle (r,\theta ,z)}, se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

{\displaystyle \log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}

Topología

Para transformar un rectángulo en una banda de Möbius, se unen las aristas denominadas A de manera tal que las flechas apunten en el mismo sentido.

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado {\displaystyle \scriptstyle [0,1]\times [0,1]} que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación {\displaystyle \scriptstyle (x,0)\,} {\displaystyle \sim \,} {\displaystyle \scriptstyle (1-x,1)\,} para {\displaystyle \scriptstyle 0\leq x\leq 1}, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total {\displaystyle \scriptstyle Mo\,} de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo {\displaystyle \scriptstyle S^{1}} y fibra un intervalo, i.e.{\displaystyle \scriptstyle I\subset Mo\to S^{1}}

El contraste con el fibrado trivial {\displaystyle \scriptstyle I\subset S^{1}\times I\to S^{1}} es agradable pues se sabe que solo hay dos de estos fibrados E{\displaystyle \scriptstyle I\subset E\to S^{1}}

Es decir, {\displaystyle \scriptstyle S^{1}\times I} y {\displaystyle \scriptstyle Mo\,} son todos los I-fibrados sobre la circunferencia.

Objetos relacionados

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene solo una cara, donde no se puede diferenciar «fuera» de «dentro». Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, la botella no.

La banda de Möbius en el arte

Pintura mural

El artista M. C. Escher utilizó la banda de Möbius como motivo principal en diversas obras.³​

El artista de cómics Jean Giraud usa el seudónimo de Moebius desde inicios de los 80 en su obra más experimental, ligada al género de la ciencia ficción.

El artista Salvador Dalí usa un diseño de la cinta de Möbius para las manillas de llave de la tina de baño de Gala, en el Castell Gala Dalí de Púbol.

El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentino Julio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición titulada Anillo de Moebius.⁴​

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,⁵​⁶​ realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

El estudio de arquitectura neerlandés UNSTUDIO realizó un edificio basado en la cinta de Möbius ⁷​

Mario Levrero tituló un cuento «La Cinta de Moebius», y el recorrido del relato tiene las características de la banda.

La banda argentina Catupecu Machu lanzó en 2009 un álbum titulado Simetría de Moebius en alusión a la banda. Además tiene una canción con el mismo título en el álbum.

El grupo surcoreano de k-pop LOOΠΔ utiliza la banda de Möbius para explicar la forma del universo que compone su universo.

Símbolos gráficos, logotipos y emblemas

El símbolo gráfico internacional de reciclaje y los de otras actividades similares, están basados en la imagen de la banda de Möbius.

Ignacio Rodríguez Srabonián aborda el proyecto Moebius como símbolo de la formación de viviendas no planificadas en la ciudad. Donde los límites de la ciudad no son precisos y todo se ve como un continuo.

Los partidos humanistas afiliados a la Internacional Humanista utilizan como logotipo un símbolo gráfico basado en la banda de Möbius.⁸​

• El símbolo gráfico internacional de reciclaje
• Logo de los partidos humanistas

Véase también:

• Topología
• Botella de Klein

Fuente: Wikipedia.

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Un algoritmo de aprendizaje automático (IA) refuta cinco conjeturas matemáticas sin ayuda humana

Una inteligencia artificial refuta cinco conjeturas matemáticas sin ayuda humana

Un algoritmo de aprendizaje automático halla construcciones que se creían imposibles en la teoría de grafos

Por Mayte Rius.

Una inteligencia artificial ha refutado cinco conjeturas matemáticas -teoremas no probados- en combinatoria extrema y teoría de grafos sin ayuda humana, sin ningún entrenamiento ni información previa sobre el tema. 

Adam Zsolt Wagner, postdoctorado de la Universidad de Tel Aviv en Israel e investigador especializado en aprendizaje automático, combinatoria y teoría de grafos, utilizó un algoritmo de aprendizaje automático para buscar ejemplos que refutaran una serie de conjeturas que llevan tiempo asentadas en la teoría de grafos, un área de las matemáticas que implica el estudio de objetos configurados por una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).Lee también

Los matemáticos pensaban que estas conjeturas eran ciertas, aunque sin haber podido probarlas, porque no habían encontrado una construcción que demostrase que son falsas.

La ‘creatividad’ de las máquinas

“Los matemáticos tienen muchas técnicas para encontrar tales construcciones, pero a veces el contraejemplo de una conjetura tiene una estructura muy extraña, y los humanos carecemos de creatividad para encontrarlos; por suerte, los ordenadores no están sujetos a los mismos límites de creatividad que nosotros, ya que piensan de forma diferente, y de ahí que mi programa haya encontrado contraejemplos a cinco conjeturas”, explica Wagner en una entrevista online con La Vanguardia .

A veces el contraejemplo de una conjetura tiene una estructura muy extraña y los humanos carecemos de creatividad para encontrarlo

Adam Zsolt WagnerPostdoctorado Univ. Tel Aviv, investigador aprendizaje automático

Para hacerlo posible, utilizó un algoritmo de aprendizaje por refuerzo, un programa similar a los que aprenden juegos partiendo solo de las reglas y practicando por su cuenta, como el famoso AlphaZero de Deepmind, que alcanzó por si solo un nivel de ajedrez sobrehumano. “Mi programa es mucho menos sofisticado, pero aún así fue lo suficientemente bueno para encontrar contraejemplos”, apunta Wagner. 

El método

Aprender jugando

Y explica que el funcionamiento de su inteligencia artificial es sencillo. “Formula una conjetura como un juego; un jugador construye una gráfica y recibe una puntuación en función de lo cerca que esté de ser un contrajemplo; luego construye otra nueva figura y recibe una nueva puntuación; y así juega sucesivamente, mejorando sus construcciones y, si tenemos suerte, tras uno o dos días de aprendizaje ha encontrado una construcción que es mejor de lo que los humamos pensaban que era posible y, por tanto, hemos refutado la conjetura”, detalla.

Y añade que “lo divertido de este método es que el programa empieza sin saber nada: solo ingresamos la conjetura que tiene que refutar y dejamos que la magia del aprendizaje reforzado resuelva el resto; esto significa que no tuve que pensar en nada: una vez que el programa funcionó, solo metí alrededor de cien conjeturas y en el transcurso de unos meses se las arregló para refutar estas cinco”.

Lo divertido de este método es que el programa empieza sin saber nada

Adam Zsolt WagnerInvestigador Univ. Tel Aviv

Entre las conjeturas desmontadas se encuentran una pregunta de Brualdi y Cao sobre la maximización de permanentes de patrones evitando matrices, y varios problemas relacionados con los valores propios de adyacencia y distancia de los gráficos.

El matemático Timothy Gowers, director de investigación en Cambridge, ha asegurado en Twitter que el programa de Wagner puede resultar gran ayuda para los investigadores matemáticos al permitirles comprobar de manera sencilla sus conjeturas antes de seguir adelante en sus formulaciones y cálculos.

Fuente: lavanguardia.com, 25/05/21

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Matemáticas racistas: Cuando la estupidez contamina la ciencia

«Matemáticas racistas»: la nueva idiotez que apoya la fundación Gates

The Bill & Melinda Gates Foundation financió un programa titulado «Un camino hacia la instrucción matemática equitativa. Desmantelando el racismo en la instrucción matemática».

Por Emmanuel Alejandro Rondón.

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«La cultura de la supremacía blanca se infiltra en las aulas de matemáticas en las acciones cotidianas de los profesores. Junto con las creencias que subyacen a estas acciones, perpetúan el daño educativo a los estudiantes negros, latinos y multilingües, negándoles el pleno acceso al mundo de las matemáticas», esta cita pertenece al programa: «Un camino hacia la instrucción matemática equitativa. Desmantelando el racismo en la instrucción matemática»; un paper de 82 páginas que explica cómo combatir el racismo sistémico en las aulas de clases, en la actitud de los profesores y, sobre todo, en las matemáticas.

No es ninguna broma, de hecho, el documento fue financiado por The Bill & Melinda Gates Foundation; la famosa fundación Gates, según artículo publicado en la plataforma Substack en la sección de la escritora Bari Weiss llamada «Common Sense with Bari Weiss».

En el artículo Bari Weiss le da la palabra al profesor matemático Sergiu Klainerman.

Klainerman, de acuerdo con el perfil reseñado en el artículo, es un «profesor de matemáticas en Princeton especializado en la teoría matemática de los agujeros negros. Ha sido becario MacArthur, becario Guggenheim y es miembro de la Academia Nacional de Ciencias».

Una crítica durísima contra la ideología woke por la cruzada contra las matemáticas

El profesor escribió una crítica durísima contra la nueva ocurrencia del movimiento woke americano apoyado por Bill Gates y su fundación: llamar a las matemáticas racistas.

Al parecer, para la Woke America, los profesores que imparten la catedra derrochan supremacía blanca oprimiendo a los estudiantes pertenecientes a minorías étnicas con sus malvados ejercicios matemáticos. Por ende, hay que convertir y renovar a las matemáticas haciéndolas más antirracistas. Esa parece ser la lógica.

«Las matemáticas, con sus herramientas aparentemente imparciales —2 + 2 siempre es igual a 4— han presentado un problema para un movimiento ideológico que ve cualquier desigualdad de resultados como prueba de un sesgo sistémico. El problema no puede ser que algunos niños sean mejores en matemáticas, o que algunos profesores sean mejores en su enseñanza. Como muchas otras cosas, el argumento básico del movimiento Woke contra las matemáticas es que son intrínsecamente racistas y que hay que hacerlas antirracistas. Esto se logra socavando la noción de respuestas correctas e incorrectas, eliminando la expectativa de que los estudiantes muestren su trabajo, refiriéndose a las herramientas de pruebas matemáticas como racistas, y eliminando las clases de matemáticas aceleradas».

Parte del texto de la escritora Bari Weiss en su introducción antes de darle la pluma al profesor Klainerman.

Esa es la opinión de la escritora, parece dura, pero la del profesor Klainerman lo es aún más.

«En mi posición como profesor de matemáticas en Princeton, he sido testigo del declive de las universidades e instituciones culturales, ya que han abrazado la ideología política a expensas de la erudición rigurosa. Hasta hace poco —este verano pasado, en realidad— había pensado ingenuamente que las disciplinas STEM se salvarían de esta toma de posesión ideológica. Me equivoqué», inició su exposición el señor Klainerman en «Common Sense with Bari Weiss».

«Los intentos de “deconstruir” las matemáticas, negar su objetividad, acusarlas de prejuicios raciales e infundirlas con ideología política se han vuelto cada vez más comunes, tal vez incluso en la escuela primaria de su hijo».

Continuó el profesor Klainerman.

El valioso testimonio de un sobreviviente del comunismo

Kainerman gracias a las matemáticas pudo cumplir su versión del sueño americano. Siendo un inmigrante proveniente de Rumania vivió sin decoro —como muchos— el infierno totalitario comunista en su tierra natal, pero llegó a Estados Unidos y abrazó la libertad.

El profesor explica que, a diferencia de los regímenes comunistas que él mismo sufrió, esta America Woke es mucho «más blanda» en términos de violencia física, pero desgarradora en términos morales.

«A diferencia del totalitarismo tradicional practicado por los antiguos países comunistas, como la Rumanía en la que crecí, esta versión es blanda. No impone su ideología encarcelando a los disidentes o eliminándolos físicamente, sino mediante la vergüenza social, el castigo de la multitud, la culpabilidad por asociación y la coacción de la palabra», esbozó Kainerman lanzando, a posteriori, un dardo durísimo: «En lo que respecta a la educación, creo que la ideología woke es incluso más dañina que el comunismo antiguo».

El profesor, también critico de los regímenes comunistas, fue claro en explicar que, al menos, en dichos totalitarismos se respetaba la ciencia y las matemáticas, en especial la segunda, porque era inmune a la presión ideológica. Pero esto no lo respeta la ideología woke, argumenta.

«Al igual que los niños de todo el mundo, me atraían las matemáticas por su belleza formal, la elegancia y la precisión de sus argumentos, y la sensación única de logro que podía obtener al encontrar la respuesta correcta a un problema difícil. Las matemáticas también me permitieron escapar del embriagador tambor diario de la propaganda del partido, un refugio contra la aplastante atmósfera del conformismo político e ideológico».

Explicó el profesor Kainerman.

Añadiendo: «La ideología woke, por otro lado, trata tanto la ciencia como las matemáticas como construcciones sociales y condena la forma en que se practican, en la investigación y la enseñanza, como manifestaciones de supremacía blanca, eurocentrismo y poscolonialismo».

El profesor puso un ejemplo claro, que es el reciente programa, citado anteriormente, que está apoyado financieramente por la Fundación Gates; y que, según relata, cuenta con socios como: Lawrence Hall of Science de la Universidad de Berkeley, la Asociación de Administradores Escolares de California y la Oficina de Educación del Condado de Los Ángeles.

El programa, explica el profesor, esboza que «la cultura de la supremacía blanca se manifiesta en el aula cuando se centra en obtener la respuesta ‘correcta’», o en su defecto, «cuando se exige a los alumnos que muestren su trabajo, al tiempo que estipula que el propio “concepto de que las matemáticas son puramente objetivas es inequívocamente falso”».

El plan de estudio apoyado por Bill Gates tiene como objetivo principal «desmantelar el racismo en la enseñanza de las matemáticas» y, lo que puede ser más preocupante, involucrar «el giro sociopolítico en todos los aspectos de la educación, incluidas las matemáticas».

Kainerman, notoriamente preocupado, explicó lo absurdo que es tomar a las matemáticas como una ciencia que va cambiando según la raza, etnia o gentilicio de las personas. Las matemáticas son una.

«Por razones históricas, a menudo hablamos de las contribuciones al campo de las matemáticas de los egipcios, babilonios, griegos, chinos, indios y árabes y nos referimos a ellos como entidades distintas. Todos ellos han contribuido, a través de un diálogo cultural único, a la creación de un edificio verdaderamente magnífico y accesible hoy en día a todos los hombres y mujeres del planeta», explicó el profesor Kainerman. «Aunque rindamos homenaje a las grandes figuras históricas que informan la práctica de las matemáticas, la asignatura puede enseñarse —y a menudo se hace— sin hacer referencia a los individuos que han contribuido a ella. En ese sentido, es singularmente universal».

Para culminar su contundente crítica, el profesor añadió que, simplemente, las matemáticas racistas, blancas o supremacistas no existen:

«No hay ninguna razón para asumir, como hacen los activistas, que los niños de las minorías no son capaces de hacer matemáticas o de encontrar las “respuestas correctas”. Y no puede haber ninguna justificación para, en nombre de la “equidad” o de cualquier otra cosa, privar a los estudiantes de la educación rigurosa que necesitan para tener éxito. Los verdaderos antirracistas se levantarán y se opondrán a este sinsentido».

Fuente: elamerican.com

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Libros para disfrutar las Matemáticas

Libros de matemáticas básicas (y no tan básicas) para aprender a quererlas

Las matemáticas forman parte de nuestra vida y eso es incuestionable. Así que, para que logres entenderlas de una vez por todas, te traemos en esta ocasión un listado de libros de matemáticas básicas para que aprendas a quererlas.

¿Necesitas más razones?

Aquí va una: porque explican el universo que nos rodea, la tecnología, la naturaleza, el cuerpo humano…

Vale, estas son evidentes. Pero ¿y si te dijéramos que también está detrás del enamoramiento, de una sinfonía, de una obra pictórica o de los libros de Borges? ¿Ahora sí?

Presta atención a los títulos que te presentamos a continuación.

Todos escritos por expertos en matemáticas que han dedicado y dedican sus vidas a su estudio y que tienen el empeño de hacer que aquellos que no somos eruditos en la materia las disfrutemos. ¡Y vaya si lo consiguen!

Matemáticas: placer, poder, a veces dolor. Una mirada crítica sobre la matemática y su enseñanza

No es extraño que al escuchar la palabra “matemáticas” se nos venga a la cabeza esa asignatura que traía de cabeza a muchos en su época de estudiante. Y más aún si lo tuyo eran las letras.

Lo cierto es que, poco a poco, esa tendencia de indiferente oscuridad científica va cambiando, y cada vez se pone en más foco en la divulgación científica y en la clara comprensión de estas áreas de conocimiento. Un ejemplo es este título de César Sáenz Castro y Xenaro García Suárez, de la Universidad Autónoma de Madrid, quienes se proponen acabar con el miedo que rodea esta disciplina.

Ambos autores plantean, a dos manos, que las matemáticas constituyen una ciencia social y cultural. Y que no solo forma parte de una caracterización tecnológica y simbólica.

Además, este libro constituye una crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas. La cual se ha basado en ejercicios rutinarios y repetitivos que, según los autores, daba a entender la materia como algo meramente objetivo.

Como decimos, este es un tema candente en la actualidad. En el siguiente vídeo, el popular profesor Dan Meyer da algunas pistas de los obstáculos a superar en la enseñanza de las matemáticas. Tampoco es el único, el físico Conrad Wolfram, con su empresa Computers Based Math, también trata -a su manera- de mejorar el aprendizaje matemático en la enseñanza primaria.

Pero no nos extendamos más.

En suma, el libro de Saéz y García nos da las claves para abordar las matemáticas con placer (y a veces dolor, que es la otra cara de la moneda), pero siempre teniendo en cuenta las condiciones personales de quien la estudian.

Didáctica de las matemáticas en educación infantil

Abordemos la cuestión desde la educación más básica. ¿Cómo es la enseñanza de las matemáticas en Educación Infantil? ¿Cómo debería ser? En este volumen, Blanca Arteaga y Jesús Macías, de la Universidad Internacional de la Rioja, tratan de dar respuesta aportando una serie de pautas y consejos para los maestros.

Su metodología parte de la base de que el docente debe despertar la curiosidad, la necesidad de investigar y de buscar respuestas. Y siempre teniendo en cuenta la idiosincrasia del alumnado, sus distintas capacidades.

Dividido en dos partes, “Desarrollo del pensamiento matemático” y “Consideraciones didácticas y metodológicas”, este estupendo manual pretende ser una guía para la enseñanza de una materia que, en muchas ocasiones, se diluye entre el resto de disciplinas en esta temprana fase educativa.

Matemáticas en la vida cotidiana

¿Aún temes a las matemáticas? Si es así, te proponemos otro título para que enfrentes tus miedos a esta disciplina, que, te aseguramos, puede llegar a resultar fascinante.

Lo primero que debes reconocer es que forman parte de la mayoría de las tareas que llevamos a cabo cada día.

• Hablar por teléfono
• Hacer fotos con nuestros móviles y cámaras
• Sacar dinero en un cajero automático
• El uso de los ordenadores e internet
• Viajar en metro o usar un GPS

¡Y no aumentamos la lista porque eso nos ocuparía todo el artículo!

Este libro conjunto de la Universidad de Jaén hará que descubras el maravilloso universo de las matemáticas. Conectando sus teorías con tus tareas cotidianas, sus autores logran que sientas curiosidad y fascinación por todos esos números que se esconden detrás de lo que hacemos.

Prisma. Un paseo entre las matemáticas y la realidad

Si te interesan las matemáticas, pero no eres un experto, este es el libro ideal para que profundices en su conocimiento.

Los integrantes del Grupo de Divulgación de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla  tienen su empeño puesto en hacer llegar las matemáticas a todo aquel que esté interesado en ellas, independientemente del nivel previo que posean.

De ahí el carácter divulgativo de una obra que recoge, en catorce capítulos, las charlas de expertos sobre diversas ramas y épocas de las matemáticas.

Un excelente trabajo que le valió a sus autores el Premio Universidad de Sevilla a la Divulgación Científica.

Libros del CSIC sobre matemáticas

Sin duda alguna, la Editorial CSIC es uno de los sellos de referencia en el estudio científico de nuestro país.

Además, sus esfuerzos se concentran en la divulgación de sus investigaciones, no solo hacia el resto de científicos sino hacia la población general. Por ello poseen una colección (¿Qué sabemos de…?) de breves libros divulgativos que tratan de condensar lo más importante de una materia concreta de forma asequible. Y para un público no especializado.

En esta ocasión, os vamos a presentar tres títulos que abordan la materia de las matemáticas.

Las matemáticas de los cristales

La cristalografía es la parte de la geología que estudia la forma y estructura de los minerales al cristalizar. Y en ella también intervienen las matemáticas.

Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria nos explican aquí la relación entre ambas disciplinas, que se remonta nada menos que al siglo XVII.

Fue entonces cuando Kepler, absorto en los copos de nieve que se posaban sobre su abrigo, comenzó a descifrar la estructura de tan bello fenómeno. ¡Con ayuda de las matemáticas, por supuesto!

Además, estos expertos del CSIC nos muestran cómo cristalografía y matemáticas tienen en común el estudio de la simetría y los grupos, entre otros muchos conceptos.

Un conciso y asequible relato en el merece mucho la pena indagar.

Las matemáticas de la luz

Si en el anterior texto el detonante fue la nieve, ahora es el turno de la luz. En este otro título de la colección del CSIC, Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria vuelven a asombrarnos con la relación de las matemáticas con un fenómeno tan universal como la luz.

En un recorrido por la historia, nuestros autores narran las distintas etapas en que las matemáticas, y en especial la geometría, se incorporaron al estudio de la luz.

Por supuesto, también de cómo el ser humano ha sido capaz de descifrar el papel de la luz en nuestra visión, un fenómeno que, a día de hoy, sigue evolucionando.

Matemáticas y ajedrez

El 11 de mayo de 1997, la supercomputadora Deeper Blue (versión mejorada de la conocida Deep Blue) venció por primera vez en la historia a un ser humano en una partida de ajedrez, Kaspárov.

Es fácil imaginar lo que pensaría Kaspárov sobre las matemáticas en ese momento…

Y es que el ajedrez siempre ha sido objeto de atención por parte de matemáticos, programadores o expertos en inteligencia artificial, entre muchos otros. Por ello, Razvan Iagar ha querido sintetizar en este libro su historia común.

Y es que fue precisamente la incursión en este juego de mesa lo que permitió a muchos de científicos perfeccionar sus teorías.

Si eres aficionado al ajedrez y quieres conocer las matemáticas que se esconden detrás de la partida perfecta, este breve relato será tu mejor cómplice.

Las matemáticas de nuestra vida

Ponemos fin a nuestras recomendaciones de hoy con este título tan llamativo.

¿Acaso podríamos entender el mundo sin las matemáticas?

Los editores de la obra, Julio Mulero, Lorena Segura y Juan Matías Sepulcre, de la Universidad de Alicante, saben que no. Y por ello han compilado trece capítulos en los que se repasa la conexión de las matemáticas con temas como el amor, el arte, el cine, la literatura…

Interesante, ¿verdad?

Si quieres conocer qué números, fórmulas o hipótesis se aplican a una obra de arte, a una pieza musical o a tu libro favorito, este título te ayudará a hacer esa conexión.

¡Por cierto! Al inicio del post mencionábamos a Borges, ¿verdad? Mira:

Las inimaginables matemáticas en La biblioteca de Babel de Borges

Si eres lector de Borges y aficionado las matemáticas, este es tu libro.

El profesor del Wheaton College (Masssachusets, EE.UU.) William Goldbloom Bloch detalla en esta obra publicada por la Universidad Veracruzana un apasionante viaje lleno de anécdotas a la lógica matemática que compone el clásico cuento La biblioteca de Babel.  Divertidísimo.

Ya lo ves, las matemáticas no son únicamente largas e incomprensibles fórmulas que solo atañen a los científicos.

Y es que, querido lector, matemáticas… eres tú y… ¿también Dios?

Fuente: unebook.es

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Más sobre el Teorema de Bayes

Un teorema para el Siglo XXI

Por Anabel Forte Deltell.

Estimado señor, 

Le adjunto un escrito hallado entre los papeles de nuestro fallecido amigo Mr Bayes que, en mi opinión, tiene gran mérito y debería ser preservado:

EL TEOREMA DE BAYES

hilo en twitter por @AnaBayes y @Juliomulero para el concurso #ENEMDivulga de @ENEM_mat

Así empezaba la carta que Richard Price envió a John Cantón el 23 de diciembre de 1673 y a la que acompañaba el documento que dio origen al conocido como Teorema de Bayes, un teorema que está llamado a ser clave, por ejemplo, en las resoluciones judiciales y que da lugar a la visión Bayesiana de la estadística. 

Thomas Bayes, era un reverendo presbiteriano cuyo teorema simboliza la formalización matemática del aprendizaje humano. En el fondo, el Teorema de Bayes explica cómo actualizamos nuestra visión de un proceso a medida que conocemos nueva información. 

Tenemos dos cajas de tornillos: la caja A (los culpables) contiene 40 tornillos de los cuales un 30% son defectuosos y la caja B (los inocentes) contiene 60 de los cuales 10% son defectuosos.

De pronto… ¡mala suerte! Se nos caen al suelo las dos cajas y se mezclan todos los tornillos. La catástrofe es que ya no sabemos cuáles son de cada caja.  Cogemos uno del suelo al azar y estamos interesados en conocer qué probabilidad hay de que sea culpable o inocente. 

Antes incluso de mirarlo pensamos: ¡ajá! Como 40 de los 100 tornillos eran de la caja A, la probabilidad de que nuestro tornillo sea “culpable” es 0.4 mientras que, la de que sea inocente (de la caja B) es 0.6. 

El tornillo tiene, por tanto, una mayor probabilidad de ser inocente:

Ahora bien, lo observamos con cuidado y vemos que es defectuoso.

¡Bravo! ¡Tenemos una pista! Como en un juicio, pero ¿cómo la usamos? ¿Cambia esto el estado de las cosas?

Tenemos que pensar que ahora nuestro “universo” se ha reducido a los tornillos defectuosos. ¿Y esos cuántos son?

En la caja A había un 30% (12) de tornillos defectuosos. En la caja B, un 10% (6). Por tanto, el tornillo que “hemos rescatado” sólo puede ser uno de los 18 tornillos defectuosos.

Entonces, si tenemos en cuenta que el tornillo es defectuoso (la pista), ahora la probabilidad de que el tornillo pertenezca a la caja A (sea culpable) ha pasado a ser 12/18=0.66 

Siguiendo el mismo razonamiento, la probabilidad de que sea inocente es  6/18=0.33.

Antes, la probabilidad de ser de la caja A era 0.4 y la de ser de la caja B, 0.6.

Ahora, con una mayor información, la probabilidad de ser de la caja A es 0.66 y la de pertenecer a la caja B, 0.33. 

¿Cómo cambia la perspectiva, no crees?

El Teorema de Bayes formaliza esta idea para que la podamos aplicar a cualquier situación en la que nuestra información se actualiza gracias a nueva información. 

En concreto, si llamamos D a la pista o información nueva y A al hecho de ser culpable: 

Imagina ahora que te llaman a un juicio de verdad, uno sin tornillos. 

En principio no tienes ningún prejuicio y piensas que es muy poco probable que una persona haya cometido un crimen así que asignas una probabilidad inicial de 0.01 a que la persona acusada sea culpable, esto es P(A).

Durante el juicio nos muestran una colilla encontrada en la escena del crimen. 

Se trata de una marca de tabaco muy rara y sabemos que la probabilidad de haber encontrado esa colilla en la escena del crimen es de 0.015, esto es P(D) 

Sabemos, además, que la persona acusada fuma ese tabaco y, por tanto, si esa persona fuese culpable la probabilidad de que hubiésemos hallado la colilla es muy alta, digamos P(D|A)= 0.9 (porque habrá ratos que no fume, vaya).

Aplicando la fórmula de Bayes, se obtiene que 0.9*0.01/0.015= 0.6

¡¡¡La probabilidad de que sea culpable ha pasado de 0.01 a 0.6 tras observar la pista!!!! 

Uno de los juicios en los que esta aplicación del Teorema de Bayes tuvo un gran impacto fue el de Diana Quer https://www.elprogreso.es/articulo/galicia/teorema-nunca-utilizado-espana-trata-probar-diana-fue-violada/201911211650041408557.html

A grandes rasgos, en el juicio se partía de una probabilidad muy baja de que el móvil del crimen fuese la violación, pero, a la vista de las pistas, la probabilidad habría aumentado a un 0.99. 

OJO: La probabilidad de ser culpable tras obtener la pista P(A|D) no es la misma que la de obtener la pista sabiendo que esa persona es culpable P(D|A) y es posible que conozcamos la segunda, pero no la primera que es la que buscamos.  

En definitiva, el Teorema de Bayes se convierte en una herramienta determinante en control de calidad o en justicia, pero también en diagnóstico clínico incluso en la detección del Spam en nuestros correos electrónicos y conforma la base de la Estadística Bayesiana 

Gracias por leer hasta aquí!

Fuente: http://anabelforte.com/2020/07/23/un-teorema-para-el-siglo-xxi/

Más información:

El Teorema de Bayes en el Análisis de Inteligencia

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Caos y Complejidad

Espacio de debate

Teoría del Caos

La teoría del caos es la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata sobre ciertos tipos de Sistemas complejos y Sistemas dinámicos no lineales MUY sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en las condiciones iniciales implican grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo; a pesar de ser sistemas deterministas, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.

La teoría de las estructuras disipativas, conocida también como teoría del caos, tiene como uno de sus principales representantes al químico belga Ilya Prigogine, y plantea que el mundo no sigue estrictamente el modelo del reloj, previsible y determinado, sino que tiene aspectos caóticos. El observador no es quien crea la inestabilidad o la imprevisibilidad con su ignorancia: ellas existen de por sí, y un ejemplo típico el clima.

El «efecto mariposa» (nombre acuñado a partir del diagrama de la trayectoria obtenida por el meteorólogo y matemático Edward Lorenz al intentar hacer una predicción del clima) hace referencia a la sensibilidad de un determinado sistema caótico, donde la más mínima variación en sus condiciones iniciales pueden provocar que el sistema evolucione en formas completamente diferentes. Así, una pequeña perturbación inicial mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande.

Fuente: Ediciones EP, 2020.

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La vida del extravagante matemático Alexander Grothendieck

La obra de Alexander Grothendieck (1928-2014)

Por Francisco R. Villatoro.

El matemático francés Alexander Grothendieck falleció el 13 de noviembre de 2014 en Saint-Girons, Francia. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus trabajos en Álgebra Homológica y Geometría Algebraica. Fue un matemático que destaca por su visión (su particular punto de vista) a la hora de atacar los problemas matemáticos más difíciles. Sus ideas han generado puentes entre muchas disciplinas alejadas entre sí y ha abierto campos insospechados. Muchas de sus ideas se encuentran en manuscritos inéditos, lo que ha elevado su figura a la talla de mito.

En este breve homenaje a su figura me basaré en el muy recomendable artículo de Leovigildo Alonso Tarrío y Ana Jeremías López, “La obra de Alexander Grothendieck,” Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 4: 623-638, 2001 [PDF gratis]. También recomiendo leer a Winfried Scharlau, “Who Is Alexander Grothendieck?,” Notices of the AMS 55: 930-941, 2008 [free PDF] (gracias José L. Pérez aka ‏@Jos192).

Más información biográfica en “Décès d’Alexandre Grothendieck,” Institut des Hautes Études Scientifiques, 14 Nov 2014; Bruce Weber, Julie Rehmeyernov, “Alexander Grothendieck, Math Enigma, Dies at 86,” New York Times, 14 Nov 2014; Pierre Cartier, “Alexander Grothendieck. A Country Known Only by Name,” Inference Review, 14 Nov 2014; y otros.

Grothendieck es el paradigma en el siglo XX del matemático guiado por una intuición casi milagrosa. Estudiante brillante, durante su carrera en la Universidad de Montpellier, Francia, redescubrió por sus propios medios la teoría de la medida de Lebesgue. Desarrolló su tesis doctoral en París, bajo la dirección de Dieudonné (pura escuela Bourbaki). Allí asistió a seminarios de H. Cartan, Delsarte, Godement y Schwartz. Tras sus estancias postdoctorales en Kansas y Sao Paulo fue contratado por el recién fundado I.H.E.S. (Institut des Hautes Études Scientifiques), la réplica francesa al I.A.S. (Institute for Advanced Study) de Princeton. Allí demostró ser uno de los matemáticos vivos más geniales y más revolucionarios de su tiempo. Sus trabajos culminaron con la Medalla Fields en 1966, que se negó a recoger porque se concedió en el ICM  (Congreso Internacional de Matemáticos) celebrado en Moscú, 16-26 Agosto. Su acto fue una protesta contra la represión soviética en Hungría en 1956.

En 1970 abandona el I.H.E.S., pasa al C.N.R.S. (Centre National de la Recherche Scientifique) y, finalmente, en 1973, retorna a la Universidad de Montpellier como profesor (abandonando la investigación activa). En 1984 volvió al C.N.R.S. para retirarse en 1988, ya con 60 años, año que recibió el Premio Crafoord de la Academia Sueca (el premio que dicha academia concede a los matemáticos para quitarse el sanbenito de que no haya un Nobel para los matemáticos). Grothendieck rechazó dicho premio (que también fue concedido a Deligne) y aprovechó para arremeter contra la falta de ética de la ciencia actual. Decidió retirarse a los Pirineos franceses.

Los primeros trabajos de Grothendieck fueron en Análisis Matemático. Extendió la teoría de espacios vectoriales topológicos de Dieudonné, su director de tesis, a productos tensoriales de espacios localmente convexos (los llamados espacios nucleares). Hay varias posibilidades para dotar de una topología a un producto tensorial E⊗F, de dos espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita. Grothendieck estudia dos posibilidades concretas que le permiten generalizar el teorema del núcleo de Schwartz e introducir los llamados espacios nucleares (p.ej. el espacio de las funciones holomorfas sobre una variedad analítica compleja).

A finales de los 1950 Grothendieck se centra en la dualidad en cohomología (la extensión del concepto de dualidad de Poincaré a las variedades algebraicas). Generaliza varios resultados, e imparte una charla plenaria en el ICM de 1958 en Edimburgo sobre Álgebra Homológica. Sus resultados muestran el espíritu funtorial que le guió durante toda su carrera: el objeto de estudio no son las variedades algebraicas sino los morfismos entre ellas. Gracias a ello una definición y una construcción naturales hacen que la demostración de un resultado (muy complicado) se convierta en algo trivial (es decir, si escribes algo de la forma correcta sus propiedades serán obvias y no será necesario que las demuestres de forma explícita). Para muchos matemáticos la genial intuición de Grothendieck era una guía, casi extraterrestre o sobrenatural, hacia el rigor más bourbakiano.

En Geometría Algebraica la gran contribución de Grothendieck fue un cambio de lenguaje, seguido por la gran mayoría de trabajos relevantes posteriores en este campo. El lenguaje de esquemas simplifica la intuición de los resultados, permitiendo generalizarlos, y además ofrece grandes ventajas técnicas. Esta gran contribución nació con su generalización de la fórmula de Riemann-Roch para determinar la característica de Euler-Poincaré de curvas complejas en variedades algebraicas, que se basó en el llamado grupo de Grothendieck, también conocido como funtor K₀, que le llevó a una nueva teoría de cohomología denominada Teoría K. Estos trabajos sentaron las bases de la Geometría Algebraica del resto del siglo.

El carácter peculiar de Grothendieck le llevó a escribir de su propia mano pocos artículos matemáticos. Le gustaba impartír seminarios en el I.H.E.S. con sus descubrimientos, dejando que sus colegas se encargaran de tomar notas y redactar los correspondientes artículos técnicos. Por ejemplo, la teoría de esquemas fue expuesta en un tratado redactado por Dieudonné, titulado Eléments de Géométrie Algébrique. Una obra monumental de la que sólo aparecieron los cuatro primeros capítulos (de los doce proyectados inicialmente). La cohomología étale que aprendió de Grothendieck en un seminario, junto a la teoría de formas modulares, permitió a Deligne demostrar en 1974 las conjeturas de Weil sobre el número de puntos de una variedad algebraica sobre un cuerpo finito (un análogo a la hipótesis de Riemann para la función Zeta de una curva sobre un cuerpo finito). La cohomología cristalina de Grothendieck (que fuerza la validez del lema de Poincaré y permite integrar formalmente en la variedad) también ha conducido a importantes avances.

Grothendieck también nos dejó muchas conjeturas, como las famosas conjeturas estándar (también enunciadas por Bombieri) de la teoría de motivos. Estas conjeturas están abiertas en general y su resolución permitirá garantizar la existencia de una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas. Sobre estos temas Grothendieck nunca publicó una línea, sin embargo, hoy son el centro de la Geometría Algebraica. Su yoga motívico ha llevado a una auténtica galaxia de conjeturas enunciadas por otros autores, pero inspiradas en sus ideas.

He de confesar que mis conocimientos de Geometría Algebraica son insuficientes para poder entender los resultados de Grothendieck. Como todo visionario, durante su retiro en Montpellier, soñó con varias teorías matemáticas que conocemos por las cartas que envió a algunos colegas: Álgebra Topológica (teoría de las ∞-categorías laxas), Topología Moderada (una generalización de la teoría de esquemas), Geometría Algebraica Anabeliana (cómo construir variedades algebraicas a partir de su grupo fundamental cuando no es conmutativo), la teoría de Galois-Teichmüller y, en general, el punto de vista esquemático o aritmético para los poliedros regulares (los llamados dibujos de niños). Hay varias iniciativas que pretenden hacer públicos los manuscritos inéditos de Grothendieck sobre estos temas que se encuentran depositados en la Universidad de Montpellier, pero él mismo ha dicho que se opone a que sean publicados. Ahora con su fallecimiento es posible que la tarea se lleve a cabo y quizás las nuevas ramas matemáticas soñadas por Grothendieck puedan aportarnos luz en el panorama matemático del siglo XXI.

Descanse en paz, Alexander Grothendieck.

Fuente: francis.naukas.com

Más información:

El misterio de Alexandre Grothendieck

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14 de marzo Día internacional de las Matemáticas

La UNESCO declara el 14 de marzo como Día Internacional de las Matemáticas

Por Nova Ciencia.

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Las Matemáticas ya tienen su día internacional en el calendario. La Unión Matemática Internacional (IMU) ha comunicado a sus organizaciones adheridas, entre las que se encuentra el Comité Español de Matemáticas (CEMat), la proclamación por parte de la UNESCO del 14 de marzo como el Día de Internacional de las Matemáticas. Esta resolución ha sido adoptada en la 40 Conferencia General de la UNESCO, celebrada en París del 12 al 27 de noviembre de 2019. Con el apoyo de numerosas organizaciones internacionales y gobiernos, entre ellos el de España, la IMU había liderado en los últimos años este proyecto, en el que anualmente se invitará a los países a celebrar este día con diversas actividades dirigidas a los centros educativos y al público general.

La elección del 14 de marzo responde a la coincidencia del 3-14 con el número Pi, fecha en la que, de hecho, muchos países celebraban el “Día de Pi”. El lanzamiento oficial de esta celebración tendrá lugar el viernes 13 de marzo de 2020 en dos eventos paralelos, el primero de ellos en la sede de la UNESCO en París y el segundo en África, durante un evento paralelo en el Next Einstein Forum que se celebra en Nairobi (Kenia).

La IMU ha creado la página web www.idm314.org, en la que países y organizaciones están invitados a anunciar sus celebraciones. Además, pondrá a disposición de los interesados materiales en abierto y en diferentes lenguas, entre ellos, proyectos, ideas, actividades o “software” para usar en las aulas. El tema elegido para el próximo año será “Mathematics is everywhere” (Las Matemáticas están en todas partes), con el que los participantes están invitados a encontrar las conexiones de las matemáticas con la ciencia y la tecnología; en la organización de las ciudades, la sociedad y los gobiernos; los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) o las actividades diarias de las personas.

Fuente: novaciencia.es, 27/11/19.

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The International Day of Mathematics is a project led by the International Mathematical Union.

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