Fermat, Pascal y los inicios de la probabilidad moderna
Te contamos cuáles fueron los comienzos de la actual teoría de la probabilidad
Por Miguel Ángel Morales.
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Desde el porcentaje de que llueva o nieve un día concreto en una zona determinada hasta la idoneidad de apostar o no según la mano de póker que llevemos, pasando por las cuotas a favor o en contra de la victoria de un cierto equipo y muchos otros fenómenos físicos o económicos. Gran parte de los datos que nos encontramos a diario en muchos ámbitos están basados en el cálculo de probabilidades.
En 1933, Andréi Kolmogórov establecía la que se conoce como concepción axiomática de probabilidad, dando rigor de esta forma a muchos de los estudios que se habían realizado con anterioridad en esta rama y comenzando así el estudio moderno de la teoría de probabilidades. Pero el estudio de la probabilidad comenzó mucho antes, y se puede decir que los precursores de esta teoría fueron Pierre de Fermat y Blaise Pascal.
Nos remontamos al siglo XVII. La teoría de números da sus primeros pasos como rama de las matemáticas gracias a Pierre de Fermat, y la geometría analítica hace su aparición en las matemáticas apoyada en los estudios del propio Fermat y de René Descartes. Al margen de todo esto, la alta sociedad francesa se entretiene con juegos de azar.
Pierre de Fermat.
Uno de sus integrantes, Antoine Gombaud, Caballero de Méré, era un experto jugador (aparte de escritor y pensador). A pesar de su sabiduría en lo que a juegos de azar se refería, había dos que le creaban dudas, que no entendía completamente. Por ello, decidió planteárselos a Pascal.
El primero que vamos a comentar es el siguiente. Supongamos que tiramos un dado cuatro veces y pensemos en la probabilidad de que salga al menos un 6 en alguna de las tiradas (da igual en cuál de ellas). La cuestión es la siguiente: ¿nos conviene apostar a que saldrá al menos un 6? Veámoslo con matemáticas.
Vamos a calcular la probabilidad de que no salga ningún 6 en ninguna de las tiradas, y el resultado se lo restaremos a 1, obteniendo así la probabilidad de que salga al menos un 6.
La probabilidad de que no salga un 6 en una tirada es 5/6 (cinco valores que no son 6 entre seis valores posibles), y como tiramos cuatro veces (y las tiradas son independientes), la probabilidad de que no salga ningún 6 en esas cuatro tiradas es:
(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) = (5/6)4
Ahora la probabilidad de que salga al menos un 6 saldrá de restar ese resultado a 1:
P(Al menos un 6) = 1-(5/6)4=0’5177…
Como nos sale un resultado mayor que 0’5, nos conviene apostar a que saldrá al menos un 6 en cuatro tiradas de un dado.
Gombaud sabía que esa apuesta era ligeramente favorable que la contraria (aunque seguro que no hizo los cálculos como hemos mostrado aquí), y a partir de aquí se planteó qué ocurriría al tirar dos dados y esperar que en ambos salga 6 al menos una vez. Su razonamiento fue algo parecido a lo siguiente:
“La probabilidad de sacar 6 en ambos dados (en una tirada) es igual a multiplicar por 1/6 la probabilidad de sacar un 6 con un dado en una tirada. Por tanto, para igualar la situación al problema anterior habría que hacer 4 · 6 = 24 tiradas. Así conseguimos un problema en el que la probabilidad de sacar 6 en ambos dados al menos una vez es la misma que la de sacar un 6 al menos una vez en el caso anterior, por lo que interesa apostar a favor de ese hecho.”
Blaise Pascal.
El caso es que nuestro caballero de Mére, a pesar de que aparentemente la apuesta era favorable, veía que a la larga perdía más veces que ganaba. Vamos, que la apuesta no parecía tan favorable, pero no sabía por qué. ¿Podrías ayudar tú a Antoine? Piénsalo, más adelante daremos la respuesta.
El segundo problema es, bajo mi punto de vista, más interesante. Os pongo en situación:
Imaginemos que dos jugadores A y B juegan con una moneda, tirándola y viendo lo que sale en ella. Si sale cara, A acumula un punto, y si sale cruz lo acumula el jugador B. Ambos han apostado 32 € y gana el jugador que antes llegue a 5 puntos, llevándose entonces todo el dinero (al parecer, el problema trataba de tirar un dado y cada uno había elegido un número concreto, pero para ilustrar el problema nos vale nuestro ejemplo). Por circunstancias que no vienen al caso, hay que interrumpir el juego antes de que uno de los jugadores gane, estando en ese momento el marcador así: A lleva 4 puntos y B lleva 3 puntos. La cuestión es la siguiente: ¿cómo debe repartirse el dinero?
Este problema había sido estudiado anteriormente por Luca Pacioli y por Tartaglia, pero ambos dieron respuestas erróneas. Nuestro caballero de Mére se lo propuso a Pascal, que lo puso en conocimiento de Fermat mediante correspondencia. En esa correspondencia entre estos dos monstruos de las matemáticas se resolvió este problema y, de paso, se creó el germen de la teoría del cálculo de probabilidades.
Pero vayamos al problema en sí. La primera idea, en cierto modo razonable, sería repartir el dinero total, 64 €, en proporción según los puntos que llevan cada uno de ellos en el momento en el que el juego se corta. Como en ese momento A lleva 4 puntos y B lleva 3 puntos, habría que dividir 64 entre 7 y dar 4 partes a A y 3 partes a B…
…el problema es que este razonamiento no da un resultado justo. Por ejemplo, imaginad que sólo se ha hecho una tirada y ha salido cara. Entonces A lleva un punto…y las circunstancias obligan a terminar ahí el juego. Según el razonamiento anterior, A debería llevarse todo el dinero, lo que sería a todas luces injusto.
El reparto más justo (y, por tanto, el correcto) debe ir en función de la probabilidad que tendría cada uno de ganar el juego si éste no se hubiera interrumpido. Vamos a analizar cuáles serían las probabilidades de cada uno y las usaremos después para repartir el dinero correctamente.
Como decíamos, el jugador A lleva 4 puntos y el B lleva 3 puntos, y gana el primero que llegue a 5 puntos. Si en la siguiente tirada hubiera salido una cara, el jugador A llegaría a 5 puntos y, por tanto, ganaría. La probabilidad de que ocurra eso es la probabilidad de que salga cara en una tirada: 1/2.
Si hubiese salido cruz, el jugador B sumaría 4 puntos. Como el A también lleva 4, todavía no ha ganado nadie, por lo que hay que tirar de nuevo. Si en esa segunda tirada sale cara, gana el A, y esto ocurre con probabilidad
(1/2) · (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 por la cruz y el segundo por la última cara)
Y si en la segunda tirada sale cruz, gana el jugador B. La probabilidad de que eso ocurra es también
(1/2) · (1/2) = 1/4 (el primer 1/2 por la primera cruz y el segundo por la última cruz)
Analizando estos casos, vemos que la probabilidad de que gane A es:
P(Gana A)=1/2 + 1/4 = 3/4
Y la probabilidad de que el ganador sea B es:
P(Gana B)=1/4
Entonces debemos dividir el dinero total en cuatro partes y darle tres a A y una a B. Por tanto, al jugador A le corresponden 48 € y al B le deben dar 16 €.
Volvamos ahora al primer problema. ¿Lo has resuelto? Razonando como en el caso de una sola tirada de dado seguro que sí. Pero por si acaso vamos a comentarlo.
Vamos a calcular la probabilidad de que no salga el resultado (6,6), y después, como antes, le restaremos esa probabilidad a 1. Como el resultado (6,6) puede darse solamente en 1 de los 36 casos posibles, y tiramos el dado 24 veces, tenemos que:
P(No salga (6,6)) = (35/36)24
Ahora le restamos ese valor a 1 y obtenemos la probabilidad de que salga (6,6) al menos una vez en 24 tiradas:
P(Al menos sale (6,6) una vez en 24 tiradas) = 1 – (35/36)24 = 0’4914…
Lo que significa, al ser menor que 0’5, que apostar a ese resultado es, a la larga, perjudicial para el jugador.
Como ya hemos comentado, Pascal y Fermat comentaron y dieron solución a estos problemas en la correspondencia que se generó entre ambos (Fermat, sobre todo, era mucho de comunicarse con otros matemáticos por correspondencia) después de que el caballero de Mére se los propusiera a Pascal. Aquí tenéis traducciones al inglés de parte de esa correspondencia, aunque por desgracia no todas las cartas han llegado a nuestros días. El responsable de formalizar todos estos argumentos fue Christiaan Huygens, que tuvo conocimiento de esta correspondencia sobre 1655. En 1657 publicó el tratado De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculando en juegos de azar), escrito en el que resolvía los problemas sobre probabilidades que circulaban en aquella época. Este tratado se convirtió en el primero trabajo publicado sobre cálculo de probabilidades.
Como habéis podido ver, el simple planteamiento de un problema práctico por parte de Antoine Gombaud, caballero de Mére, acabó dando lugar a toda una teoría matemática con multitud de usos y aplicaciones. Y no es el único caso, recordad el caso de los puentes de Königsberg y la teoría de grafos. Por ello, no debemos restarle importancia a ninguno de los problemas que se nos puedan ocurrir o que nos puedan aparecer, ya que nunca se sabe la importancia que pueden llegar a tener o las aplicaciones que se les puede encontrar.
El hombre que conocía el infinito es una película biográfica británica estrenada en el 2015, basada en el libro del mismo nombre de 1991 de Robert Kanigel. La estrella de película Dev Patel representa a Srinivasa Ramanujan, un matemático que después de crecer en la pobreza en Madras, India, es admitido en la Universidad de Cambridge durante la Primera Guerra Mundial, donde se convierte en un pionero en teorías matemáticas guiado por su profesor, G. H. Hardy (representado en la película por Jeremy Irons a pesar de que entre los personajes reales sólo había 10 años de diferencia).
Matemáticos señalados como Manjul Bhargava y Ken Ono han colaborado con los productores de la película.
‘Día y noche’, una de las obras que se exponen en el Palacio de Gaviria. THE ESCHER FOUNDATION
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Recordaba siempre Maurits Cornelis Escher que «el asombro es la sal de la tierra». Su obra cuenta con buena parte de esta filosofía. Ciencia, naturaleza, rigor analítico y capacidad contemplativa fueron las señas de identidad con las que creció y con las que ha sabido mantenerse 40 años después de su muerte. «Cada vez que veo estos grabados, encuentro un hallazgo nuevo», señala el coleccionista de arte Federico Giudiceandrea, uno de los comisarios junto a CEO de la M.C. Escher Company Mark Veldhuysen, de la exposición con la que, además, se reabre el Palacio de Gaviria. Así, desde hoy y hasta el 25 de junio, vuelve a Madrid tras una década de su última exposición. «Fue un país donde encontró la inspiración».
La estrecha relación del artista con España e Italia, donde pasó varias temporadas entre 1921 y 1935, fue el detonante de su carrera como artista gráfico. El eslabón entre sus estudios de arquitectura y su nuevo forma de entender el arte fue su maestro, Samuel Jessurum de Mesquita, quien despertó en él un marcado interés por la teselación – regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana-. San Gimignano fue una de las primeras ciudades que visitó y en la que aprendió no sólo a dibujar paisajes sino también la naturaleza. «Cuando volvía a Roma, esos dibujos los convertía en xilografías«, explica Mark Veldhuysen. «Fue todo un maestro del grabado».
Se remonta a esta época el primer autorretrato en espejos curvos, lo que reiteraba su fascinación por las superficies reflectantes. «El artista se considera el centro del universo», aclara Mark. Así, la esfera refleja los rayos procedentes de cualquier dirección, representa íntegramente el espacio que lo rodea, con la particularidad de que los ojos del espectador están siempre en el centro. «Representar ese mito», añade, «era otra de sus obsesiones».
Otras de ellas, fue la Alhambra, que visitó en 1922 y después en 1936 junto a su esposa, Jetta. En esta segunda visita, pasó tres días enteros allí, estudiando los diseños y copiando muchos de los motivos, y fue ese lugar donde se levantaron los cimientos de su obra pionera con el relleno periódico del espacio. «Este viaje cambió su forma de entender el arte», dice el catedrático Antonio F. Costa. «Quería aprender a encontrar las matemáticas en el arte». Desde entonces, comenzó a realizar una obra «más intelectual».
La exposición, con más de 200 obras divididas en siete ámbitos, reúne varias de ellas como Mano con esfera reflectante, Relatividad (o Casa de Escaleras) y Belvedere y, junto con el fondo mostrado, se incluyen, además, experimentos científicos, áreas de juego y recursos educativos para conocer sus perspectivas imposibles, sus imágenes desconcertantes y los universos aparentemente irreconciliables que se unen en él para formar una única dimensión artística.
«Era muy perfeccionista», añade Costa. «Intentaba que todo encajase perfectamente. Esa era su clave». De ahí su concepto de metaformosis: Escher creó un mundo en el que existían transformaciones basadas en diferentes tipos de teselaciones y en el que las formas abstractas mutan a las formas concretas. Un mundo en el que los pájaros pueden transformarse poco a poco en peces o un lagarto metamorfosearse en la celdilla de un panal de miel. «Deformaba la realidad», añade, «repitiendo formas para que todo encajase».
Desde entonces, numerosos pintores contemporáneos y artistas digitales se han inspirado en su trabajo con las teselaciones y lo han reinterpretado a través de su propio lenguaje artístico. Tales son los casos de Pink Floyd – que recreó un universo infinito en la portada de su LP en 1969- o los diseñadores Chanel o Alexander McQueen -que rindieron homenaje a su universo imaginario con sus creaciones-.»Soy un artista gráfico de corazón y alma», repitió en más de una ocasión Escher. «Aunque el término artista me resulta bastante embarazoso«.
Este Mapa de las matemáticas de Dominic Walliman intenta cubrir todos los campos de las matemáticas, agrupándolos por campos de estudio, orígenes y similitudes. Como la historia de los números comienza con el hecho de «contar» también hay un poco de historia (en el centro del póster).
Todo lo que sabemos de matemáticas –o al menos, lo que cabe en el póster– lo divide el autor en dos grandes áreas: las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. Dentro de ellos están los sistemas de numeración y tipos de números (y algo sobre π, e, √2, i) y las estructuras, como el álgebra, las ecuaciones, vectores, matrices, la teoría de números, la geometría, el cálculo…
Esta innovadora serie consigue sacar a Pitágoras, filósofo y matemático griego, nacido en la isla de Samos en 587 AC, de los manuales de matemáticas para situarlo en el centro de la Historia y de la cultura.
Esta innovadora serie consigue sacar a Pitágoras, filósofo y matemático griego, nacido en la isla de Samos en 587 AC, de los manuales de matemáticas para situarlo en el centro de la Historia y de la cultura.
Esta innovadora serie consigue sacar a Pitágoras, filósofo y matemático griego, nacido en la isla de Samos en 587 AC, de los manuales de matemáticas para situarlo en el centro de la Historia y de la cultura.
Pitágoras de Samos (en griego antiguo Πυθαγόρας) (ca. 569 a. C. – ca. 475 a. C.) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.
No se ha conservado ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos —los pitagóricos— invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado mensurable o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica.
G.H. Hardy, el célebre matemático británico al que se atribuye entre otros méritos el de haber «descubierto» al prodigio indio Ramanujan, escribió en Apología de un matemático (A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, 1940) que «ningún matemático debería permitirse olvidar que la matemática, más que ningún arte o ciencia, es un juego de hombres jóvenes». Y agrega: «No conozco ningún gran avance iniciado por un mayor de 50».
La polémica frase caló hondo y acosa a muchos cultores de la reina de las ciencias como un fantasma que recuerda la inquietante caducidad de los poderes creativos.
Precisamente, uno de estos jóvenes geniales, que hizo todas sus contribuciones ¡antes de los 26 años! fue Niels Henrik Abel, en cuya memoria se entrega el miércoles próximo el premio con su nombre (750.000 euros) a Andrew Wiles, que después de tres siglos y medio, y trabajando casi en solitario durante una década, logró demostrar el último teorema de Fermat.
Hijo de un pastor metodista, Abel nació en el presbiterio de Findö el 5 de agosto de 1802, mientras Noruega se balanceaba entre la guerra y la miseria. El segundo de siete hermanos, a los 18, mientras se preparaba para ingresar a la universidad, su padre murió y Abel tuvo que hacerse cargo de la familia.
Según sus biógrafos, era apenas un alumno promedio, salvo en matemática, disciplina en la que sobresalía por sobre cualquier otro en todo el país. Ya en ese momento comenzó a desarrollar lo que sería un primer gran logro: su trabajo en ecuaciones de quinto grado.
La vida de Abel estuvo signada por la pobreza y el escaso reconocimiento. En la Universidad de Cristianía, algunos de sus profesores lo ayudaban económicamente de su propio bolsillo, y aunque más tarde viajó a Berlín y París, no pudo insertarse en la élite intelectual europea y su salud se deterioró rápidamente. Los meses finales de su vida fueron de una intensa productividad: enviaba tratados sobre ecuaciones algebraicas, funciones elípticas y series infinitas a tal velocidad que no alcanzaban a publicarlos. Nunca pudo obtener un puesto permanente y, tras doce semanas sin poder abandonar la cama, murió de tuberculosis.
De él se dijo: «Ha legado a los matemáticos algo que los mantendrá activos durante 500 años». Dos días después de su desaparición, llegó una carta de su editor anunciándole que sería nombrado en una cátedra de la Universidad de Berlín.
La historia de la matemática abunda en jóvenes talentos. Galois, Ramanujan, Gauss… En Los grandes matemáticos (Losada, 1948), esa joya que despierta la vocación de muchos amantes de los números, E.T. Bell repasa sus vidas. Pero diversos estudios indican que no habría que tomar demasiado en serio la sentencia de Hardy, que cuando publicó su bella indagación del alma de los matemáticos ya tenía 60 años.
El ganador del premio Abel de este año, sir Andrew Wiles, culminó su tour de force con el último teorema de Fermat a los 42 (y por eso no recibió la medalla Fields, reservada a los menores de 40). La edad promedio de los que lo antecedieron, que generalmente estaban en plena actividad, ronda los 70. Es más, según comenta en una reciente nota de The New York Times el matemático y escritor indio-norteamericano Manil Suri, diversos estudios no encontraron una relación clara entre la edad y la productividad.
En el apasionante Matemáticas. Una historia de amor y odio (Crítica, 2012), Reuben Hersh y Vera John-Steiner también ofrecen una larga lista de contraejemplos a la afirmación de Hardy. Su colaborador, Littlewood, por ejemplo, ya tenía más de 70 cuando escribió uno de sus artículos más significativos, y su último trabajo se publicó cuando tenía 87. Louis Joel Mordell, que había sido un niño prodigio, se retiró a los 75, «aunque casi la mitad de los doscientos setenta artículos y libros que publicó ¡aparecieron después de su jubilación!»
Según Hersh y John-Steiner, Abraham de Moivre (1667-1754) descubrió el que se supone que fue su resultado más importante cuando tenía 66 años (y se dice que predijo -correctamente- el día de su propia muerte al observar que dormía 15 minutos más por día y calcular cuánto faltaba para que durmiera las 24 horas). En fin, la biblioteca todavía está dividida sobre este tema, pero seguro que todos estamos de acuerdo en que lo importante no es contar los días… sino hacer que los días cuenten.
¿Por qué algunas personas tienen facilidad para lidiar con los números y a muchas otras les resulta tan difícil dominarlos? La matemática es una ciencia que usamos en la cotidianidad, pero a medida que su dificultad aumenta, no todos se consideran en condiciones de entenderla. El reconocido experto en el estudio de las bases cerebrales de las principales operaciones intelectuales humanas Stanislas Dehaene se dedicó a investigar la capacidad humana para representar cantidades y, con un poco de esfuerzo y otro de educación, para entender esos símbolos abstractos y aplicarles cálculos. Los resultados de su investigación los desarrolla en el libro El cerebro matemático, publicado por la editorial Siglo XXI.
El neurocientífico francés descubrió que ciertos animales como ratas, palomas y chimpancés pueden realizar algunos cálculos sencillos. También los bebés poseen una intuición innata para reconocer cantidades y comparar magnitudes. Cuenta que hay pacientes con lesiones cerebrales que son incapaces de operaciones mentales simples y hasta de valerse por sí mismos, pero pueden ser genios en matemáticas.
“Todos los chicos comienzan la vida escolar con un bagaje, de lo que yo llamo la protomatemática. Es un conjunto de conocimientos intuitivos e innatos, que se desarrollan muy rápido en los primeros años de infancia. Un bebé puede identificar la diferencia entre cuatro y ocho objetos. Tiene lo que se conoce como noción de número, de espacio y de geometría. ¿Por qué algunos chicos desarrollan más habilidades matemáticas que otros? Creo que depende de si fueron motivados o desalentados. Algunos niños aprenden a odiar las matemáticas porque piensan que los números no son para ellos y no van a poder aprobar. Hay chicos que tienen una verdadera dificultad como la discalculia, que es una condición cerebral que afecta la habilidad de entender y trabajar con números y conceptos matemáticos. Este grupo sólo representa un 5%. La mayoría de los chicos que tienen dificultades es porque el sistema escolar los desalienta. Se muestra la matemática como algo inabordable, inalcanzable e inaccesible. Creemos que la matemática está reservada a una elite, pero la realidad es que todos tenemos la capacidad porque es muy pequeña la diferencia entre los cerebros”, explica Dehaene.
En el ideario colectivo, la matemática contiene algo mágico. Dehaene desmiente este prejuicio y explica que esa idea proviene de una construcción cultural. Dice: “Todos tenemos un cerebro matemático y una progresión por la cual uno se puede convertir en un profesional en esta ciencia”.
Otra construcción cultural es diferenciar a los niños de las niñas. Se hizo un experimento, donde se acercó un problema a un grupo de mujeres y luego el mismo a los varones. Cuando a las chicas les decían que era un ejercicio matemático, la mayoría fallaba y cuando les decían que tenían que copiar la figura de un dibujo, no tenían dificultades. Lo mismo pasaba con los niños, pero en el sentido contrario. “Hay una investigación muy interesante que muestra que niñas pequeñas de cuatro o cinco años ya deciden que las matemáticas no son para ellas”, explica el científico francés.
También puede encontrarse una diferencia a la hora de aprender matemáticas entre niños de contextos vulnerables y otros de contextos socioeconómicos más favorables. “Creo que algunos chicos fueron privados de la interacción con lo que llamo la protomatemática. La investigación muestra que jugar a juegos de mesa como Serpientes y Escaleras o El Juego de la Oca, por más simples que sean, desarrolla la noción de números en los niños. Meten en relación el número con la posición de la ficha. Eso le enseña al chico que hay igual distancia entre 1 y 2 y entre 8 y 9. Hay chicos de contextos socioeconómicos vulnerables que no tienen los juegos ni padres que jueguen con ellos. Una solución sería que el gobierno regale estos juegos de mesa, que no cuestan más de cinco euros”, explica Dehaene.
“Vengo de hacer una investigación de laboratorio, donde se escaneó a matemáticos profesionales. Nos preguntamos qué región del cerebro utilizaban para hacer los cálculos. La respuesta es muy simple: ellos usan para hacer matemática la misma región que usamos todos para hacer cálculos mentales. Hay zonas especializadas del cerebro para los números y otras para las letras. Muy rápido este órgano separa esos objetos. Encontramos pacientes que no saben leer pero sí calcular; para mí, esos son descubrimientos extraordinarios”, detalla el doctor en Psicología Cognitiva.
La influencia del lenguaje también es determinante en el cálculo. Por lo general, los alumnos chinos tienen más éxito con las matemáticas que sus pares occidentales. Dice Dehaene: “La diferencia más importante entre ellos es la lengua. El idioma chino es mucho más claro en relación con los números. Los chinos aprenden a contar con más facilidad que los angloparlantes”.
A modo de reflexión, el autor de El cerebro matemático agrega: “La gente no considera la matemática como parte de la cultura, ya que a ésta se la suele relacionar con el arte y la literatura. Hay gente de alto nivel intelectual que dice que es mala en matemática. La cultura matemática puede transformar nuestra sociedad. Hay que cultivar la curiosidad por la matemática, y tenemos que hacer entender que es una ciencia intuitiva y divertida”.
Para no perderse en el laberinto financiero
El mundo de las finanzas está íntimamente ligado a la matemática, la cual sirve para calcular el valor del dinero en el tiempo, a través del uso de tasas de interés. Por este motivo, también se suele pensar a la actividad financiera como una cuestión cerrada a una elite. La realidad es que no hay que ser un experto matemático para poder administrar las finanzas personales. Todos los actores de la sociedad están atravesados por las deudas y los créditos, son cuestiones de la vida cotidiana.
Por lo general, los sectores populares no se sienten identificados con prácticas financieras. Muchas personas no dicen que ahorran, sino que separan dinero. “Cuando les preguntamos por el ahorro, respondían que ellos no ahorran, que eso lo hacen los ricos. Esto remite a la idea de que el ahorro solo es lo que sobra y que si sos pobre no te sobra nada. Por lo tanto, se deja de lado lo que realmente es la práctica de ahorro que es lo que separas para comprar algo más adelante. El acceso al crédito de sectores populares tiene varias formas: una incipiente son los microcréditos que tienen un nivel de cobertura muy bajo; hay préstamos familiares; y las cuevas, donde las tasas de intereses son usureras. Un factor del sobreendeudamiento de los sectores populares es el momento en que muere alguien. En ese momento, recurren a usureros para préstamos de corto plazo y se endeudan por años”, cuenta Alexandre Roig, Doctor de la Escuela de Altos Estudios en Ciencias Sociales en sociología económica del desarrollo, decano del IDAES y coeditor del libro El Laberinto de la moneda y las finanzas.
Experiencia. “Los sectores populares tienen tasas de intereses que pueden llegar a un 200% anual, mientras las clases las medias pueden acceder a tasas de interés cero. Hicimos una investigación donde damos cuenta que cerca del 20% de los ingresos de los sectores populares van a tasa de interés. Hay una explotación financiera dentro de los más vulnerados de la sociedad. Es muy importante entender como las finanzas son un gran articulador de la experiencia vital en todas las clases sociales, dando cuenta que las clases altas pagan menos tasas de interés que los otros sectores. Es un mundo muy jerarquizado el de las finanzas y las mismas participan de la desigualdad social”, dice Roig.
Un profesor asegura haber resuelto un problema matemático de 156 años
La hipótesis de Riemann. El nigeriano Opeyemi Enoch afirma haber llegado al resultado. Trabajó durante cinco años en el problema. Pero llevara varios años determinar si efectivamente lo resolvió. De ser correcto, se ganará un premio de un millón de dólares.
El profesor nigenirano Opeyemi Enoch, quien habría resuelto el problema matermático de la hipótesis de Riemann.
Un profesor nigeriano asegura haber resuelto uno de los problemas matemáticos del siglo y podría hacerse acreedor de un premio de un millón de dólares. Se trata de la hipótesis de Riemann, que fue planteada por primera vez en 1859 por el académico Bernhard Riemann, y forma parte de uno de los siete problemas matemáticos del milenio.
Ahora, el Instituto Clay de Matemáticas deberá determinar si el resultado es el correcto y, de ser así, le otorgaría el premio de un millón de dólares al profesor Opeyemi Enoch.
El profesor Enoch comenzó a trabajar en el problema hace unos cinco años, cuando un grupo de alumnos le planteó la posibilidad de resolver la incógnita que fue planteada hace 156 años. «Necesitaban dinero y querían que yo los ayudara a conseguir el premio de un millón de dólares del instituto de matemáticas de Estados Unidos», le contó el profesor a la BBC. Entonces empezó a trabajar en el problema.
Según cuenta el profesor, a lo largo de estos cinco años hubo dos momentos clave, en los que intuyó que estaba cerca del resultado. «Uno fue en una mañana de 2010, cuando di con el vínculo del problema. Ahí supe que me estaba acercando mucho», cuenta. Luego, continúa, encontró la forma de aplicar lo que había descubierto hasta entonces.
Ahora, el Instituto Clay debe revisar el trabajo de Enoch y dictar un «veredicto». Sin embargo, eso llevará su tiempo. En las reglas que publica el Instituto Clay para dar por resuelto el problema y otorgar el premio, se encuentran las siguientes condiciones: la solución debe haber sido publicada por alguna revista de reputación mundial; la solución debe tener aceptación por parte de la comunidad matemática dos años después. Y recién pasados esos dos años, el instituto tomará una decisión.
La hipótesis de Riemann es uno de los siete problemas matemáticos del milenio. De esos siete problemas ya fue resuelto uno. El de Riemann sería el segundo. Y aún quedan por resolver otros cinco problemas.
Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(s) = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011.
La hipótesis de Riemann, por su relación con la distribución de los números primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos más importantes en la matemática contemporánea.
El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.2 La mayor parte de la comunidad matemática piensa que la conjetura es correcta, aunque otros grandes matemáticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg se han mostrado escépticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo desde sus días de juventud. En un artículo en 1989 sugirió que un análogo debe ser cierto para una clase mucho más amplia de funciones (la clase de Selberg).
El profesor nigeriano Opeyemi Enoch, quien trabaja en la Universidad Federal de Oye Ekiti en Nigeria, aparentemente ha resuelto el problema de Riemann; el instituto Clay debe hacer la revisión respectiva para confirmar la solución propuesta, según despacho de BBC Mundo del 17 de Noviembre de 2.015: «El profesor que asegura haber resuelto un problema matemático de más de 150 años»..
Definición
La función dseta de Riemann ζ(s) está definida de la siguiente manera:
Esta posee ciertos valores, llamados ceros «triviales» para los cuales la función zeta se anula. De la ecuación se puede ver que s = −2, s = −4, s = −6, … son ceros triviales. Existen otros valores complejos s comprendidos entre 0 < Re(s) < 1, para los cuales la función zeta también se anula, llamados ceros «no triviales». La conjetura de Riemann hace referencia a estos ceros no triviales afirmando:
La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2
Por lo tanto los ceros no triviales deberían encontrarse en la línea crítica s = 1/2 + i t donde t es un número real e i es la unidad imaginaria. La función zeta de Riemann, a lo largo de la línea crítica ha sido estudiada en términos de la función Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la función zeta sobre la línea crítica.
Un gráfico polar de zeta, esto es, Re(zeta) vs. Im(zeta), a lo largo de la línea crítica s=it+1/2, con t con valores desde 0 a 34.
Recordemos lo que en su memoria Riemann afirma.
1º- : tiene infinitos ceros complejos que estan en la linea recta. Re
y lm s = 0.
2º- Es muy probable que la raiz de una función x son reales.
Es decir ; ( ; .
Esto lo ha demostrado la matemática Albana Diez3 para:
:
Indico una de las series para ; no solo existen para este valor, tambien para
Historia
Riemann mencionó la conjetura en 1859, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su tesis de doctorado Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración de la misma. Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re(s) ≤ 1.4
En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crítica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los números primos.
En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos — es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach. Cuando se le preguntó qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, remarcablemente Hilbert contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. La hipótesis de Riemann es el único problema de los que propuso Hilbert que está en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemáticas.
En 1914, Hardy demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(s) = 1/2. Sin embargo todavía era posible que un número infinito (y posiblemente la mayoría) de los ceros no triviales se encontraran en algún otro lugar sobre la banda crítica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la línea crítica.
Trabajos recientes se han concentrado en el cálculo explícito de la localización de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algún contraejemplo) y en el establecimiento de cotas superiores en la proporción de ceros que puedan estar lejos de la línea crítica (con la esperanza de reducirlas a cero).
La hipótesis de Riemann y los números primos
La formulación tradicional de la hipótesis de Riemann oscurece un poco la importancia real de la conjetura. La función zeta de Riemann tiene una profunda conexión con los números primos y Hege von Koch demostró en 1901 que la hipótesis de Riemann es equivalente al considerable refinamiento del teorema de los números primos: Existe una constante C > 0 tal que
para todo x suficientemente grande, donde π(x) es la función contadora de primos y ln(x) es el logaritmo natural de x. Lowell Schoenfeld mostró que se puede tomar C = 1/(8 π) para todo x ≥ 2657.
Los ceros de la función zeta y los números primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como fórmulas explícitas, que muestran, usando análisis de Fourier, que los ceros de la función zeta de Riemann pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.
Más aún, si la conjetura de Hilbert-Polya es cierta, entonces cualquier operador que nos dé las partes imaginarias de los ceros como sus valores propios debe satisfacer:
donde tr es la traza del operador (suma de sus valores propios), es un número imaginario y es la función de Chebyshov que nos suma el log(x) sobre los primos y sus potencias enteras, dicha fórmula es una conclusión de la ‘fórmula explicita’ de V. Mangoldt.5 Varios operadores propuestos por C. Perelman, J. Macheca y J. García, parecen corroborar los resultados de la conjetura de Hilbert sobre el operador, reproduciendo la parte imaginaria de los ceros.
Cálculo numérico
Valor absoluto de la ζ-function.
En el año 2004 Xavier Gourdon verificó la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Sin embargo esto no es estrictamente una demostración, numéricamente es más interesante encontrar un contraejemplo, es decir un valor de cero que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto echaría por los suelos la validez de la conjetura.
Hasta el 2005, el intento más serio para explorar los ceros de la función-ζ, es el ZetaGrid, un proyecto de computación distribuida con la capacidad de verificar billones de ceros por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005, y ninguno de los ceros pudo ser identificado como contraejemplo de la hipótesis de Riemann.
¿Por qué algunas personas tienen facilidad para lidiar con los números y a muchas otras les resulta tan difícil dominarlos? La matemática es una ciencia que usamos en la cotidianidad, pero a medida que su dificultad aumenta, no todos se consideran en condiciones de entenderla. El reconocido experto en el estudio de las bases cerebrales de las principales operaciones intelectuales humanas Stanislas Dehaene se dedicó a investigar la capacidad humana para representar cantidades y, con un poco de esfuerzo y otro de educación, para entender esos símbolos abstractos y aplicarles cálculos. Los resultados de su investigación los desarrolla en el libro El cerebro matemático, publicado por la editorial Siglo XXI.
En el ideario colectivo, la matemática contiene algo mágico. Dehaene desmiente este prejuicio y explica que esa idea proviene de una construcción cultural. Dice: “Todos tenemos un cerebro matemático y una progresión por la cual uno se puede convertir en un profesional en esta ciencia”.
tiene infinitos ceros complejos que estan en la linea recta. Re 
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![\sum_{n}e^{-\beta E_{n}}=\operatorname{tr}[e^{-\beta \hat H}]=e^{u/2}-e^{-u/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}},](https://upload.wikimedia.org/math/e/d/6/ed6dc5f5af88bc8ded7ea7ede290923a.png)
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