El mundo de los números complejos

agosto 9, 2022

El bello mundo de los números imposibles

El encaje de los números complejos como instrumento de gran potencia en varias ramas de matemáticas puras y aplicadas transitó por distintas fases de aceptación que fueron encabezadas por eminentes matemáticos

Por Juan Matías Sepulcre.

Los números complejos hicieron sus primeras tímidas apariciones en la escena científica a través de los trabajos del médico y matemático Girolamo Cardano (1501-1576) del matemático e ingeniero hidráulico Rafael Bombelli (1526-1572) en relación al cálculo de las raíces de un polinomio cúbico, es decir, en la búsqueda de valores exactos X0 cumpliendo relaciones de la forma:

El bello mundo de los números imposibles

En realidad, aunque no fue la motivación principal de su aparición en escena, los números complejos ya surgen de forma explícita en las soluciones de determinadas ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, consideremos la ecuación: x²-2x-3=0

Que equivale a: (x+1)(x-3)=0

Resulta claro que sus soluciones son: x=-1 y x=3

Sin embargo, si consideramos la ecuación: x²+1=0

El lector puede observar que, como el cuadrado de un número real cualquiera es positivo o nulo, no es posible resolverla mediante números reales . Sin embargo, si introducimos un número que podríamos llamar la raíz cuadrada de menos uno , obtenemos algebraicamente las soluciones:

No obstante, antes de la época del renacimiento en la que se abordan las soluciones de las ecuaciones cúbicas, la aparición de la raíz de un número negativo en el análisis de cualquier ecuación, también cuadrática, llevaba inmediatamente a la interpretación de que el problema asociado a tal ecuación no presentaba solución alguna .

Hoy en día sabemos que los números complejos constituyen una herramienta esencial de trabajo de algunas ramas de matemáticas puras y aplicadas como la variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica, hidrodinámica o electromagnetismo. De hecho, es altamente reconocida su utilidad en muchos campos del análisis matemático, álgebra, mecánica cuántica, electrónica o telecomunicaciones.

Sin embargo, podríamos decir que desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII estos números fueron usados con cierto recelo y desconfianza , siendo motivo de diversas controversias entre los miembros de la comunidad científica.

De hecho, fueron inicialmente considerados como números imposibles tolerados únicamente en un limitado dominio algebraico por su utilidad complementaria para resolver ciertas ecuaciones cúbicas. Esto se debía principalmente a que, por aquel entonces, resultaba difícil concebir cualquier realidad física que correspondiese con ellos, lo que llevaba a diversos autores a emplear términos como sofisticados, sin sentido, inexplicables, incomprensibles o imposibles para referirse a tales números.

En realidad, el propio Cardano, en cuyos manuscritos aparecen raíces cuadradas de números negativos, los trataba de modo muy sutil, como un mero artefacto matemático carente de significado propio, pero dotados de algunas reglas para manipularlos. Sin embargo, tras el desarrollo de la obra Ars Magna de Cardano, Bombelli fue un paso más allá al desarrollar una cierta aritmética en torno a ellos, algo de lo que nos ocuparemos más adelante.

Números negativos e irracionales

Un proceso similar ocurrió también con los números negativos, que no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII . Por ejemplo, el hecho de hablar de -1 piezas de fruta no conllevaba grado alguno de realismo, pero desde ese mismo punto de vista tampoco lo hubiera comportado hablar de ¾ de una persona o afirmar que las mujeres tuvieron un promedio de 2,5 hijos en algún momento dado.

Sin duda alguna, hoy en día la ausencia de los números negativos también nos resultaría inconcebible, y es que por ejemplo la posibilidad de trabajar con magnitudes negativas nos permite constantemente representar deudas, pérdidas, disminuciones … algo tan habitual como el hecho de manejar temperaturas negativas.

De hecho, todo ello nos ayuda también a interpretar con mayor claridad, y expresar algebraica y rigurosamente, resultados estadísticos como el que nos permite afirmar que la tasa de fecundidad en una cierta región se haya reducido hoy en día a la mitad si la comparamos por ejemplo con el año 1960.

Además, desde un punto de vista geométrico, si consideramos los números reales como vectores dotados de magnitud (su valor absoluto) y sentido (dependiendo del signo), entonces la multiplicación por el número negativo -1 hace cambiar de sentido el número que estamos multiplicando, lo que nos añade otra razón natural de su existencia (por cierto, el lector podrá observar más tarde, cuando tratemos la interpretación geométrica de los números complejos, que lo que haremos será establecer otras direcciones en nuestra particular brújula).

Relaciones de inclusión entre distintos conjuntos numéricos

Mucho antes, en plena Grecia Clásica , el descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado no podía expresarse como una cantidad entera de las unidades que miden los lados, esto es, la constatación de la presencia de números irracionales en tal desarrollo, llevó a la Escuela Pitagórica (en el siglo V a.C.) a una gran consternación , pues en su forma de pensar no tenían cabida las magnitudes inconmensurables .

Anque pensemos que:

Supone una precisión de medida que es físicamente imposible, en términos prácticos no cabe duda que la existencia formal de los números irracionales, junto con todas las abstracciones teóricas realizadas hasta la fecha (incluyendo la propia simbología utilizada para los números naturales y la de los números negativos), nos han ayudado a evolucionar independientemente de su realidad física inmediata … y, desde luego, los números complejos no se escapan de este mismo contexto.

La geometría de los números complejos

Además de su aparición en la resolución de las ecuaciones cúbicas, actualmente se conoce la importancia que los números complejos tuvieron en el planteamiento y resolución de muchos problemas de la física matemática: magnetismo, calor, electricidad, gravedad, flujo de fluidos …, pero sin duda un factor que ayudó considerablemente a la plena aceptación de los números complejos fue el hecho de haber podido realizar una clara interpretación geométrica, algo que popularizó enormemente el brillante matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

A este respecto, las coordenadas cartesianas en el plano, llamadas así en honor a René Descartes (1596-1650) por su nombre latinizado Renatus Cartesius , asocian a cada punto del plano un par de números denominados abscisa y ordenada. Así, todo número complejo puede representarse en el análogo plano bidimensional complejo como un par ordenado de números reales (a,b), donde a se denomina la parte real y b la parte imaginaria, e identificando los pares (a,0) con los números reales a , y los pares de la forma (0,b) con los llamados números imaginarios puros.

A este respecto, el par (0,1) se le denominó la unidad imaginaria , por ser de naturaleza distinta a la del número real, y es denotado por i, símbolo introducido en la literatura en 1779 por el prolífico matemático, físico y filósofo Leonhard Euler (1707-1783). Los números relacionados, es decir, aquellos de la forma a+bi, con a y b números reales, son los que llamamos números complejos y la colección de todos ello se suele denotar por C.

Aritmética de los números complejos

En el sentido anteriormente descrito, los números complejos son una extensión del sistema de los números reales y constituyen un sistema más amplio en el que cualquier polinomio de grado mayor o igual que 1 admite soluciones, resultado que se conoce con el nombre de teorema fundamental del álgebra y que logró demostrar correctamente Gauss en 1799.

Eso sí, mientras que en nuestro día a día comparamos constantemente dos números reales para decidir cuál es el mayor, esto no se puede realizar en general con los números complejos. Sin embargo, su aritmética es sencilla, ya que la suma y la multiplicación de dos números complejos es la natural, con el ingrediente extra de que cada vez que aparezca i² se reemplaza por -1 .

De hecho, si (a,b) y (c,d) representan dos números complejos arbitrarios, su suma y producto vienen dados de la siguiente manera:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

(a,b)•(c,d)=(ac-bd, ad+bc).

Equivalentemente,

(a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i,

(a+bi)•(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.

Resulta asequible comprobar que estas operaciones satisfacen las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad , también comunes a las operaciones con los números reales. A partir de ellas, también se pueden definir de forma coherente sus operaciones inversas, esto es la resta y la división, y otras operaciones más enmarcadas en el sistema de los números complejos como el conjugado, módulo, argumento o las raíces n -ésimas, algunas de las cuales trataremos a continuación.

Ahondando en la interpretación geométrica

A la vista de la interpretación geométrica realizada anteriormente, cualquier problema en el que las direcciones de un plano estén involucradas resulta ser una aplicación potencial de los números complejos. En particular, la física está repleta de tales interpretaciones.

A modo de ejemplo, pensemos en el fenómeno consistente en la propagación de una vibración, lo que nos conduce al concepto de onda.

Pues bien, los números complejos resultan ser una herramienta excelente para describir tales ondas como ocurre con el sonido , las olas del mar, las ondas sísmicas o la vibración de una cuerda. Prueba de ello es que si consideramos un número complejo z=a+bi, representado el plano bidimensional, siempre nos resulta posible trazar un segmento desde el origen de coordenadas (0,0) hasta el punto (a,b), sobre el que podemos calcular su longitud r (también llamado módulo de z y representado por |z|) y su ángulo α respecto del eje de abscisas (que da lugar al argumento de z). Es decir, con la ayuda de trigonometría básica, un número complejo lo podemos también representar mediante la llamada forma polar :

Este desarrollo nos permite inmediatamente dar una interpretación geométrica de las operaciones suma y producto introducidas anteriormente. En efecto, ya podemos afirmar que la suma de dos números complejos es equivalente a la ley del paralelogramo de vectores , y también que al multiplicar dos números complejos sus ángulos se suman, es decir:

Propiedad que resulta muy útil para hacer procesamiento digital de señales, por ejemplo permitiendo rápidamente encontrar el método preciso que interviene en la variación de la fase y frecuencia de una onda, cuya descripción práctica viene dada por:

Ahora el lector podrá tratar de deducir a partir de las propiedades anteriormente expuestas la, así llamada por muchos científicos, fórmula más bella de las matemáticas , esto es, la identidad de Euler, que involucra a cinco constantes matemáticas: 0,1,e,i,π, incluyendo por tanto a la unidad imaginaria.

Finalmente, en este contexto conviene mencionar también los trabajos de distinta índole realizados por matemáticos como Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard Riemann (1826-1866), a partir de los cuales se llegó a la plena aceptación de los números complejos como instrumento de gran potencia en el análisis intrínseco de la teoría de funciones, y en particular en la teoría de las funciones de variable compleja que constituye una de las ramas clásicas de las matemáticas que tiene sus raíces más allá del siglo XIX.

Juan Matías Sepulcre Martínez es Profesor Titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante. Twitter: @JMSepulcre

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).

Fuente: abc.es

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Martin Gardner, genio de las Matemáticas Recreativas

marzo 19, 2021

¿Eres capaz de resolver estos ingeniosos acertijos matemáticos de Martin Gardner?

Por Fernando Blasco. 28/10/19

Dedicamos este ABCdario de las matemáticas a una persona muy especial: Martin Gardner, con motivo del día de su aniversario. Sí, él nació un 21 de octubre y desde 2010, cuando falleció a los 96 años, el día de su nacimiento es celebrado por muchas personas que quieren recordar su legado. No en vano, Gardner fue «alguien que convirtió docenas de jóvenes inocentes en profesores de matemáticas y docenas de profesores de matemáticas en jóvenes inocentes”», según las propias palabras de Persi Diaconis, un matemático americano que, hace muchos años, fue uno de esos jóvenes inocentes. También el coordinador de esta sección por parte de la Real Sociedad Matemática Española, Alfonso J. Población, y quien les escribe en esta ocasión, debemos a Martin Gardner nuestra afición por la matemática recreativa. Ese es el motivo de que hoy le rindamos un pequeño homenaje como muestra de agradecimiento.

Martin Gardner, a pesar de escribir artículos de matemáticas para la revista «Scientific American», traducidos al castellano en su homóloga «Investigación y Ciencia», no era matemático. Siempre le había gustado la ciencia y había pensado en estudiar física, pero terminó estudiando filosofía y haciendo un máster en periodismo. Su trayectoria profesional comenzó en 1950 escribiendo sobre las estafas seudocientíficas y cómo se deberían combatir. Recientemente en España ha cobrado fuerza un movimiento que pretende desenmascarar a adivinos, homeópatas, hipnotistas, acupuntores o astrólogos. Gardner es también una referencia para todos ellos.

En julio de 1956 publicó «Mathematics, Magic and Mystery», el primer libro dedicado en exclusiva a presentar juegos de magia que tienen un fundamento matemático y en diciembre de 1956 aparece la primera colaboración de Martin Gardner con «Scientific American»: un artículo sobre unas estructuras de papel plegado que poseían propiedades muy sorprendentes.

Entre los temas que popularizó en su columna de juegos matemáticos debemos destacar el juego de la vida, ideado por el matemático John Conway. Otro tema de los que trató en su columna lo utilizamos ahora casi a diario: en 1977 escribió sobre el sistema criptográfico de clave pública que habían desarrollado Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adelman. Si nos fijamos en las iniciales de sus apellidos encontraremos que ese es el sistema RSA que se utiliza, por ejemplo, al mandar un correo electrónico seguro con firma PGP y también en el certificado de identificación digital que tenemos en el ordenador o el DNI electrónico. Escribir sobre ese tema le trajo problemas: el gobierno de los Estados Unidos le prohibió que enviara material a sus lectores. Normalmente él recibía muchas cartas de lectores solicitándole lectura adicional sobre los temas que trataba en su columna y él lo hacía gustoso. Salvo esta vez, en la que se tuvo que abstener.

Su columna contenía relaciones de las matemáticas con otros campos, como arte o filosofía: él popularizó la obra de Escher, mostró las creaciones de Piet Hein (como el popular cubo soma), habló sobre las sorprendentes esculturas de Miguel Ortiz Berrocal y también sobre las matemáticas en la obra de Salvador Dalí. También en su columna hacía constante referencia a Alicia, a la que sacaba del «País de las Maravillas». No en vano él fue el responsable de una curiosa edición de ese libro, llamada «Alicia Anotada» (publicada en España por Akal). Al igual que Lewis Carroll, Martin Gardner era muy aficionado a los acertijos, a los problemas de ingenio y también a los puzles mecánicos (sí, también escribió en su columna sobre Erno Rubik y su famoso cubo). Hagamos una pausa, con cóctel incluido, para proponer uno de sus más conocidos acertijos:

Moviendo únicamente dos palillos, conseguir que la guinda se quede fuera de la copa.

(Es lícito que la copa cambie su orientación, pero debe ser congruente con la original, es decir, que la figura resultante pueda obtenerse a partir de una rotación, simetría, traslación, o ambos, respecto de la original).

Ahora este es un acertijo muy conocido, y su difusión se ha debido a Gardner. Si no lo conocía, esperamos que el lector se haya detenido un rato a pensar cuál puede ser la solución al problema. Si no la ha encontrado, tiene varias opciones: una es resignarse (¡no!, esa no es la buena), otra es buscarlo en la red (por cierto, el nombre Google también tiene relación con Martin Gardner: en uno de sus artículos aparece el «juego del gúgol») y otra ponerse en contacto con la RSMEa través de las redes sociales. Y le responderemos encantados.

«Celebration of Mind»

Hoy, y en los días próximos, tendrán lugar muchas reuniones en las que se plantearán problemas similares. Con el nombre « Gathering for Gardner Celebration of Mind» se reúnen los aficionados a la obra de Martin Gardner para tratar los temas que le hubiera gustado abordar a él. Para esta celebración cabe tanto organizar una fiesta privada, con unos cuantos amigos que se juntan a recordar a Gardner, como un evento en un teatro al modo como se hace en Buenos Aires. También hay casos en los que se desarrollan actividades durante todo el día y otros en los que se recuerda a Martin en un momento puntual. Están invitados a venir al «Celebration of Mind» que organizamos el 5 de noviembre en Madrid. Pero es probable que tengan uno de estos eventos en su zona o, incluso, que quieran organizar uno. Las consultas o propuestas sobre eventos se pueden tramitar a través de esta página. También en ese enlace se proporcionan recursos para utilizar en una fiesta en recuerdo de los temas que encantaban a Gardner.

Martin Gardner escribió más de 90 libros y no todos fueron de matemáticas: escribió sobre ciencia recreativa, filosofía, escepticismo y también sobre ilusionismo. De hecho, en casi todos sus libros incluía algún capítulo con juegos de magia matemática. A estos le dedicaremos más adelante otra sección del ABCdario de las matemáticas. Sus textos siempre pretenden estimular la mente y, al igual que hemos hecho con el reto anterior, propondremos ahora otro de los pasatiempos que tanto gustaban a Martin Gardner: en este caso se trata de dividir la siguiente figura con un único corte de tijera de modo que queden dos formas idénticas:

Se trata de hacer una única línea (no necesariamente recta) que divida la figura en dos partes con igual forma. No es difícil, pero hay que pensar un poco.

Carnaval de juegos

Algunos hemos descubierto la belleza de la matemática recreativa gracias al trabajo de Martin Gardner, y sus libros siguen editándose hoy en día. Recientemente se han vuelto a publicar sus libros recopilatorios de las secciones que hacía para «Scientific American», como «Carnaval Matemático», el libro que llegó a quien les está escribiendo ahora cuando tenía 15 años y que siempre ha tenido por referencia. En 2014, coincidiendo con el centenario de Martin Gardner, la Real Sociedad Matemática Española publicó dos libros para homenajear a este autor, incluidos en la colección «Biblioteca de Estímulos Matemáticos» que edita conjuntamente con la editorial SM. Hicimos dos volúmenes: «Gardner para principiantes», con textos que podían servir como introducción al mundo de los puzles y «Gardner para aficionados», donde los problemas tratados tenían una cierta complejidad.

El primer capítulo de Gardner para principiantes, escrito por otro de los colaboradores de esta sección, Pedro Alegría, trata sobre flexágonos, la figura sobre la que escribió Gardner en 1956 y que dio origen a su importante columna de «Juegos Matemáticos», y se puede leer en este enlace. Para el segundo libro contamos con la colaboración de Adrian Paenza, un excelente divulgador argentino que quiere extender la cultura matemática a todos los rincones por lo que ha obtenido el premio Lilavati a la divulgación en el Congreso Internacional de Matemáticos en 2014. Su aportación a esta obra consistió en una selección de problemas curiosos, del mismo modo como lo habría hecho Gardner si hubiera seguido escribiendo. También podemos leer este capítulo aquí.

Gardner falleció cuando justo había terminado su autobiografía «Undiluted Hocus Pocus» (publicada en castellano por Páginas, con el título «Puro Abracadabra»). Ahí quiso dejar un legado sobre su vida. No encontraremos puzles matemáticos en el libro, pero sí bastantes anécdotas sobre cómo fue su niñez, su vida adulta y cómo se iba preparando para acercarse al final de su vida. Siguió trabajando incansablemente siempre, hasta el final de sus días. Los archivos de las fichas que hacía para escribir sus libros y la correspondencia que mantenía con sus lectores se encuentra ahora en la Universidad de Stanford. Es muy importante que no se pierda el legado de la persona que instruyó a tantas otras, a lo largo de todo el mundo, durante tantos años.

Soluciones a las cuestiones propuestas:

Fernando Blasco es profesor de Matemática Aplicada de la Universidad Politécnica de Madrid, miembro de la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y miembro del Comité de Sensibilización Pública de la Sociedad Matemática Europea.

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.

Fuente: abc.es

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Libros para disfrutar las Matemáticas

agosto 6, 2020

Libros de matemáticas básicas (y no tan básicas) para aprender a quererlas

Las matemáticas forman parte de nuestra vida y eso es incuestionable. Así que, para que logres entenderlas de una vez por todas, te traemos en esta ocasión un listado de libros de matemáticas básicas para que aprendas a quererlas.

¿Necesitas más razones?

Aquí va una: porque explican el universo que nos rodea, la tecnología, la naturaleza, el cuerpo humano…

Vale, estas son evidentes. Pero ¿y si te dijéramos que también está detrás del enamoramiento, de una sinfonía, de una obra pictórica o de los libros de Borges? ¿Ahora sí?

Presta atención a los títulos que te presentamos a continuación.

Todos escritos por expertos en matemáticas que han dedicado y dedican sus vidas a su estudio y que tienen el empeño de hacer que aquellos que no somos eruditos en la materia las disfrutemos. ¡Y vaya si lo consiguen!

Matemáticas: placer, poder, a veces dolor. Una mirada crítica sobre la matemática y su enseñanza

No es extraño que al escuchar la palabra “matemáticas” se nos venga a la cabeza esa asignatura que traía de cabeza a muchos en su época de estudiante. Y más aún si lo tuyo eran las letras.

Lo cierto es que, poco a poco, esa tendencia de indiferente oscuridad científica va cambiando, y cada vez se pone en más foco en la divulgación científica y en la clara comprensión de estas áreas de conocimiento. Un ejemplo es este título de César Sáenz Castro y Xenaro García Suárez, de la Universidad Autónoma de Madrid, quienes se proponen acabar con el miedo que rodea esta disciplina.

Ambos autores plantean, a dos manos, que las matemáticas constituyen una ciencia social y cultural. Y que no solo forma parte de una caracterización tecnológica y simbólica.

cubierta de Matemáticas: placer, poder, a veces dolor

Además, este libro constituye una crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas. La cual se ha basado en ejercicios rutinarios y repetitivos que, según los autores, daba a entender la materia como algo meramente objetivo.

Como decimos, este es un tema candente en la actualidad. En el siguiente vídeo, el popular profesor Dan Meyer da algunas pistas de los obstáculos a superar en la enseñanza de las matemáticas. Tampoco es el único, el físico Conrad Wolfram, con su empresa Computers Based Math, también trata -a su manera- de mejorar el aprendizaje matemático en la enseñanza primaria.

Pero no nos extendamos más.

En suma, el libro de Saéz y García nos da las claves para abordar las matemáticas con placer (y a veces dolor, que es la otra cara de la moneda), pero siempre teniendo en cuenta las condiciones personales de quien la estudian.

Didáctica de las matemáticas en educación infantil

Abordemos la cuestión desde la educación más básica. ¿Cómo es la enseñanza de las matemáticas en Educación Infantil? ¿Cómo debería ser? En este volumen, Blanca Arteaga y Jesús Macías, de la Universidad Internacional de la Rioja, tratan de dar respuesta aportando una serie de pautas y consejos para los maestros.

Su metodología parte de la base de que el docente debe despertar la curiosidad, la necesidad de investigar y de buscar respuestas. Y siempre teniendo en cuenta la idiosincrasia del alumnado, sus distintas capacidades.

Dividido en dos partes, “Desarrollo del pensamiento matemático” y “Consideraciones didácticas y metodológicas”, este estupendo manual pretende ser una guía para la enseñanza de una materia que, en muchas ocasiones, se diluye entre el resto de disciplinas en esta temprana fase educativa.

Matemáticas en la vida cotidiana

¿Aún temes a las matemáticas? Si es así, te proponemos otro título para que enfrentes tus miedos a esta disciplina, que, te aseguramos, puede llegar a resultar fascinante.

Lo primero que debes reconocer es que forman parte de la mayoría de las tareas que llevamos a cabo cada día.

Hablar por teléfono
Hacer fotos con nuestros móviles y cámaras
Sacar dinero en un cajero automático
El uso de los ordenadores e internet
Viajar en metro o usar un GPS

¡Y no aumentamos la lista porque eso nos ocuparía todo el artículo!

cubierta de Matemáticas en la vida cotidiana

Este libro conjunto de la Universidad de Jaén hará que descubras el maravilloso universo de las matemáticas. Conectando sus teorías con tus tareas cotidianas, sus autores logran que sientas curiosidad y fascinación por todos esos números que se esconden detrás de lo que hacemos.

Prisma. Un paseo entre las matemáticas y la realidad

Si te interesan las matemáticas, pero no eres un experto, este es el libro ideal para que profundices en su conocimiento.

Los integrantes del Grupo de Divulgación de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla tienen su empeño puesto en hacer llegar las matemáticas a todo aquel que esté interesado en ellas, independientemente del nivel previo que posean.

cubierta de Prisma. Un paseo entre las matemáticas y la realidad

De ahí el carácter divulgativo de una obra que recoge, en catorce capítulos, las charlas de expertos sobre diversas ramas y épocas de las matemáticas.

Un excelente trabajo que le valió a sus autores el Premio Universidad de Sevilla a la Divulgación Científica.

Libros del CSIC sobre matemáticas

Sin duda alguna, la Editorial CSIC es uno de los sellos de referencia en el estudio científico de nuestro país.

Además, sus esfuerzos se concentran en la divulgación de sus investigaciones, no solo hacia el resto de científicos sino hacia la población general. Por ello poseen una colección (¿Qué sabemos de…?) de breves libros divulgativos que tratan de condensar lo más importante de una materia concreta de forma asequible. Y para un público no especializado.

En esta ocasión, os vamos a presentar tres títulos que abordan la materia de las matemáticas.

Las matemáticas de los cristales

La cristalografía es la parte de la geología que estudia la forma y estructura de los minerales al cristalizar. Y en ella también intervienen las matemáticas.

Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria nos explican aquí la relación entre ambas disciplinas, que se remonta nada menos que al siglo XVII.

Fue entonces cuando Kepler, absorto en los copos de nieve que se posaban sobre su abrigo, comenzó a descifrar la estructura de tan bello fenómeno. ¡Con ayuda de las matemáticas, por supuesto!

cubierta de Las matemáticas de los cristales

Además, estos expertos del CSIC nos muestran cómo cristalografía y matemáticas tienen en común el estudio de la simetría y los grupos, entre otros muchos conceptos.

Un conciso y asequible relato en el merece mucho la pena indagar.

Las matemáticas de la luz

Si en el anterior texto el detonante fue la nieve, ahora es el turno de la luz. En este otro título de la colección del CSIC, Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria vuelven a asombrarnos con la relación de las matemáticas con un fenómeno tan universal como la luz.

En un recorrido por la historia, nuestros autores narran las distintas etapas en que las matemáticas, y en especial la geometría, se incorporaron al estudio de la luz.

Por supuesto, también de cómo el ser humano ha sido capaz de descifrar el papel de la luz en nuestra visión, un fenómeno que, a día de hoy, sigue evolucionando.

Matemáticas y ajedrez

El 11 de mayo de 1997, la supercomputadora Deeper Blue (versión mejorada de la conocida Deep Blue) venció por primera vez en la historia a un ser humano en una partida de ajedrez, Kaspárov.

Es fácil imaginar lo que pensaría Kaspárov sobre las matemáticas en ese momento…

Y es que el ajedrez siempre ha sido objeto de atención por parte de matemáticos, programadores o expertos en inteligencia artificial, entre muchos otros. Por ello, Razvan Iagar ha querido sintetizar en este libro su historia común.

Y es que fue precisamente la incursión en este juego de mesa lo que permitió a muchos de científicos perfeccionar sus teorías.

Si eres aficionado al ajedrez y quieres conocer las matemáticas que se esconden detrás de la partida perfecta, este breve relato será tu mejor cómplice.

Las matemáticas de nuestra vida

Ponemos fin a nuestras recomendaciones de hoy con este título tan llamativo.

¿Acaso podríamos entender el mundo sin las matemáticas?

Los editores de la obra, Julio Mulero, Lorena Segura y Juan Matías Sepulcre, de la Universidad de Alicante, saben que no. Y por ello han compilado trece capítulos en los que se repasa la conexión de las matemáticas con temas como el amor, el arte, el cine, la literatura…

Interesante, ¿verdad?

cubierta de Las matemáticas de nuestra vida

Si quieres conocer qué números, fórmulas o hipótesis se aplican a una obra de arte, a una pieza musical o a tu libro favorito, este título te ayudará a hacer esa conexión.

¡Por cierto! Al inicio del post mencionábamos a Borges, ¿verdad? Mira:

Las inimaginables matemáticas en La biblioteca de Babel de Borges

Si eres lector de Borges y aficionado las matemáticas, este es tu libro.

El profesor del Wheaton College (Masssachusets, EE.UU.) William Goldbloom Bloch detalla en esta obra publicada por la Universidad Veracruzana un apasionante viaje lleno de anécdotas a la lógica matemática que compone el clásico cuento La biblioteca de Babel. Divertidísimo.

Ya lo ves, las matemáticas no son únicamente largas e incomprensibles fórmulas que solo atañen a los científicos.

Y es que, querido lector, matemáticas… eres tú y… ¿también Dios?

Fuente: unebook.es

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14 de marzo Día internacional de las Matemáticas

noviembre 29, 2019

La UNESCO declara el 14 de marzo como Día Internacional de las Matemáticas

Por Nova Ciencia.

Las Matemáticas ya tienen su día internacional en el calendario. La Unión Matemática Internacional (IMU) ha comunicado a sus organizaciones adheridas, entre las que se encuentra el Comité Español de Matemáticas (CEMat), la proclamación por parte de la UNESCO del 14 de marzo como el Día de Internacional de las Matemáticas. Esta resolución ha sido adoptada en la 40 Conferencia General de la UNESCO, celebrada en París del 12 al 27 de noviembre de 2019. Con el apoyo de numerosas organizaciones internacionales y gobiernos, entre ellos el de España, la IMU había liderado en los últimos años este proyecto, en el que anualmente se invitará a los países a celebrar este día con diversas actividades dirigidas a los centros educativos y al público general.

La elección del 14 de marzo responde a la coincidencia del 3-14 con el número Pi, fecha en la que, de hecho, muchos países celebraban el “Día de Pi”. El lanzamiento oficial de esta celebración tendrá lugar el viernes 13 de marzo de 2020 en dos eventos paralelos, el primero de ellos en la sede de la UNESCO en París y el segundo en África, durante un evento paralelo en el Next Einstein Forum que se celebra en Nairobi (Kenia).

La IMU ha creado la página web www.idm314.org, en la que países y organizaciones están invitados a anunciar sus celebraciones. Además, pondrá a disposición de los interesados materiales en abierto y en diferentes lenguas, entre ellos, proyectos, ideas, actividades o “software” para usar en las aulas. El tema elegido para el próximo año será “Mathematics is everywhere” (Las Matemáticas están en todas partes), con el que los participantes están invitados a encontrar las conexiones de las matemáticas con la ciencia y la tecnología; en la organización de las ciudades, la sociedad y los gobiernos; los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) o las actividades diarias de las personas.

Fuente: novaciencia.es, 27/11/19.

The International Day of Mathematics is a project led by the International Mathematical Union.

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Borges y las Matemáticas

noviembre 9, 2018

Las Matemáticas y los enigmas secretos en la obra de Jorge Luis Borges

Que uno sea ‘’de letras’’ y otro ‘’de números’’ puede considerarse como dos mundos totalmente distintos. Sin embargo, para el matemático británico Marcus du Sautoy, la diferencia no es tan inmensa desde que ha relacionado la obra del famoso escritor argentino Jorge Luis Borges y las matemáticas estrechando el vínculo de los números y las letras.

Marcus du Santoy es escritor, periodista y profesor de matemáticas en la prestigiosa Universidad de Oxford. En el año 2001 fue premiado con el Premio Berwick de la Sociedad Matemática de Londres por la mejor investigación al matemático menor de 40 años de edad y es, sin ninguna duda, uno de los profesionales más involucrados en su ámbito.

Además, y aunque su pasión sean las matemáticas, du Santoy es también un gran periodista y escribe en famosos diarios como The Times y The Guardian.

Recientemente du Sautoy desvelaba su gran pasión por la obra literaria del escritor argentino Jorge Luis Borges. El matemático no se había imaginado nunca este vínculo entre las matemáticas y el famoso escritor, hasta que un día, según cuenta él mismo, trataba de explicarle su trabajo de clasificar fórmulas geométricas a una amiga, hasta que ella le dijo que era igual que el cuento de Borges que hablaba sobre la enciclopedia. Enseguida, du Sautoy prestó total atención y se interesó por tratar el tema leyendo obras y cuentos del argentino escritor.

“Me dije a mi mismo, aquí hay un autor que realmente aprecia ideas como finito, infinito, formas, espacio, el poder de la paradoja” – afirmaba du Sautoy.

Desde entonces, el matemático se sintió apasionado por la forma en que Borges hablaba en forma narrativa sobre las matemáticas y, claramente, era un indicio de los propios intereses del autor, cuya biblioteca original albergaba libros del matemático francés Henri Poincaré. du Sautoy trató de investigar y conocer a biógrafos de Borges para comprobar de dónde provenían todas estas ideas en su literatura.

Tras leer varios cuentos, pudo encontrar conceptos matemáticos como ‘El Aleph’ donde se trata lo finito y lo infinito al igual que en las matemáticas.

Pero la obra favorita del matemático es, sin duda, ‘La Biblioteca de Babel’, donde el propio Borges relaciona otra figura matemática: ‘toroo toroide’, que se refiere a la forma de objetos como un donut o una rosquilla. La teoría que saca Borges respecto a este concepto se encuentra en el ámbito literario, en ‘la Biblioteca’ como forma de rosquilla. Con esta premisa, el hecho de caminar dentro de ella sería un concepto ‘finito’ pero a la vez ‘ilimitado’ porque el caminante no se sale de la figura y puede dar la vuelta un número infinito de veces.

“Al igual que el bibliotecario, los científicos estamos dentro de nuestra biblioteca que llamamos Universo y usamos por ejemplo telescopios o herramientas de nuestra mente para investigar la forma de ese Universo” afirmaba Marcus du Sautoy.

Sin embargo, el enigma de la rosquilla es tan solo una parte del mundo de Borges puesto que ‘la biblioteca’ tiene varios pisos y el enigma de la rosquilla se encuentra en el primero.

Mientras Borges explicaba que “al mirar hacia arriba vemos pisos que ascienden y al mirar hacia abajo pisos que descienden“, según du Sautoy “sólo podemos imaginar estas formas en un espacio de cuatro dimensiones“.

Tras conocer estos enigmas, y unos cuantos más, en la obra Jorge Luis Borges, el matemático británico ha calificado al escritor como un ‘matemático secreto’ y no deja de recomendar su obra a todos los amantes de la literatura y de las matemáticas.

Fuente: enpositivo.com

Más información:

El Mapa de las Matemáticas

El gran misterio de las Matemáticas

Tiempo y matemáticas

Veinte matemáticos célebres

Los números en la naturaleza

Donald en el mundo de las Matemágicas

La importancia de las Matemáticas

Aquiles y la Tortuga

Matemáticas y juegos de azar

El arte matemático de Escher

La hipótesis de Riemann, ¿resuelta?

Euclides, Piet Mondrian y la matemática victoriana

El legado de Pitágoras, parte I – Los Triángulos de Samos

El Legado de Pitágoras, parte II – Pitágoras y otros

El Legado de Pitágoras, parte III – Retar a Pitágoras

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La ecuación matemática más hermosa del mundo

octubre 26, 2018

¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del mundo?

Por Melissa Hogenboom – BBC Earth

Se necesita años de experiencia para entender las ecuaciones más profundas y muchas de ellas son tan complejas que son difíciles de traducir a un lenguaje normal.

Sin embargo, esto no significa que no podamos apreciar su belleza.

BBC Earth les preguntó a matemáticos y físicos por las ecuaciones que ellos piensan son las más bonitas.

Aquí te presentamos las doce que los expertos prefieren.

La ecuación de Dirac

«Estéticamente es elegante y simple», comenta Jim Al-Khalili de la universidad de Surrey en el Reino Unido.

«Es una ecuación muy poderosa por lo que significa y su papel en la historia de la física del siglo XX».

La ecuación fue descubierta a finales de los años 20 por el físico Paul Dirac, y juntó dos de las ideas más importantes de la ciencia: la mecánica cuántica, que describe el comportamiento de objetos muy pequeños; y la teoría especial de Einstein de la relatividad, que describe el comportamiento de objetos en movimiento rápido.

Por lo tanto, la ecuación de Dirac describe cómo las partículas como electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz.

La fórmula de Riemann

El matemático Bernhard Riemann publicó esta ecuación en 1859.

Permite calcular los números primos por debajo de un número dado.

Por ejemplo, la ecuación de Riemann revela que hay 24 números primos entre 1 y 100.

«Los números primos son los átomos de la aritmética», explica Marcus du Sautoy de la universidad de Oxford.

«Son los números más básicos e importantes en el corazón del mundo de la matemática. Pero sorprendentemente, a pesar de más de 2000 años de investigación, todavía no los entendemos».

Pi

«Siempre le digo a mis estudiantes que si esta fórmula no los sorprende completamente es que sencillamente no tienen alma», señala Chris Budd de la universidad de Bath.

Muchos lectores sabrán de esta famosa ecuación.

Sencillamente describe cómo la circunferencia de un círculo varía con su diámetro.

La relación de los dos es un número llamado pi, que aproximadamente es 3,14, pero no exactamente.

Pi es un número irracional, lo que significa que los dígitos pueden continuar indefinidamente sin que se repitan.

Euler-Lagrange

Esta ecuación se utiliza para analizar todo, desde la forma de una burbuja de jabón a la trayectoria de un cohete alrededor de un agujero negro.

«Más que una ecuación, es una receta para generar una infinita variedad de posibles leyes de física», comenta Andrew Pontzen de la University College London.

A pesar de sus múltiples aplicaciones, la ecuación es «engañosamente corta y simple», agrega Pontzen.

La ecuación de Yang-Baxter

«La ecuación de Yang-Baxter es una ecuación simple que puede ser representada en un dibujo de un niño de dos años», señala Robert Weston de la universidad Heriot-Watt en Edimburgo.

Como la ecuación de Euler-Lagrange, se ve simple pero tiene implicaciones profundas en muchas áreas de la matemática y la física.

Esto incluye cómo se comportan las olas en aguas poco profundas, la interacción de partículas subatómicas, la teoría matemática de nudos y la teoría de las cuerdas.

«Te lo puedes imaginar como estar en el centro de una telaraña», explica Weston. «En las cuerdas de esa red puedes encontrar muchos temas en lo que juega un papel fundamental».

Identidad de Euler

«La mayoría de las matemáticas modernas y físicas derivan del trabajo de Leonhard Euler», aclara Robin Wilson de la Open University del Reino Unido.

Él fue «el matemático más prolífico de todos los tiempos» y el «Mozart de las matemáticas».

Pero a pesar de todos sus logros, «mucha de la autocalificada ‘gente educada’ nunca ha oído hablar de él».

Su ecuación más famosa es la identidad de Euler, y en ella se pueden vincular las constantes de la matemática.

La ecuación combina cinco de los números más importantes de la matemática. Los cuales son:

1 – la base de todos los números
0 – el concepto de la nada
pi – el número que define al círculo
e – el número que subraya el crecimiento exponencial
i – la raíz cuadrada «imaginaria» de -1

Todos los números tienen aplicaciones prácticas, incluida para la comunicación, navegación, energía, fabricación, finanzas, meteorología y medicina.

Pero eso no es todo: la identidad de Euler también tiene tres de las operaciones matemáticas más básicas: suma, resta y exponenciación.

La ecuación de la onda

«La belleza de la ecuación de la onda se manifiesta de muchas formas», explica Ian Stewart de la universidad de Warwick del Reino Unido.

«Es matemáticamente simple y elegante y tiene una interesante variedad de soluciones con agradables características matemáticas».

La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas.

Se aplica a todo tipo de ondas, desde las de agua a las de sonido y vibraciones. Incluso a las ondas de luz y radio.

Teorema de Bayes

Esta ecuación fue desarrollada por primera vez por el reverendo Thomas Bayes en el 1700.

Calcula la probabilidad que un evento (A) sea real, dado que otro evento (B) también lo es.

Tiene muchos usos, como para detectar fallas de vigilancia, defensa militar, operaciones de búsqueda y rescate, en escáneres médicos en incluso para filtros de correos electrónicos no deseados.

«Su belleza destaca porque subyace en el pensamiento racional y la toma de decisiones, más que por cualquier aspecto estético intrínseco», comenta David Percy, de la universidad de Salford, quien no pudo decidirse entre Bayes y la identidad de Euler.

Ecuación del campo de Einstein

La primera vez que Albert Einstein habló de su teoría general de la relatividad fue en 1915, y al año siguiente se publicó.

Él la resumía en una ecuación, que de hecho es el sumario de diez ecuaciones.

Katie Mack, de la universidad de Melbourne en Australia, explica que estas fórmulas cambiaron completamente cómo entendemos la naturaleza y evolución del Universo.

«Lo fundamental de este nuevo punto de vista es que la idea de espacio-tiempo, el tejido básico de la realidad, es maleable», agrega.

La relatividad general ofreció una nueva visión de cómo funciona la gravedad.

En vez de objetos masivos ejerciendo una atracción en otros objetos, estos distorsionan el espacio y tiempo alrededor de ellos.

La ecuación de Einstein nos puede decir cómo nuestro universo ha cambiado con el tiempo, y ofrece un vistazo de los primeros momentos de la creación.

No extraña que sea la ecuación favorita de muchos matemáticos.

Aplicación logística

La aplicación logística es uno de los ejemplos clásicos de la teoría del caos.

«Puede ser resumida de la siguiente forma: la gran complejidad puede surgir de reglas muy sencillas», comenta Olalla Castro Alvaredo de la City University de Londres.

La ecuación puede ser usada para modelar muchos procesos naturales, como el crecimiento o la disminución de una población de animales con el tiempo.

La forma en la que se comporta una población termina siendo enormemente sensible al valor de r, de manera contraintuitiva.

Si r está entre 0 y 1, la población siempre morirá. Pero si está entre 1 y 3, la población llegará a un valor fijo –y si está por encima de 3.56995, la población se convierte ampliamente impredecible.

Estos comportamientos son descritos como «caóticos» por los matemáticos, y no son los que instintivamente deberíamos esperar.

Pero todas emergen de una fórmula que matemáticamente es bastante simple.

Una simple progresión aritmética

Una progresión aritmética es simplemente una secuencia de números separados por la misma cantidad.

Por ejemplo, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 es una progresión aritmética cuya diferencia es 2.

«Muchas de las cosas que consideramos hermosas de deben a la misma simétrica, reduciendo el trabajo que necesitamos para entenderlas», dice Benjamin Doyon del King’s College de Londres en el Reino Unido.

«Quizás nuestro cerebro es feliz al hacer menos trabajo, creando una sensación positiva de belleza».

Fórmula cuaternión

Famosamente tallada en un puente de piedra por el matemático irlandés William Rowan Hamilton, esta ecuación describe cómo trabajar con números complejos que incluyen raíces cuadradas de números negativos.

Esta ecuación, establecida por William Rowan Hamilton, es fundamental para una rama oscura de la matemática llamada álgebra cuaternión.

«La historia es que Hamilton dio con esta ecuación mientras caminaba en Dublín y la talló en un puente en un acto de triunfo», cuenta Chris Budd de la universidad de Bath.

En la actualidad, el álgebra cuaternión es básica en la industria de la computación gráfica.

Se utiliza para describir la orientación de los objetos en la pantalla.

Fuente: bbc.com

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Sherlock Holmes y la criptogafía

octubre 25, 2018

Holmes, un perspicaz decodificador

Por César Tomé.

Sherlock Holmes, el famoso detective creado por Arthur Conan Doyle, era conocido por sus grandes capacidades deductivas. Entre sus aventuras, me permito destacar El ritual de los Musgrave –ver la entrada Thales– en la que utilizaba el teorema de proporcionalidad de triángulos de Thales para encontrar el lugar en el que se escondía un secreto transmitido –mediante un extraño ritual– durante generaciones por la familia Musgrave.

En esta anotación quiero comentar otro de los relatos cortos del famoso detective, Los bailarines –incluido en la colección El regreso de Sherlock Holmes–. Esta vez, Holmes descubre el misterio que se le plantea, usando sus dotes de criptógrafo.

En esta aventura, Hilton Cubitt pide ayuda a Holmes para aclarar un enigma relacionado con su esposa: se encuentra muy angustiada, al estar recibiendo unos curiosos mensajes en clave. El marido no desea incomodarla –ella no quiere contarle lo que sucede–, y envía a Holmes la primera de las notas que consigue interceptar:

Ante la vista de este criptograma, Holmes asegura:

“Estos jeroglíficos tienen sin duda un sentido. Si se trata de una cosa puramente arbitraria, quizá nos sea imposible descifrarlo; pero si estamos ante una cosa sistemática, llegaremos sin duda al fondo del asunto. Ahora bien: esta muestra que tenemos aquí es tan breve, y los hechos que usted me ha relatado resultan de tal manera indefinidos, que carecemos de base para una investigación.”

Hilton Cubitt sigue recopilando mensajes para dar más pistas a Holmes sobre el problema que preocupa a su esposa. Van apareciendo en puertas, paredes y ventanas más mensajes en clave:

Los monigotes –los bailarines– que componen los mensajes aparecen en diferentes posturas, a veces llevan banderines, en algunas ocasiones están colocados boca abajo:

Cada nueva información proporcionada por Cubitt ayuda a Holmes en su intento de resolver el misterio:

“Estoy bastante familiarizado con toda clase de formas secretas de escritura y soy autor de una insignificante monografía acerca del tema, en la que analizo ciento sesenta claves distintas; pero confieso que ésta me resultó completamente nueva. Los inventores del procedimiento se propusieron, por lo visto, ocultar el hecho de que estos dibujos encierran un mensaje, produciendo la impresión de que se trata de simples dibujos infantiles caprichosos.”

Holmes –exactamente de la misma manera en la que procede el protagonista de El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe, ver [2]– comienza estudiando la frecuencia de aparición cada símbolo, y la compara con la frecuencia de las letras en inglés.

“Sin embargo, una vez convencido de que cada símbolo de esos equivale a una letra, y aplicando al caso las reglas por las que nos guiamos para descifrar toda clase de escrituras secretas, la solución resulta bastante fácil. El primer mensaje que me fue presentado era tan breve, que resulta imposible para mí sentar otra afirmación con alguna seguridad fuera de la de que la figura

representa la letra e. Ustedes saben que la ‘e’ es la más corriente de las letras del alfabeto inglés y que predomina en este idioma hasta el punto de que, incluso en las frases más breves, se puede tener la seguridad de que se repite con más frecuencia que ninguna otra letra.”

Tras fijar la letra E, el detective continúa descubriendo algunos de los símbolos de este cifrado por sustitución directamente, o deduciendo palabras guiándose por el contexto o el sentido común: los bailarines a los que alude el título del relato de Conan Doyle son las letras –minúsculas y mayúsculas– y los signos de puntuación de un nuevo abecedario.

El alfabeto completo era una invención de Patrick, el padre de Elsie –la esposa de Cubitt–, jefe de una banda de delincuentes: el nuevo alfabeto le ayudaba a enviar mensajes a su ‘cuadrilla’, que pasaban desapercibidos –pareciendo un simple juego de niños– para cualquier persona desconociendo la clave.

Lamentablemente, a pesar de conseguir averiguar la clave, Holmes no logra evitar el asesinato de su cliente, Hilton Cubitt. Pero al menos, logra desenmascarar al asesino, y lo hace –conocedor como ya era del código escondido– enviándole un mensaje en el anterior alfabeto en nombre de Elsie.

Nota 1: Los criptogramas mostrados arriba dicen:

1) aM herE abE slaney (estoy aquí Abe Slaney)

2) aT elriges (en Elrige)

3) elsiE preparE tO meeT thY god (Elsie, prepárate para comparecer ante Dios)

Nota 2: En Strange Little Dancing Men Explained at Last, Martin Bergman permite descargar las fuentes de este alfabeto ‘bailarín’: se puede instalar y utilizar; yo lo he hecho en mi ordenador, y puede que me dedique a mandar mensajes misteriosos…

Este no es un mensaje cifrado.

Referencias:

[1] Arthur Conan Doyle, Los bailarines [pdf]

[2] Marta Macho Stadler, Edgar Allan Poe, el científico, Matematicalia vol 4, no. 4, 2008

[3] La imagen del alfabeto en clave está extraído de la página de la matemática Jill Britton

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua enZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios

Fuente: culturacientifica.com

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Los números en la naturaleza

septiembre 30, 2018

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta $f_{10}$

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377<br /><br /> \ldots \,

La sucesión comienza con los números 1 y 1,¹ y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias del brécol romanescu y en el arreglo de un cono.

Historia

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir».²

Número de Mes	Explicación de la genealogía	Parejas de conejos totales
Comienzo del mes 1	Nace una pareja de conejos (pareja A).	1 pareja en total.
Fin del mes 1	La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.	1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2	La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.	1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3	La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.	2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4	Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.	3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5	A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.	5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6	A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.	8+5=13 parejas en total.
…	…	…
	…	…

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.³

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos $f_{n+1}/f_n$ se acerca a la relación áurea fi ( $\phi$ ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la sucesión de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

(3) $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,$

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

f_0 = 0\,

f_1 = 1\,

se obtienen los siguientes números:

$f_2 = 1\,$
$f_3 = 2\,$
$f_4 = 3\,$
$f_5 = 5\,$
$f_6 = 8\,$
$f_7 = 13\,$

para $n = 2,3,4,5,\ldots$

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.

Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera $a_0,a_1,a_2,\dots$ es la función $f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$ , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4) $f\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}$

Cuando esta función se expande en potencias de $x\,$ , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

\frac{x}{1-x-x^2}=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots

Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

f_{n+2}-f_{n+1}-f_n=0\,

con las condiciones iniciales

f_0=0\,

f_1=1\,

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es $t^2-t-1=0$ , y sus raíces son

t=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

f_n=b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n

.⁴

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes $b$ y $d$ satisfacen la ecuación anterior cuando $n = 0$ y $n = 1$ , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl}b+d & = & 0 \\ b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)&=&1\end{array}\right\}

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

b=\frac1{\sqrt5},d=-\frac1{\sqrt5}

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5) $f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n$

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

\varphi=\frac{1+\sqrt5}2

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6) $f_n=\frac{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^{n}}{\sqrt5}$

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional $\varphi\,$ . De hecho, la relación con este número es estrecha.

Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

\left . \begin{array}{rcl}<br /><br /> f_{n} &=& f_{n} \\<br /><br /> f_{n-1} + f_{n} &=& f_{n+1}<br /><br /> \end{array} \right \}

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}

Conociendo a $f_0=0$ y $f_1=1$ , al aplicar la fórmula anterior $n$ veces se obtiene

(7) $\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}$

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8) $\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_n\\f_n&f_{n+1}\end{bmatrix}$

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud $n$ que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly⁵ dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

$\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi$

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,…, lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense «The Field» del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, $17=13+3+1$ , $65=55+8+2$ .
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo $m$ , para cualquier $m$ .
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si $\textstyle\alpha = \frac{1+\sqrt 5}{2}$ y $\textstyle\beta = \frac{1-\sqrt 5}{2}$ , entonces

f_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}

f_n\approx\frac{\alpha^n}{\sqrt 5}\,

Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

f_n=\frac{f_{n-2}+f_{n+1}}2

Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.

f_{n+1}= f_{n} * 2 - f_{n-2}

La suma de los $n$ primeros números es igual al número que ocupa la posición $n+2$ menos uno. Es decir

f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1

Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

f_0-f_1+f_2-\cdots+(-1)^nf_n=(-1)^nf_{n-1}-1

f_1+f_3+f_5+\cdots+f_{2n-1}=f_{2n}

f_0+f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1

f_0^2+f_1^2+f_2^2+\cdots+f_n^2=f_nf_{n+1}

f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^2

f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^2-1

k\geq1

, entonces

f_{n+k}=f_kf_{n+1}+f_{k-1}f_n\,

para cualquier

n\geq0

f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n

(Identidad de Cassini)

f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}

f_{n+2}^2-f_{n+1}^2=f_nf_{n+3}

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2}

f_{n+2}^3+f_{n+1}^3-f_n^3=f_{3n+3}

f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi

(con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:

f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi)f_{n}

El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente

\mathrm{mcd}\left(f_n,f_m\right)=f_{\mathrm{mcd}\left(n,m\right)}

Esto significa que

f_n\,

f_{n+1}\,

son primos relativos y que

f_k\,

divide exactamente a

f_{nk}\,

Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier $n\geq0$ ,

f_{n+1}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}

y más aún

f_{3n}=\sum_{j=0}^n\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}2^jf_j

Si $f_p = a$ , tal que $a$ es un número primo, entonces $p$ también es un número primo, con una única excepción, $f_4=3$ ; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión $\textstyle\frac{f_n}{10^n}$ es exactamente $\textstyle\frac{10}{89}$ .
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada $15\times10^{n-1}$ números.

Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como $\ldots,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots$ de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja $f_{n-2}\,$ de la ecuación (3) de donde se obtiene

f_{n-2}=f_n-f_{n-1}\,

De esta manera, $f_{-n}=f_n\,$ si $n$ es impar y $f_{-n}=-f_n\,$ si $n$ es par.

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando $n$ es cualquier número real. La función resultante

f(x)=\frac{\varphi^x-\cos(\pi x)\varphi^{-x}}{\sqrt 5}

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

$f(0)=0~$
$f(1)=1~$
$f(x)=f(x-1)+f(x-2)~$ para cualquier número real $x$

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión $g_0,g_1,g_2,\ldots$ donde

(9) $g_n=g_{n-1}+g_{n-2}\,$ para $n=2,3,4,5,\ldots$

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

\varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

\varphi^x=\varphi^{x-1}+\varphi^{x-2}

…y al de los complejos.

\varphi^z=\varphi^{z-1}+\varphi^{z-2}

Una característica notable es que, si $g_0,g_1,g_2,\ldots$ es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

g_n=f_{n-1}g_0+f_ng_1~

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}g_0\\g_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

$l_0=2~$
$l_1=1~$
$l_n=l_{n-1}+l_{n-2}~$ para $n=2,3,4,5,\ldots$

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

\lim_{n\to\infty}\frac{l_{n+1}}{l_n}=\varphi

La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

l_n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}

La suma de los primeros $n$ números de Lucas es el número que se encuentra en la posición $n+2$ menos uno. Es decir

l_0+l_1+l_2+\cdots+l_n=l_{n+2}-1

Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

l_n=f_{n-1}+f_{n+1}~

Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

f_n=\frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}

Algoritmos de cálculo

Cálculo de $f_7$ usando el algoritmo 1.

Para calcular el $n$ -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad $O(\varphi^n)\,$ )
función ${\it fib}(n)\,$ si $n<2\,$ entonces devuelve $n\,$ en otro caso devuelve ${\it fib}(n-1) + {\it fib}(n-2)\,$

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar $f_{n+1}-1$ sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión $f_n$ crece tan rápido como $\varphi^n$ , entonces el algoritmo está en el orden de $\varphi^n$ . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular $f_{50}$ este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que $\varphi$ es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de $\varphi$ y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado $f_{50}=1.258626903\times10^{10}$ aún cuando el resultado correcto es $f_{50}=12586269025$ . Este error se hace cada vez más grande conforme crece $n$ .

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par $(i,j)\,$ de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es $(j,i+j)\,$ , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad $O(n)\,$ )
función ${\it fib}(n)\,$ $i\gets 1$ $j\gets 0$ para $k\,$ desde $0\,$ hasta $n-1\,$ hacer $t\gets i+j$ $i\gets j$ $j\gets t$ devuelve $j\,$

Esta versión requiere efectuar sólo $n$ sumas para calcular $f_n$ , lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular $f_{50}$ .

Calculando $f_{100}$ usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular $x^n$ como

x^n=\begin{cases} x & \mbox{si }n=1 \\ \left(x^{\frac n 2}\right)^2 & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ x\times x^{n-1} & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, $\log_2(n)$ multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores $a$ y $b$ , y su cuadrado se puede calcular como

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}^2 =<br /><br /> \begin{bmatrix}a^2+b^2 & b(2a+b)\\<br /><br /> b(2a+b) & (a+b)^2+b^2\end{bmatrix}

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad $O(\log(n))\,$ )
función ${\it fib}(n)\,$ si $n\leq0$ entonces devuelve $0\,$ $i\gets n-1$ $(a,b) \gets (1,0)$ $(c,d) \gets (0,1)$ mientras $i > 0\,$ hacer si $i\,$ es impar entonces $(a,b) \gets (db + ca, d(b + a) + cb)$ $(c,d) \gets (c^2 + d^2, d(2c + d))$ $i\gets i\div 2$ devuelve $a+b\,$

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular $f_{100}$ , en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.

Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad de Bejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual se deriva el nombre en francés de esta ciudad, «Bougie», que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.⁶

Dígitos en la sucesión de Fibonacci

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:

Empezando en 1 dígito y «terminando» en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.

En los elementos de posición n, n¹⁰, n¹⁰⁰,…, el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

Divisibilidad

Sean n y m enteros positivos. Si el número n es divisible por m entonces el térmimo n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la cita sucesión⁷

Cualquiera que sea el entero m, entre los $m^2 - 1$ primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 4⁸
Si k es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.⁹ Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.

Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí¹⁰

Véase también

Referencias

La leyenda que motivó esta sucesión «empezó con una pareja de conejos». Vorobiov: Números de Fibonacci
Laurence Sigler, Fibonacci’s Liber Abaci, página 404
Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
Pareciera que surge de modo natural la raíz cuadrada de cinco, número irracional pura creación humana
Fibonacci Quarterly
(en inglés)T.C.Scott; P. Marketos (2014). «On the Origin of the Fibonacci Sequence». MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscú. Esta sección exige que la sucesión empiece con 1 y con 0 (1974)
Vorobiov: Ibídem
Vorobiov: Op. cit
Al ojo se puede comprobar esta proposición, chequeando la lista respectiva

Bibliografía

N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas.
A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.

Fuente: Wikipedia.

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Sam Loyd y sus rompecabezas

abril 10, 2018

Sam Loyd y sus rompecabezas

Por M. Macho.

Sam Loyd (1841-1911) falleció un 10 de abril. Fue uno de los mejores jugadores de ajedrez americanos de su tiempo y un magnífico creador de rompecabezas y de acertijos matemáticos.

En la página web dedicada al autor, pueden verse muchos de sus trucos. En particular puede descargarse su famoso libro -en formato pdf, en formato comprimido o página a página en formato jpg– Cyclopedia of 5000 puzzles, tricks and conundrums, with answers (Lamb. Pub. Co., 1914).

El famoso rompecabezas Abandone la tierra aparece precisamente en este texto: tenemos 12 guerreros situados sobre la superficie terrestre…

si hacemos girar el eje de la tierra hacia el noreste -en el enlace Abandone la tierra puede hacerse con un simple click- ¡se cuentan 13 guerreros! ¿De dónde ha salido el guerrero número 13?

Otro de sus trucos más famosos es el Acertijo de los burros: recorta los dos burros y los jinetes siguiendo las líneas ¿Puedes montar los dos jinetes sobre los burros al mismo tiempo sin doblar ninguna de las piezas? En este enlace, puedes intentar resolverlo online.

Otro acertijo de Loyd es el del policía matemático:

“Buenos días, oficial”, dijo McGuire. “¿Puede decirme qué hora es?”

“Con toda exactitud”, replicó el agente Clancy, más conocido como el policía matemático. “Sume un cuarto del tiempo que hay entre la medianoche y ahora a la mitad del tiempo que hay entre ahora y la medianoche, y sabrá usted la hora correcta.”

¿A qué hora se produjo esta conversación?

En los enlaces antes citados pueden encontarse muchísmos acertijos más.

Fuente: ztfnews.wordpress.com

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Geometría Recreativa – Yakov Perelman

noviembre 13, 2017

Geometría Recreativa | Yakov Perelman

portada21

.
Gracias al ahínco de Antonio Bravo que ha conseguido la versión rusa, nunca antes traducida al castellano, a la paciencia de Natalia Abramenko que lo ha traducido, tratando de expresar en castellano, la sensibilidad que el autor le ha dado originalmente en ruso, a Patricio Barros que ha “traducido” lo ya traducido por Natalia, para darle sentido en el lenguaje de la geometría y a Guillermo Mejía que ha corregido, con infinita paciencia, el texto completo, hemos logrado poner a disposición de los internautas, un libro que constituye una exclusividad en la lengua castellana; nos referimos a la Geometría Recreativa escrita por Yakov Perelman. Ante Uds. uno de los mejores clásicos de la geometría práctica. Su lenguaje sencillo y directo facilita la lectura del libro: problemas poco comunes, captura de situaciones históricas y curiosos ejemplos de la vida diaria, harán las delicias de los jóvenes lectores y talvez de otros no tanto. Esta publicación tiene como objetivo principal inculcar en los jóvenes el gusto por el estudio de la geometría, promoviendo en ellos el interés por su aprendizaje independiente y entregándoles conocimientos suplementarios a los programas escolares. Este libro, una primicia en la lengua castellana, es el resultado de la unión de voluntades que, trabajando en conjunto, han aportado un grano de arena más al conocimiento y difusión de las obras gran autor ruso, Yakov Perelman.
Mayo de 2003

Descarga:

Fuente: matematicapositiva.wordpress.com

Una pequeña muestra:

3. El método de Julio Verne
El siguientemétodo también es sencillo. Julio Verne describió en su novela “La islamisteriosa” la forma de medir los objetos de gran altura:
– Hoyvamos a medir la altura del acantilado de Vista Lejana, –dijo el ingeniero.
–¿Necesitamos algunos instrumentos? –preguntó Gebert.
– Nohace falta. Lo haremos de otra manera, más fácil y más segura.
Eljoven, caminó desde el acantilado hasta la orilla. Cogió un jalón de 12 pies delongitud, el ingeniero comprobó la medida con su estatura, la cual conocíabien. Gebert entregó una plomada al ingeniero; ésta no era más que una piedraatada al extremo de una cuerda. Situándose a 500 pies del acantilado vertical,el ingeniero clavó el jalón verticalmente en la arena, con la ayuda de laplomada, enterrándola a dos pies de profundidad. Luego se alejó del jalón,hasta que tumbándose en el suelo pudo ver el extremo saliente del jalón y lacresta del acantilado en línea recta (Figura 7). Marcó este punto con unaestaca.
–¿Tienes algunas nociones de geometría?– preguntó a Gebert.
– Sí.
–¿Recuerdas las propiedades de los triángulos semejantes?
– Suslados correspondientes son proporcionales.
–Exacto. Ahora voy a construir dos triángulos rectángulos semejantes. Un catetodel triángulo pequeño será el jalón, el otro cateto, será la distancia desde laestaca hasta el pie del jalón; la hipotenusa, es mi línea de vista. En eltriángulo mayor los catetos son el acantilado, cuya altura queremos medir, y ladistancia desde la estaca hasta el pie del acantilado; la hipotenusa es milínea de vista, que se une con la hipotenusa del triángulo menor.

Figura 7. Como encontraron la altura de un acantilado los personajes de Julio Verne

– ¡Eeentendido! – exclamó el joven. La distancia de la estaca hasta el jalón es a la distancia desde la estaca hasta el pie del acantilado, como la altura del jalón es a la altura del acantilado.
–Exactamente. Sigamos, si medimos las dos primeras distancias, y sabemos laaltura del jalón, podemos calcular el cuarto miembro de la proporción que es laaltura del acantilado.
Semidieron ambas distancias horizontales: la pequeña midió 15 pies, la grandemidió 500 pies.
Finalmenteel ingeniero anotó:

15 : 500 = 10 : x

15 x = 500 x 10

x=333,3 pies

Entonces,la altura del acantilado es de 333 pies.

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