Sherlock Holmes y la criptogafía

octubre 25, 2018

Holmes, un perspicaz decodificador

Por César Tomé.

Sherlock Holmes, el famoso detective creado por Arthur Conan Doyle, era conocido por sus grandes capacidades deductivas. Entre sus aventuras, me permito destacar El ritual de los Musgrave –ver la entrada Thales– en la que utilizaba el teorema de proporcionalidad de triángulos de Thales para encontrar el lugar en el que se escondía un secreto transmitido –mediante un extraño ritual– durante generaciones por la familia Musgrave.

En esta anotación quiero comentar otro de los relatos cortos del famoso detective, Los bailarines –incluido en la colección El regreso de Sherlock Holmes–. Esta vez, Holmes descubre el misterio que se le plantea, usando sus dotes de criptógrafo.

En esta aventura, Hilton Cubitt pide ayuda a Holmes para aclarar un enigma relacionado con su esposa: se encuentra muy angustiada, al estar recibiendo unos curiosos mensajes en clave. El marido no desea incomodarla –ella no quiere contarle lo que sucede–, y envía a Holmes la primera de las notas que consigue interceptar:

Ante la vista de este criptograma, Holmes asegura:

“Estos jeroglíficos tienen sin duda un sentido. Si se trata de una cosa puramente arbitraria, quizá nos sea imposible descifrarlo; pero si estamos ante una cosa sistemática, llegaremos sin duda al fondo del asunto. Ahora bien: esta muestra que tenemos aquí es tan breve, y los hechos que usted me ha relatado resultan de tal manera indefinidos, que carecemos de base para una investigación.”

Hilton Cubitt sigue recopilando mensajes para dar más pistas a Holmes sobre el problema que preocupa a su esposa. Van apareciendo en puertas, paredes y ventanas más mensajes en clave:

Los monigotes –los bailarines– que componen los mensajes aparecen en diferentes posturas, a veces llevan banderines, en algunas ocasiones están colocados boca abajo:

Cada nueva información proporcionada por Cubitt ayuda a Holmes en su intento de resolver el misterio:

“Estoy bastante familiarizado con toda clase de formas secretas de escritura y soy autor de una insignificante monografía acerca del tema, en la que analizo ciento sesenta claves distintas; pero confieso que ésta me resultó completamente nueva. Los inventores del procedimiento se propusieron, por lo visto, ocultar el hecho de que estos dibujos encierran un mensaje, produciendo la impresión de que se trata de simples dibujos infantiles caprichosos.”

Holmes –exactamente de la misma manera en la que procede el protagonista de El escarabajo de oro de Edgar Allan Poe, ver [2]– comienza estudiando la frecuencia de aparición cada símbolo, y la compara con la frecuencia de las letras en inglés.

“Sin embargo, una vez convencido de que cada símbolo de esos equivale a una letra, y aplicando al caso las reglas por las que nos guiamos para descifrar toda clase de escrituras secretas, la solución resulta bastante fácil. El primer mensaje que me fue presentado era tan breve, que resulta imposible para mí sentar otra afirmación con alguna seguridad fuera de la de que la figura

representa la letra e. Ustedes saben que la ‘e’ es la más corriente de las letras del alfabeto inglés y que predomina en este idioma hasta el punto de que, incluso en las frases más breves, se puede tener la seguridad de que se repite con más frecuencia que ninguna otra letra.”

Tras fijar la letra E, el detective continúa descubriendo algunos de los símbolos de este cifrado por sustitución directamente, o deduciendo palabras guiándose por el contexto o el sentido común: los bailarines a los que alude el título del relato de Conan Doyle son las letras –minúsculas y mayúsculas– y los signos de puntuación de un nuevo abecedario.

El alfabeto completo era una invención de Patrick, el padre de Elsie –la esposa de Cubitt–, jefe de una banda de delincuentes: el nuevo alfabeto le ayudaba a enviar mensajes a su ‘cuadrilla’, que pasaban desapercibidos –pareciendo un simple juego de niños– para cualquier persona desconociendo la clave.

Lamentablemente, a pesar de conseguir averiguar la clave, Holmes no logra evitar el asesinato de su cliente, Hilton Cubitt. Pero al menos, logra desenmascarar al asesino, y lo hace –conocedor como ya era del código escondido– enviándole un mensaje en el anterior alfabeto en nombre de Elsie.

Nota 1: Los criptogramas mostrados arriba dicen:

1) aM herE abE slaney (estoy aquí Abe Slaney)

2) aT elriges (en Elrige)

3) elsiE preparE tO meeT thY god (Elsie, prepárate para comparecer ante Dios)

Nota 2: En Strange Little Dancing Men Explained at Last, Martin Bergman permite descargar las fuentes de este alfabeto ‘bailarín’: se puede instalar y utilizar; yo lo he hecho en mi ordenador, y puede que me dedique a mandar mensajes misteriosos…

Este no es un mensaje cifrado.

Referencias:

[1] Arthur Conan Doyle, Los bailarines [pdf]

[2] Marta Macho Stadler, Edgar Allan Poe, el científico, Matematicalia vol 4, no. 4, 2008

[3] La imagen del alfabeto en clave está extraído de la página de la matemática Jill Britton

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua enZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.

Esta entrada participa en la Edición 5.5: Ronald Fisher del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios

Fuente: culturacientifica.com

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Los números en la naturaleza

septiembre 30, 2018

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Sucesión de Fibonacci

Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta $f_{10}$

En matemáticas, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci) es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377<br /><br /> \ldots \,

La sucesión comienza con los números 1 y 1,¹ y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.

A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa, las inflorescencias del brécol romanescu y en el arreglo de un cono.

Historia

La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: «Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir».²

Número de Mes	Explicación de la genealogía	Parejas de conejos totales
Comienzo del mes 1	Nace una pareja de conejos (pareja A).	1 pareja en total.
Fin del mes 1	La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A.	1+0=1 pareja en total.
Fin del mes 2	La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A.	1+1=2 parejas en total.
Fin del mes 3	La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.	2+1=3 parejas en total.
Fin del mes 4	Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C.	3+2=5 parejas en total.
Fin del mes 5	A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E.	5+3=8 parejas en total.
Fin del mes 6	A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.	8+5=13 parejas en total.
…	…	…
	…	…

Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.

De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.³

También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos $f_{n+1}/f_n$ se acerca a la relación áurea fi ( $\phi$ ) cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite. Esta sucesión tuvo popularidad en el siglo XX especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.

Definición recursiva

Chimenea con la sucesión de Fibonacci

Los números de Fibonacci quedan definidos por la ecuación:

(3) $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,$

partiendo de dos primeros valores predeterminados:

f_0 = 0\,

f_1 = 1\,

se obtienen los siguientes números:

$f_2 = 1\,$
$f_3 = 2\,$
$f_4 = 3\,$
$f_5 = 5\,$
$f_6 = 8\,$
$f_7 = 13\,$

para $n = 2,3,4,5,\ldots$

Esta manera de definir, de hecho considerada algorítmica, es usual en Matemática discreta.

Representaciones alternativas

Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.

Función generadora

Una función generadora para una sucesión cualquiera $a_0,a_1,a_2,\dots$ es la función $f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+\cdots$ , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora

(4) $f\left(x\right)=\frac{x}{1-x-x^2}$

Cuando esta función se expande en potencias de $x\,$ , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

\frac{x}{1-x-x^2}=0x^0+1x^1+1x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+13x^7+\cdots

Fórmula explícita

La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

f_{n+2}-f_{n+1}-f_n=0\,

con las condiciones iniciales

f_0=0\,

f_1=1\,

El polinomio característico de esta relación de recurrencia es $t^2-t-1=0$ , y sus raíces son

t=\frac{1\pm\sqrt 5}{2}

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

f_n=b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n

.⁴

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes $b$ y $d$ satisfacen la ecuación anterior cuando $n = 0$ y $n = 1$ , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl}b+d & = & 0 \\ b\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)+d\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)&=&1\end{array}\right\}

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

b=\frac1{\sqrt5},d=-\frac1{\sqrt5}

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como

(5) $f_n=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n-\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n$

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

\varphi=\frac{1+\sqrt5}2

de manera que la ecuación (5) se reduce a

(6) $f_n=\frac{\varphi^n-\left(1-\varphi\right)^{n}}{\sqrt5}$

Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional $\varphi\,$ . De hecho, la relación con este número es estrecha.

Forma matricial

Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

\left . \begin{array}{rcl}<br /><br /> f_{n} &=& f_{n} \\<br /><br /> f_{n-1} + f_{n} &=& f_{n+1}<br /><br /> \end{array} \right \}

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}f_{n-1}\\f_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}

Conociendo a $f_0=0$ y $f_1=1$ , al aplicar la fórmula anterior $n$ veces se obtiene

(7) $\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_{n}\\f_{n+1}\end{bmatrix}$

Una vez aquí, simplemente tenemos que diagonalizar la matriz, facilitando así la operación de potenciación, y obteniendo por tanto la fórmula explícita para la sucesión que se especificó arriba.

y más aún

(8) $\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_n\\f_n&f_{n+1}\end{bmatrix}$

Estas igualdades pueden probarse mediante inducción matemática.

Propiedades de la sucesión

Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo).

Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud $n$ que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly⁵ dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes:

La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:

$\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=\varphi$

Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,…, lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense «The Field» del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.

Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, $17=13+3+1$ , $65=55+8+2$ .
Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo $m$ , para cualquier $m$ .
La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si $\textstyle\alpha = \frac{1+\sqrt 5}{2}$ y $\textstyle\beta = \frac{1-\sqrt 5}{2}$ , entonces

f_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}

f_n\approx\frac{\alpha^n}{\sqrt 5}\,

Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir

f_n=\frac{f_{n-2}+f_{n+1}}2

Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás.

f_{n+1}= f_{n} * 2 - f_{n-2}

La suma de los $n$ primeros números es igual al número que ocupa la posición $n+2$ menos uno. Es decir

f_0+f_1+f_2+\cdots+f_n=f_{n+2}-1

Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:

f_0-f_1+f_2-\cdots+(-1)^nf_n=(-1)^nf_{n-1}-1

f_1+f_3+f_5+\cdots+f_{2n-1}=f_{2n}

f_0+f_2+f_4+\cdots+f_{2n}=f_{2n+1}-1

f_0^2+f_1^2+f_2^2+\cdots+f_n^2=f_nf_{n+1}

f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n-1}f_{2n}=f_{2n}^2

f_1f_2+f_2f_3+f_3f_4+\cdots+f_{2n}f_{2n+1}=f_{2n+1}^2-1

k\geq1

, entonces

f_{n+k}=f_kf_{n+1}+f_{k-1}f_n\,

para cualquier

n\geq0

f_{n+1}f_{n-1}-f_n^2=(-1)^n

(Identidad de Cassini)

f_{n+1}^2+f_n^2=f_{2n+1}

f_{n+2}^2-f_{n+1}^2=f_nf_{n+3}

Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.

f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2}

f_{n+2}^3+f_{n+1}^3-f_n^3=f_{3n+3}

f_{n}=\varphi ^{n+1}-(f_{n+1})\varphi

(con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:

f_{n+1}=\varphi ^{n}+(1-\varphi)f_{n}

El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente

\mathrm{mcd}\left(f_n,f_m\right)=f_{\mathrm{mcd}\left(n,m\right)}

Esto significa que

f_n\,

f_{n+1}\,

son primos relativos y que

f_k\,

divide exactamente a

f_{nk}\,

Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier $n\geq0$ ,

f_{n+1}=\sum_{j=0}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}\begin{pmatrix}n-j\\j\end{pmatrix}

y más aún

f_{3n}=\sum_{j=0}^n\begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix}2^jf_j

Si $f_p = a$ , tal que $a$ es un número primo, entonces $p$ también es un número primo, con una única excepción, $f_4=3$ ; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
La suma infinita de los términos de la sucesión $\textstyle\frac{f_n}{10^n}$ es exactamente $\textstyle\frac{10}{89}$ .
La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada $15\times10^{n-1}$ números.

Generalización

Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.

El concepto fundamental de la sucesión de Fibonacci es que cada elemento es la suma de los dos anteriores. En este sentido la sucesión puede expandirse al conjunto de los números enteros como $\ldots,-8,5,-3,2,-1,1,0,1,1,2,3,5,8,\ldots$ de manera que la suma de cualesquiera dos números consecutivos es el inmediato siguiente. Para poder definir los índices negativos de la sucesión, se despeja $f_{n-2}\,$ de la ecuación (3) de donde se obtiene

f_{n-2}=f_n-f_{n-1}\,

De esta manera, $f_{-n}=f_n\,$ si $n$ es impar y $f_{-n}=-f_n\,$ si $n$ es par.

La sucesión se puede expandir al campo de los números reales tomando la parte real de la fórmula explícita (ecuación (6)) cuando $n$ es cualquier número real. La función resultante

f(x)=\frac{\varphi^x-\cos(\pi x)\varphi^{-x}}{\sqrt 5}

tiene las mismas características que la sucesión de Fibonacci:

$f(0)=0~$
$f(1)=1~$
$f(x)=f(x-1)+f(x-2)~$ para cualquier número real $x$

Una sucesión de Fibonacci generalizada es una sucesión $g_0,g_1,g_2,\ldots$ donde

(9) $g_n=g_{n-1}+g_{n-2}\,$ para $n=2,3,4,5,\ldots$

Es decir, cada elemento de una sucesión de Fibonacci generalizada es la suma de los dos anteriores, pero no necesariamente comienza en 0 y 1.

Una sucesión de fibonacci generalizada muy importante, es la formada por las potencias del número áureo.

\varphi^n=\varphi^{n-1}+\varphi^{n-2}

La importancia de esta sucesión reside en el hecho de que se puede expandir directamente al conjunto de los números reales.

\varphi^x=\varphi^{x-1}+\varphi^{x-2}

…y al de los complejos.

\varphi^z=\varphi^{z-1}+\varphi^{z-2}

Una característica notable es que, si $g_0,g_1,g_2,\ldots$ es una sucesión de Fibonacci generalizada, entonces

g_n=f_{n-1}g_0+f_ng_1~

Por ejemplo, la ecuación (7) puede generalizarse a

\begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}g_0\\g_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}g_{n}\\g_{n+1}\end{bmatrix}

Esto significa que cualquier cálculo sobre una sucesión de Fibonacci generalizada se puede efectuar usando números de Fibonacci.

Sucesión de Lucas

Gráfica de la sucesión de Lucas extendida al campo de los números reales.

Un ejemplo de sucesión de Fibonacci generalizada es la sucesión de Lucas, descrita por las ecuaciones

$l_0=2~$
$l_1=1~$
$l_n=l_{n-1}+l_{n-2}~$ para $n=2,3,4,5,\ldots$

La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir

\lim_{n\to\infty}\frac{l_{n+1}}{l_n}=\varphi

La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es

l_n=\varphi^n+(-\varphi)^{-n}

La suma de los primeros $n$ números de Lucas es el número que se encuentra en la posición $n+2$ menos uno. Es decir

l_0+l_1+l_2+\cdots+l_n=l_{n+2}-1

Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad

l_n=f_{n-1}+f_{n+1}~

Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

f_n=\frac{l_{n-1}+l_{n+1}}{5}

Algoritmos de cálculo

Cálculo de $f_7$ usando el algoritmo 1.

Para calcular el $n$ -ésimo elemento de la sucesión de Fibonacci existen varios algoritmos (métodos). La definición misma puede emplearse como uno, aquí expresado en pseudocódigo:

Algoritmo 1 Versión recursiva (Complejidad $O(\varphi^n)\,$ )
función ${\it fib}(n)\,$ si $n<2\,$ entonces devuelve $n\,$ en otro caso devuelve ${\it fib}(n-1) + {\it fib}(n-2)\,$

Usando técnicas de análisis de algoritmos es posible demostrar que, a pesar de su simplicidad, el algoritmo 1 requiere efectuar $f_{n+1}-1$ sumas para poder encontrar el resultado. Dado que la sucesión $f_n$ crece tan rápido como $\varphi^n$ , entonces el algoritmo está en el orden de $\varphi^n$ . Es decir, que este algoritmo es muy lento. Por ejemplo, para calcular $f_{50}$ este algoritmo requiere efectuar 20.365.011.073 sumas.

Para evitar hacer tantas cuentas, es común recurrir a una calculadora y utilizar la ecuación (6), sin embargo, dado que $\varphi$ es un número irracional, la única manera de utilizar esta fórmula es utilizando una aproximación de $\varphi$ y obteniendo en consecuencia un resultado aproximado pero incorrecto. Por ejemplo, si se usa una calculadora de 10 dígitos, entonces la fórmula anterior arroja como resultado $f_{50}=1.258626903\times10^{10}$ aún cuando el resultado correcto es $f_{50}=12586269025$ . Este error se hace cada vez más grande conforme crece $n$ .

Un método más práctico evitaría calcular las mismas sumas más de una vez. Considerando un par $(i,j)\,$ de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, el siguiente par de la sucesión es $(j,i+j)\,$ , de esta manera se divisa un algoritmo donde sólo se requiere considerar dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci en cada paso. Este método es el que usaríamos normalmente para hacer el cálculo a lápiz y papel. El algoritmo se expresa en pseudocódigo como:

Algoritmo 2 Versión iterativa (Complejidad $O(n)\,$ )
función ${\it fib}(n)\,$ $i\gets 1$ $j\gets 0$ para $k\,$ desde $0\,$ hasta $n-1\,$ hacer $t\gets i+j$ $i\gets j$ $j\gets t$ devuelve $j\,$

Esta versión requiere efectuar sólo $n$ sumas para calcular $f_n$ , lo cual significa que este método es considerablemente más rápido que el algoritmo 1. Por ejemplo, el algoritmo 2 sólo se requiere efectuar 50 sumas para calcular $f_{50}$ .

Calculando $f_{100}$ usando el algoritmo 3.

Un algoritmo todavía más rápido se sigue partiendo de la ecuación (8). Utilizando leyes de exponentes es posible calcular $x^n$ como

x^n=\begin{cases} x & \mbox{si }n=1 \\ \left(x^{\frac n 2}\right)^2 & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ x\times x^{n-1} & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

De esta manera se divisa el algoritmo de tipo Divide y Vencerás donde sólo se requeriría hacer, aproximadamente, $\log_2(n)$ multiplicaciones matriciales. Sin embargo, no es necesario almacenar los cuatro valores de cada matriz dado que cada una tiene la forma

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}

De esta manera, cada matriz queda completamente representada por los valores $a$ y $b$ , y su cuadrado se puede calcular como

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a+b \end{bmatrix}^2 =<br /><br /> \begin{bmatrix}a^2+b^2 & b(2a+b)\\<br /><br /> b(2a+b) & (a+b)^2+b^2\end{bmatrix}

Por lo tanto el algoritmo queda como sigue:

Algoritmo 3 Versión Divide y Vencerás (Complejidad $O(\log(n))\,$ )
función ${\it fib}(n)\,$ si $n\leq0$ entonces devuelve $0\,$ $i\gets n-1$ $(a,b) \gets (1,0)$ $(c,d) \gets (0,1)$ mientras $i > 0\,$ hacer si $i\,$ es impar entonces $(a,b) \gets (db + ca, d(b + a) + cb)$ $(c,d) \gets (c^2 + d^2, d(2c + d))$ $i\gets i\div 2$ devuelve $a+b\,$

A pesar de lo engorroso que parezca, este algoritmo permite reducir enormemente el número de operaciones que se necesitan para calcular números de Fibonacci muy grandes. Por ejemplo, para calcular $f_{100}$ , en vez de hacer las 573.147.844.013.817.084.100 sumas del algoritmo 1 o las 100 sumas con el algoritmo 2, el cálculo se reduce a tan sólo 9 multiplicaciones matriciales.

Fibonaccis Traum, Martina Schettina 2008, 40 x 40 cm

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que un zángano (1), el macho de la abeja, no tiene padre, pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho trastatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Recientemente, un análisis histórico-matemático acerca del contexto de Leonardo de Pisa y la proximidad de la ciudad de Bejaia, una importante exportadora de cera en los tiempos de Leonardo (de la cual se deriva el nombre en francés de esta ciudad, «Bougie», que significa «vela»), ha sugerido que fueron los criadores de abejas de Bejaia y el conocimiento de la ascendencia de las abejas lo que inspiró los números Fibonacci más que el modelo de reproducción de conejos.⁶

Dígitos en la sucesión de Fibonacci

Una de las curiosidades de dicha serie son los dígitos de sus elementos:

Empezando en 1 dígito y «terminando» en infinitos, cada valor de dígito es compartido por 4, 5 o 6 números de la serie. Siendo 6 solo en el caso de 1 dígito.

En los elementos de posición n, n¹⁰, n¹⁰⁰,…, el número de dígitos aumenta en el mismo orden. Dando múltiples distintos para cada n.

Divisibilidad

Sean n y m enteros positivos. Si el número n es divisible por m entonces el térmimo n-ésimo de Fibonacci es divisible por el término m-ésimo de la misma sucesión. En efecto 4 divide a 12, por tanto el término de orden cuatro, el 3 divide a 144, término de orden 12 en la cita sucesión⁷

Cualquiera que sea el entero m, entre los $m^2 - 1$ primeros números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m. A modo de ejemplo para m = 4, entre los primeros quince números están 8 y 144, números de Fibonacci, divisibles por 4⁸
Si k es un número compuesto diferente de 4, entonces el número k-ésimo de Fibonacci es compuesto.⁹ Para el caso 10, compuesto distinto de 4, el décimo número de Fibonacci 55, es compuesto.

Los números consecutivos de Fibonacci son primos entre sí¹⁰

Véase también

Referencias

La leyenda que motivó esta sucesión «empezó con una pareja de conejos». Vorobiov: Números de Fibonacci
Laurence Sigler, Fibonacci’s Liber Abaci, página 404
Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
Pareciera que surge de modo natural la raíz cuadrada de cinco, número irracional pura creación humana
Fibonacci Quarterly
(en inglés)T.C.Scott; P. Marketos (2014). «On the Origin of the Fibonacci Sequence». MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Vorobiov: Números de Fibonacci, Editorial Mir, Moscú. Esta sección exige que la sucesión empiece con 1 y con 0 (1974)
Vorobiov: Ibídem
Vorobiov: Op. cit
Al ojo se puede comprobar esta proposición, chequeando la lista respectiva

Bibliografía

N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas.
A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega.
Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.

Fuente: Wikipedia.

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Matemáticas, ¿para qué?

septiembre 29, 2018

Para qué sirven las matemáticas

Por Francisco R. Villatoro.

Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos en “The unplanned impact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British Society for the History of Mathematics.”

Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias cumplen i ² = j ² = k ² = ijk= –1.

Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter Guthrie Tait (1831–1901), profesor de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) pasó más de 38 años discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo vectorial, que a finales del siglo XIX eclipsó a los cuaterniones y los matemáticos del siglo XX, en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones. Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales. En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además de en gráficos por ordenador. Al final del s. XX, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine (más de 100 mil millones de dólares en 2010).

Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”

En 1907, Albert Einstein formuló el principio de equivalencia, un paso clave para el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Su idea es simple en extremo, que los efectos de una aceleración son indistinguibles de los efectos de un campo gravitatorio uniforme, o dicho de otro modo, que la masa como “carga” gravitatoria y la masa inercial son equivalentes. Esta idea llevó a Einstein a concebir la gravedad como una curvatura del espaciotiempo. En 1915 publicó las ecuaciones de su teoría general que indican cómo la materia curva el espaciotiempo circundante. Las matemáticas que utilizó tienen su origen a mediados del siglo anterior. Bernhard Riemann introdujo los fundamentos de la geometría diferencial en 1854, en la defensa de su tesis de habilitación (una especie de tesis doctoral que era requisito para impartir clases en la universidad). Introdujo la geometría diferencial de espacios (hipersuperficies) de n dimensiones, llamadas variedades, y las nociones de métrica y curvatura. En los 1870, Bruno Christoffel extendió las ideas de Riemann e introdujo las conexiones afines y el concepto de transporte paralelo. El cálculo diferencial en variedades (o cálculo tensorial) alcanzó altas cotas de abstracción con los trabajos de Gregorio Ricci-Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita (entre 1880 y los inicios del s. XX). Pero estas ideas tan abstractas no tenían ninguna aplicación práctica hasta que Albert Einstein en 1912, con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossman decidió utilizar este cálculo tensorial para articular su profunda visión física sobre el espaciotiempo. Gracias a las variedades de Riemann en cuatro dimensiones (tres para el espacio y una para el tiempo), Einstein revolucionó nuestras ideas sobre la gravedad y sobre la evolución del universo. Las ecuaciones de Einstein no tenían ninguna solución estática, por lo que Einstein introdujo en 1917 una término adicional, la constante cosmológica con objeto de compensar la expansión natural del universo. Tras los trabajos teóricos de otros físicos, como Alexander Friedmann en 1922, y los resultados experimentales de Edwin Hubble, Einstein decidió en 1931 eliminar la constante cosmológica y calificar su inclusión como “el mayor error de su vida.” Hoy en día, tras la gran sorpresa de 1998, el concepto de energía oscura ha reintroducido la constante cosmológica.

Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”

En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.

Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que se besan, planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial? En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que esperar al trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953. Oleg Musin demostró en 2003 que el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como demostró Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560. Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres dimensiones y utilizan empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos, la red E8 en 8 dimensiones y la red de Leech en 24 dimensiones.

Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem utilizando estos empaquetamientos de esferas multidimensionales. El problema de la comunicación analógica en una línea telefónica es el ruido. En una conversación entre dos personas el lenguaje natural es tan redundante que el ruido importa poco, pero para enviar datos es necesario introducir ciertas redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce el ancho de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por segundo). Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar al máximo el ancho de banda. Para ello utilizó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (más tarde también se utilizó el de Leech). En la década de los 1970, el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo temprano de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en su trabajo, dijo que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran sido manchadas de esta manera por las aplicaciones.”

Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”

En 1992, dos físicos propusieron un dispositivo simple para convertir las fluctuaciones térmicas a nivel molecular en un movimiento dirigido: un motor browniano (Brownian ratchet) basado en alternar el encendido y el apagado de cierto campo. En 1996, la esencia matemática de este fenómeno fue capturada en el lenguaje de la teoría de juegos por la paradoja de Parrondo. Un jugador alterna dos juegos, en ambos juegos por separado la esperanza a largo plazo implica perder, sin embargo, alternar ambos juegos permite lograr a largo plazo una victoria. En general, se utiliza el término “efecto de Parrondo” para describir el resultado dos pruebas que combinadas logran un resultado diferente al de dichas pruebas individuales. El “efecto Parrondo” tiene muchas aplicaciones, como en el control de sistemas caóticos ya que permite que la combinación de dos sistemas caóticos conduzca a un comportamiento no caótico. También puede ser utilizado para modelar en dinámica de poblaciones la aparición de brotes de enfermedades víricas o en economía para predecir los riesgos de ciertas inversiones en bolsa.

Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”

En el siglo XVI, Girolamo Cardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna, “Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).

En el siglo XVII, Jakob Bernoulli reconoció que la teoría de la probabilidad podría aplicarse mucho más allá de los juegos de azar. Escribió “Ars Conjectandi” (publicado después de su muerte en 1713), que consolidó y amplió el trabajo en probabilidad de Cardano, Fermat, Huygens y Pascal. Bernoulli probó la ley de grandes números, que dice que cuanto mayor sea la muestra, más se parecerá el resultado muestral al de la población original. Las compañías de seguros deben limitar el número de pólizas que venden. Cada póliza vendida implica un riesgo adicional y el efecto acumulado podría arruinar la empresa. A partir del siglo XVIII, las empresas de seguros comenzaron a utilizar la teoría de probabilidades para sus políticas de ventas y para decidir los precios de los seguros con objeto de garantizar beneficios a largo plazo. La ley de Bernoulli de los grandes números es clave para seleccionar el tamaño de las muestras que permiten realizar predicciones fiables.

Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”

Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.

Pero en la década de 1990, las aplicaciones prácticas de la topología comenzaron a aparecer. Lentamente al principio, pero ganando impulso hasta que ahora parece que hay pocas áreas de la ciencia en las que la topología no se utilice. Los biólogos utilizan la teoría de nudos para comprender la estructura del ADN. Los ingenieros en robótica utilizan la teoría para planificar las trayectores de los robots móviles. Las bandas de Möbius se utilizan para obtener cintas transportadoras más eficientes. Los médicos utilizan la teoría de la homología para hacer escaneos cerebrales y los cosmólogos las usan para comprender cómo se forman las galaxias. Las empresas de telefonía móvil utilizan la topología para identificar los lugares donde no hay cobertura de la red. E incluso en computación cuántica se están utilizando hilos trenzados para construir ordenadores cuánticos robustos. La topología permite usar los mismos teoremas para resolver problemas muy diversos, desde el ADN a los sistemas de GPS (Sistemas de Posicionamiento Global). ¿Hay alguna aplicación práctica donde no se utilice la topología?

Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”

Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y otros en el siglo XVIII para estudiar la dinámica de las vibraciones de cuerdas y para estudiar los movimientos de los cuerpos en mecánica celeste. Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, reconoció la gran utilidad práctica de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a desarrollar una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de Fourier se utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica, hasta los circuitos eléctricos. En la actualidad, los métodos de Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la ingeniería modernas, en especial de las técnicas computacionales.

Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo XIX eran inadecuadas para el desarrollo riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número de problemas de carácter técnico que desafiaron a muchas de las grandes mentes de la época. Costó mucho desarrollar nuevas técnicas matemáticas para poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función. Bernhard Riemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900 obtuvieron nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia de series infinitas resultó muy resbaladiza al principio, pero se logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, que trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la década de 1870, los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los conjuntos se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son iguales pero cuyas series de Fourier son idénticas.

En la primera década del siglo XX, el concepto de espacio de Hilbert fue clave para entender las propiedades de las series de Fourier. El matemático alemán David Hilbert y sus colegas definieron estos espacios de forma axiomática, algo que parecía muy alejado de las aplicaciones prácticas. Sin embargo, en la década de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac y John von Neumann reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica, ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta clase de espacios de Hilbert. La mecánica cuántica es la teoría científica más exitosa de todos los tiempos. Sin ella, gran parte de nuestra tecnología moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de pantalla plana, la energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las series de Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo XX, y acabarían conduciendo a la energía nuclear.

Fuente: francis.naukas.com

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Michael Atiyah presentó su solución a la Hipótesis de Riemann

septiembre 24, 2018

Un prestigioso matemático asegura que resolvió uno de los problemas más famosos de la historia

El británico Michael Atiyah presentó su solución a la hipótesis de Riemann. Si se demuestra que es correcta, podría ganar un millón de dólares.

Michael Atiyah, el matemático británico que asegura haber resuelto uno de los problemas más antiguos de la historia.
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El matemático británico Michael Atiyah presentó este lunes, durante una conferencia dictada en un congreso en Heidelberg (Alemania) una posible solución a uno de los problemas más famosos de la disciplina, la demostración de la célebre hipótesis de Riemann, planteada en 1859.

La hipótesis, que debe su nombre al matemático alemán Bernd Riemann y con un planteamiento cuya comprensión exige cierta formación matemática, tiene implicaciones para la comprensión de la distribución de los números primos, lo que, a su vez, puede tener repercusiones para las técnicas de seguridad informática.

La demostración de la conjetura de Riemann está entre los llamados problemas del milenio, definidos en 2000 por el Clay Matematic Institut que ofrece un premio de un millón de dólares por la solución de cada uno de ellos.

Desde entonces, el único que se había resuelto -hasta ahora- era la demostración de la hipótesis de Poincaré lograda por el ruso Grigori Perelman que, tras lograr la hazaña, no quiso aceptar ni el millón de dólares ni la medalla Fields, algo así como el Nobel de las matemáticas, y en cambio abandonó la vida científica.

El caso Perelman es un ejemplo de la cercanía entre la genialidad y la locura que se ve en algunos matemáticos

Atiyah (segundo dsede la derecha) con los reyes de Noruega en 2004, cuando le dieron el premio Abel (EFE)

Atiyah (segundo desde la derecha) con los reyes de Noruega en 2004, cuando le dieron el premio Abel.
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El problema también formaba parte la llamada lista de Hilbert, elaborada por David Hilbert en 1900, y que muchos matemáticos tienen permanentemente en la cabeza.

Para determinar si la demostración ofrecida por Atiyah es correcta o no habrá que esperar las reacciones de la comunidad matemática y la publicación de la misma, previa revisión de expertos en busca de posibles inconsistencias, en una revista especializada. En 2015, un matemático nigeriano también había anunciado la resolución del problema, pero fue luego desestimado. Y lo mismo ocurrió 13 años antes con un paquistaní.

En todo caso, la charla ofrecida este lunes por Atiyah provocó gran expectativa porque en el programa del congreso se advertía que presentaría una «demostración simple» de la hipótesis de Riemann a través de una nueva aproximación radical.

El anunció despertó en medio mundo una lluvia de tuits y de preguntas, y la conferencia de Atiyah se siguió por diversos canales, muchos de los cuales no dieron abasto. Investigador en la Universidad de Edimburgo, Atiyah tiene 89 años y recibió varios reconocimientos, entre ellos la Medalla Fields y el premio Abel, y la orden del mérito del Gobierno británico.

En la charla, Atiyah hizo primero un repaso de la historia de la confrontación de las matemáticas con los números primos, desde Euclides hasta Robert Langland y señalando que la hipótesis de Riemann era lo que ofrecía una mejor posibilidad de solución para encontrar una estructura en la distribución de los mismos.

El matemático y otros científicos en 2009 con la reina Isabel II. El investigador fue reconocido con la Orden del Merito.
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Su aproximación al problema -el manuscrito ha empezado a circular en las redes- es como una especie de asalto al mismo desde otro ámbito de las matemáticas.

El problema, a través del cual Atiyah llegó a su propuesta de demostración de la hipótesis de Riemann, tenía que ver con la física, concretamente con la función de Todd.

Atiyah, en apenas media página, muestra que si hubiera un contraejemplo que refutase la hipótesis de Riemann, entonces habría una contradicción en la función de Todd y a partir de ello concluye que Riemann tenía razón.

Las primeras reacciones han oscilado entre el entusiasmo y el desconcierto. Muchos, durante la conferencia en la que se demoró en antecedentes históricos, se preguntaban cuando iba a empezar con la demostración. Algunos incluso la pasaron por alto y otros no estaban muy seguros de que aquello a lo que habían asistido era la solución de uno problema matemático centenario.

Al final, alguien del público, le preguntó a Atiyah si creía que estaba seguro de ganarse el millón de dólares. Sí, estaba seguro. Ahora habrá que esperar la voz de los expertos.

Sin embargo, en muchas redes sociales se percibe cierto grado de escepticismo por parte de matemáticos, para muchos la demostración resulta demasiado simple para ser correcta.

Sin embargo, también se alegran de que Atiyah, con la expectativa que despertó, les de una oportunidad de hablar de matemáticas y en algunos institutos se han organizado incluso «seminarios express» sobre la hipótesis de Riemann.

—Fuente original: EFE

Fuente: Clarín, 24/09/18.

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¿Para qué sirven las matemáticas?

septiembre 9, 2018

¿Para qué sirven las matemáticas?

Por Marta Macho Stadler.

Si eres profesional de las matemáticas –docente, investigador o investigadora– o estudiante, en algún momento te habrás –o te habrán– preguntado: ¿para qué sirven las matemáticas?, ¿para qué debo estudiar trigonometría?, ¿por qué esa obsesión por las integrales?

El Jj, autor del blog Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes, propone cien posibles respuestas a la pregunta ¿Para qué sirven las matemáticas?, que se imagina le ha planteado un joven de 14 años. Aquí, hemos elegido y traducido –y adaptado algunas de ellas– las veinticinco que nos han parecido más simpáticas o representativas.

1. Respuesta tecnófila

¿Conoces Google? Sin matemáticas sería aún AltaVista. ¿Y tu teléfono móvil? Sin matemáticas usaríamos todavía el telégrafo. ¿E Internet? Sin matemáticas estaríamos aún con Minitel. ¿No has visto la última película de Harry Potter en 3D? Sin matemáticas la habrías visto en 2D, en blanco y negro y con alguien tocando el piano en la sala de cine. ¿Has jugado a Super Mario en la Nintendo 3DS? Sin matemáticas, el único personaje con quien jugar sería Mr Game & Watch. ¿Conoces los skyblogs? Sin matemáticas, mmm,… seguirían siendo skyblogs.

2. Respuesta Kwai Chang Caine

La respuesta está en ti, pequeño saltamontes.

3. Respuesta cultural

Las matemáticas, sirven para lo mismo que interesa conocer los personajes principales de las obras de Molière: es el bagaje cultural necesario para ser alguien digno de interés. Es poco probable que la trigonometría, la factorización de polinomios o el crecimiento de la función logaritmo te sirvan para algo, pero en la misma medida que conocer la obra de Shakespeare o de Bach, porque es poco probable que termines siendo escritor o compositor. Las matemáticas forman una cultura como cualquier otra, no tiene sentido pensar en términos de utilidad.

4. Respuesta geek

Sirven para disfrutar hasta el fondo de todo el potencial burlesco de una tira cómica de xkcd o de un episodio de The Big Bang Theory o de Futurama…

5. Respuesta física

Las matemáticas sirven para fabricar teléfonos móviles, con todas estas historias de campos electromagnéticos y las ecuaciones de Maxwell asociadas. Sirven para construir microscopios de efecto túnel, por medio del álgebra lineal no conmutativa de la mecánica cuántica. Sirven para hacer hélices que propulsen bien los barcos, o los motores que permiten que los aviones vuelen, usando la mecánica de fluidos y su célebre ecuación de Navier-Stokes.

6. Respuesta “nature is beautiful”

Gracias a las matemáticas ¡podemos percibir que el mundo que nos rodea está formado de curvas y de fractales! Fíjate en la coliflor: en el mejor de los casos sólo ves una verdura más…, yo veo sobre todo su estructura fractal, sus motivos autosimilares. Mira la barriga de tu colega. ¿Ves sus michelines? ¡Pues yo percibo la metáfora de la cicloide!…

7. Respuesta “cuestionamiento de la educación”

¿Para qué sirven las matemáticas? ¿Para qué sirve la filosofía? ¿Para qué sirve la geografía? ¿Para qué sirve la educación física y deportiva? ¿Para qué sirven las ciencias de la vida? ¿Para qué sirve la física? ¿Para qué sirve la historia? ¿Para qué sirven las artes plásticas? ¿Para qué sirve la química? ¿Para qué sirve la música? ¿Para qué sirve la educación cívica y social? ¿Para qué sirve la lengua? ¿Para qué sirven las ciencias económicas y sociales?

8. Respuesta demostrativa

Para demostrar cosas de manera rigurosa. Pero también para demostrar que algunas cosas no se pueden demostrar, y esto es fuerte. Pero también para demostrar que la prueba que muestra que algunas cosas no son demostrables es correcta (y que, de paso, existen indudablemente cosas indemostrables). Y esto es muy fuerte.

9. Respuesta estadística

El 5% de las personas encuestadas responden “para nada”, el 10% “para algunas cosas”, el 15% pasa de ello, el 25% “para resolver problemas de la vida cotidiana”, el 20% “para hacer pensar”, el 25% “para hacer ciencia”… y finalmente, el 7% de las personas encuestadas piensan que las matemáticas permiten hacer estudios estadísticos falsos.

10. Respuesta humanista

Las matemáticas son Ciencia, y la Ciencia no necesita tener una utilidad, únicamente debe existir y crecer. La ciencia es el conocimiento del mundo. Cuanto más aumente este conocimiento, mejor será el mundo.

11. Respuesta “de mala fe”

Imagina que estás en medio del desierto sin calculadora y aparece un genio que te propone tres deseos. Sólo te los concederá si calculas la raíz cuadrada de 181413961… ¿Ves? Sin matemáticas puedes olvidarte de todas tus ansias de riqueza y de poder…

12. Respuesta rigurosa

¡Para ser rigurosos! La fuerza de las matemáticas radica en que posibilita adquirir los métodos que permiten manipular las ideas de cada día. El lenguaje, por ejemplo, precisa de mucho rigor para evitar los contrasentidos.

13. Respuesta de Henri Poincaré

El científico no estudia la naturaleza con un objetivo utilitario. Estudia porque le proporciona placer y encuentra placer porque la Naturaleza es bella.

14. Respuesta McGyver

Para llevar siempre contigo un compás, que puede ser muy útil, como por ejemplo para trazar un juego de tres en raya en tu pupitre.

15 Respuesta pastelera

Para devolver al donut el lugar que merece en sociedad.

16. Respuesta suspicaz

Para aprender a desconfiar de las evidencias. Durante mucho tiempo se creyó que todos los números eran racionales hasta el descubrimiento de √2. Durante mucho tiempo se creyó que las paralelas no se cortaban hasta la aparición de la geometría proyectiva. Durante mucho tiempo se creyó que todo era demostrable hasta que llegó Gödel…

17. Respuesta por reducción al absurdo

Y tú, ¿podrías decirme porque las matemáticas no sirven para nada?

18. Respuesta por contraejemplo

Las matemáticas permiten comprender que un único contraejemplo sirve para anular una hipótesis. Así, no sirve de nada buscar cien argumentos demostrando que las matemáticas sirven para algo, cuando con uno solo basta.

19. Respuesta Chuck Norris

Para dividir tantas veces como quieras por 0.

20. Respuesta de periodista de investigación

Para descubrir lo que las grandes industrias nos quieren esconder, como la verdadera composición de los cigarrillos.

21. Respuesta con autoridad

Einstein, al menos, conocía la utilidad de las matemáticas.

22. Respuesta abstracta

Imagina un mundo en el que las matemáticas no existieran. ¿Percibes a que se parecería? ¿No? Pues yo si puedo, ¡porque las matemáticas enseñar a abstraer!

23. Respuesta nietzscheana

Para menoscabar la idiotez.

24. Respuesta literaria

Para hacer creer que nos interesamos por Lewis Caroll por su Alicia, por Pascal por sus pensamientos o por Guedj por su loro…

25. Respuesta contundente

Porque si una pregunta admite tantas respuestas diferentes, es un tema que se merece, sin duda, que uno se interese por él.

El resto de las respuestas las puedes leer –en francés– aquí.

-oOo-

El artículo ¿Para que sirven las matemáticas? de Marta Macho Stadler (Departamento de Matemáticas , ZTF-FCT) se publicó en el blog Cuaderno de Cultura Científica el 24 de abril de 2013.

Agradecemos a la Cátedra de Cultura Científica el permitirnos su reproducción en ZTFNews.

Fuente: ztfnews.wordpress.com

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Peter Scholze, un genio matemático

agosto 25, 2018

El matemático que rechazó 100.000 dólares de Mark Zuckerberg gana el «Nobel» de las matemáticas

Peter Scholze ha recibido, junto a otros tres galardonados, la medalla Fields.

El alemán Peter Scholze ha recibido una de las cuatro medallas Fields, consideradas los «nobel de los matemáticos», para los menores de 40 años. Este premio es la culminación de una carrera en la que, a pesar de su juventud, no faltan los reconocimientos. El matemático, de 30 años, es actualmente el director del Instituto de Matemáticas de Bonn y es catedrático de la universidad de Bonn.

También, durante su trayectoria, el matemático, ha recibido premios como el reconocimiento por parte de la Fundación Clay, el premio Cole de álgebra por parte de la Sociedad Matemática Americana e incluso el premio «New Horizons» (entregado y financiado por Mark Zuckerberg) el cual rechazó Scholze, y que estaba dotado de 100.000 dólares. Si bien él no explicó los motivos, se cree la razón por la que lo rechazó fue que es un premio para jóvenes prometedores, y en ese momento, con 27 años, él ya sobresalía en su disciplina.

Tardó solo tres semestres en finalizar el Grado de Matemáticas y el máster, en dos semestres más. Se convirtió así en el catedrático más joven de la historia de Alemania

Los matemáticos Akshay Venkatesh (36 años), catedrático de la Universidad de Stanford en Estados Unidos; Alessio Figalli (34), catedrático de la ETH en Zúrich (Suiza); y Caucher Birkar (40), catedrático de la Universidad de Cambridge en Reino Unido, han sido el resto de ganadores de este reconocimiento.

«Son investigadores de enorme prestigio en sus respectivos campos, entre los que predominan la geometría algebraica y la teoría de números», explica Alberto Enciso, científico titular en el instituto de Ciencias Matemáticas (Icmat).

El anuncio se dio a conocer este lunes en el XXVIII Congreso Internacional de Matemáticos (ICM), el evento de mayor importancia de esta disciplina, que ha arrancado en Río de Janeiro (Brasil).

Cuatro ganadores

Nacido en India en 1981, Akshay Venkatesh creció en Australia y actualmente es catedrático en la Universidad de Stanford tras haber presentado su tesis en la de Princeton en 2002 con tan solo 21 años.Su trabajo está relacionado con el estudio del comportamiento promedio a largo plazo de sistemas dinámicos y con acciones de grupos, que son funciones definidas sobre grupos algebraicos.

El italiano Alessio Figalli, de 34 años y catedrático en la Escuela Politécnica Federal de Zúrich desde 2016, trabaja en el área de cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales y ha hecho contribuciones fundamentales a la llamada teoría de regularidad del problema del transporte óptimo.

De origen Kurdo y nacionalizado inglés, Caucher Birkar, de 40 años es catedrático en la Universidad de Cambridge y sus contribuciones más destacadas pertenecen a la geometría algebraica, una de las ramas más clásicas de las matemáticas.

Fuente: abc.es, 02/08/18.

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MATEMÁTICAS: Medallas Fields 2018

agosto 17, 2018

Durante la mañana del 01/08/18 se han otorgado las Medallas Fields 2018, en la inauguración del Congreso Internacional de Matemáticos, que se celebra en Río de Janeiro desde hoy hasta el próximo día 9 de agosto. Los galardonados han sido Caucher Birkar, Akshay Venkatesh, Peter Scholze y Alessio Figalli.

Medallas Fields

Haciendo clic en los nombres de los ganadores podéis acceder a los perfiles que han elaborado en Quanta Magazine.

Caucher Birkar

Por su demostración de la acotación de las variedades de Fano y sus contribuciones al programa de modelos minimales.

Nacido en la región kurda de Irán, estudió en la Universidad de Teherán, y en el año 2000 voló al Reino Unido, donde prosiguió sus estudios de matemáticas en Nottingham y Cambridge (donde sigue en la actualidad), y obtuvo asilo político.

A grandes rasgos, dentro de su rama de estudio (la geometría algebraica) se centra en trabajar en la clasificación de variedades (es decir, la generalización de curvas, variedades de dimensión uno, y superficies, variedades de dimensión dos) módulo equivalencia birracional: agrupando variedades que sean parecidas excepto en cantidad pequeña de puntos. Más precisamente ha trabajado con variedades de Fano. El objetivo es llegar a demostrar que, dada una superficie cualquiera, y previa eliminación de singularidades, la podemos clasificar y convertir en una superficie que ya conozcamos.

Alessio Figalli

Por sus contribuciones a la teoría de transporte óptimo y sus aplicaciones en ecuaciones en derivadas parciales, geometría métrica y probabilidad.

Nacido en Roma en 1984, cursó sus estudios y obtuvo su doctorado en Pisa, bajo la dirección de L. Ambrosio, y después pasó por varios centros (CNRS, École Polytechnique, UT Austin) hasta llegar a la ETH Zürich, donde trabaja a día de hoy.

En sus trabajos ha estudiado la estabilidad de ciertos resultados clásicos: las pompas de jabón tienen forma esférica para minimizar la energía, ¿pero cambiará la forma si le añades algo de energía después? Y en caso afirmativo, ¿cuánto y cómo? La respuesta a estas preguntas tiene muchas ramificaciones, por ejemplo en la teoría de transporte óptimo, que nace de la búsqueda de hallar la manera de mover una determinada masa de un punto a otro con el menor gasto posible de energía.

Peter Scholze

Por transformar la geometría aritmética sobre cuerpos p-ádicos, mediante la introducción de los espacios perfectoides, con aplicación a las representaciones de Galois; y por el desarrollo de nuevas teorías de cohomología.

Nacido en Dresde, desde joven demostró su talento logrando tres medallas de oro en la IMO. Tras completar grado y máster en tan solo dos años y medio, obtuvo su doctorado bajo la supervisión de M. Rapoport en la Universidad de Bonn, donde a día de hoy es profesor.

Su trabajo se centra en la geometría aritmética, área que pretende aunar el estudio de las soluciones enteras de una ecuación polinómica con las propiedades geométricas de la variedad que la ecuación genera. Para ello utiliza, partiendo de cuerpos p-ádicos (que generalizan la noción de trabajar módulo un número primo p), herramientas topológicas sobre los espacios perfectoides que él mismo definió.

Akshay Venkatesh

Por su síntesis de teoría de números analítica, dinámica matemáthomogénea, topología y teoría de representaciones.

Aunque nació en Nueva Delhi, creció en Perth (Australia). Participó en las olimpiadas internacionales de matemáticas y física, y a los 12 años comenzó sus estudios universitarios. Realizó su doctorado en Princeton, y a día de hoy es profesor en la Universidad de Stanford.

Su principal interés es el estudio de las interacciones entre sistemas dinámicos y la teoría de números, por ejemplo para estudiar el crecimiento asintótico de la función zeta de Riemann (dada por ζ(s) = 1^-s + 2^-s + 3^-s + ···). Últimamente ha trabajado en el programa de Langlands, que establece conexiones entre áreas dispares como grupos de Galois y formas automorfas.

Fuente: anemat.com

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Lotería y Probabilidad

julio 30, 2018

Lotería y Probabilidad

Loterias de España

Pocas personas podrán decir que se han resistido a la tentación de probar suerte con algún juego de azar, como lo atestigua todos los años el balance económico de Loterías y Apuestas del Estado. En 2005 los españoles se gastaron más de 28 mil millones de euros en juegos de azar, que una vez descontados los premios, daría lugar a un gasto efectivo de nueve mil millones de euros. Esto supone un consumo per cápita de 642 euros y las ventas en el 2006 aumentaron un 5,54 %. Un 60% de esta cantidad corresponde a los juegos privados (tragaperras, casinos y bingos), otro 33% a loterías públicas y un 7% a los juegos de la ONCE .

Los españoles podrían programar sus apuestas en función de las probabilidades pero, para esto, tendrían que analizar los índices de cada uno de los sorteos existentes. De mayor a menor, las probabilidades de tener más suerte y ganar son las siguientes:

• La Lotería Nacional, en el sorteo de los jueves, la probabilidad es de 1 entre 600.000, y en el sorteo de navidad , la probabilidad es de 1 entre 85.000.
• Seguida a mayor distancia de la Quiniela, que para llevarse el pleno, la probabilidad es de uno entre casi cinco millones.
• La suerte de ganar el premio mayor con la Lotería Primitiva es de uno entre 14 millones. Le sigue El Cuponazo, con una probabilidad de uno entre 15 millones.
• Luego se sitúa El Gordo de la Primitiva con una probabilidad de llevarse el primer premio de 1 entre unos 31 millones y por último El Euromillón, con una probabilidad de uno entre 76 millones.
En cuanto a los juegos que más pasiones levantan destaca sin duda la Lotería Nacional, con una participación del 57%; seguida por la Primitiva, con el 25%; la Bono Loto, con el 7%; la Quiniela con el 6% y, por último, El Gordo de la Primitiva, con el 4%.
Vamos a hacer un estudio detallado de cada una de las probabilidades de las distintas loterias nacionales:

• La Primitiva y la Bono Loto » 1 entre 13.983.816
• El Gordo de la Primitiva »1 entre 31.625.100
• Euromillones » 1 entre 76.275.360
• Lotería Nacional » 1 entre 600.000(Jueves)1 entre 85.000(Navidad)
• La Quiniela y el Quinigol » 1 entre 4.782.969
• Hípica nacional » 1 entre 8.835.372 (Lototurf)
1 entre 60.080.000 (Quíntuple Plus)
• Cupón Once » 1 entre 15 millones
• El Combo de la Once »1 entre 15 millones

[ El nuevo mundo on-line: Artículo relacionado: Crece la industria de las apuestas en España ]

Esperanza Matemática de las Loterías

Las probabilidades de las loterías por si mismas son irrelevantes. Lo que realmente importa es si el valor del premio multiplicado por la probabilidad (en escala de 0 a 1).

Una definición de Esperanza Matemática
Una definición fácil de entender de lo que aquí llamaremos «Esperanza Matemática» es la relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar. La definición matemática de «Esperanza Matemática» o Valor Esperado es bastante más compleja, pero en el desarrollo de este Sistema se limita a Premio x Probabilidad.
Aquí, un valor para la esperanza matemática de 1 indica «juego justo», un «menor que uno» indica «desfavorable para el jugador» y un «mayor que uno» es «favorable para el jugador» ( en las definiciones formales el cero suele ser el «juego justo», y los valores negativos o positivos indican «positivo o negativo para el jugador»).

• Si la esperanza matemática es 1, el juego es «justo». Por ejemplo, apostar 1 euro a que una moneda sale cara o cruz, si el premio por acertar son 2 euros, y si se pierde, 0 euros. La esperanza del juego es 2 • (1/2) = 1. Entonces, consecuentemente con la teoría de juegos, podría pagar el euro para jugar o para rechazar jugar, porque de cualquier manera su expectativa total sería 0.
• Si la esperanza matemática es menor que 1, el juego es «desfavorable para el jugador». Un sorteo que pague 500 a 1 pero en el que la probabilidad de acertar sea de 1 entre 1.000, la esperanza matemática es 500 • (1/1.000) = 0,5.
• Si la esperanza matemática es mayor que 1, el juego es «favorable para el jugador», todo un «chollo» para el jugador. Un ejemplo sería un juego en el que se paga 10 a 1 por acertar el número que va a salir en un dado, en donde hay una probabilidad de acertar es de 1 entre 6. En este ejemplo el valor de la esperanza matemática es 10 • (1/6)=1,67 y por tanto en esas condiciones es juego «beneficioso» para el jugador.

Esperanza matemática de las loterías
La esperanza matemática es un valor importante que conocer para cualquier tipo de premio, en función de su dificultad, y para cada sorteo concreto.
En la Primitiva, la esperanza matemática general o promedio es sencillamente 0,55 y en Euromillones es 0,5. Se corresponde a la cantidad que se devuelve en premios: el 55% o el 50% del total apostado por los jugadores. Ese dinero siempre se devuelve, teniendo en cuenta que con el tiempo los premios no entregados se acumulan en Botes.
En la Primitiva el reparto de premios funciona de modo que la cantidad jugada por todos los jugadores (excepto el 45% que se queda la organización) se suma y reparte en diversas categorías: una parte para los de más aciertos, otra parte para premios menores, reintegros, etc. Esto marca ciertamente diferencias entre la esperanza matemática (premios por probabilidad) de las diferentes categorías de premios. La esperanza matemática más alta es la del Reintegro que es de 0,1 (10 %).
Estos cálculos, que de por sí son sencillos, se ven complicados por algunas reglas relativamente recientes, como el «premio fijo para los acertantes de 3» o «los acertantes de 5 nunca pueden ganar más que los de 6», pero son en cualquier caso calculables con precisión.
En general, y para la Loto tradicional la norma a grandes rasgos es que la esperanza matemática es mayor que 1 cuando la cantidad de premios total (el bote más el 55% de la cantidad que todos los jugadores apuestan ese día) es mayor de lo que valen 13,9 millones de apuestas (dado que la probabilidad de acertar es de 1 entre 13,9 millones) y esto ocurre en muy muy muy raras ocasiones.
Pero imagenemos como hipótesis de trabajo que llega un día en el que se ha acumulado un bote de 20 millones de euros y en el que por alguna circunstancia nadie juega a la Loto excepto una persona. A 1 euro por apuesta, esto supondría pagar unos 14 millones de euros para jugar a todas las combinaciones y embolsarse todos los premios: el bote más lógicamente la recuperación del 55% de lo apostado y un 10% en reintegros (7,7 millones de euros, correspondiente al resto de premios menores de 5, 4, reintegros, etc.) Resultado: apostando 14 millones se recuperarían 27,7 millones de euros. Casi otros 14 millones de beneficio. ¡Buen negocio!

Un ejemplo real fue el sorteo de Bonoloto (Loto 6/49) del 18/11/1990. Un bote de 1.151 millones de pesetas se sumó a una recaudación de sólo 374 millones. A 25 pesetas por apuesta se hicieron en total unos 15 millones de apuestas. La probabilidad de acertar 6 era de 1 entre 14 millones, como siempre (y en total se repartía el 55% de la recaudación, como siempre). El premio de 1.200 millones que recibió un único acertante de 6 números tenía como base una esperanza matemática de 3,2 (frente a 1 que sería lo normal en un “juego justo” o 0,55 en un día convencional sin bote). Es decir, si el juego hubiera sido “justo” tanto para el jugador como para la banca, el premio debería haber sido de sólo unos 350 millones. Pero el ganador se llevó 1.200 millones porque había un bote acumulado de muchísimas semanas. La esperanza matemática promedio de ese día, contando todos los premios, era de 3,6. ¡Ese día ciertamente era mejor jugar a la Loto que no jugar!
Casi siempre, cualquier juego real de apuestas tiene esperanza menor que 1: lo más probable es perder dinero. El motivo por el que se juega es que en caso de ganar, los premios son de escándalo. Estamos dispuestos a perder una cantidad pequeña de dinero casi con seguridad a cambio de la posibilidad, por pequeña que sea, de hacernos ricos de la noche a la mañana.
Fuente: http://www.estadisticaparatodos.es
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Más información:

La industria de las apuestas continúa su escalada

http://www.casinoonlineespana.es/

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Las matemáticas nos hacen más libres

julio 12, 2018

«Las matemáticas nos hacen más libres y menos manipulables.»

Eduardo Sáenz de Cabezón

Fuente: Aprendemos juntos

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La utilidad de las Matemáticas

junio 8, 2018

Para qué sirven las Matemáticas

Por Francisco R. Villatoro.

Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos en “The unplanned impact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British Society for the History of Mathematics.”

Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”

La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias cumplen i ² = j ² = k ² = ijk= –1.

Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”

Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”

Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”

Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”

En el siglo XVI, Girolamo Cardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna, “Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la Teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).

Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”

Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.

Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”

Fuente: francis.naukas.com

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Referencias

Un prestigioso matemático asegura que resolvió uno de los problemas más famosos de la historia

El británico Michael Atiyah presentó su solución a la hipótesis de Riemann. Si se demuestra que es correcta, podría ganar un millón de dólares.

¿Para qué sirven las matemáticas?

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El matemático que rechazó 100.000 dólares de Mark Zuckerberg gana el «Nobel» de las matemáticas

Peter Scholze ha recibido, junto a otros tres galardonados, la medalla Fields.

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