Libros de matemáticas básicas (y no tan básicas) para aprender a quererlas
Las matemáticas forman parte de nuestra vida y eso es incuestionable. Así que, para que logres entenderlas de una vez por todas, te traemos en esta ocasión un listado de libros de matemáticas básicas para que aprendas a quererlas.
¿Necesitas más razones?
Aquí va una: porque explican el universo que nos rodea, la tecnología, la naturaleza, el cuerpo humano…
Vale, estas son evidentes. Pero ¿y si te dijéramos que también está detrás del enamoramiento, de una sinfonía, de una obra pictórica o de los libros de Borges? ¿Ahora sí?
Presta atención a los títulos que te presentamos a continuación.
Todos escritos por expertos en matemáticas que han dedicado y dedican sus vidas a su estudio y que tienen el empeño de hacer que aquellos que no somos eruditos en la materia las disfrutemos. ¡Y vaya si lo consiguen!
Matemáticas: placer, poder, a veces dolor. Una mirada crítica sobre la matemática y su enseñanza
No es extraño que al escuchar la palabra “matemáticas” se nos venga a la cabeza esa asignatura que traía de cabeza a muchos en su época de estudiante. Y más aún si lo tuyo eran las letras.
Lo cierto es que, poco a poco, esa tendencia de indiferente oscuridad científica va cambiando, y cada vez se pone en más foco en la divulgación científica y en la clara comprensión de estas áreas de conocimiento. Un ejemplo es este título de César Sáenz Castro y Xenaro García Suárez, de la Universidad Autónoma de Madrid, quienes se proponen acabar con el miedo que rodea esta disciplina.
Ambos autores plantean, a dos manos, que las matemáticas constituyen una ciencia social y cultural. Y que no solo forma parte de una caracterización tecnológica y simbólica.
Además, este libro constituye una crítica a la enseñanza tradicional de las matemáticas. La cual se ha basado en ejercicios rutinarios y repetitivos que, según los autores, daba a entender la materia como algo meramente objetivo.
Como decimos, este es un tema candente en la actualidad. En el siguiente vídeo, el popular profesor Dan Meyer da algunas pistas de los obstáculos a superar en la enseñanza de las matemáticas. Tampoco es el único, el físico Conrad Wolfram, con su empresa Computers Based Math, también trata -a su manera- de mejorar el aprendizaje matemático en la enseñanza primaria.
Pero no nos extendamos más.
En suma, el libro de Saéz y García nos da las claves para abordar las matemáticas con placer (y a veces dolor, que es la otra cara de la moneda), pero siempre teniendo en cuenta las condiciones personales de quien la estudian.
Didáctica de las matemáticas en educación infantil
Abordemos la cuestión desde la educación más básica. ¿Cómo es la enseñanza de las matemáticas en Educación Infantil? ¿Cómo debería ser? En este volumen, Blanca Arteaga y Jesús Macías, de la Universidad Internacional de la Rioja, tratan de dar respuesta aportando una serie de pautas y consejos para los maestros.
Su metodología parte de la base de que el docente debe despertar la curiosidad, la necesidad de investigar y de buscar respuestas. Y siempre teniendo en cuenta la idiosincrasia del alumnado, sus distintas capacidades.
Dividido en dos partes, “Desarrollo del pensamiento matemático” y “Consideraciones didácticas y metodológicas”, este estupendo manual pretende ser una guía para la enseñanza de una materia que, en muchas ocasiones, se diluye entre el resto de disciplinas en esta temprana fase educativa.
Matemáticas en la vida cotidiana
¿Aún temes a las matemáticas? Si es así, te proponemos otro título para que enfrentes tus miedos a esta disciplina, que, te aseguramos, puede llegar a resultar fascinante.
Lo primero que debes reconocer es que forman parte de la mayoría de las tareas que llevamos a cabo cada día.
Hablar por teléfono
Hacer fotos con nuestros móviles y cámaras
Sacar dinero en un cajero automático
El uso de los ordenadores e internet
Viajar en metro o usar un GPS
¡Y no aumentamos la lista porque eso nos ocuparía todo el artículo!
Este libro conjunto de la Universidad de Jaén hará que descubras el maravilloso universo de las matemáticas. Conectando sus teorías con tus tareas cotidianas, sus autores logran que sientas curiosidad y fascinación por todos esos números que se esconden detrás de lo que hacemos.
Prisma. Un paseo entre las matemáticas y la realidad
Si te interesan las matemáticas, pero no eres un experto, este es el libro ideal para que profundices en su conocimiento.
Los integrantes del Grupo de Divulgación de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla tienen su empeño puesto en hacer llegar las matemáticas a todo aquel que esté interesado en ellas, independientemente del nivel previo que posean.
De ahí el carácter divulgativo de una obra que recoge, en catorce capítulos, las charlas de expertos sobre diversas ramas y épocas de las matemáticas.
Un excelente trabajo que le valió a sus autores el Premio Universidad de Sevilla a la Divulgación Científica.
Libros del CSIC sobre matemáticas
Sin duda alguna, la Editorial CSIC es uno de los sellos de referencia en el estudio científico de nuestro país.
Además, sus esfuerzos se concentran en la divulgación de sus investigaciones, no solo hacia el resto de científicos sino hacia la población general. Por ello poseen una colección (¿Qué sabemos de…?) de breves libros divulgativos que tratan de condensar lo más importante de una materia concreta de forma asequible. Y para un público no especializado.
En esta ocasión, os vamos a presentar tres títulos que abordan la materia de las matemáticas.
Las matemáticas de los cristales
La cristalografía es la parte de la geología que estudia la forma y estructura de los minerales al cristalizar. Y en ella también intervienen las matemáticas.
Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria nos explican aquí la relación entre ambas disciplinas, que se remonta nada menos que al siglo XVII.
Fue entonces cuando Kepler, absorto en los copos de nieve que se posaban sobre su abrigo, comenzó a descifrar la estructura de tan bello fenómeno. ¡Con ayuda de las matemáticas, por supuesto!
Además, estos expertos del CSIC nos muestran cómo cristalografía y matemáticas tienen en común el estudio de la simetría y los grupos, entre otros muchos conceptos.
Un conciso y asequible relato en el merece mucho la pena indagar.
Las matemáticas de la luz
Si en el anterior texto el detonante fue la nieve, ahora es el turno de la luz. En este otro título de la colección del CSIC, Manuel de León Rodríguez y Ágata Timón García-Longoria vuelven a asombrarnos con la relación de las matemáticas con un fenómeno tan universal como la luz.
En un recorrido por la historia, nuestros autores narran las distintas etapas en que las matemáticas, y en especial la geometría, se incorporaron al estudio de la luz.
Por supuesto, también de cómo el ser humano ha sido capaz de descifrar el papel de la luz en nuestra visión, un fenómeno que, a día de hoy, sigue evolucionando.
Matemáticas y ajedrez
El 11 de mayo de 1997, la supercomputadora Deeper Blue (versión mejorada de la conocida Deep Blue) venció por primera vez en la historia a un ser humano en una partida de ajedrez, Kaspárov.
Es fácil imaginar lo que pensaría Kaspárov sobre las matemáticas en ese momento…
Y es que el ajedrez siempre ha sido objeto de atención por parte de matemáticos, programadores o expertos en inteligencia artificial, entre muchos otros. Por ello, Razvan Iagar ha querido sintetizar en este libro su historia común.
Y es que fue precisamente la incursión en este juego de mesa lo que permitió a muchos de científicos perfeccionar sus teorías.
Si eres aficionado al ajedrez y quieres conocer las matemáticas que se esconden detrás de la partida perfecta, este breve relato será tu mejor cómplice.
Las matemáticas de nuestra vida
Ponemos fin a nuestras recomendaciones de hoy con este título tan llamativo.
¿Acaso podríamos entender el mundo sin las matemáticas?
Los editores de la obra, Julio Mulero, Lorena Segura y Juan Matías Sepulcre, de la Universidad de Alicante, saben que no. Y por ello han compilado trece capítulos en los que se repasa la conexión de las matemáticas con temas como el amor, el arte, el cine, la literatura…
Interesante, ¿verdad?
Si quieres conocer qué números, fórmulas o hipótesis se aplican a una obra de arte, a una pieza musical o a tu libro favorito, este título te ayudará a hacer esa conexión.
¡Por cierto! Al inicio del post mencionábamos a Borges, ¿verdad? Mira:
Las inimaginables matemáticas en La biblioteca de Babel de Borges
Si eres lector de Borges y aficionado las matemáticas, este es tu libro.
El profesor del Wheaton College (Masssachusets, EE.UU.) William Goldbloom Bloch detalla en esta obra publicada por la Universidad Veracruzana un apasionante viaje lleno de anécdotas a la lógica matemática que compone el clásico cuento La biblioteca de Babel. Divertidísimo.
Ya lo ves, las matemáticas no son únicamente largas e incomprensibles fórmulas que solo atañen a los científicos.
Y es que, querido lector, matemáticas… eres tú y… ¿también Dios?
Las Matemáticas y los enigmas secretos en la obra de Jorge Luis Borges
Que uno sea ‘’de letras’’ y otro ‘’de números’’ puede considerarse como dos mundos totalmente distintos. Sin embargo, para el matemático británico Marcus du Sautoy, la diferencia no es tan inmensa desde que ha relacionado la obra del famoso escritor argentino Jorge Luis Borges y las matemáticas estrechando el vínculo de los números y las letras.
Marcus du Santoy es escritor, periodista y profesor de matemáticas en la prestigiosa Universidad de Oxford. En el año 2001 fue premiado con el Premio Berwick de la Sociedad Matemática de Londres por la mejor investigación al matemático menor de 40 años de edad y es, sin ninguna duda, uno de los profesionales más involucrados en su ámbito.
Además, y aunque su pasión sean las matemáticas, du Santoy es también un gran periodista y escribe en famosos diarios como The Times y The Guardian.
Recientemente du Sautoy desvelaba su gran pasión por la obra literaria del escritor argentino Jorge Luis Borges. El matemático no se había imaginado nunca este vínculo entre las matemáticas y el famoso escritor, hasta que un día, según cuenta él mismo, trataba de explicarle su trabajo de clasificar fórmulas geométricas a una amiga, hasta que ella le dijo que era igual que el cuento de Borges que hablaba sobre la enciclopedia. Enseguida, du Sautoy prestó total atención y se interesó por tratar el tema leyendo obras y cuentos del argentino escritor.
“Me dije a mi mismo, aquí hay un autor que realmente aprecia ideas como finito, infinito, formas, espacio, el poder de la paradoja” – afirmaba du Sautoy.
Desde entonces, el matemático se sintió apasionado por la forma en que Borges hablaba en forma narrativa sobre las matemáticas y, claramente, era un indicio de los propios intereses del autor, cuya biblioteca original albergaba libros del matemático francés Henri Poincaré. du Sautoy trató de investigar y conocer a biógrafos de Borges para comprobar de dónde provenían todas estas ideas en su literatura.
Tras leer varios cuentos, pudo encontrar conceptos matemáticos como ‘El Aleph’ donde se trata lo finito y lo infinito al igual que en las matemáticas.
Pero la obra favorita del matemático es, sin duda, ‘La Biblioteca de Babel’, donde el propio Borges relaciona otra figura matemática: ‘toroo toroide’, que se refiere a la forma de objetos como un donut o una rosquilla. La teoría que saca Borges respecto a este concepto se encuentra en el ámbito literario, en ‘la Biblioteca’ como forma de rosquilla. Con esta premisa, el hecho de caminar dentro de ella sería un concepto ‘finito’ pero a la vez ‘ilimitado’ porque el caminante no se sale de la figura y puede dar la vuelta un número infinito de veces.
“Al igual que el bibliotecario, los científicos estamos dentro de nuestra biblioteca que llamamos Universo y usamos por ejemplo telescopios o herramientas de nuestra mente para investigar la forma de ese Universo” afirmaba Marcus du Sautoy.
Sin embargo, el enigma de la rosquilla es tan solo una parte del mundo de Borges puesto que ‘la biblioteca’ tiene varios pisos y el enigma de la rosquilla se encuentra en el primero.
Mientras Borges explicaba que “al mirar hacia arriba vemos pisos que ascienden y al mirar hacia abajo pisos que descienden“, según du Sautoy “sólo podemos imaginar estas formas en un espacio de cuatro dimensiones“.
Tras conocer estos enigmas, y unos cuantos más, en la obra Jorge Luis Borges, el matemático británico ha calificado al escritor como un ‘matemático secreto’ y no deja de recomendar su obra a todos los amantes de la literatura y de las matemáticas.
¿Cuál es la ecuación matemática más hermosa del mundo?
Por Melissa Hogenboom – BBC Earth
Las ecuaciones matemáticas representan algunas de las leyes más complejas que gobiernan el Universo y todo lo que hay en ello.
Se necesita años de experiencia para entender las ecuaciones más profundas y muchas de ellas son tan complejas que son difíciles de traducir a un lenguaje normal.
Sin embargo, esto no significa que no podamos apreciar su belleza.
BBC Earth les preguntó a matemáticos y físicos por las ecuaciones que ellos piensan son las más bonitas.
Aquí te presentamos las doce que los expertos prefieren.
La ecuación de Dirac
«Estéticamente es elegante y simple», comenta Jim Al-Khalili de la universidad de Surrey en el Reino Unido.
Ecuación de Dirac
«Es una ecuación muy poderosa por lo que significa y su papel en la historia de la física del siglo XX».
La ecuación fue descubierta a finales de los años 20 por el físico Paul Dirac, y juntó dos de las ideas más importantes de la ciencia: la mecánica cuántica, que describe el comportamiento de objetos muy pequeños; y la teoría especial de Einstein de la relatividad, que describe el comportamiento de objetos en movimiento rápido.
Por lo tanto, la ecuación de Dirac describe cómo las partículas como electrones se comportan cuando viajan a casi la velocidad de la luz.
La fórmula de Riemann
El matemático Bernhard Riemann publicó esta ecuación en 1859.
Fórmula de Riemann
Permite calcular los números primos por debajo de un número dado.
Por ejemplo, la ecuación de Riemann revela que hay 24 números primos entre 1 y 100.
«Los números primos son los átomos de la aritmética», explica Marcus du Sautoy de la universidad de Oxford.
«Son los números más básicos e importantes en el corazón del mundo de la matemática. Pero sorprendentemente, a pesar de más de 2000 años de investigación, todavía no los entendemos».
Pi
«Siempre le digo a mis estudiantes que si esta fórmula no los sorprende completamente es que sencillamente no tienen alma», señala Chris Budd de la universidad de Bath.
Pi es la ecuación de la circunferencia
Muchos lectores sabrán de esta famosa ecuación.
Sencillamente describe cómo la circunferencia de un círculo varía con su diámetro.
La relación de los dos es un número llamado pi, que aproximadamente es 3,14, pero no exactamente.
Pi es un número irracional, lo que significa que los dígitos pueden continuar indefinidamente sin que se repitan.
Euler-Lagrange
Esta ecuación se utiliza para analizar todo, desde la forma de una burbuja de jabón a la trayectoria de un cohete alrededor de un agujero negro.
Con esta ecuación se puede analizar prácticamente todo.
«Más que una ecuación, es una receta para generar una infinita variedad de posibles leyes de física», comenta Andrew Pontzen de la University College London.
A pesar de sus múltiples aplicaciones, la ecuación es «engañosamente corta y simple», agrega Pontzen.
La ecuación de Yang-Baxter
«La ecuación de Yang-Baxter es una ecuación simple que puede ser representada en un dibujo de un niño de dos años», señala Robert Weston de la universidad Heriot-Watt en Edimburgo.
Esta fórmula es tan simple que la puede dibujar un niño.
Como la ecuación de Euler-Lagrange, se ve simple pero tiene implicaciones profundas en muchas áreas de la matemática y la física.
Esto incluye cómo se comportan las olas en aguas poco profundas, la interacción de partículas subatómicas, la teoría matemática de nudos y la teoría de las cuerdas.
«Te lo puedes imaginar como estar en el centro de una telaraña», explica Weston. «En las cuerdas de esa red puedes encontrar muchos temas en lo que juega un papel fundamental».
Identidad de Euler
«La mayoría de las matemáticas modernas y físicas derivan del trabajo de Leonhard Euler», aclara Robin Wilson de la Open University del Reino Unido.
Euler es considerado el Mozart de las matemáticas.
Él fue «el matemático más prolífico de todos los tiempos» y el «Mozart de las matemáticas».
Pero a pesar de todos sus logros, «mucha de la autocalificada ‘gente educada’ nunca ha oído hablar de él».
Su ecuación más famosa es la identidad de Euler, y en ella se pueden vincular las constantes de la matemática.
La ecuación más famosa de Euler vincula todos los números más importantes
La ecuación combina cinco de los números más importantes de la matemática. Los cuales son:
1 – la base de todos los números
0 – el concepto de la nada
pi – el número que define al círculo
e – el número que subraya el crecimiento exponencial
i – la raíz cuadrada «imaginaria» de -1
Todos los números tienen aplicaciones prácticas, incluida para la comunicación, navegación, energía, fabricación, finanzas, meteorología y medicina.
Pero eso no es todo: la identidad de Euler también tiene tres de las operaciones matemáticas más básicas: suma, resta y exponenciación.
La ecuación de la onda
«La belleza de la ecuación de la onda se manifiesta de muchas formas», explica Ian Stewart de la universidad de Warwick del Reino Unido.
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«Es matemáticamente simple y elegante y tiene una interesante variedad de soluciones con agradables características matemáticas».
La ecuación de onda describe cómo se propagan las ondas.
Se aplica a todo tipo de ondas, desde las de agua a las de sonido y vibraciones. Incluso a las ondas de luz y radio.
Teorema de Bayes
Esta ecuación fue desarrollada por primera vez por el reverendo Thomas Bayes en el 1700.
Este teorema tiene más usos de los que uno se imagina
Calcula la probabilidad que un evento (A) sea real, dado que otro evento (B) también lo es.
Tiene muchos usos, como para detectar fallas de vigilancia, defensa militar, operaciones de búsqueda y rescate, en escáneres médicos en incluso para filtros de correos electrónicos no deseados.
«Su belleza destaca porque subyace en el pensamiento racional y la toma de decisiones, más que por cualquier aspecto estético intrínseco», comenta David Percy, de la universidad de Salford, quien no pudo decidirse entre Bayes y la identidad de Euler.
Ecuación del campo de Einstein
La primera vez que Albert Einstein habló de su teoría general de la relatividad fue en 1915, y al año siguiente se publicó.
El campo de Einstein es la favorita de muchos matemáticos
Él la resumía en una ecuación, que de hecho es el sumario de diez ecuaciones.
Katie Mack, de la universidad de Melbourne en Australia, explica que estas fórmulas cambiaron completamente cómo entendemos la naturaleza y evolución del Universo.
«Lo fundamental de este nuevo punto de vista es que la idea de espacio-tiempo, el tejido básico de la realidad, es maleable», agrega.
La relatividad general ofreció una nueva visión de cómo funciona la gravedad.
En vez de objetos masivos ejerciendo una atracción en otros objetos, estos distorsionan el espacio y tiempo alrededor de ellos.
La ecuación de Einstein nos puede decir cómo nuestro universo ha cambiado con el tiempo, y ofrece un vistazo de los primeros momentos de la creación.
No extraña que sea la ecuación favorita de muchos matemáticos.
Aplicación logística
La aplicación logística es uno de los ejemplos clásicos de la teoría del caos.
La ecuación del caos
«Puede ser resumida de la siguiente forma: la gran complejidad puede surgir de reglas muy sencillas», comenta Olalla Castro Alvaredo de la City University de Londres.
La ecuación puede ser usada para modelar muchos procesos naturales, como el crecimiento o la disminución de una población de animales con el tiempo.
La forma en la que se comporta una población termina siendo enormemente sensible al valor de r, de manera contraintuitiva.
Si r está entre 0 y 1, la población siempre morirá. Pero si está entre 1 y 3, la población llegará a un valor fijo –y si está por encima de 3.56995, la población se convierte ampliamente impredecible.
Estos comportamientos son descritos como «caóticos» por los matemáticos, y no son los que instintivamente deberíamos esperar.
Pero todas emergen de una fórmula que matemáticamente es bastante simple.
Una simple progresión aritmética
Una progresión aritmética es simplemente una secuencia de números separados por la misma cantidad.
Quizás la belleza está en la simpleza
Por ejemplo, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 es una progresión aritmética cuya diferencia es 2.
«Muchas de las cosas que consideramos hermosas de deben a la misma simétrica, reduciendo el trabajo que necesitamos para entenderlas», dice Benjamin Doyon del King’s College de Londres en el Reino Unido.
«Quizás nuestro cerebro es feliz al hacer menos trabajo, creando una sensación positiva de belleza».
Fórmula cuaternión
Famosamente tallada en un puente de piedra por el matemático irlandés William Rowan Hamilton, esta ecuación describe cómo trabajar con números complejos que incluyen raíces cuadradas de números negativos.
Cuenta la historia que el matemático Hamilton talló la ecuación debajo de un puente de Dublín.
Esta ecuación, establecida por William Rowan Hamilton, es fundamental para una rama oscura de la matemática llamada álgebra cuaternión.
«La historia es que Hamilton dio con esta ecuación mientras caminaba en Dublín y la talló en un puente en un acto de triunfo», cuenta Chris Budd de la universidad de Bath.
En la actualidad, el álgebra cuaternión es básica en la industria de la computación gráfica.
Se utiliza para describir la orientación de los objetos en la pantalla.
Peter Rowlett nos presenta en Nature siete ejemplos que demuestran que el trabajo teórico de los matemáticos puede conducir a aplicaciones prácticas inesperadas. Muchos científicos e ingenieros descubren que las herramientas matemáticas que necesitan fueron desarrolladas hace muchos años, incluso hace siglos, por matemáticos que no tenían en mente ninguna aplicación práctica concreta. La vida de las herramientas matemáticas, si no tienen errores, es eterna; una vez que la comunidad de matemáticos está satisfecha con una solución a cierto problema matemático, por dicha solución no pasan los años. Sin embargo, con la crisis económica ha crecido el interés en buscar aplicaciones a los desarrollos matemáticos en su etapa germinal, cuando aún son meras ideas abstractas. El problema es que para un matemático predecir para qué pueden servir sus ideas raya lo imposible. No se pueden forzar las cosas y algunas aplicaciones de las matemáticas actuales aparecerán dentro de décadas o incluso siglos. Para ilustrarlo, Peter Rowlett nos presenta los siguiente siete ejemplos en “The unplanned impact of mathematics,” Nature 475: 166–169, 14 July 2011. La Sociedad Británica para la Historia de las Matemáticas tiene abierta una convocatoria con objeto de recopilar más ejemplos, si conoces alguno puedes enviarlo siguiendo este enlace “The British Society for the History of Mathematics.”
Mark McCartney & Tony Mann: “De los cuaterniones a Lara Croft”
La historia de cómo descubrió los cuaterniones el matemático irlandés William Rowan Hamilton (1805–1865) el 16 de octubre 1843 mientras estaba caminando sobre el Puente de “Broome” en Dublín es muy conocida. Hamilton había estado buscando una manera de extender el sistema de números complejos a tres dimensiones de tal forma que permitiera describir las rotaciones tridimensionales respecto a un eje arbitrario como los números complejos describen las rotaciones bidimensionales. Su idea feliz ahora nos resulta casi obvia, no era posible hacerlo con ternas de números, las rotaciones tridimensionales requieren un sistema de números con cuatro componentes imaginarias. Si los números complejos son de la forma a + i b, donde a y b son números reales, e i es la raíz cuadrada de –1, entonces los cuaterniones deben tener la forma a + b i + c j + d k , donde las unidades imaginarias cumplen i 2 = j 2 = k 2 = ijk= –1.
Hamilton pasó el resto de su vida tratando de convencer a toda la comunidad de matemáticos de que los cuaterniones eran una solución elegante a múltiples problemas en geometría, mecánica y óptica. Tras su muerte, pasó el testigo a Peter Guthrie Tait (1831–1901), profesor de la Universidad de Edimburgo. William Thomson (Lord Kelvin) pasó más de 38 años discutiendo con Tait sobre la utilidad real de los cuaterniones. Kelvin prefería el cálculo vectorial, que a finales del siglo XIX eclipsó a los cuaterniones y los matemáticos del siglo XX, en general, consideran los cuaterniones como una hermosa construcción matemática sin ninguna utilidad práctica. Así fue hasta que por sorpresa, en 1985, el informático Ken Shoemake presentó la idea de interpolar rotaciones usando cuaterniones en el congreso de gráficos por computador más importante del mundo (el ACM SIGGRAPH). Interpolar matrices preservando la ortogonalidad de las matrices de rotación es muy engorroso y utilizar los ángulos de Euler ayuda poco. Las técnicas convencionales de interpolación para númeos reales se extienden de forma natural a los números complejos y a los cuaterniones. Interpolaciones suaves y rápidas de calcular que desde entonces se utilizan en todos los juegos por ordenador que presentan gráficos tridimensionales. En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además de en gráficos por ordenador. Al final del s. XX, la guerra entre Kelvin y Tait fue ganada por este último. Hamilton vio cumplido su sueño en la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, una industria que mueve más dinero en el mundo que la industria del cine (más de 100 mil millones de dólares en 2010).
Graham Hoare: “De la geometría a la gran explosión”
En 1907, Albert Einstein formuló el principio de equivalencia, un paso clave para el desarrollo de la teoría general de la relatividad. Su idea es simple en extremo, que los efectos de una aceleración son indistinguibles de los efectos de un campo gravitatorio uniforme, o dicho de otro modo, que la masa como “carga” gravitatoria y la masa inercial son equivalentes. Esta idea llevó a Einstein a concebir la gravedad como una curvatura del espaciotiempo. En 1915 publicó las ecuaciones de su teoría general que indican cómo la materia curva el espaciotiempo circundante. Las matemáticas que utilizó tienen su origen a mediados del siglo anterior. Bernhard Riemann introdujo los fundamentos de la geometría diferencial en 1854, en la defensa de su tesis de habilitación (una especie de tesis doctoral que era requisito para impartir clases en la universidad). Introdujo la geometría diferencial de espacios (hipersuperficies) de n dimensiones, llamadas variedades, y las nociones de métrica y curvatura. En los 1870, Bruno Christoffel extendió las ideas de Riemann e introdujo las conexiones afines y el concepto de transporte paralelo. El cálculo diferencial en variedades (o cálculo tensorial) alcanzó altas cotas de abstracción con los trabajos de Gregorio Ricci-Curbastro y su estudiante Tullio Levi-Civita (entre 1880 y los inicios del s. XX). Pero estas ideas tan abstractas no tenían ninguna aplicación práctica hasta que Albert Einstein en 1912, con la ayuda de su amigo matemático Marcel Grossman decidió utilizar este cálculo tensorial para articular su profunda visión física sobre el espaciotiempo. Gracias a las variedades de Riemann en cuatro dimensiones (tres para el espacio y una para el tiempo), Einstein revolucionó nuestras ideas sobre la gravedad y sobre la evolución del universo. Las ecuaciones de Einstein no tenían ninguna solución estática, por lo que Einstein introdujo en 1917 una término adicional, la constante cosmológica con objeto de compensar la expansión natural del universo. Tras los trabajos teóricos de otros físicos, como Alexander Friedmann en 1922, y los resultados experimentales de Edwin Hubble, Einstein decidió en 1931 eliminar la constante cosmológica y calificar su inclusión como “el mayor error de su vida.” Hoy en día, tras la gran sorpresa de 1998, el concepto de energía oscura ha reintroducido la constante cosmológica.
Edmund Harris: “De las naranjas a los módems”
En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.
Otro problema sencillo cuya solución costó muchos años fue el problema de las esferas que se besan, planteado en el siglo XVII por Isaac Newton y David Gregory: Dada una esfera, ¿cuántas esferas iguales que ésta pueden colocarse con la condición de que toquen a la inicial? En dos dimensiones es fácil demostrar que la respuesta es 6. Newton pensaba que 12 era el número máximo en 3 dimensiones. Lo es, pero la demostración tuvo que esperar al trabajo de Kurt Schütte y Bartel van der Waerden en 1953. Oleg Musin demostró en 2003 que el número de besos en 4 dimensiones es 24. En cinco dimensiones sólo se sabe que se encuentra entre 40 y 44. Sabemos la respuesta en ocho dimensiones, que es 240, como demostró Andrew Odlyzko en 1979. Más aún, en 24 dimensiones la respuesta es 196.560. Estas demostraciones son más sencillas que la del resultado en tres dimensiones y utilizan empaquetamiento de esferas mucho más complicados e increíblemente densos, la red E8 en 8 dimensiones y la red de Leech en 24 dimensiones.
Todo esto es muy bonito, pero ¿sirve para algo? En la década de 1960, un ingeniero llamado Gordon Lang diseñó los sistemas de comunicación por módem utilizando estos empaquetamientos de esferas multidimensionales. El problema de la comunicación analógica en una línea telefónica es el ruido. En una conversación entre dos personas el lenguaje natural es tan redundante que el ruido importa poco, pero para enviar datos es necesario introducir ciertas redundancias y utilizar técnicas correctoras de error, lo que reduce el ancho de banda del canal (la cantidad de información que se puede transmitir por segundo). Lang utilizó los empaquetamientos de esferas para lidiar con el ruido y aumentar al máximo el ancho de banda. Para ello utilizó una codificación basada en el empaquetamiento E8 (más tarde también se utilizó el de Leech). En la década de los 1970, el trabajo de Lang fue clave para el desarrollo temprano de la internet. Donald Coxeter, matemático que ayudó a Lang en su trabajo, dijo que estaba “horrorizado de que sus bellas teorías hubieran sido manchadas de esta manera por las aplicaciones.”
Juan Parrondo y Noel-Ann Bradshaw: “De una paradoja a las pandemias”
En 1992, dos físicos propusieron un dispositivo simple para convertir las fluctuaciones térmicas a nivel molecular en un movimiento dirigido: un motor browniano (Brownian ratchet) basado en alternar el encendido y el apagado de cierto campo. En 1996, la esencia matemática de este fenómeno fue capturada en el lenguaje de la teoría de juegos por la paradoja de Parrondo. Un jugador alterna dos juegos, en ambos juegos por separado la esperanza a largo plazo implica perder, sin embargo, alternar ambos juegos permite lograr a largo plazo una victoria. En general, se utiliza el término “efecto de Parrondo” para describir el resultado dos pruebas que combinadas logran un resultado diferente al de dichas pruebas individuales. El “efecto Parrondo” tiene muchas aplicaciones, como en el control de sistemas caóticos ya que permite que la combinación de dos sistemas caóticos conduzca a un comportamiento no caótico. También puede ser utilizado para modelar en dinámica de poblaciones la aparición de brotes de enfermedades víricas o en economía para predecir los riesgos de ciertas inversiones en bolsa.
Peter Rowlett: “De los jugadores a las aseguradoras”
En el siglo XVI, Girolamo Cardano fue un matemático y un jugador compulsivo. Por desgracia para él, perdió en el juego la mayor parte del dinero que había heredado. Por fortuna para la ciencia escribió lo que se considera el primer trabajo en teoría de la probabilidad moderna, “Liber de ludo aleae,” que acabó publicado en 1663. Un siglo después, otro jugador, Chevalier de Méré, tenía un truco que parecía muy razonable para ganar a los dados a largo plazo, pero perdió todo su dinero. Consultó a su amigo Blaise Pascal buscando una explicación. Pascal escribió a Pierre de Fermat en 1654. La correspondencia entre ellos sentó las bases de la Teoría de la probabilidad. Christiaan Huygens estudió estos resultados y escribió la primera obra publicada sobre probabilidad, “Ratiociniis De Ludo Aleae” (publicada en 1657).
En el siglo XVII, Jakob Bernoulli reconoció que la teoría de la probabilidad podría aplicarse mucho más allá de los juegos de azar. Escribió “Ars Conjectandi” (publicado después de su muerte en 1713), que consolidó y amplió el trabajo en probabilidad de Cardano, Fermat, Huygens y Pascal. Bernoulli probó la ley de grandes números, que dice que cuanto mayor sea la muestra, más se parecerá el resultado muestral al de la población original. Las compañías de seguros deben limitar el número de pólizas que venden. Cada póliza vendida implica un riesgo adicional y el efecto acumulado podría arruinar la empresa. A partir del siglo XVIII, las empresas de seguros comenzaron a utilizar la teoría de probabilidades para sus políticas de ventas y para decidir los precios de los seguros con objeto de garantizar beneficios a largo plazo. La ley de Bernoulli de los grandes números es clave para seleccionar el tamaño de las muestras que permiten realizar predicciones fiables.
Julia Collins: “Desde un puente hasta el ADN”
Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.
Pero en la década de 1990, las aplicaciones prácticas de la topología comenzaron a aparecer. Lentamente al principio, pero ganando impulso hasta que ahora parece que hay pocas áreas de la ciencia en las que la topología no se utilice. Los biólogos utilizan la teoría de nudos para comprender la estructura del ADN. Los ingenieros en robótica utilizan la teoría para planificar las trayectores de los robots móviles. Las bandas de Möbius se utilizan para obtener cintas transportadoras más eficientes. Los médicos utilizan la teoría de la homología para hacer escaneos cerebrales y los cosmólogos las usan para comprender cómo se forman las galaxias. Las empresas de telefonía móvil utilizan la topología para identificar los lugares donde no hay cobertura de la red. E incluso en computación cuántica se están utilizando hilos trenzados para construir ordenadores cuánticos robustos. La topología permite usar los mismos teoremas para resolver problemas muy diversos, desde el ADN a los sistemas de GPS (Sistemas de Posicionamiento Global). ¿Hay alguna aplicación práctica donde no se utilice la topología?
Chris Linton: “Desde las cuerdas a la energía nuclear”
Las series de funciones seno y coseno fueron utilizadas por Leonard Euler y otros en el siglo XVIII para estudiar la dinámica de las vibraciones de cuerdas y para estudiar los movimientos de los cuerpos en mecánica celeste. Joseph Fourier, a principios del siglo XIX, reconoció la gran utilidad práctica de estas series para estudiar la conducción del calor y comenzó a desarrollar una teoría general de las mismas. A partir de entonces, las series de Fourier se utilizan por doquier, desde la acústica o la óptica, hasta los circuitos eléctricos. En la actualidad, los métodos de Fourier están en la base de gran parte de la ciencia y de la ingeniería modernas, en especial de las técnicas computacionales.
Sin embargo, las matemáticas de principios del siglo XIX eran inadecuadas para el desarrollo riguroso de las ideas de Fourier y aparecieron gran número de problemas de carácter técnico que desafiaron a muchas de las grandes mentes de la época. Costó mucho desarrollar nuevas técnicas matemáticas para poder resolver estas dificultades. En la década de 1830, Gustav Lejeune Dirichlet obtuvo la primera definición clara y útil del concepto de función. Bernhard Riemann en la década de 1850 y Henri Lebesgue en la década de 1900 obtuvieron nociones rigurosas de la integración de funciones. La convergencia de series infinitas resultó muy resbaladiza al principio, pero se logró dominar gracias a Augustin-Louis Cauchy y a Karl Weierstrass, que trabajaron en la décadas de 1820 y 1850, respectivamente. En la década de 1870, los primeros pasos de Georg Cantor hacia una teoría abstracta de los conjuntos se iniciaron con el análisis de las diferencias entre funciones que no son iguales pero cuyas series de Fourier son idénticas.
En la primera década del siglo XX, el concepto de espacio de Hilbert fue clave para entender las propiedades de las series de Fourier. El matemático alemán David Hilbert y sus colegas definieron estos espacios de forma axiomática, algo que parecía muy alejado de las aplicaciones prácticas. Sin embargo, en la década de 1920, Hermann Weyl, Paul Dirac y John von Neumann reconocieron que este concepto era la piedra angular de la mecánica cuántica, ya que los estados posibles de un sistema cuántico son elementos de cierta clase de espacios de Hilbert. La mecánica cuántica es la teoría científica más exitosa de todos los tiempos. Sin ella, gran parte de nuestra tecnología moderna (el láser, los ordenadores, los televisores de pantalla plana, la energía nuclear, etc.) no existiría. Quien podía imaginar que problemas matemáticos abstractos relacionados con las propiedades matemáticas de las series de Fourier acabarían revolucionando la ciencia y la ingeniería del siglo XX, y acabarían conduciendo a la energía nuclear.
Felix Klein se anticipó al trabajo de investigación matemática colectivo, desarrolló una intensa carrera como investigador teórico, y luchó por la inclusión del profesorado femenino en las aulas.
Por Roberto Rodríguez del Río.
El matemático Félix Klein.
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Felix Christian Klein no nació día cualquiera de abril, sino el 52 (25) del mes 22 del año 432 (1849) es decir, un día representado por los cuadrados de tres números primos, y los números primos son siempre bastante singulares. La fecha de su muerte, 22 de junio de 1925, de la que hoy se cumplen 92 años, no es tan singular, pese a ello, al completo, la vida y la obra de este matemático alemán constituyen un caso único dentro de la historia del pensamiento científico. El lugar y la época en la que vivió contribuyeron decisivamente a ello.
En la segunda mitad del siglo XIX y los comienzos del siglo XX, la matemática se estaba transformando completamente, dejando atrás la visión clásica e individualista de Newton, Leibniz y Gauss, para dar paso a una ciencia colaborativa, en la que no sería posible que un único individuo liderase la investigación de toda una generación, sino que las nuevas teorías y los nuevos problemas serían fruto del trabajo colectivo de muchas mentes brillantes que colaborasen e intercambiasen ideas.
Klein fue capaz de anticiparse a ello. Su vida científica comenzó asociada a la de otro genio, esta vez francés, Évariste Galois. En la primera mitad del siglo XIX, Galois, que falleció a la edad de veinte años, había desarrollado una nueva teoría, la teoría de grupos, que se acabaría convirtiendo en el nuevo lenguaje de la simetría. El concepto de grupo unificaba todos los tipos de simetrías que aparecían en geometría y que, más adelante, aparecerían vinculados también a la física.
Klein, junto a su amigo, el matemático noruego Sophus Lie, estaba viajando a París para estudiar la nueva teoría de Galois, cuando comenzó la guerra franco-prusiana (1870-1871), lo que frustró su viaje. Después de su repentino regreso a Alemania, Klein logró relacionar la teoría de grupos de Galoiscon la geometría, en uno de los trabajos más conocidos de todos los tiempos, el Programa de Erlangen, un nuevo marco que rompía con la separación clásica entre las diferentes geometrías. Klein presentó esta memoria al ser nombrado catedrático de matemáticas en la Universidad de Erlangen con tan solo 23 años. Después pasó por las universidades de Múnich, Leipzig, y Gotinga, donde permaneció desde 1886 hasta su retiro. Allí creó el centro de investigación matemática más importante del mundo en su época.
Klein también se esforzó por incorporar a las mujeres al mundo de la ciencia. Junto a David Hilbert, luchó contra las autoridades académicas de su época para conseguir incorporar al claustro de Gotinga a la matemática Emmy Noether
Felix Klein reúne las dotes de científico, organizador, escritor, trabajador incansable y, sobre todo, un excelente profesor, que siempre se preocupó por enseñar de una manera clara, usando la intuición, adaptándose a la audiencia que tenía delante, estuviera esta formada por estudiantes de ciencias, de ingenierías, colegas científicos o por profesores de matemáticas elementales. Gracias a su influencia se llevaron a cabo reformas en la enseñanza de las matemáticas elementales que continúan hoy vigentes, más de cien años después de que él las concibiera.
En 1913 se retiró, pero siguió enseñando matemáticas, ciencia e historia de la ciencia a círculos reducidos de estudiantes y colegas. Fruto de esas charlas en su casa, sobre todo durante el período de la Primera Guerra Mundial, surgió un último libro que fue publicado en 1926, un año después de su fallecimiento: Lecciones sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XIX. Además, el nombre de Klein quedará siempre asociado a una de sus creaciones más conocidas, la botella de Klein. Es una superficie que ideó en 1882, en la que los conceptos de dentro y fuera pierden su significado porque solo tiene una cara, como ocurre con la cinta de Möbius.
Felix Klein fue un revolucionario en muchos aspectos, también en sus esfuerzos por incorporar a mujeres al mundo de la ciencia. Klein, junto con David Hilbert, tuvo que luchar contra las autoridades académicas de su época para conseguir incorporar al claustro de Gotinga a la matemática Emmy Noether, en 1915; y fue Klein el primero en dirigir la tesis doctoral de una mujer en Alemania, la matemática inglesa Grace Chisholm Young. Klein siempre tenía ideas novedosas y encontraba nuevas formas de explicar las cosas. Chisholm Young explicaba que cuando daba clases a otros profesores, su máxima era: «Nunca seas aburrido».
—Roberto Rodríguez del Río, es profesor asociado de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid, y autor del libro Felix Klein, Genios de las matemáticas (RBA, 2017).
—Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
Marcus Du Sautoy: «Quien domine las matemáticas, dominará el mundo»
El destacado científico de «El Código» de Netflix comparte en exclusiva con Infobae los secretos de un universo mágico y sorprendente que explica desde los engranajes de la naturaleza, hasta cómo funciona la dinámica de las multitudes en las grandes ciudades.
Por Muriel Balbi.
Marcus Du Sautoy, el destacado científico furor en Netflix.
¿Existe una fórmula capaz de explicarlo todo? ¿Es la matemática la carrera del futuro? ¿Qué problemas de la vida cotidiana puede explicar? Más que nunca, aquellos que entiendan este idioma universal – lleno de belleza y desafíos – serán quienes puedan comprender, analizar y dominar el mundo de la Era Digital. Marcus du Sautoy, el matemático estrella de Netflix, habló en exclusiva con Infobae para abrir las puertas a un mundo fascinante.
Profesor de la Universidad de Oxford, conocido mundialmente, ganador de importantes premios, escritor, amante de Borges y de los números, Du Sautoy es un «Lord» encantador de serpientes que adora enseñar eso que lo obsesionó toda su vida: los secretos de «El Código».
Todo el universo -desde cómo funciona la naturaleza, hasta la dinámica de las multitudes en las grandes ciudades- está regido por un orden matemático específico, una construcción abstracta de números que puede darnos la descripción más detallada de nuestro mundo que jamás hayamos tenido.
Tan mágico como sorprendente. ¿Qué tienen en común los ciclos de la cigarra, con el movimiento de las olas, las formas de las dunas, la música, la arquitectura de los templos o los algoritmos de Google? La respuesta está en el código, esa serie de patrones que no sólo le dan sentido a las cosas que uno ve, sino que además pueden explicar el pasado y predecir el futuro con una precisión sorprendente.
«Cómo matemático, estoy fascinado por los números y los patrones que vemos alrededor nuestro. He pasado todo mi vida profesional estudiándolos y, para mí, son mucho más que entidades abstractas», comentó. «Los clérigos medievales pensaban que estos ‘números divinos’ habían sido creados por Dios y que tenían el poder de acercarlos a él. Pero, para mí, son la evidencia de que hay algo más: un código oculto que subyace al mundo que nos rodea, un código que tiene el poder de develar las leyes que gobiernan el universo y que constituyen la llave que explica el sentido de todo».
Pero además, cuando nos trasladamos a esta nueva Era Digital, ocurre que más que nunca las matemáticas forman parte de la vida cotidiana y moldean el mundo en que vivimos, aunque no las veamos o comprendamos. Descubrirlas, o redescubrirlas, será una herramienta indispensable para protegernos de la manipulación de la tecnología y comprender, con criterio propio, la realidad social en la que nos encontramos.
-¿Qué es el código?
-El código para mí son las matemáticas. Yo creo que el universo parece haber sido creado a partir de reglas matemáticas. Mires a donde mires, vas a poder encontrar a las matemáticas escondidas en la profundidad. Si miras la forma en que la naturaleza construye las cosas, la forma en la que el universo se desarrolló, desde el Big Bang. Así que por eso fue que decidí hacer este programa llamado «El Código» (The Code). Porque, para mí, el código te ayuda a entender la forma en la que opera el universo. Es el código de las matemáticas.
-¿Cómo se arma el código? ¿Por qué son tan importantes los números primos?
-Porque son los ladrillos que arman el código. Exactamente de la misma manera en que en química los átomos son la parte más importante de la tabla periódica -como el carbono y el oxígeno, que forman el mundo de las moléculas-, para mí, como matemático, los números primos, los números indivisibles, son los que construyen a todos los otros números. De la misma manera en que el agua está compuesta por un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno, si vos tomás un número como 105, no es primo, pero podés dividirlo en 3 x 5x 7. Así que estos números primos son de alguna manera como los átomos de las matemáticas, por eso es que son tan importantes.
-¿Cuántos de los problemas de la vida cotidiana pueden ser resueltos usando las matemáticas?
-Muchos más de los que sospechamos y tenemos muchas evidencias alrededor nuestro. Gran parte de los avances tecnológicos que hicimos a lo largo de estos milenios pudieron ser posibles gracias a las matemáticas. Yo diría que las matemáticas explotaron, como materia, más de 4 mil años atrás cuando los egipcios y los babilonios comenzaron a construir nuevas ciudades. Para poder hacerlo debían entender las matemáticas.
Por ejemplo, el descubrimiento del número Pi, viene de los egipcios, de cuando, por razones impositivas, estaban intentando comprender cómo tasar áreas de terreno que no eran rectangulares, sino circulares. Los babilonios introdujeron la idea de la numeración con base en 60. Ahora nosotros usamos 60 minutos en una hora, debido a eso.
El científico afirma que las matemáticas explotaron, como materia, hace más de 4 mil años.
Pero incluso, si nos movemos a la actualidad, el hecho de que podamos hablar y ver nuestra imagen en este momento, a pesar de yo me encuentre en Nueva York y vos en la Argentina, eso tiene que ver con el uso inteligente del código matemático para transformar mi voz en una transmisión digital de 0 y 1 que son proyectados hacia un satélite, que luego baja hasta la Argentina.
El hecho de que haya muchas interferencias en el camino, pero que, así y todo pueda escuchar tu voz claramente, eso es el poder de las matemáticas. Así que pienso que van a continuar transformando el mundo que nos rodea.
Estamos llegando al excitante momento de tener vehículos autónomos. El hecho de que el auto pueda saber cómo manejarse solo es gracias a un uso extraordinariamente inteligente de las matemáticas. Así que todo el mundo que nos rodea, aunque no nos demos cuenta, está construido en base a y a partir de las matemáticas.
-¿Cuán importante es que una persona común sepa de matemáticas en esta nueva Era Digital?
– Creo que es una muy buena pregunta, porque de repente yo no necesito saber cómo funciona mi iPhone para poder usarlo. Pero sí creo que, cada vez más, para poder tomar buenas decisiones -políticamente, económicamente- si no sos capaz de entender lo que subyace a la tecnología, se te va a hacer mucho más complicado tomar esas decisiones de modo certero. Así, por ejemplo, si querés comprender el cambio climático -por ejemplo con esto que dicen en Estados Unidos, que es un invento de los chinos, o que las evidencias en realidad no son tan contundentes como dicen los científicos- para que vos seas realmente capaz de tomar una decisión informada sobre eso, tenés que poder ser capaz de comprender qué significan los datos y cómo se interpretan.
Por eso, es que cada vez estamos siendo más y más manipulados por los algoritmos que controlan nuestro mundo digital. Pero si sos capaz de entender cómo funcionan estos algoritmos, podés evitar ser «peloteado» de acá para allá y podés empoderarte al tener un conocimiento más profundo de la tecnología.
– Cedric Villani, matemático francés, director del Instituto Poincaré, sostiene que las matemáticas son la profesión del futuro. ¿Compartís esta visión?
-Sí. Creo que, si miramos a quienes son los grandes jugadores en tecnología y las personas que las crean, son todos matemáticos. Pensá en Larry Page o Sergey Brin son dos líderes de algo súper poderoso, como es Google. Ellos son matemáticos que entendieron el poder de las matemáticas para transformar la Internet.
Así que creo que quienes aprendan matemáticas serán aquellos que tengan poder en el futuro. Pero esto no quiere decir que solo las personas inteligentes deban saber de matemáticas, porque nuestras vidas van a estar tan influidas por las matemáticas, que será muy importante que todos los miembros de la sociedad aprendan el poder de este lenguaje para cambiar y para comprender qué pasa en la sociedad.
Du Sautoy convalida el poder de las matemáticas para transformar la Internet.
-¿Pueden ser divertidas las matemáticas?
-Absolutamente. Esa es la razón por la que yo me ocupo de ellas. Creo que el principal motivo por el que los matemáticos estudian matemáticas es porque hay belleza en los números, porque es divertida, porque es algo universal. Y luego, sólo en segundo lugar, porque resulta ser algo que sirve, que es muy útil. Por eso, cuando hablamos de las matemáticas que se enseña en las escuelas, que es la técnica, resulta que justo es la parte más aburrida y lo que ocurre es que nos olvidamos de enseñar la parte divertida de las matemáticas. Así que yo soy un ferviente creyente de que debemos celebrar todo lo entretenidas y disfrutables que pueden ser las matemáticas.
-Sé que te gusta mucho Jorge Luis Borges. ¿Qué podés decirnos de la relación entre su obra y las matemáticas?
-Sí, es uno de mis predilectos. Cuando lees a Borges podés ver cómo juega con la idea del infinito, de las paradojas, de las formas del espacio. Mi favorito es «La Biblioteca de Babel», donde la misma está dispuesta como un panal con habitaciones hexagonales, pero el bibliotecario es desafiado con el problema de tratar de descifrar si la biblioteca es finita o infinita y cómo funciona o si acaso hay algo más allá de la biblioteca. Entonces esto, en su esencia, tiene que ver con lo que los científicos estamos tratando de comprender de nuestro universo. ¿Nuestro universo durará para siempre, o está envuelto y es finito?
Para mí Borges explora en sus cuentos algunas de las grandes preguntas en las que estamos interesados los científicos. Por eso estuve interesado en hablar con biógrafos de Borges para saber cuánta ciencia leyó él para poder armar sus historias. Parece que tenía algunas libros interesantes sobre matemáticas en su biblioteca personal, pero creo que lo que él hizo fue usar el lenguaje narrativo para explorar esas ideas porque consideraba al lenguaje técnico de las matemáticas un tanto difícil. Entonces lo que él hizo fue encontrar una nueva forma de explorar la idea de un universo de cuatro dimensiones en historias como «La Biblioteca de Babel«.
-¿Por qué es tan difícil para nosotros, para nuestro cerebro, poder imaginarnos realmente el infinito?
-Porque nuestro cerebro es finito. Tenemos un número finito de neuronas y tenemos un número limitado de procesos de pensamientos que somos capaces de hacer. El infinito, tradicionalmente, siempre fue algo incognoscible, algo más allá de nuestra capacidad de navegar. Eso es lo que me parece extraordinario, porque los matemáticos, a través de los siglos, han encontrado formas de usar el «equipamiento limitado» que tiene nuestra cabeza para cosas como navegar el infinito.
Hablo de esto en un pequeño libro mío que saldrá a la venta en septiembre y que se llamará «Cómo contar hasta el infinito». No tiene muchas páginas. Es un libro corto, pero muestra cómo, usando nuestro proceso finito de pensamiento, igualmente podemos entender qué es el infinito. En realidad, hay distintos tipos de infinito, algunos más grandes que otros. Eso es algo sorprendente del cerebro humano que, a pesar de ser finito, igualmente puede concebir el infinito.
-¿Qué consejos le darías a aquellas personas que desean mejorar sus conocimientos en matemáticas?
-Pienso que tiene que ver con «leer las grandes historias», que son esas cosas que nadie nos contó en la escuela. Estudiar matemáticas es algo más o menos parecido a aprender a tocar un instrumento musical. Si lo único que te dejan hacer es tocar escalas y arpegios, pero nunca te hacen escuchar la música de los grandes, aquella realmente excitante, entonces no te va a gustar la música.
Los libros que yo escribí – «La música de los primos», que cuenta la historia de los números primos; o el libro sobre simetría, que nos ayuda entender «el código» de las simetrías en nuestro universo; otro sobre los misterios de los números, en que se explora cómo encontramos las matemáticas en la vida cotidiana – pueden ser formas útiles de redescubrir, o tal vez de descubrir por primera vez, por qué las matemáticas son tan divertidas y tan hermosas.
‘Día y noche’, una de las obras que se exponen en el Palacio de Gaviria. THE ESCHER FOUNDATION
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Recordaba siempre Maurits Cornelis Escher que «el asombro es la sal de la tierra». Su obra cuenta con buena parte de esta filosofía. Ciencia, naturaleza, rigor analítico y capacidad contemplativa fueron las señas de identidad con las que creció y con las que ha sabido mantenerse 40 años después de su muerte. «Cada vez que veo estos grabados, encuentro un hallazgo nuevo», señala el coleccionista de arte Federico Giudiceandrea, uno de los comisarios junto a CEO de la M.C. Escher Company Mark Veldhuysen, de la exposición con la que, además, se reabre el Palacio de Gaviria. Así, desde hoy y hasta el 25 de junio, vuelve a Madrid tras una década de su última exposición. «Fue un país donde encontró la inspiración».
La estrecha relación del artista con España e Italia, donde pasó varias temporadas entre 1921 y 1935, fue el detonante de su carrera como artista gráfico. El eslabón entre sus estudios de arquitectura y su nuevo forma de entender el arte fue su maestro, Samuel Jessurum de Mesquita, quien despertó en él un marcado interés por la teselación – regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana-. San Gimignano fue una de las primeras ciudades que visitó y en la que aprendió no sólo a dibujar paisajes sino también la naturaleza. «Cuando volvía a Roma, esos dibujos los convertía en xilografías«, explica Mark Veldhuysen. «Fue todo un maestro del grabado».
Se remonta a esta época el primer autorretrato en espejos curvos, lo que reiteraba su fascinación por las superficies reflectantes. «El artista se considera el centro del universo», aclara Mark. Así, la esfera refleja los rayos procedentes de cualquier dirección, representa íntegramente el espacio que lo rodea, con la particularidad de que los ojos del espectador están siempre en el centro. «Representar ese mito», añade, «era otra de sus obsesiones».
Otras de ellas, fue la Alhambra, que visitó en 1922 y después en 1936 junto a su esposa, Jetta. En esta segunda visita, pasó tres días enteros allí, estudiando los diseños y copiando muchos de los motivos, y fue ese lugar donde se levantaron los cimientos de su obra pionera con el relleno periódico del espacio. «Este viaje cambió su forma de entender el arte», dice el catedrático Antonio F. Costa. «Quería aprender a encontrar las matemáticas en el arte». Desde entonces, comenzó a realizar una obra «más intelectual».
La exposición, con más de 200 obras divididas en siete ámbitos, reúne varias de ellas como Mano con esfera reflectante, Relatividad (o Casa de Escaleras) y Belvedere y, junto con el fondo mostrado, se incluyen, además, experimentos científicos, áreas de juego y recursos educativos para conocer sus perspectivas imposibles, sus imágenes desconcertantes y los universos aparentemente irreconciliables que se unen en él para formar una única dimensión artística.
«Era muy perfeccionista», añade Costa. «Intentaba que todo encajase perfectamente. Esa era su clave». De ahí su concepto de metaformosis: Escher creó un mundo en el que existían transformaciones basadas en diferentes tipos de teselaciones y en el que las formas abstractas mutan a las formas concretas. Un mundo en el que los pájaros pueden transformarse poco a poco en peces o un lagarto metamorfosearse en la celdilla de un panal de miel. «Deformaba la realidad», añade, «repitiendo formas para que todo encajase».
Desde entonces, numerosos pintores contemporáneos y artistas digitales se han inspirado en su trabajo con las teselaciones y lo han reinterpretado a través de su propio lenguaje artístico. Tales son los casos de Pink Floyd – que recreó un universo infinito en la portada de su LP en 1969- o los diseñadores Chanel o Alexander McQueen -que rindieron homenaje a su universo imaginario con sus creaciones-.»Soy un artista gráfico de corazón y alma», repitió en más de una ocasión Escher. «Aunque el término artista me resulta bastante embarazoso«.
Este Mapa de las matemáticas de Dominic Walliman intenta cubrir todos los campos de las matemáticas, agrupándolos por campos de estudio, orígenes y similitudes. Como la historia de los números comienza con el hecho de «contar» también hay un poco de historia (en el centro del póster).
Todo lo que sabemos de matemáticas –o al menos, lo que cabe en el póster– lo divide el autor en dos grandes áreas: las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas. Dentro de ellos están los sistemas de numeración y tipos de números (y algo sobre π, e, √2, i) y las estructuras, como el álgebra, las ecuaciones, vectores, matrices, la teoría de números, la geometría, el cálculo…
G.H. Hardy, el célebre matemático británico al que se atribuye entre otros méritos el de haber «descubierto» al prodigio indio Ramanujan, escribió en Apología de un matemático (A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, 1940) que «ningún matemático debería permitirse olvidar que la matemática, más que ningún arte o ciencia, es un juego de hombres jóvenes». Y agrega: «No conozco ningún gran avance iniciado por un mayor de 50».
La polémica frase caló hondo y acosa a muchos cultores de la reina de las ciencias como un fantasma que recuerda la inquietante caducidad de los poderes creativos.
Precisamente, uno de estos jóvenes geniales, que hizo todas sus contribuciones ¡antes de los 26 años! fue Niels Henrik Abel, en cuya memoria se entrega el miércoles próximo el premio con su nombre (750.000 euros) a Andrew Wiles, que después de tres siglos y medio, y trabajando casi en solitario durante una década, logró demostrar el último teorema de Fermat.
Hijo de un pastor metodista, Abel nació en el presbiterio de Findö el 5 de agosto de 1802, mientras Noruega se balanceaba entre la guerra y la miseria. El segundo de siete hermanos, a los 18, mientras se preparaba para ingresar a la universidad, su padre murió y Abel tuvo que hacerse cargo de la familia.
Según sus biógrafos, era apenas un alumno promedio, salvo en matemática, disciplina en la que sobresalía por sobre cualquier otro en todo el país. Ya en ese momento comenzó a desarrollar lo que sería un primer gran logro: su trabajo en ecuaciones de quinto grado.
La vida de Abel estuvo signada por la pobreza y el escaso reconocimiento. En la Universidad de Cristianía, algunos de sus profesores lo ayudaban económicamente de su propio bolsillo, y aunque más tarde viajó a Berlín y París, no pudo insertarse en la élite intelectual europea y su salud se deterioró rápidamente. Los meses finales de su vida fueron de una intensa productividad: enviaba tratados sobre ecuaciones algebraicas, funciones elípticas y series infinitas a tal velocidad que no alcanzaban a publicarlos. Nunca pudo obtener un puesto permanente y, tras doce semanas sin poder abandonar la cama, murió de tuberculosis.
De él se dijo: «Ha legado a los matemáticos algo que los mantendrá activos durante 500 años». Dos días después de su desaparición, llegó una carta de su editor anunciándole que sería nombrado en una cátedra de la Universidad de Berlín.
La historia de la matemática abunda en jóvenes talentos. Galois, Ramanujan, Gauss… En Los grandes matemáticos (Losada, 1948), esa joya que despierta la vocación de muchos amantes de los números, E.T. Bell repasa sus vidas. Pero diversos estudios indican que no habría que tomar demasiado en serio la sentencia de Hardy, que cuando publicó su bella indagación del alma de los matemáticos ya tenía 60 años.
El ganador del premio Abel de este año, sir Andrew Wiles, culminó su tour de force con el último teorema de Fermat a los 42 (y por eso no recibió la medalla Fields, reservada a los menores de 40). La edad promedio de los que lo antecedieron, que generalmente estaban en plena actividad, ronda los 70. Es más, según comenta en una reciente nota de The New York Times el matemático y escritor indio-norteamericano Manil Suri, diversos estudios no encontraron una relación clara entre la edad y la productividad.
En el apasionante Matemáticas. Una historia de amor y odio (Crítica, 2012), Reuben Hersh y Vera John-Steiner también ofrecen una larga lista de contraejemplos a la afirmación de Hardy. Su colaborador, Littlewood, por ejemplo, ya tenía más de 70 cuando escribió uno de sus artículos más significativos, y su último trabajo se publicó cuando tenía 87. Louis Joel Mordell, que había sido un niño prodigio, se retiró a los 75, «aunque casi la mitad de los doscientos setenta artículos y libros que publicó ¡aparecieron después de su jubilación!»
Según Hersh y John-Steiner, Abraham de Moivre (1667-1754) descubrió el que se supone que fue su resultado más importante cuando tenía 66 años (y se dice que predijo -correctamente- el día de su propia muerte al observar que dormía 15 minutos más por día y calcular cuánto faltaba para que durmiera las 24 horas). En fin, la biblioteca todavía está dividida sobre este tema, pero seguro que todos estamos de acuerdo en que lo importante no es contar los días… sino hacer que los días cuenten.
¿Por qué algunas personas tienen facilidad para lidiar con los números y a muchas otras les resulta tan difícil dominarlos? La matemática es una ciencia que usamos en la cotidianidad, pero a medida que su dificultad aumenta, no todos se consideran en condiciones de entenderla. El reconocido experto en el estudio de las bases cerebrales de las principales operaciones intelectuales humanas Stanislas Dehaene se dedicó a investigar la capacidad humana para representar cantidades y, con un poco de esfuerzo y otro de educación, para entender esos símbolos abstractos y aplicarles cálculos. Los resultados de su investigación los desarrolla en el libro El cerebro matemático, publicado por la editorial Siglo XXI.
El neurocientífico francés descubrió que ciertos animales como ratas, palomas y chimpancés pueden realizar algunos cálculos sencillos. También los bebés poseen una intuición innata para reconocer cantidades y comparar magnitudes. Cuenta que hay pacientes con lesiones cerebrales que son incapaces de operaciones mentales simples y hasta de valerse por sí mismos, pero pueden ser genios en matemáticas.
“Todos los chicos comienzan la vida escolar con un bagaje, de lo que yo llamo la protomatemática. Es un conjunto de conocimientos intuitivos e innatos, que se desarrollan muy rápido en los primeros años de infancia. Un bebé puede identificar la diferencia entre cuatro y ocho objetos. Tiene lo que se conoce como noción de número, de espacio y de geometría. ¿Por qué algunos chicos desarrollan más habilidades matemáticas que otros? Creo que depende de si fueron motivados o desalentados. Algunos niños aprenden a odiar las matemáticas porque piensan que los números no son para ellos y no van a poder aprobar. Hay chicos que tienen una verdadera dificultad como la discalculia, que es una condición cerebral que afecta la habilidad de entender y trabajar con números y conceptos matemáticos. Este grupo sólo representa un 5%. La mayoría de los chicos que tienen dificultades es porque el sistema escolar los desalienta. Se muestra la matemática como algo inabordable, inalcanzable e inaccesible. Creemos que la matemática está reservada a una elite, pero la realidad es que todos tenemos la capacidad porque es muy pequeña la diferencia entre los cerebros”, explica Dehaene.
En el ideario colectivo, la matemática contiene algo mágico. Dehaene desmiente este prejuicio y explica que esa idea proviene de una construcción cultural. Dice: “Todos tenemos un cerebro matemático y una progresión por la cual uno se puede convertir en un profesional en esta ciencia”.
Otra construcción cultural es diferenciar a los niños de las niñas. Se hizo un experimento, donde se acercó un problema a un grupo de mujeres y luego el mismo a los varones. Cuando a las chicas les decían que era un ejercicio matemático, la mayoría fallaba y cuando les decían que tenían que copiar la figura de un dibujo, no tenían dificultades. Lo mismo pasaba con los niños, pero en el sentido contrario. “Hay una investigación muy interesante que muestra que niñas pequeñas de cuatro o cinco años ya deciden que las matemáticas no son para ellas”, explica el científico francés.
También puede encontrarse una diferencia a la hora de aprender matemáticas entre niños de contextos vulnerables y otros de contextos socioeconómicos más favorables. “Creo que algunos chicos fueron privados de la interacción con lo que llamo la protomatemática. La investigación muestra que jugar a juegos de mesa como Serpientes y Escaleras o El Juego de la Oca, por más simples que sean, desarrolla la noción de números en los niños. Meten en relación el número con la posición de la ficha. Eso le enseña al chico que hay igual distancia entre 1 y 2 y entre 8 y 9. Hay chicos de contextos socioeconómicos vulnerables que no tienen los juegos ni padres que jueguen con ellos. Una solución sería que el gobierno regale estos juegos de mesa, que no cuestan más de cinco euros”, explica Dehaene.
“Vengo de hacer una investigación de laboratorio, donde se escaneó a matemáticos profesionales. Nos preguntamos qué región del cerebro utilizaban para hacer los cálculos. La respuesta es muy simple: ellos usan para hacer matemática la misma región que usamos todos para hacer cálculos mentales. Hay zonas especializadas del cerebro para los números y otras para las letras. Muy rápido este órgano separa esos objetos. Encontramos pacientes que no saben leer pero sí calcular; para mí, esos son descubrimientos extraordinarios”, detalla el doctor en Psicología Cognitiva.
La influencia del lenguaje también es determinante en el cálculo. Por lo general, los alumnos chinos tienen más éxito con las matemáticas que sus pares occidentales. Dice Dehaene: “La diferencia más importante entre ellos es la lengua. El idioma chino es mucho más claro en relación con los números. Los chinos aprenden a contar con más facilidad que los angloparlantes”.
A modo de reflexión, el autor de El cerebro matemático agrega: “La gente no considera la matemática como parte de la cultura, ya que a ésta se la suele relacionar con el arte y la literatura. Hay gente de alto nivel intelectual que dice que es mala en matemática. La cultura matemática puede transformar nuestra sociedad. Hay que cultivar la curiosidad por la matemática, y tenemos que hacer entender que es una ciencia intuitiva y divertida”.
Para no perderse en el laberinto financiero
El mundo de las finanzas está íntimamente ligado a la matemática, la cual sirve para calcular el valor del dinero en el tiempo, a través del uso de tasas de interés. Por este motivo, también se suele pensar a la actividad financiera como una cuestión cerrada a una elite. La realidad es que no hay que ser un experto matemático para poder administrar las finanzas personales. Todos los actores de la sociedad están atravesados por las deudas y los créditos, son cuestiones de la vida cotidiana.
Por lo general, los sectores populares no se sienten identificados con prácticas financieras. Muchas personas no dicen que ahorran, sino que separan dinero. “Cuando les preguntamos por el ahorro, respondían que ellos no ahorran, que eso lo hacen los ricos. Esto remite a la idea de que el ahorro solo es lo que sobra y que si sos pobre no te sobra nada. Por lo tanto, se deja de lado lo que realmente es la práctica de ahorro que es lo que separas para comprar algo más adelante. El acceso al crédito de sectores populares tiene varias formas: una incipiente son los microcréditos que tienen un nivel de cobertura muy bajo; hay préstamos familiares; y las cuevas, donde las tasas de intereses son usureras. Un factor del sobreendeudamiento de los sectores populares es el momento en que muere alguien. En ese momento, recurren a usureros para préstamos de corto plazo y se endeudan por años”, cuenta Alexandre Roig, Doctor de la Escuela de Altos Estudios en Ciencias Sociales en sociología económica del desarrollo, decano del IDAES y coeditor del libro El Laberinto de la moneda y las finanzas.
Experiencia. “Los sectores populares tienen tasas de intereses que pueden llegar a un 200% anual, mientras las clases las medias pueden acceder a tasas de interés cero. Hicimos una investigación donde damos cuenta que cerca del 20% de los ingresos de los sectores populares van a tasa de interés. Hay una explotación financiera dentro de los más vulnerados de la sociedad. Es muy importante entender como las finanzas son un gran articulador de la experiencia vital en todas las clases sociales, dando cuenta que las clases altas pagan menos tasas de interés que los otros sectores. Es un mundo muy jerarquizado el de las finanzas y las mismas participan de la desigualdad social”, dice Roig.
Marcus du Santoy es escritor, periodista y profesor de matemáticas en la prestigiosa Universidad de Oxford. En el año 2001 fue premiado con el Premio Berwick de la Sociedad Matemática de Londres por la mejor investigación al matemático menor de 40 años de edad y es, sin ninguna duda, uno de los profesionales más involucrados en su ámbito.
Recientemente du Sautoy desvelaba su gran pasión por la obra literaria del escritor argentino Jorge Luis Borges. El matemático no se había imaginado nunca este vínculo entre las matemáticas y el famoso escritor, hasta que un día, según cuenta él mismo, trataba de explicarle su trabajo de clasificar fórmulas geométricas a una amiga, hasta que ella le dijo que era igual que el cuento de Borges que hablaba sobre la enciclopedia. Enseguida, du Sautoy prestó total atención y se interesó por tratar el tema leyendo obras y cuentos del argentino escritor.
Tras leer varios cuentos, pudo encontrar conceptos matemáticos como ‘El Aleph’ donde se trata lo finito y lo infinito al igual que en las matemáticas.
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En 1998, de repente, las matemáticas fueron noticia en todos los medios. Thomas Hales (Universidad de Pittsburgh, Pennsylvania) había demostrado la conjetura de Kepler, que afirma que la mejor forma de apilar naranjas en una caja es la utilizada en todas las fruterías (el empaquetamiento de esferas más eficiente posible). Un problema que había estado abierto desde 1611, cuando lo propuso Johannes Kepler. En algunos medios de prensa y TV se llegó a decir “creo que es una pérdida de tiempo y dinero de los contribuyentes.” Hoy en día, las matemáticas del empaquetamiento de esferas se utilizan en ingeniería de comunicaciones y teoría de la información y de la codificación para planificar canales de comunicación y para desarrollar códigos correctores de errores. El problema de Kepler fue mucho más difícil de demostrar de lo que Kepler nunca pudo imaginar. De hecho, el problema más sencillo sobre la mejor forma de empaquetar círculos planos fue demostrado en 1940 por László Fejes Tóth.
Leonhard Euler inventó una nueva rama de las matemáticas cuando demostró en 1735 que no se podían atravesar los siete puentes de Königsberg en un solo viaje sin repetir ningún puente. En 1847, Johann Benedict Listing acuñó el término “topología” para describir este nuevo campo. Durante los siguientes 150 años los matemáticos trabajaron en topología porque suponía un gran desafío intelectual, sin ninguna expectativa de que fuera a ser útil. Después de todo, en la vida real, la forma es muy importante (nadie confunde una taza de café con un dónut). ¿A quién le preocupan los agujeros de 5 dimensiones en un espacio de 11 dimensiones? Incluso ramas de la topología en apariencia muy prácticas, como la teoría de nudos, que tuvo su origen en los primeros intentos para comprender la estructura de los átomos, se pensó que eran inútiles durante la mayor parte de los XIX y XX.
